# Bilangan tingkat

Representasi bilangan ordinal sampai ωω. Tiap putaran spiral mewakili satu pangkat ω
**Bilangan tingkat** atau **bilangan ordinal** dalam teori himpunan adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan bilangan asli, berbeda dengan bilangan bulat dan dengan bilangan kardinal. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

Bilangan tingkat diperkenalkan oleh Georg Cantor pada tahun 1883 untuk mengakomodasi urutan tak terhingga dan untuk menggolongkan himpunan turunan, yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan deret trigonometri.

Contoh:

* Himpunan bilangan tingkat kurang dari 3 adalah 3 = (0, 1, 2}, bilangan tingkat terkecil tidak kurang dari 3.
* Himpunan bilangan tingkat terhingga adalah tak terhingga, bilangan ordinal tak terhingga terkecil: ω.
* Himpunan bilangan tingkat terhitung adalah tak terhitung, bilangan tingkat tak terhitung terkecil: ω1.

## Lihat pula

* Bilangan kardinal

## Referensi

## Pustaka

* Cantor, G., (1897), *Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II* (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 English translation.
* Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In *The Book of Numbers*. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
* Dauben, Joseph Warren, (1990), Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Chapter 5: The Mathematics of Cantor's *Grundlagen*. ISBN 0-691-02447-2
* Hamilton, A. G. (1982), *Numbers, Sets, and Axioms : the Apparatus of Mathematics*, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5 See Ch. 6, "Ordinal and cardinal numbers"
* Kanamori, A., *Set Theory from Cantor to Cohen*, to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), *The Handbook of the Philosophy of Science*, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
* Levy, A. (1979), *Basic Set Theory*, Berlin, New York: Springer-Verlag Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
* Jech, Thomas (2003), *Set Theory*, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
* Sierpiński, W. (1965). *Cardinal and Ordinal Numbers* (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
* Suppes, P. (1960), *Axiomatic Set Theory*, D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
* von Neumann, Johann (1923), "Zur Einführung der trasfiniten Zahlen", *Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum*, **1**: 199–208, diarsipkan dari asli tanggal 2014-12-18, diakses tanggal 2014-12-18
* von Neumann, John (January 2002) [1923], "On the introduction of transfinite numbers", dalam Jean van Heijenoort (ed.), *From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931* (Edisi 3rd), Harvard University Press, hlm. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 - English translation of von Neumann 1923.

## Pranala luar

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Ordinal number", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* (Inggris)  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
* Ordinals at ProvenMath
* Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
* Ordinal calculator Diarsipkan 2015-02-06 di Wayback Machine. GPL'd free software for computing with ordinals and ordinal notations