# Bola (geometri)

**| Bola |
| --- |
| Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola |
| Grup simetri |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Luas permukaan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |
| Volume |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |**

| Bola |
| --- |
| Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola |
| Grup simetri |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |
| Luas permukaan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  |
| Volume |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  |

**Bola** adalah objek geometri tiga dimensi yang serupa dengan objek melingkar dua dimensi, yaitu "lingkaran" adalah batas dari "cakram". Pada umumnya, bola didefinisikan sebagai himpunan titik yang memiliki jarak sama dari pusat bola ke permukaan bola. Jarak yang sama dalam bola bisa dikenal dengan jari-jari (radius) dan disimbolkan dengan huruf WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 . Ruas garis lurus terpanjang melalui bola, menghubungkan dua titik di permukaan bola, melewati pusat dan panjangnya dua kali jari-jari disebut sebagaidiameter.

Sementara di luar matematika istilah "bola" terkadang digunakan secara bergantian. Dalam matematika, perbedaan di atas dibuat dengan antara *bola* yang merupakan permukaan tertutup dua dimensi pembenaman dalam ruang Euklides tiga dimensi, dan *bola* yang merupakan bentuk tiga dimensi yang mencakup bola dan segala sesuatu *di dalam* bola (*bola tertutup*), atau, lebih sering, hanya titik *di dalam*, tetapi *bukan di* antara bola (*bola terbuka*). Ini sejalan dengan situasi dalam bidang, di mana istilah "lingkaran" dan "cakram" juga dapat dikacaukan.

Bola adalah objek fundamental dalam banyak bidang matematika. Bentuk bola yang hampir bulat juga muncul di alam dan industri. Gelembung seperti gelembung sabun berbentuk bola dalam keadaan seimbang. Bumi sering kali didekati sebagai bola dalam geografi, dan bola langit merupakan konsep penting dalam astronomi. Barang-barang yang diproduksi termasuk bejana tekan dan sebagian besar cermin dan lensa melengkung didasarkan pada bola. Bola menggelinding dengan mulus ke segala arah, sehingga sebagian besar bola yang digunakan dalam olahraga dan mainan berbentuk bola, begitu pula bantalan bola.

## Persamaan dalam tiga dimensi

Dua jari-jari ortogonal (tegak lurus) dari suatu bola
Dalam geometri analitik, bola dengan pusat WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 dan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 adalah lokus titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 sedemikian rupa sehingga

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Jika variabel WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 adalah bilangan real dengan nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 dan nilai titik tengah WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 didefinisikan sebagai:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Lalu persamaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 dan disebut persamaan **bola imajiner**. Jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , satu-satunya solusi WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 adalah titik tengah bolah WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 dan persamaannya disebut persamaan **titik bola**. Terakhir, dalam kasus WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 adalah persamaan bola yang pusatnya adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 dan yang radiusnya adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 .

Jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 dalam persamaan di atas adalah nol maka WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah bidang dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 dan pusat WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 dapat diparameterisasi via

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
Keliling WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung dari arah WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 positif melalui pusat ke vektor radius, dan keliling WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung dari arah WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada bidang  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_76* .

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , yang berjalan di bola selalu tegak lurus satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya. Karena lingkaran adalah jenis elips khusus, maka bola adalah jenis elips khusus revolusi. Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya, bentuknya menjadi spheroid prolate; jika diputar terhadap sumbu minor, bentuknya akan menjadi sebuah spheroid oblate.

## Rumus bola

### Luas permukaan

Luas permukaan pada bola yaitu.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area. Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 karena volume total di dalam bola jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 hingga jari jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 . Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap cangkang yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 , volume tambahan ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ) sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ) dan ketebalan cangkang ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
Dalam batas ketika ketebalan cangkang WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 mendekati nol persamaan ini menjadi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
Masukkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 (lihat bagian rumus volume bola):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
Mengambil turunan dari kedua sisi persamaan ini berdasarkan dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 akan menghasilkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 sebagai fungsi WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
di mana WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 . Dalam Koordinat Kartesius, elemen luas adalah

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu. Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut **luas permukaan spesifik** dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

### Volume

Volume pada bola yaitu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
Pada setiap WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 yang diberikan, volume tambahan ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 ) sama dengan produk dari luas penampang disk pada WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 dan ketebalannya ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 ):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
Dalam batas ketika WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 mendekati nol, persamaan ini menjadi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
Pada setiap WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 yang diberikan, segitiga siku-siku menghubungkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ke titik asal; karenanya, dengan menerapkan Teorema Pythagoras akan menghasilkan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
Menggunakan substitusi ini memberi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
begitu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 , di mana WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 . Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m3

## Kurva pada bola

Bagian bidang dari sebuah bola: 1 lingkaran
Perpotongan koaksial bola dan silinder: 2 lingkaran
### Lingkaran

* Perpotongan bola dan bidang adalah lingkaran, titik atau kosong.

Dalam kasus lingkaran, lingkaran tersebut dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 : lihat penampang bidang dari ellipsoid.

Namun permukaan yang lebih rumit juga dapat memotong sebuah bola dalam lingkaran:

* Perpotongan bola yang tidak kosong dengan permukaan revolusi, porosnya berisi pusat bola yaitu *koaksial* yang terdiri dari lingkaran dan/atau titik.

Diagram menunjukkan kasus, di mana perpotongan tabung dan bola terdiri dari dua lingkaran. Jika jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, perpotongannya menjadi satu lingkaran, di mana kedua permukaan bersinggungan.

Dalam kasus sferoid dengan pusat dan sumbu utama yang sama dengan bola, persimpangan akan terdiri dari dua titik (simpul), di mana permukaannya bersinggungan.

### Kurva Clelia

spiral bulat dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
Jika bola dijelaskan dengan wakilan parametrik

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
maka akan mendapat kurva Clelia, jika sudut-sudutnya dihubungkan dengan persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_184

Kasus khususnya adalah: kurva Viviani ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 ) dan spiral bola ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 ), sebagai contohnya spiral Seiffert.

### Loksodrom

Loxodrome
Dalam navigasi, **loksodrom** adalah busur yang melintasi semua meridian dari garis bujur pada sudut yang sama. Garis Rhumb bukanlah spiral bola. Tidak ada hubungan sederhana antara sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 .

### Persimpangan bola dengan permukaan yang umum

Tabung bola persimpangan umum
Jika sebuah bola berpotongan dengan permukaan lain, mungkin ada kurva bola yang lebih rumit.

Contohbola-tabung
Perpotongan bola dengan persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 dan tabung dengan persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 bukan hanya satu atau dua lingkaran. Ini adalah solusi dari sistem persamaan non linear

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
lihat kurva implisit dan diagram

## Sifat geometris

Bola secara unik ditentukan oleh empat titik yang bukan koplanar. Secara lebih umum, bola secara unik ditentukan oleh empat kondisi seperti melewati suatu titik, bersinggungan dengan bidang, dan lain-lain. Sifat ini analog dengan properti bahwa tiga titik non-kollinear menentukan lingkaran unik dalam sebuah bidang.

Maka, sebuah bola unik ditentukan oleh sebuah lingkaran dan sebuah titik yang tidak berada di bidang lingkaran itu.

Dengan memeriksa solusi umum dari persamaan dua bola, dapat dilihat bahwa dua bola berpotongan dalam satu lingkaran dan bidang yang mengandung lingkaran itu disebut **bidang radikal** dari bola berpotongan. Meskipun bidang radikal adalah bidang riil, lingkaran mungkin imajiner yaitu bola tidak memiliki titik yang sama atau terdiri dari satu titik sebagai bola bersinggungan pada titik itu.

Sudut antara dua bola pada titik perpotongan sebenarnya adalah sudut dihedral yang ditentukan oleh bidang bersinggungan dengan bola pada titik tersebut. Dua bola berpotongan pada sudut yang sama di semua titik perpotongan lingkaran. Potongan pada sudut siku-siku adalah ortogonal jika dan hanya jika kuadrat jarak antara pusatnya sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya.

### Pensil bola

Jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 adalah persamaan dari dua bidang yang berbeda

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206
juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 . Himpunan semua bola memenuhi persamaan ini disebut **pensil bola** yang ditentukan oleh dua bola asli. Dalam definisi ini bola dijadikan menjadi bidang (jari-jari tak hingga, berpusat pada tak hingga) dan jika kedua bola asli adalah bidang maka semua bidang pensil adalah bidang, jika tidak, hanya ada satu bidang (bidang akar) dalam pensil.

## Generalisasi

### Dimensi

Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah dimensi berapa pun. Untuk bilangan asli WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 , sebuah " WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 -bola," sering kali ditulis sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 , adalah titik himpunan dalam (dimensi-( WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 )). Ruang Euklides yang berada pada jarak tetap WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 dari titik pusat ruang itu, di mana WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 , seperti sebelumnya, adalah bilangan riil positif. Khususnya:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 : bola 0 adalah sepasang titik akhir dari sebuah interval WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 dari garis sebenarnya
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 : 1 bola adalah lingkaran dengan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_230
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 : 2-bola adalah bola biasa
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 : 3-bola adalah bola dalam ruang Euclidean 4-dimensi.

Bola untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 terkadang disebut hiperbola.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 -bola dengan radius unit yang berpusat di titik asal dilambangkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 dan sering disebut sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 -bola. Perhatikan bahwa bola biasa adalah bola 2, karena permukaannya 2 dimensi yang tertanam dalam ruang 3 dimensi.

Luas permukaan unit ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 )-bola adalah

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
di mana WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 adalah fungsi gamma Euler.

Ekspresi lain untuk luas permukaan adalah

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250
dan volume adalah kali luas permukaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 atau

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
Rumus rekursif umum juga ada untuk volume dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 -bola.

### Ruang metrik

Secara lebih umum, dalam ruang metrik WIKINIUM\_MATH\_PH\_257 , bola pusat WIKINIUM\_MATH\_PH\_259 dan jari-jari WIKINIUM\_MATH\_PH\_261 adalah titik himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_263 sedemikian rupa maka WIKINIUM\_MATH\_PH\_265 .

Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_267 , seperti dalam ruang norma, itu tidak disebutkan dalam definisi dan notasi. Hal yang sama berlaku untuk jari-jari jika dianggap sama dengan satu, seperti dalam kasus bola unit.

Tidak dengan bola, bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam WIKINIUM\_MATH\_PH\_269 dengan metrik Eullides, radius radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_271 tidak kosong hanya jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_273 bisa ditulis sebagai jumlah dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_275 kuadrat dari bilangan bulat.

## Geometri bola

Lingkaran besar pada bola
Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis. Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik, yang merupakan lingkaran besar; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik, termasuk postulat paralel. Dalam trigonometri bola, sudut didefinisikan antara lingkaran besar. Trigonometri bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

## Lokus jumlah konstan

Lokus titik dalam ruang sedemikian rupa sehingga jumlah ke WIKINIUM\_MATH\_PH\_277 pangkat jarak WIKINIUM\_MATH\_PH\_279 ke simpul dari padatan Platonis WIKINIUM\_MATH\_PH\_281 dengan sirkumradius WIKINIUM\_MATH\_PH\_283 konstan adalah sebuah bola, jika

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_285 ,
yang pusatnya berada di pusat WIKINIUM\_MATH\_PH\_287 .

Nilai dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_289 bergantung pada jumlah simpul WIKINIUM\_MATH\_PH\_291 dari padatan Platonis dan sama:

**•** WIKINIUM\_MATH\_PH\_293 untuk tetrahedron reguler,

**•** WIKINIUM\_MATH\_PH\_295 untuk oktahedron dan kubus,

**•** WIKINIUM\_MATH\_PH\_297 untuk ikosahedron dan dodekahedron.

## Gambar

* Gambar salah satu bola buatan manusia yang paling akurat, karena membiaskan gambar Einstein di latar belakang. Bola ini adalah kuarsa leburan giroskop untuk percobaan Gravity Probe B, dan berbeda dalam bentuk dari bola sempurna dengan ketebalan tidak lebih dari 40 atom (kurang dari 10 nm). Diumumkan pada tanggal 1 Juli 2008 bahwa ilmuwan asal Australia telah menciptakan bidang yang lebih mendekati sempurna, akurat hingga 0,3 nm, sebagai bagian dari perburuan internasional untuk menemukan standar global baru kilogram.

## Bagian

* Tutup bola
* Poligon bola
* Sektor bola
* Segmen Bulat
* Baji bulat
* Zona bola

## Lihat pula

* Tribola
* Bola Affin
* Bola bertanduk Alexander
* Bola kelestial
* Kubus
* Lengkungan
* Statistik arah
* Lengkungan puncak (matematika)
* Bola Dyson
* Tangan dengan bola refleksi, M.C. Escher gambar potret diri yang menggambarkan refleksi dan sifat optik bola cermin
* Bola Hoberman
* Bola homologi
* Grup bola homotopi
* Hiperbola
* Bola Lenart
* Masalah cincin serbet
* Orb (optik)
* Pseudobola
* Bola Riemann
* Sudut padat
* Pengepakan bola
* Koordinat bola
* Bola bumi
* Heliks bola, indikator tangen dari kurva presesi konstan
* Kebulatan
* Teorema bola tenis
* Bola Zoll
* Frustum bola

## Catatan dan referensi

### Catatan

Bagian ini kosong

### Referensi

### Bacaan lebih lanjut

* Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], *Solid Analytic Geometry*, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
* Dunham, William (1997). *The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities*. New York. hlm. 28, 226. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9.   Pemeliharaan CS1: Lokasi tanpa penerbit (link)
* Kreyszig, Erwin (1972), *Advanced Engineering Mathematics* (Edisi 3rd), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4.
* Steinhaus, H. (1969), *Mathematical Snapshots* (Edisi Third American), Oxford University Press.
* Woods, Frederick S. (1961) [1922], *Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry*, Dover.

## Pranala luar

* Sphere (PlanetMath.org website)
* (Inggris)  WIKINIUM\_MATH\_PH\_300
* Mathematica/Uniform Spherical Distribution
* *Outside In*. 14 November 2007. Diarsipkan dari asli tanggal 1 September 2007. Diakses tanggal 24 November 2007.    (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
* Program in C++ to draw a sphere using parametric equation
* Surface area of sphere proof.