# Gabungan (teori himpunan)

Gabungan dari dua himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 Dalam teori himpunan, **gabungan** (bahasa Inggris: *union*code: en is deprecated ) dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

## Gabungan dari dua himpunan

Gabungan dari himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 adalah himpunan anggota yang berada di WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan. WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 Sebagai contoh, jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , maka WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 . Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 dan juga himpunan dari bilangan genap WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 adalah WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak memengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

## Sifat aljabar

Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , berlaku WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 . Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , untuk setiap himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 . Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 dan gabungan distribusi atas irisan WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 Himpunan kuasa dari himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen. WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .

## Gabungan terhingga

Gabungan dari tiga himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 mengandung semua anggota dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , semua anggota dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , dan semua anggota dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , dan tidak ada lagi. Dengan demikian, WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 adalah anggota dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 jika dan hanya jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 setidaknya ada di dalam salah satu himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 .

**Gabungan terhingga** adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.

## Gabungan sebarang

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut *gabungan tak terhingga*. Jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 adalah gabungan dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 sehingga WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 anggota dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 . Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 adalah gabungan dari koleksi WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 . Juga, jika WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 adalah koleksi kosong, maka gabungan dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 adalah himpunan kosong

### Notasi

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 , acapkali ditulis sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 , atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , yang mengacu pada gabungan dari koleksi WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 , dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 adalah himpunan indeks, dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 adalah himpunan untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 . Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.

## Lihat pula

* Aljabar dari himpunan
* Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
* Aksioma dari gabungan
* Gabungan penguraian
* Irisan (teori himpunan)
* Operasi biner berulang
* Teori himpunan naif
* Beda setangkup

## Catatan

## Pranala luar

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Union of sets", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Infinite Union and Intersection at ProvenMath Diarsipkan 2023-01-07 di Wayback Machine. De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.