# Sinus dan kosinus

| Sinus dan kosinus |
| --- |
|  |
| Informasi umum |
| Definisi umum |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Tujuan diciptakan | Astronomi India |
| Tanggal penemuan solusi | Kemaharajaan Gupta |
| Bidang penerapan | Trigonometri, Transformasi integral, dll. |
| Domain dan Citra |
| Domain dari fungsi | (−∞, +∞) a |
| Sifat umum |
| Paritas fungsi | sinus: ganjil; kosinus: genap |
| Periode | 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |
| Nilai-nilai spesifik |
| Nilai di 0 | sinus: 0; kosinus: 1 |
| Nilai maksimum | sinus: (2*k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 +  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 2, 1)b; kosinus: (2*k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 , 1) |
| Nilai minimum | sinus: (2*k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 −  WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 2, −1); kosinus: (2*k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 + WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 , -1) |
| Sifat khusus |
| Akar | sinus: *k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ; kosinus: *k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 +  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 2 |
| Titik kritis | sinus: *k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 +  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 2; kosinus: *k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_15  |
| Titik belok | sinus: *k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ; kosinus: *k* WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 +  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 2 |
| Titik tetap | sinus: 0; kosinus: Bilangan Dottie |
| Kebalikan | sinus: kosekan; cosine: sekan |
| Invers | sinus: arcsinus; cosine: arccosinus |
| Turunan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_19  |
| Antiturunan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_21  |
| Fungsi yang relevan | tan, csc, sec, cot |
| Definisi deret |
| Deret Taylor |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_23  |
|

---

* a Untuk bilangan real.
* b Variabel *k* adalah suatu bilangan bulat.
 |

Dalam matematika, **sinus** dan **kosinus** adalah fungsi trigonometri untuk sudut. Sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip didefinisikan dalam konteks segitiga siku-siku: nilai sinus adalah rasio dari panjang sisi segitiga yang menghadap sudut tersebut (sisi tegak) terhadap panjang sisi terpanjang segitiga (hipotenusa), sedangkan nilai kosinus adalah rasio panjang sisi segitiga yang lain (sisi alas) terhadap hipotenusa. Untuk suatu sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 , fungsi sinus dan kosinus dituliskan sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 .

Lebih umum lagi, definisi sinus dan kosinus dapat diperluas ke sembarang nilai real, dalam konteks panjang suatu segmen garis pada suatu lingkaran satuan. Definisi yang lebih modern menyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk deret tak hingga, atau solusi dari suatu persamaan diferensial, yang memungkinkan memperluasnya ke bilangan negatif dan bahkan ke bilangan kompleks.

Fungsi sinus dan kosinus umum digunakan untuk memodelkan fenomena periodik seperti bunyi dan gelombang suara, posisi dan kecepatan dari osilator harmonik, intensitas cahay matahari dan panjang hari, maupun variasi temperatur sepanjang tahun.

Fungsi sinus dan kosinus dapat dilacak kembali ke fungsi *jyā* dan *koṭi-jyā* yang digunakan pada astronomi India pada periode Gupta (*Aryabhatiya*, *Surya Siddhanta*), yang mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, kemudian dari bahasa Arab ke bahasa Latin. Kata "sinus" berasal dari penerjemahan bahasa Latin yang salah oleh Robert of Chester untuk kata Arab *jiba*, yang selanjutnya merupakan transliterasi dari kata Sanskerta untuk setengah busur, *jya-ardha*. Kata "cosinus" (Indonesia: "kosinus") berasal dari singkatan Latin "complementi sinus" pada abad pertengahan.

## Definisi dengan segitiga siku-siku

 Untuk suatu sudut *α*, fungsi sinus memberikan rasio panjang sisi tegak dengan panjang hipotenusa
Untuk mendefinisikan sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip *α*, mulai dengan membentuk segitiga siku-siku yang mengandung sudut *α*; pada gambar berikut, sudut *α* pada segitiga *ABC* adalah sudut yang ingin dihitung. Ketiga sisi pada segitiga diberi nama sebagai berikut:

* *Sisi tegak* atau *sisi berlawanan* adalah sisi yang menghadap sudut *α*; dalam kasus ini adalah sisi *a*.
* *Hipotenusa* adalah sisi yang menghadap sudut siku-siku, dalam kasus ini adalah sisi *h*. Hipotenusa selalu merupakan sisi terpanjang dari sembarang segitiga siku-siku.
* *Sisi samping* adalah sisi segitiga yang tersisa, dalam kasus ini adalah sisi *b*. Sisi ini diapit oleh sudut *α* dan sudut siku-siku.

Setelah segitiga tersebut dibentuk, sinus dari sudut adalah panjang dari sisi tegak dibagi dengan panjang hipotenusa:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31
Fungsi-fungsi trigometri yang lain dapat didefinisikan dengan cara yang mirip; sebagai contoh, tangen dari suatu sudut adalah rasio antara sisi tegak dengan sisi alas.

Dari definisi, nilai dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 terlihat bergantung pada pemilihan segitiga siku-siku yang mengandung sudut *α*. Namun, hal ini tidak benar, karena semua segitiga siku-siku yang mengandung sudut *α* akan serupa, sehingga rasio yang didapatkan dari semua segitiga tersebut akan sama.

## Definisi dengan lingkaran satuan

Animasi yang menunjukkan fungsi sinus (warna merah) digambarkan dari koordinat-*y* suatu titik pada lingkaran satuan (warna hijau), pada suatu sudut *θ*. Sedangkan, koordinat-*x* dari titik tersebut menghasilkan grafik kosinus (warna biru).
Dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1 dan berpusat di titik asal (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius. Misalkan suatu segmen garis melalui titik asal, membentuk sudut

*θ* terhadap sisi positif dari sumbu-*x*, dan memotong lingkaran satuan pada suatu titik. Nilai koordinat*-x* dan *-y* dari titik tersebut sama dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , secara berurutan.

Definisi ini konsisten dengan definisi dengan menggunakan segitiga siku-siku ketika 0 < *θ* < π/2. Karena panjang hipotenusa segitiga siku-siku di lingkaran satuan selalu bernilai 1, WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 . Lebih lanjut, panjang sisi tegak dari segitiga ini adalah koordinat-*y* dari titik. Argumen yang sama dapat dibuat untuk menunjukkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 ketika 0 < *θ* < π/2, bahkan ketika menggunakan definisi dengan lingkaran satuan. nilai tangen WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 didefinisikan sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , atau secara ekuivalen, sebagai kemiringan dari segmen garis.

Definisi menggunakan lingkaran satuan memiliki keuntungan bahwa nilai sudut dapat diperluas menjadi sembarang bilangan real. Hal ini juga dapat dicapai dengan menggunakan beberapa simetri, dan mengganggap sinus (dan kosinus) sebagai fungsi periodik.

## Identitas

Fungsi sinus dan kosinus terhubung secara tepat (*exact*) oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 (dalam radian):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
### Lawan perkalian

Invers perkalian dari sinus adalah kosekan, yang ditulis sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 . Kosekan memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi tegak. Serupa dengan itu, invers perkalian dari kosinus adalah sekan, yang memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi samping.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
### Fungsi invers

The usual principal values of the WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 functions graphed on the Cartesian plane
Fungsi invers dari sinus adalah arcsinus (ditulis sebagai arcsin atau asin), atau invers sinus ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ). Fungsi invers dari kosinus adalah arccosinus, yang ditulis sebagai arccos, acos, atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 . (simbol -1 pada bentuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 melambangkan invers dari suatu fungsi, bukan perpangkatan.) Karena sinus dan kosinus bukan fungsi injektif, invers mereka hanya fungsi invers secara parsial. Sebagai contoh, WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , tapi begitu pula dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 dst. Hal ini menyebabkan arcsinus bernilai banyak: WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 , tapi juga WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 , dst. Ketika hanya satu nilai yang diperlukan, nilai fungsi dapat dibatasi hanya ke cabang utama-nya saja. Dengan pembatasan ini, untuk setiap nilai *x* di domain, ekspresi WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 akan menghasilkan satu nilai tunggal, yang disebut nilai utama. Selang nilai (standar) untuk nilai utama berkisar dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 sampai WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 , dan selang nilai (standar) untuk arccos berkisar dari 0 sampai WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
dengan (untuk suatu bilangan bulat *k*):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
Berdasarkan definisi, arcsin dan arccos memenuhi persamaan-persamaan berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
dan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
### Kalkulus

Turunan dari sinus dan kosinus adalah:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
Sedangkan antiturunan mereka adalah:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
dengan *C* menyatakan konstanta integrasi.

Sinus dan kosinus muncul sebagai solusi untuk persamaan diferensial WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

Persamaan tersebut muncul pada banyak sistem fisik, seperti pada pendulum maupun pada beban yang terikat pada suatu pegas. Solusi persamaan ini adalah: WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

Ketika *k* = 1, solusi unik dengan f(0) = 0 dan f'(0) = 1 adalah fungsi sinus, dan solusi unik dengan f(0) = 1 dan f'(0) = 0 adalah fungsi kosinus.

### Identitas trigonometri Pythagoras

Hubungan dasar antara fungsi sinus dan kosinus termuat dalam identitas trigonometri Pythagoras:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
dengan sin2(*x*) menyatakan (sin(*x*))2.

### Rumus sudut ganda

Fungsi sinus diwarnai biru dan fungsi kuadrat sinus (sin2(x)) diwarnai merah. Sumbu-*x* dinyatakan dalam satuan radian.
Sinus dan kosinus memenuhi persamaan-persamaan sudut ganda berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
Rumus sudut ganda kosinus menyimpulkan bahwa fungsi sin2 dan cos2 adalah gelombang sinus yang mengalami penggeseran dan skalarisasi. Secara spesifik,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
Gambar berikut menyajikan fungsi sinus dan fungsi kuadrat sinus, masing-masing diwarnai dengan warna biru dan warna merah. Kedua grafik fungsi memiliki bentuk yang sama, tetapi memiliki jangkauan fungsi dan periode yang berbeda. Fungsi kuadrat sinus bernilai non-negatif, tetapi memiliki periode dua kali lebih cepat.

## Sifat yang berhubungan dengan kuadran

Keempat kuadran pada sistem koordinat Kartesius.
Tabel berikut menyajikan banyak sifat penting dari fungsi sinus (tanda fungsi, kemonotonan, dan kecekungan), disusun berdasarkan kuadran dari nilai argumen (sudut). Untuk argumen di luar tabel, informasi yang bersesuaian dapat diperoleh dengan menggunakan sifat periodik WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 dari fungsi sinus.

| Kuadran | Sudut | Sinus | Kosinus |
| --- | --- | --- | --- |
| Derajat | Radian | Tanda | Kemonotonan | Kecekungan | Tanda | Kemonotonan | Kecekungan |
| Kuadran I |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  | naik | konkaf |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  | turun | konkaf |
| Kuadran II |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  | turun | konkaf |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  | turun | konveks |
| Kuadran III |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  | turun | konveks |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  | naik | konveks |
| Kuadran IV |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  | naik | konveks |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_132  | naik | konkaf |

Kuadran-kuadran pada lingkaran satuan dan fungsi sin(*x*), menggunakan sistem koordinat Kartesius.
Tabel berikut menyajikan informasi dasar terkait nilai sinus dan kosinus pada batas selang kuadran.

| Derajat | Radian |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_134  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136  |
| --- | --- | --- | --- |
| Nilai | Jenis titik | Nilai | Jenis titik |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  | Akar, belok |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144  | Maksimum |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  | Maksimum |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  | Akar, belok |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  | Akar, belok |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  | Minimum |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  | Minimum |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  | Akar, belok |

## Definisi dengan deret

Fungsi sinus (biru) dapat dihampiri dengan baik dengan polinomial Taylor-nya yang berderajat 7 (merah muda) untuk nilai sudut di antara - WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 sampai WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 .
Animasi berikut menunjukkan efek menambahkan lebih banyak suku pada deret Taylor menyebabkannya menjadi lebih mirip dengan fungsi sinus.
Turunan secara terus-menerus dari fungsi sinus di 0 dapat digunakan untuk menentukan bentuk deret Taylor-nya. Dengan hanya menggunakan geometri dan sifat dari limit, dapat ditunjukkan bahwa turunan dari sinus adalah kosinus, dan turunan kosinus adalah negatif dari sinus. Hal ini mengartikan secara turunan dari sin(x) secara berurutan adalah cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), dan berulang lagi dari awal. Turunan ke-(4*n*+*k*), dievaluasi di titik 0 adalah:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
Dengan simbol pada tika atas (*superscript*) menyatakan turunan secara berulang. Hal ini dapat digunakan untuk menghitung ekspansi deret Taylor di titik x = 0 (dalam radian):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
Menghitung turunan untuk setiap suku menghasilkan deret Taylor untuk kosinus:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
### Bentuk pecahan berulang

Fungsi sinus dan kosinus dapat direpresentasikan dalam bentuk pecahan berulang yang diperumum, yang dapat dihasilkan dengan menggunakan rumus pecahan berulang Euler:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
## Hukum sinus

Hukum sinus menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi *a*, *b*, dan *c*, dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah *A*, *B*, dan *C*, berlaku: WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 Pernyataan di atas ekuivalen dengan persamaan berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
dengan *R* menyatakan radius dari lingkaran luar segitiga. Hal tersebut dapat ditunjukkan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi sinus.

Hukum sinus berguna untuk menghitung panjang sisi segitiga yang tidak diketahui, jika nilai dua sudut dan satu sisi diketahui. Hal ini umum terjadi ketika melakukan triangulasi, suatu teknik untuk menentukan panjang yang tidak diketahui dengan mengukur dua nilai sudut yang terpisah dalam jarak yang ditentukan sebelumnya.

## Hukum kosinus

Hukum kosinus menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi *a*, *b*, dan *c*, dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah *A*, *B*, dan *C*, berlaku: WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 Untuk kasus dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 , nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 dan hukum ini berubah menjadi teorema Pythagoras: Untuk segitiga siku-siku, berlaku hubungan WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 dengan *c* menyatakan panjang hipotenusa.

## Nilai-nilai spesial

Beberapa sudut yang umum (*θ*) tergambarkan pada lingkaran satuan. Sudut-sudut dinyatakan dalam satuan derajat dan radian, beserta titik-titik perpotongan di lingkaran satuan dengan koordinat (cos(*θ*), sin(*θ*)).
Untuk beberapa sudut *x* dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sin(*x*) dan cos(*x*) dapat dinyatakan dengan sederhana. Berikut adalah tabel beberapa nilai sudut dan fungsi tersebut:

| Sudut, *x* | sin(*x*) | cos(*x*) |
| --- | --- | --- |
| Derajat | Radians | Putaran | Eksak | Desimal | Eksak | Desimal |
| 0° | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 15° | 112π | 124 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  | 0.2588 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  | 0.9659 |
| 30° | 16π | 112 | 12 | 0.5 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  | 0.8660 |
| 45° | 14π | 18 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200  | 0.7071 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  | 0.7071 |
| 60° | 13π | 16 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204  | 0.8660 | 12 | 0.5 |
| 75° | 512π | 524 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  | 0.9659 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208  | 0.2588 |
| 90° | 12π | 14 | 1 | 1 | 0 | 0 |

## Titik tetap

Iterasi titik tetap *xn*+1 = cos(*xn*) dengan nilai awal *x*0 = -1 akan konvergen ke bilangan Dottie.
Nol adalah satu-satunya titik tetap real yang dimiliki fungsi sinus; dengan kata lain, perpotongan antara fungsi sinus dan fungsi identitas WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 hanya terjadi di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 . Satu-satunya titik tetap (real) dari fungsi kosinus adalah bilangan Dottie. Dengan kata lain, bilangan Dottie adalah akar real unik dari persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 Ekspansi desimal dari bilangan Dottie adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 .

## Panjang busur

Panjang busur dari kurva sinus di antara WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 , dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 menyatakan integral eliptik tak lengkap jenis kedua (*incomplete elliptic integral of the second kind*) dengan modulus WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 .

Panjang busur untuk satu periode penuh adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 menyatakan fungsi gamma. Solusi persamaan ini dapat dihitung dengan cepat menggunakan rataan arimetik-geometrik: WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 . Lebih lanjut, WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 sebenarnya adalah keliling dari elips dengan panjang sumbu semi-major sebesar WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 dan panjang sumbu semi-minor sebesar WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 .

Panjang busur dari kurva sinus dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 sampai WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 , ditambah suatu faktor koreksi yang bernilai periodik dalam WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 dan memiliki periode WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 . Deret Fourier dari faktor koreksi ini dapat dituliskan dalam bentuk tertutup dengan menggunakan sutu fungsi spesial. Panjang busur kurva sinus dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 sampai WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 menyatakan fungsi hipergeometrik. Suku-suku pada ekspresi di atas dapat diaproksimasi dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_258

## Hubungan dengan bilangan kompleks

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 secara berurutan adalah nilai dari bagian real dan bagian imajiner dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 .
Sinus dan kosinus digunakan untuk menggabungkan bagian real dan bagian imajiner dari suatu bilangan kompleks dengan bentuk koordinat polar (*r*, *φ*): WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 Bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut adalah: WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 dengan *r* dan *φ* menyatakan magnitudo dan sudut dari bilangan kompleks *z*.

Untuk sembarang bilangan real *θ*, rumus Euler menyatakan bahwa: WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 Dengan demikian, jika koordinat polar dari *z* adalah (*r*, *φ*), maka WIKINIUM\_MATH\_PH\_272

### Argumen kompleks

Pewarnaan domain dari fungsi sin(*z*) pada bidang kompleks. Tingkat kecerahan menyatakan magnitudo, sedangkan hue menyatakan argumen kompleks.
sin(*z*) sebagai suatu medan vektor.
Dengan menerapkan definisi deret dari fungsi sinus dan kosinus ke suatu argumen kompleks *z*, didapatkan hubungan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
dengan sinh dand cosh adalah sinus dan cosinus hiperbolik. Kedua fungsi ini merupakan fungsi entire.

Terkadang fungsi sinus dan kosinus kompleks lebih cocok dinyatakan dalam bentuk bagian real dan bagian imajiner. Pada kasus ini, persamaan-persamaan berikut dapat digunakan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276
### Grafik kompleks

**Fungsi sinus pada bidang kompleks**|  |  |  |
| komponen real | komponen imajiner | magnitudo |

**Fungsi arcsinus pada bidang kompleks**|  |  |  |
| komponen real | komponen imajiner | magnitudo |

## Sejarah

Quadrant from 1840s Ottoman Turkey with axes for looking up the sine and versine of angles
Walaupun ilmu trigonometri dapat dilacak jauh ke masa lalu, penggunaan fungsi trigonometri seperti yang digunakan saat ini dikembangkan pada zaman pertengahan. Fungsi busur ditemukan oleh Hipparchus dari Nicaea (180–125 SM) dan Ptolemy dari Mesir Romawi (90–165 M). Secara spesifik, lihat tabel busur Ptolemy.

Fungsi sinus dan versine (1 − kosinus) dapat dilacak ke fungsi *jyā* dan *koṭi-jyā* yang digunakan pada bidang astronomi India (*Aryabhatiya*, *Surya Siddhanta*) di masa kemaharajaan Gupta (320-550 M). Fungsi ini selanjutnya mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, dilanjutkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin.

Keenam fungsi trigonometrik yang digunakan saat ini sudah dikenal di masa matematika Islam pada abas ke-9, termasuk hukum sinus yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan segitiga. Dengan pengecualian sinus, kelima fungsi trigonometrik lain ditemukan oleh matematikawan Arab; yakni fungsi kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan. Al-Khwārizmī (sekitar 780–850) membentuk tabel nilai sinus, kosinus, dan tangen. Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) menemukan fungsi invers dari sekan dan kosekan, dan membentuk tabel kosekan pertama kalinya untuk setiap sudut dari 1° sampai 90°.

Publikasi pertama yang menggunakan singkatan 'sin', 'cos', dan 'tan' adalah oleh matematikawan Prancis Albert Girard; singkatan ini selanjutnya disebarluaskan oleh Euler (lihat bagian dibawah). Tulisan *Opus palatinum de triangulis* oleh Georg Joachim Rheticus, seorang siswa Copernicus, mungkin adalah yang pertama di Eropa, yang mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri langsung dari segitiga siku-siku ketimbang menggunakan lingkaran. Tulisan ini juga mengikutkan tabel nilai untuk keenam fungsi trigonometrik; tulisan ini diselesaikan oleh seorang siswanya, Valentin Otho, pada tahun 1596.

Dalam suatu makalah yang diterbitkan pada tahun 1682, Leibniz membuktikan bahwa sin *x* bukanlah suatu fungsi aljabar dari *x*. Roger Cotes menghitung turunan dari sinus dalam karyanya *Harmonia Mensurarum* (1722). Karya *Introductio in analysin infinitorum* (1748) oleh Leonhard Euler adalah yang paling signifikan di Eropa, dalam memberikan dasar analitik mengenai fungsi-fungsi trigonometrik. Dalam karya ini, fungsi-fungsi dinyatakan sebagai deret tak hingga, menyajikan "rumus Euler", dan penggunaan singkatan *sin., cos., tang., cot., sec.,* dan *cosec* yang mirip dengan penggunaan saat ini*.*

### Etimologi

Secara etimologi, kata *sinus* berasal dari kata Sanskerta untuk busur, *jiva*\* (*jya* adalah sinonim yang lebih populer). Kata ini mengalami transliterasi ke bahasa Arab sebagai *jiba* جيب, yang sebenarnya tidak memiliki arti dari bahasa Arab, dan disingkat sebagai *jb* جب . Karena bahasa Arab ditulis tanpa menggunakan vokal pendek, "jb" secara keliru diintepretasikan sebagai kata *jaib* جيب, yang berarti "dada". Ketika teks Arab diterjemahkan ke bahasa Latin oleh Gerard of Cremona pada abad ke-12, ia menggunakan kata yang setara untuk "dada", *sinus* (yang berarti "dada" atau "teluk" atau "lipatan"). Gerard mungkin bukan yang pertama kali menggunakan terjemahan ini; Robert dari Chester sepertinya terlebih dahulu melakukannya dan terdapat bukti penggunaan pada masa yang lebih lawas. Bentuk bahasa Inggris *sine* diperkenalkan pada tahun 1590-an. Kata "cosine" berasal dari singkatan bahasa Latin masa pertengahan untuk frasa "complementi sinus".

## Implementasi perangkat lunak

Tidak ada standardisasi algoritma untuk menghitung fungsi sinus dan kosinus. IEEE 754-2008, standar paling umum digunakan untuk komputasi titik-kambang (*floating-point*), tidak membahas cara menghitung fungsi trigonometri seperti sinus. Algoritma yang dikembangkan untuk menghitung sinus dapat disesuaikan dengan menimbang aspek kecepatan, akurasi, portabilitas, maupun jangkauan input yang dapat diproses. Hal ini menyebabkan munculnya banyak algoritma berbeda, khususnya untuk menyelesaikan kasus khusus seperti menghitung input yang sangat besar, seperti `sin(1022)`.

Optimisasi pemrograman yang umum, digunakan khususnya dalam grafik 3D, adalah dengan menghitung tabel nilai sinus terlebih dahulu, misalnya satu nilai untuk setiap derajat, lalu melakukan interpolasi linear dengan menggunakan dua nilai derajat yang paling dekat dengan nilai input. Hal ini memungkinkan hasil ditentukan dari pencarian tabel ketimbang melakukan perhitungan secara *real-time*. Namun pada arsitektur CPU modern, metode ini mungkin tidak memberikan keuntungan yang berarti. Beberapa arsitektur CPU memiliki instruksi dasar untuk menghitung sinus, contohnya Intel x87 FPUs since the 80387.

Fungsi sinus dan kosinus, beserta fungsi-fungsi trigonometrik lainnya, umum tersedia pada berbagai bahasa pemrograman dan platform. Dalam komputasi, mereka umumnya dikenal sebagai `sin` dan `cos`. Pada bahasa pemrograman, `sin` dan `cos` umumnya merupakan fungsi dasar (*built-in*) atau dapat dijumpai di pustaka matematika standar. Sebagai contoh, pustaka standar C mendefinisikan fungsi sinus di dalam pustaka `math.h` sebagai `sin(double)`, `sinf(float)`, dan `sinl(long double)`. Parameter untuk setiap fungsi ini adalah nilai titik-kambang, dalam satuan radian. Setiap fungsi akan menghasilkan tipe data yang sama dengan inputnya. Banyak fungsi trigonometrik lainnya juga didefinisikan di `math.h`, seperti kosinus, arcsinus, dan sinus hiperbolik (sinh). Mirip dengan itu, Python mendefinisikan `math.sin(x)` dan `math.cos(x)` yang termuat dalam modul `math`. Fungsi sinus dan kosinus kompleks tersedia dalam modul `cmath`, contohnya `cmath.sin(z)` .

### Implementasi berdasarkan satuan putaran

Beberapa pustaka perangkat lunak memiliki implementasi sinus dan kosinus menggunakan sudut yang dinyatakan dalam setengah-putaran; nilai dari setengah-putaran adalah sudut sebesar 180 derajat atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 radian. Menyatakan sudut dalam satuan putaran atau setengah-putaran memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi pada beberapa kasus. Pada MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA, dan ARM, fungsi-fungsi ini disebut dengan `sinpi` dan `cospi`. Sebagai contoh, `sinpi(x)` akan mengevaluasi nilai to WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 dengan *x* dinyatakan dalam satuan radian.

Keuntungan akurasi timbul dari kemampuan merepresentasikan sudut-sudut penting, seperti satu putaran penuh, setengah putaran, dan seperempat putaran, dengan sempurna (*losslessly*) dalam bentuk titik-kambang (*floating-point*) biner atau titik-tetap (*fixed-point*). Sebagai kontras, menyatakan WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 dalam bentuk titik-kambang biner akan selalu menyebabkan hilangnya akurasi akibat galat pemotongan. Satuan putaran juga memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi ketika menghitung modulo satu periode. Komputasi modulo 1 putaran atau modulo 2 setengah-putaran dapat dinyatakan dengan sempurna dan dihitung dengan efisien, baik dalam bentuk titik-kambang maupun titik-tetap. Sebagai contoh, komputasi modulo 1 atau modulo 2 untuk nilai biner dalam bentuk titik-tetap hanya memerlukan operasi penggeseran bit (*bit shift*) dan operator bit-demi-bit (*bitwise*) AND. Sebagai kontras, komputasi modulo WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 menghasilkan galat karena ketidakakuratan dalam merepresentasikan WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 .

Untuk aplikasi yang melibatkan sensor sudut, sensor umumnya menyajikan hasil pengukuran yang kompatibel dengan satuan putaran atau setengah-putaran. Sebagai contoh, suatu sensor sudut mungkin memberikan nilai 0 sampai 4096 ketika melakukan satu putaran penuh. Jika setengah-putaran digunakan sebagai satuan pengukuran sudut, maka nilai yang diberikan sensor dapat dipetakan dengan sempurna (*lossless*) ke tipe data titik-tetap dengan 11 bit dibelakang koma. Sebagai kontras, jika radian yang digunakan untuk menghitung sudut, ketidakakuratan sebesar WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 terjadi ketika nilai dari sensor diubah menjadi satuan radian.

## Bacaan lebih lanjut

* Kurnianingsih, Sri (2007). *Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA*. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-502-5.
* Traupman, Ph.D., John C. (1966), *The New College Latin & English Dictionary*, Toronto: Bantam, ISBN 0-553-27619-0
* *Webster's Seventh New Collegiate Dictionary*, Springfield: G. & C. Merriam Company, 1969

## Referensi