# Pi

Simbol **Pi**, π.
Bilangan  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_4**  (/paɪ/; dieja "**pi**") adalah konstanta matematika yang merepresentasikan rasio antara keliling sebuah lingkaran dengan diameternya. Nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 secara mendekati adalah 3,14159. Sebagai bilangan yang istimewa, WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti matematika dan fisika. WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 dikenal sebagai bilangan irasional, artinya bilangan ini tidak dapat dinyatakan secara persis sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Meskipun demikian, bilangan pecahan sederhana seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 sering digunakan untuk mendekati nilai π. Keunikan WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 juga terletak pada desimalnya yang tak pernah berakhir dan tidak memiliki pola berulang. Selain itu, WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 merupakan bilangan transenden. Hal ini berarti bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 tidak dapat menjadi solusi dari persamaan polinomial apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Sifat transendental ini menjelaskan mengapa masalah kuno mengkuadratkan lingkaran menggunakan jangka dan penggaris tidak mungkin diselesaikan. Digit desimal bilangan π tampaknya terdistribusi secara acak. Meskipun demikian, hingga saat ini belum ada pembuktian matematis yang mendukung anggapan tersebut.

Sejak ribuan tahun silam, para matematikawan dari berbagai peradaban telah mempelajari WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 . Bangsa Mesir dan Babilonia kuno, WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 digunakan dalam perhitungan praktis. Sekitar tahun 250 SM, Archimedes dari Yunani memperkenalkan algoritma untuk menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 dengan presisi tinggi. Pada abad ke-5 M, matematikawan Tiongkok berhasil mendekati nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 hingga tujuh angka desimal, sementara matematikawan India mencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris. Ribuan tahun kemudian, penemuan deret tak hingga untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 membuka babak baru dalam pemahaman nilai ini. Simbol Yunani π pertama kali digunakan oleh William Jones pada tahun 1706.

Penemuan kalkulus pada abad ke-17 memberikan langkah penting dalam penghitungan bilangan WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 hingga ratusan digit, cukup untuk keperluan ilmiah praktis pada masanya. Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika dan ilmuwan komputer mengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimal WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 hingga triliunan digit. Motivasi di balik pencapaian ini melibatkan pengembangan algoritma yang efisien untuk menghitung deret numerik, sekaligus memenuhi ambisi manusia untuk mencetak rekor baru. Perhitungan masif ini juga digunakan untuk menguji kinerja superkomputer dan perangkat keras komputer konsumen.

Sebagai konstanta yang mendasari lingkaran, WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 banyak muncul dalam rumus matematika, fisika, dan teknik, terutama dalam trigonometri and geometri. Misalnya, rumus untuk luas lingkaran dan volume bola merupakan aplikasi fundamental. Bilangan ini juga berperan dalam bidang ilmu lain, seperti kosmologi, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme. Lebih jauh lagi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 muncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, seperti teori bilangan dan statistika. Dalam analisis matematika modern, WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 bahkan dapat didefinisikan tanpa referensi langsung terhadap geometri. WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 adalah salah satu konstanta matematika paling terkenal, baik di dalam maupun di luar komunitas ilmu pengetahuan. Buku-buku yang mengupas tentang bilangan ini banyak diterbitkan, dan penghitungan rekornya sering menjadi berita utama.

## Tinjauan dasar

### Nama

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani " WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi *pi* menggunakan huruf latin. Dalam matematika, huruf kecil WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 berbeda dengan huruf besar WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 , yang mewakili perkalian barisan, mirip seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 yang mewakili penjumlahan.

Pemilihan simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 dibahas pada bagian Pi § Penggunaan simbol π.

### Definisi

Keliling lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diameternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 .
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 umumnya didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 dengan diameternya WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41
Dalam geometri Euklides, rasio WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 selalu bernilai tetap atau konstan, terlepas dari apapun ukuran lingkaran tersebut. Sebagai contoh, apabila suatu lingkaran mempunyai dua kali diameter suatu lingkaran, maka kelilingnya juga dua kali lipat dari lingkaran tersebut. Dengan demikian, rasio WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 tetaplah sama.

Keliling lingkaran adalah panjang lengkungan busur yang dapaat didefinisikan secara formal dalam kalkulus menggunakan limit. Sebagai contoh, panjang busur setengah lingkaran di atas sumbu horizontal dalam sistem Kartesius dapat dihitung langsung melalui persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 , sebab berdasarkan perhitungan integral: WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 Integral tersebut sebelumnya merupakan usulan sebagai definisi dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 oleh Karl Weierstrass, yang mendefinisikannya secara langsung sebagai integral pada tahun 1841. Namun, pengintegrasian tidak lagi digunakan dalam definisi secara analitik. Remmert 2012 mengungkapkan bahwa kalkulus diferensial lazimnya mendahului kalkulus integral dalam kurikulum universitas, sehingga dapat bebas mendefinisikan WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 tanpa harus bergantung pada cara sebelumnya. Definisi tersebut disematkan oleh Richard Baltzer dan dipopulerkan oleh Edmund Landau, yang berbunyi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 merupakan bilangan yang bernilai dua kali lipat bilangan bulat positif terkecil yang menyebabkan fungsi kosinus sama dengan 0. WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 juga merupakan bilangan bulat positif terkecil yang menyebabkan fungsi sinus menjadi nol, sekaligus merupakan selisih antara akar fungsi yang berturut-turut. Fungsi kosinus maupun sinus masing-masing dapat didefinisikan sebagai deret kuasa, atau sebagai solusi persamaan diferensial.

Dengan cara yang serupa, WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 dapat didefinisikan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial dari suatu variabel kompleks WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 . Sama seperti fungsi sinus, fungsi eksponensial dari suatu variabel kompleks dapat didefinisikan dalam berbagai cara. Himpunan bilangan kompleks yang menyebabkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 menjadi sama dengan satu adalah suatu barisan aritmetika berupa bilangan imajiner dalam bentuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 dan terdapat suatu bilangan real positif tunggal WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 yang terkandung pada sifat demikian.

### Sebagai bilangan irasional dan dugaan sebagai bilangan normal

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Pecahan seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 seringkali digunakan untuk mengaproksimasi nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 , tetapi tidak ada pecahan sederhana (rasio bilangan cacah) yang dapat menjadi nilai eksak WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 . Karena WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 irasional, maka WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 memiliki tak terhingga banyaknya digit bilangan desimal dalam representasi desimal, dan tidak terdapat pola yang berulang. Ada beberapa bukti bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 irasional, yang umumnya merupakan pembuktian melalui kontradiksi dan memerlukan kalkulus. Sejauh mana bilangan WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui. Namun, terdapat estimasi yang didirikan bahwa ukuran keirasionalan WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 lebih besar atau setidaknya sama dengan ukuran WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 (konstanta yang kira-kira 2.718...), tetapi lebih kecil daripada ukuran bilangan Liouville.

Digit-digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 tidak memiliki pola apa pun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas. Suatu bilangan dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya. Dugaan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.

Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Sebagai contoh, frekuensi dari sepuluh digit dari 0 sampai dengan ke 9 menjadi percobaan melalui uji signifikansi statistik, dan belum terbukti pola sedemikian ditmukan. Suatu barisan acak digit mengandung sebarang subbarisan yang panjang yang tampaknya tidak terlihat acak melalui teorema monyet tak terhingga. Dengan demikian, karena digit-digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 telah melewati uji keacakan statistik, WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak yang dimulai dari desimal ke-762 WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 .

### Sebagai bilangan transendental

Karena WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 adalan bilangan transendental, pemersegian lingkaran tidaklah dimungkinkan menggunakan jangka dan mistar.
Selain sebagai bilangan irasional, WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 bukanlah penyelesaian dari suatu persamaan polinom non-konstan berkoefisien rasional seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 . Hasil tersebut berasal dari teorema Lindemann–Weierstrass, yang mendirikan transendensi konstanta WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 .

Transendensi WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 mempunyai dua konsekuensi penting. Yang pertama, WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 tidak dapat diekspresikan menggunakan sebarang kombinasi terhingga dari bilangan rasional dan akar kuadrat ataupun akar pangkat ke-n (seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 ). Yang kedua, karena tiada bilangan transendental apa pun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan mistar, tidaklah dimungkinkan untuk "mempersegikan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan mistar. Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik. Matematikawan amatiran pada zaman modern kadangkala masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini mustahil dilakukan.

Terdapat suatu masalah matematika yang belum terpecahkan yang hingga saat ini mempertanyakan apakah bilangan WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 bebas aljabar ("transendental secara keseluruhan"). Pertanyaan ini diselesaikan dengan konjektur Schanuel, yakni bentuk perumuman teorema Lindemann–Weierstrass yang belum terbukti saat ini.

### Representasi sebagai pecahan kontinu

Sebagai bilangna irasional, WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana. Namun, sama seperti bilangan irasional, WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 dapat direpresentasikan menggunakan kumpulan tak terhingga banyaknya pecahan bersarang yang disebut sebagai pecahan kontinu: WIKINIUM\_MATH\_PH\_131

Menghentikan pecahan kontinu pada titik pembagian manapun memberikan nilai pendekatan WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 : empat pecahan pertama adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 . Menurut sejarah, keempat bilangan tersebut sangat dikenal, hampir sering digunakan sebagai pendekatan WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 . Tiap-tiap pendekatan yang dihasilkan dengan cara tersebut merupakan pendekatan rasional terbaik. Artinya, tia-tiap pecahan semakin dekat dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 daripada pecahan sebarang lainnya dengan penyebut yang sama ataupun lebih kecil. Karena  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_147*  transendental, WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 berdasarkan definisi bukan bilangan aljabar, sehingga tidak dapat berupa suatu bilangan irasional kuadratik. Akibatnya, WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 tidak dapat memiliki pecahan kontinu periodik. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (dengan semua pembilangnya 1, seperti pada contoh di atas) juga tidak memiliki pola-pola tertentu, beberapa pecahan kontinu yang tak sederhana malah memiliki pola tertentu, seperti: WIKINIUM\_MATH\_PH\_153

### Nilai pendekatan dan digit

Beberapa pendekatan  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_155*  meliputi:

* **Bilangan bulat**: 3
* **Pecahan**: Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) 227, 333106, 355113, 5216316604, 10399333102, dan 24585092278256779. (Disarikan dari  A063674 and  A063673.)
* **Desimal**: Limapuluh desimal pertama adalah 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...  A000796

**Digit di sistem bilangan lain Pendekatan hingga 48 digit dalam basis 2, sistem bilangan biner, adalah 11,001001000011111101101010100010001000010110100011...
* Pendekatan hingga 36 digit dalam basis 3, sistem bilangan ternary, adalah 10.010211012222010211002111110221222220... (see  A004602)
* Pendekatan hingga 20 digitt dalam basis 16, sistem bilangan heksadesimal, adalah 3,243F6A8885A308D31319...
* Lima digit pertama dalam basis 60, sistem bilangan seksagesimal, adalah 3;8,29,44,0,47

### Bilangan kompleks dan identitas Euler

Hubungan antara WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik pusat di bidang kompleks dinyatakan menggunakan rumus Euler.
Suatu bilangan kompleks, katakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan real. Dalam sistem koordinat polar, jari-jari (dilambangkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ) digunakan untuk menyatakan jarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 dari titik pusat ke pusat bidang kompleks, sedangkan sudut (dilambangkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ) menyatakan putaran berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif: WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 Pada rumus ini, WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 adalah unit imajiner dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 . Kemunculan penggunaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponensial variabel kompleks, yang dijelaskan oleh rumus Euler: WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 Konstanta WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 adalah basis logaritma natural. Rumus ini menghasilkan hubungan antara WIKINIUM\_MATH\_PH\_177 pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik pusat di bidang kompleks. Substitusi WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 dalam rumus Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_181 .
Sebanyak WIKINIUM\_MATH\_PH\_183 bilangan kompleks WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 yang berbeda yang memenuhi persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 . Bilangan kompleks tersebut dinamakan "akar satuan pangkat- WIKINIUM\_MATH\_PH\_189 ". Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_191 .
## Sejarah

### Zaman kuno

Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah 1760⁄280 ≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  ≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan WIKINIUM\_MATH\_PH\_195 dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini. Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada bukti lain apa pun yang mendukungnya.

Pendekatan tertulis terhadap nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan WIKINIUM\_MATH\_PH\_197 sebagai 25/8 = 3,1250. Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 sebagai (16⁄9)2 ≈ 3,1605.

Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_199 sebesar (9785⁄5568)2 ≈ 3,088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_201  ≈ 3,1622.

Dua ayat dalam alkitab Ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam Bait Salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_203 adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran. Rabbi Nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah *Mishnat ha-Middot* yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 sebesar tiga dan sepertujuh.

### Zaman pendekatan poligon

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon luar dan dalam lingkaran.
Algoritma paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritma ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes. Algoritma poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya WIKINIUM\_MATH\_PH\_207 kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes". Archimedes menghitung batas atas dan bawah WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa 223⁄71 <  WIKINIUM\_MATH\_PH\_209  < 22⁄7 (3,1408 <  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  < 3,1429). Batas atas Archimedes sekitar 22⁄7 membuat banyak orang percaya bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 sama dengan 22⁄7. Sekitar tahun 150, Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga. Para matematikawan kemudian menggunakan algoritma ini dan mencapai rekor 39 digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_213 pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.

Archimedes mengembangkan algoritma poligon untuk menghitung nilai pendekatan WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 .
Pada zaman Cina kuno, nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_215 adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556). Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritma iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 sebesar 3,1416. Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon. Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitung bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_219  ≈ 355⁄113 (pecahan ini dinamakan pecahan Milü dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritma Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.

Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499). Fibonacci pada tahun  1220 menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.

Astronom Persia Jamshīd al-Kāshī menghasilkan 16 digit nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_221 pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×228,. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun. Matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×217. Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593. Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit. Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630, adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.

### Deret takhingga

Perhitungan WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 direvolusi oleh berkembangnya teknik deret takhingga pada abad ke-16 dan 17. Deret takhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya. Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_223 dengan presisi yang melebihi metode Archimedes. Walaupun metode deret takhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 , pendekatan ini pertama kali ditemukan di India antara tahun 1400 dan 1500. Deskripsi tertulis pertama mengenai deret takhingga yang dapat digunakan untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_225 terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India Nilakantha Somayaji dalam buku *Tantrasamgraha* sekitar tahun 1500. Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam Yuktibhāṣā sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India Madhava dari Sangamagrama yang hidup antara tahun 1350 – c. 1425. Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret Madhava atau deret Gregory-Leibniz. Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia Jamshīd al-Kāshī pada tahun 1430 menggunakan algoritma poligon.

Isaac Newton menggunakan deret takhingga untuk menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_227 sampai 15 digit.
Deret takhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah perkalian takhingga (daripada penjumlahan takhingga), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1593:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
Deret takhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh John Wallis pada tahun 1655 juga merupakan perkalian takhingga. Penemuan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret takhingga untuk menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 . Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_231 sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.

Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia James Gregory pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232
Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 ketika dievaluasi bersama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  = 1. Pada tahun 1699, matematikawan Inggris Abraham Sharp menggunakan deret ini untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_237 sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya. Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, tetapi konvergen sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 .

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritma yang berkonvergen lebih cepat:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_239
Machin mencapai 100 digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_241 dengan rumus ini. Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 secara suksesif. Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_243 yang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 terus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apa pun.

Matematikawan Britania William Shanks terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_245 sampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.

#### Laju konvergensi

Beberapa deret takhingga untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu. Deret tak terhingga untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_247 yang sederhana misalnya deret Gregory-Leibniz:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
akan perlahan-lahan mendekati WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 . Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_251 .

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:

| Deret takhingga untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  | Setelah suku ke-1 | Setelah suku ke-2 | Setelah suku ke-3 | Setelah suku ke-4 | Setelah suku ke-5 | Berkonvergen ke: |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_255  | 4,0000 | 2,6666... | 3,4666... | 2,8952... | 3,3396... |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_257 = 3,1415... |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  | 3,0000 | 3,1666... | 3,1333... | 3,1452... | 3,1396... |

Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan WIKINIUM\_MATH\_PH\_261 . Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi deret Machin dan deret Chudnovsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.

### Irasionalitas dan transendensi

Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 ditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatan WIKINIUM\_MATH\_PH\_263 . Ketika Euler menyelesaikan masalah Basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 dengan bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta Riemann:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_265
Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_267 adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun. Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen. Matematikawan Prancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 2 jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_269 adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.

### Penggunaan simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_270

Leonhard Euler mempopulerkan penggunaan huruf Yunani WIKINIUM\_MATH\_PH\_271 dalam karyanya yang dipublikasikan pada tahun 1736 dan 1748.
Huruf Yunani WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 *"Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics"*. Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery WIKINIUM\_MATH\_PH\_273 " (1/2 keliling WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 ) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_275 karena WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani. Namun ia menulis bahwa persamaan untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_277 tersebut berasal dari John Machin. Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri. William Oughtred menggunakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani WIKINIUM\_MATH\_PH\_279 ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol *c* atau *p*. Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 meluas dengan cepat. Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_281 dalam karyanya *Introductio in analysin infinitorum* (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 ; sehingga WIKINIUM\_MATH\_PH\_283 sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 yang universal di Barat.

## Pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern

### Zaman komputer dan algoritma iteratif

John von Neumann merupakan salah satu anggota tim ENIAC yang menggunakan komputer digital untuk mengkomputasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_285 .

>
> Algoritme iteratif Gauss–Legendre:
> Inisialisasi
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
> Iterasi
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_288
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
> Maka perkiraan untuk nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 dihasilkan oleh
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_293
>

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal WIKINIUM\_MATH\_PH\_295 . Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja. Dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam. Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 . Pertama, penemuan algoritme iteratif baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan algoritme perkalian cepat yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat. Algoritma ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian. Algoritma seperti ini contohnya algoritme Karatsuba, perkalian Toom–Cook, dan metode berbasis transformasi Fourier.

Algoritma iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika Eugene Salamin dan ilmuwan Australia Richard Brent. Algoritma ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritma iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.

Algoritma iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritma ini lebih cepat daripada algoritma deret tak terhingga. Manakala algoritma deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritma iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritma Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritma iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi. Metode iteratif digunakan oleh matematikawan Yasumasa Kanada untuk memecahkan beberapa rekor komputasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_297 antara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002. Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.

### Motivasi komputasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_298

Seiring dengan ditemukannya algoritme-algoritme baru dan daya perhitungan komputer yang semakin cepat, jumlah digit desimal bilangan WIKINIUM\_MATH\_PH\_299 yang ditemukan meningkat secara dramatis.
Dalam perhitungan numeris yang melibatkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 , biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal WIKINIUM\_MATH\_PH\_301 untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom. Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_303 sampai dengan ribuan dan jutaan digit. Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia. Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritma analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 .

### Deret konvergen cepat

Srinivasa Ramanujan yang meneliti sendirian di India, berhasil menemukan banyak deret-deret yang inovatif untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_305 .
Kalkulator WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 modern tidak menggunakan algoritma iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritma iteratif, tetapi lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit. Penemuan algoritma iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan memublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_307 yang berkonvergen sangat cepat. Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_308
Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin. Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985. Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritma-algoritma modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara. Rumus Chudnovsky yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_311
Rumus ini menghasilkan 14 digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_313 setiap sukunya, dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 109 digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×1012) digit oleh Fabrice Bellard pada tahun 2009, dan 10 triliun (1013) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.

Pada tahun 2006, matematikawan Kanada Simon Plouffe menggunakan algoritme relasi integer PSLQ untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_315 , yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_316
dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_320  WIKINIUM\_MATH\_PH\_321  (konstanta Gelfond), WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 adalah bilangan ganjil, dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.

### Metode Monte Carlo

Jarum Buffon. Jarum *a* dan *b* dijatuhkan secara acak.Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.Metode Monte Carlo, berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 .
Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_327 . Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 dijatuhkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_329 kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 satuan, dan jika dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_331 kali ia jatuh melintasi garis ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_332  > 0), maka aproksimasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_333 dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_337 .

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_339 ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.

### Algoritma keran

Dua algoritma baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 . Algoritma ini dinamakan algoritme keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritma ini menghasikan satu digit tunggal WIKINIUM\_MATH\_PH\_341 yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung. Algoritma ini berbeda dari algoritma-algoritma deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.

Matematikawan Amerika Stan Wagon dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritma keran sederhana pada tahun 1995. Kecepatan konvergensi algoritma ini sebanding dengan algoritma arctan, tetapi tidak secepat algoritma iteratif.

Algoritma keran lainnya, algoritme ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_342
Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya. Digit-digit individu oktal maupun biner dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritma ini telah ditemukan, tetapi tiada satupun algoritma ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat. Aplikasi penting dari algoritma ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_345 yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritma ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar

Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritma BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-1015) WIKINIUM\_MATH\_PH\_347 , yang hasilnya adalah 0. Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×1015), yang hasilnya juga nol.

## Kegunaan

Karena WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. WIKINIUM\_MATH\_PH\_351 juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

### Geometri dan trigonometri

Luas lingkaran di atas adalah sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 kali luas daerah yang diarsir.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_353 muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 misalnya:

* Keliling lingkaran dengan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_355 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_356
* Luas lingkaran dengan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_358 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_359
* Volume bola dengan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_361 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_362
* Luas permukaan bola dengan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_365

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_367 muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_368
Dalam integral tersebut, fungsi WIKINIUM\_MATH\_PH\_370 mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu *x*.

Fungsi sinus dan kosinus berulang dengan periode 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 .
Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. WIKINIUM\_MATH\_PH\_375 memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 radian. Hal ini berarti 180° sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_377 radian, dan 1° = WIKINIUM\_MATH\_PH\_378 /180 radian.

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_379 , sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 , sehingga untuk suautu sudut *θ* dan suatu bilangan bulat WIKINIUM\_MATH\_PH\_381 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_384

### Rumus integral Cauchy

Rumus integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386
### Himpunan Mandelbrot

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 dapat dihitung dari himpunan Mandelbrot, dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen WIKINIUM\_MATH\_PH\_389 .
Keberadaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_391 dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991. Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada WIKINIUM\_MATH\_PH\_392 . Jika dianggap titik dengan koordinat WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 , dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_396 cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_398 konvergen menuju WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 . Titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_401 di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat WIKINIUM\_MATH\_PH\_403 cenderung mendekati WIKINIUM\_MATH\_PH\_405 .

### Fungsi gamma

Fungsi gamma memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi WIKINIUM\_MATH\_PH\_406 ; sebagai contoh

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_407
dan
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_409 .
Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_411 untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 besar:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_413
yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.

### Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann WIKINIUM\_MATH\_PH\_415 digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada WIKINIUM\_MATH\_PH\_416 , fungsi ini dapat ditulis sebagai:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_417
Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_419 . Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang relatif prima (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_421 . Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima WIKINIUM\_MATH\_PH\_423 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_425 (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_427 , dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_429 . Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_431
Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_433 menggunakan pendekatan Monte Carlo.

### Probabilitas dan statistik

Sebuah grafik fungsi Gauss
 *ƒ*(*x*) = *e*−*x*2. Wilayah berwarna di antara fungsi dan sumbu *x* memiliki luas WIKINIUM\_MATH\_PH\_434 .
Bidang probabilitas dan statistik sering kali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal. Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata WIKINIUM\_MATH\_PH\_436 dan simpangan baku WIKINIUM\_MATH\_PH\_437 , pada dasarnya adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_438 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_439
Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_441 ,
sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.

## Di luar matematika

### Penggambaran fenomena fisika

Meskipun bukan konstanta fisika, WIKINIUM\_MATH\_PH\_443 hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara WIKINIUM\_MATH\_PH\_444 dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis. Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode WIKINIUM\_MATH\_PH\_445 pendulum sederhana dengan panjang WIKINIUM\_MATH\_PH\_446 , yang mengayun dengan amplitudo WIKINIUM\_MATH\_PH\_447 adalah percepatan gravitasi bumi):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_448
Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δ WIKINIUM\_MATH\_PH\_450 ) dan momentum (Δ WIKINIUM\_MATH\_PH\_451 ) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_452 adalah tetapan Planck):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_453
Dalam ranah kosmologi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_455 muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu rumus fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_456
dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_458 adalah tensor lengkungan Ricci, WIKINIUM\_MATH\_PH\_460 adalah lengkungan skalar, WIKINIUM\_MATH\_PH\_461 adalah tensor metrik, WIKINIUM\_MATH\_PH\_463 adalah tetapan kosmologi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_464 adalah tetapan gravitasi Newton, WIKINIUM\_MATH\_PH\_465 adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_466 adalah tensor energi tegangan.

Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_468 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_469 ) yang dipisahkan oleh jarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_470 (dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_471 mewakili permitivitas ruang hampa:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_472
Fakta bahwa nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_474 mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus WIKINIUM\_MATH\_PH\_475 adalah

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_476
dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_478 adalah massa elektron.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_479 hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus *buckling* yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial WIKINIUM\_MATH\_PH\_480 maksimum dengan panjang kolom WIKINIUM\_MATH\_PH\_481 , elastisitas modulus WIKINIUM\_MATH\_PH\_482 , dan momen inersia area WIKINIUM\_MATH\_PH\_483 dapat mengangkut tanpa *buckling*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_484
Bidang dinamika fluida menyertakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_486 dalam hukum Stokes, yang mengaproksimasi gaya friksi WIKINIUM\_MATH\_PH\_487 yang muncul pada objek sferis kecil dengan radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_488 , bergerak dengan kecepatan WIKINIUM\_MATH\_PH\_489 dalam fluida yang mempunyai viskositas dinamis WIKINIUM\_MATH\_PH\_490 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_491
Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_493

### Mengingat digit

Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka WIKINIUM\_MATH\_PH\_495 , suatu praktik yang disebut pifilologi. Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_496 : Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris James Jeans, adalah *How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics*. Ketika sebuah puisi (*poem*) digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai *piem*. Puisi untuk mengingat WIKINIUM\_MATH\_PH\_497 telah digubah dalam beberapa bahasa selain bahasa Inggris.

Rekor mengingat digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_498 , yang dicatat oleh *Guinness World Records*, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015. Pada tahun 2006, Akira Haraguchi, seorang pensiunan insinyur Jepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimal WIKINIUM\_MATH\_PH\_499 , tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh *Guinness World Records*. Peraturan rekor pengingat WIKINIUM\_MATH\_PH\_500 biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan metode loci.

Beberapa penulis telah menggunakan digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_501 sebagai dasar bentuk baru tulisan terbatas (bahasa Inggris: *constrained writing*code: en is deprecated ), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_502 . *Cadaeic Cadenza* mengandung 3.835 digit pertama WIKINIUM\_MATH\_PH\_503 , dan satu buku penuh berjudul *Not a Wake* mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit WIKINIUM\_MATH\_PH\_504 .

## Lihat pula

* Aproksimasi Stirling
* Daftar tetapan matematis

## Referensi

Referensi
Catatan kaki
Daftar pustaka

* Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). *Pi Unleashed*. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Diakses tanggal 2013-06-05.    English translation by Catriona and David Lischka.
* Ayers, Frank (1964). *Calculus*. McGraw-Hill. ISBN 978-0-070-02653-7.   ;
* Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). *Pi: a Source Book*. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20571-7.
* Beckmann, Peter (1989) [1974]. *History of Pi*. St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8.
* Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). *Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity*. Wiley. ISBN 978-0-471-31515-5.
* Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). *A History of Mathematics* (Edisi 2). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
* Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K. A. (1971). *A Guide Book to Mathematics*. H. Deutsch. ISBN 978-3-871-44095-3.
* Eymard, Pierre, Lafon, Jean Pierre (1999). *The Number Pi*. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2.   Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link), English translation by Stephen Wilson.
* Joseph, George Gheverghese (1991). *The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7. Diakses tanggal 2013-06-05.
* Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). *Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number*. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8.
* Reitwiesner, George (1950). "An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places". *Mathematical Tables and Other Aids to Computation*. **4** (29): 11–15. doi:10.2307/2002695.
* Roy, Ranjan (1990). "The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha". *Mathematics Magazine*. **63** (5): 291–306. doi:10.2307/2690896.
* Schepler, H. C. (1950). "The Chronology of Pi". *Mathematics Magazine*. **23** (3). Mathematical Association of America: 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun). doi:10.2307/3029284.   . issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun

## Pranala luar

* Program dalam Pascal tentang pemakaian π
* Sejarah singkat tentang π
* Pi-memory Diarsipkan 2008-03-19 di Wayback Machine.

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tanda `<ref>` untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tanda `<references group="lower-alpha"/>` yang berkaitan