# Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները.      սինուս     կոսինուս      տանգենս      կոտանգենս      սեկանս      կոսեկանս
**Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ**, տարրական ֆունկցիաներ, որոնք պատմականորեն առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյունների ուսումնասիրման ժամանակ և արտահայտել են եռանկյան էջերի կախվածությունը սուր անկյուններից և ներքնաձիգից։ Այս ֆունկցիաները լայն տարածում են գտել գիտության ամենատարբեր բնագավառներում, ինչի արդյունքում ընդլայնվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը։ Այժմ արգումենտը կարող է լինել ինչպես կամայական իրական թիվ, այնպես էլ կոմպլեքս թիվ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ուսումնասիրող գիտությունը կոչվում է եռանկյունաչափություն։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ են համարվում՝

ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
* սինուս (ծոց) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 )
* կոսինուս (համածոց) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 )

ածանցյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
* տանգենս (շոշափող) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 )
* կոտանգենս (շոշափողակից) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 )

այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
* սեկանս (հատանող) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 )
* կոսեկանս (համհատանող) ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 )

Արևմտյան գրականություն մեջ տանգենսը, կոտանգենսը և կոսեկանսը հաճախ նշանակում են WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ։

Բացի այս վեց ֆունկցիաներից, գոյություն ունեն նաև հազվադեպ օգտագործվող եռանկյունաչափական որոշ ֆունկցիաներ (վերսինուս և այլն), ինչպես նաև հակառակ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (արկսինուս, արկկոսինուս և այլն)։

Իրական արգումենտի սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները պարբերական, անընդհատ և անվերջ դիֆերենցելի իրական ֆունկցիաներ են։ Մյուս չորս ֆունկցիաներն իրական առանցքի վրա նույնպես իրական են, պարբերական են և անվերջ դիֆերենցելի են որոշման տիրույթում, բայց անընդհատ չեն։ Տանգենսը և սեկանսն ունեն երկրորդ կարգի խզումներ WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 կետերում, իսկ կոտանգենսը և կոսեկանսը՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 կետերում։

## Անվանումների պատմություն

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը որպես մաթեմատիկական դիսցիպլին ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը իր 1595 թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» (լատիներեն՝ Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus) գրքում։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները
։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» (լատիներեն՝ sinus complementi), քանի որ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ; նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցոին ու դարձրին *co-sinus* (Էդմունդ Հունթեր), իսկ ավելի ուշ՝ *cos* (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը (անգլ.՝ Thomas Fincke), իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծել է կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» (1770) աշխատությունում։

*Տանգենս* և *սեկանս* տերմիններն առաջին անգամ օգտագործել է դանիացի մաթեմատիկոս Տոմաս Ֆինկեն իր «Կլորի երկրաչափություն» գրքում (Geometria rotundi, 1583)։

## Ներկայացման մեթոդները

### Երկրաչափական մեթոդ

Նկ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը
Նկ. 2 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, R=1
Սովորաբար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացվում են երկրաչափորեն։ Դիցուք, հարթության վրա մեզ տրված է դեկարտյան կոորդինատական համակարգը, և կառուցված է WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 շառավղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 սկզբնակետում։ Չափենք անկյունները որպես աբսցիսների առանցքի դրական ուղղությամբ պտույտներ մինչև WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ճառագայթը։ Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությունը համարվում է դրական, իսկ ժամացույցի սլաքինը՝ բացասական։ WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 կետի աբսցիսը նշանակենք WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , իսկ օրդինատը նշանակենք WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (տես Նկ. 1)։

* Սինուս կոչվում է հետևյալ հարաբերությունը՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
* Կոսինուս կոչվում հետևյալ հարաբերությունը՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
* տանգենսը որոշվում է՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
* Կոտանգենսը որոշվում է՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
* Սեկանսը որոշվում է՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
* Կոսեկանսը որոշվում է՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

Ակնհայտ է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը կախված չէ շրջանագծի WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 շառավղի մեծությունից, համաձայն նման պատկերների հատկությունների։ Հաճախ այդ շառավղի արժեքը ընդունում են հավաար միավոր հատվածի մեծությանը։ Այս դեպքում սինուսի արժեքը ուղղակի հավասար է WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 օրդինատին, իսկ կոսինուսը՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 աբսցիսը։ Նկար 2-ում ցույց է տրված միավոր շառավիղ ունեցող եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները։

Եթե WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 -ն իրական թիվ է, ապա WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 -ի սինուսը մաթեմատիկական անալիզում կոչվում է անկյան սինուս, որի ռադիանային մեծությունը հավասար է WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 -ի, նման ձևով նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար։

### Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը սուր անկյան մեթոդով

Նկ. 3 Եռանյունաչափական ֆունկցիայի հաշվում սուր անկյունով
Բոլոր տարրական երկրաչափության դասագրքերում մինչ օրս սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան հաշվվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունը։
Դիցուք WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 -ն ուղղանկյուն եռանկյուն է WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 անկյունով (տես Նկ. 3)։ Այդ դեպքում՝

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 անկյան սինուսը կոչվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 անկյան կոսինուսը կոչվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 անկյան տանգենս կոչվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին)։
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 անկյան կոտանգենս կոչվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը դիմացի էջին)։
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 անկյան սեկանս կոչվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը կից էջին)։
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 անկյան կոսեկանս կոչվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը դիմացի էջին)։

Կառուցելով WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 կենտրոնով կոորդինատային հարթություն (աբցիսների առանցքը WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 -ի ուղղությամբ), անհրաժեշտության դեպքում տեղափոխելով (շրջելով) եռանկյունը, այնպես որ այն հայտնվի հարթության առաջին քառորդում, կառուցելով շրջանագիծ ներքնաձիգին հավասար շառավիղով, միանգամից տեսնում ենք, որ ֆունկցիայի այս սահմանումը բերում է նույն արդյունքին ինչ որ նախորդը։

Տվյալ սահմանումն ունի որոշակի մեթոդական առավելություն, քանի որ չի պահանջում կոորդինատային համակարգի օգտագործումը, սակայն ունի նաև թերություն՝ հնարավոր չէ որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաները նույնիսկ այն բութ անկյունների համար, որոնք անհրաժեշտ է իմանալ պարզ երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։ (տես. Սինուսների թեորեմ, կոսինուսների թեորեմ)

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 պարբերական են սինուսի, կոսինուսի, սեկանսի և կոսեկանսի դեպքում, և WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 պարբերական՝ տանգենսի և կոտանգենսի դեպքում։

Յուրաքանչյուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիա կարելի է բերել սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի՝ օգտագործելով նրանց պարբերականություն ու բերման բանաձևերը։

## Ֆունկցիաների հետազոտումը մաթեմատիկական անալիզում

### Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը որպես դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

Կոսինուս և սինուս ֆունկցիաները կարելի է որոշել որպես

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
դիֆերենցիալ հավասարման զույգ (կոսինուս) և կենտ (սինուս) լուծումներ՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 (կոսինուսի համար) և WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 (սինուսի համար) լրացուցիչ պայմաններով, այսինքն՝ որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, որի երկրորդ ածանցյալը հավասար է հենց ֆունկցիային՝ մինուս նշանով․

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
### Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը որպես ֆունկցիոնալ հավասարումների լուծումներ

**Կոսինուս** և **սինուս** ֆունկցիաները կարելի է որոշել որպես

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
ֆունկցիոնալ հավասարումների համակարգի լուծումներ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 համապատասխանաբար)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 և WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 լրացուցիչ պայմանների դեպքում։
### Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումը շարքերի միջոցով

Օգտագործելով երկրաչափությունն ու սահմանների հատկությունները՝ կարելի է ապացուցել, որ սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսի, իսկ կոսինուսի ածանցյալը հավասար է մինուս սինուսի։ Այդ ժամանակ կարելի է օգտվել Թեյլորի շարքերի տեսությունից՝ սինուսն ու կոսինուսը ներկայացնել աստիճանային շարքերի տեսքով.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
Օգտվելով այս բանաձևերից և WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 հավասարումներից, կարելի է գտնել նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերլուծությունը շարքի տեսքով.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
### Ածանցյալներ և ինտեգրալներ

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները անընդհատ և անսահմանափակ ածանցելի են իրենց որոշման ամբողջ տիրույթում։

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները որոշման տիրույթում արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով հետևյալ կերպ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
## Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններ

### Պարզագույն նույնություններ

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կետի սինուսը և կոսինուսը հանդիսանում են համապատասխանաբար WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 անկյան օրդինատը և աբսցիսը, հետևաբար, համաձայն Պյութագորասի թեորեմի ունենք՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
Այս արտահայտությունը կոչվում է **հիմնական եռանկյունաչափական նույնություն**։
Բաժանելով այս հավասարման աջ և ձախ մասերը սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների վրա՝ արդյունքում կստանանք

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
### Զույգություն

Կոսինուս և սեկանս ֆունկցիաները զույգ են, իսկ մյուս ֆունկցիաները՝ կենտ, այսինքն՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
### Անընդհատություն

Սինուսը և կոսինուսը անընդհատ ֆունկցիաներ են։ Մյուս ֆունկցիաները անընդհատ չեն։ Տանգենսի և սեկանսի խզման կետերն են WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 , իսկ կոտանգենսի և կոսեկանսի խզման կետերն են WIKINIUM\_MATH\_PH\_184

### Պարբերականություն

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 ֆունկցիաները պարբերական են WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 պարբերությամբ, իսկ WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 և WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 ֆունկցիաները՝ WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 պարբերությամբ։

### Բերման բանաձևեր

Բերման բանաձևեր են կոչվում հետևյալ տեսքի բանաձևերը՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
Այստեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 ` ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա, WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 ` նրան համապատասխան կոֆունկցիա (այսինքն սինուսի համար կոսինուս, կոսինուսի համար սինուս, տանգենսի համար կոտանգենս, կոտանգենսի համար տանգենս, սեկանսի համար կոսեկանս, կոսեկանսի համար սեկանս), WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 ` ամբողջ թիվ է։ Ստացված ֆունկցիայի դիմաց դրվում է այն նշանը, որը ընդունում է ելման ֆունկցիան տրված կոորդիանատային հարթության քարորդում, այն պայմանով, որ WIKINIUM\_MATH\_PH\_209 անկյունը միշտ սուր է, օրինակ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 նույնն է ինչ` WIKINIUM\_MATH\_PH\_212

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_214  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_224  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_250  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_252  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_256  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_260  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_262  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_264  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_266  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_268  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_272  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_274  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_276  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_278  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_280  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_282  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_284  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_286  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_288  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_290  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_292  |

### Անկյունների գումարի բանաձևեր

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_300
Նույն ձևով երեք անկյունների գումարի բանաձևերը ունեն այսպիսի տեսք՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304
### Բանաձևեր բազմապատիկ անկյունների համար

**Կրկնակի անկյան բանաձևերը՝**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_308
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_312
**Եռակի անկյան բանաձևերը**՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_314
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_316
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_318
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_320
Այլ բանաձևեր բազմապատիկ անկյունների համար.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_324
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_326
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_328
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_330
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_332
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_336
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 հետևում է Գաուսի բանաձևից։
Մուվրի բանաձևից կարելի է ստանալ բազմապատիկ անկյունների արտահայտման հետևյալ ընդհանուր տեսքը.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_340
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_342
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_344
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_346
որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 ` WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 թվի ամբողջ մաս, WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 ` երկանդամային գործակից։

**Կես անկյան բանաձևեր**`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_354
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_356
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_358
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_360
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_362
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_364
### Արտադրյալի բանաձևեր

Բանաձևեր երկու անկյունների արտադրյալների համար.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_366
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_368
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_374
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_376
Նպատատիպ բանաձևեր երեք անկյունների սինուսների և կոսինուսների արտադրյալների համար.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_378
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_382
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_384
### Աստիճանների բանաձևեր

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_386  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_388  |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_390  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_392  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_394  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_396  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_398  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_400  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_402  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_404  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_406  |

### Ֆունկցիաների գումարի բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_408
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_412
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_414
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_416
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_418
Գոյություն ունի ներկայացում.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_420
որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_422 անկյունը ստացվում է հետևյալ հարաբերությունից.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_424
### Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտումը տանգենսով

Յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիա կարելի է ներկայացնել կես անկյան տանգենսի միջոցով.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_426

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_428

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_430

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_432

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_434

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_436

## Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ կոմպլեքս արգումենտով

### Սահմանում

**Էյլերի բանաձև** ՝
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_438

Հնարավորություն է տալիս որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիան կոմպլեքս արգումենտով աստիճանի միջոցով (շարքերի օգնությամբ) կամ նրանց իրական անալոգների անալիտիկ շարունակությամբ՝

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_440
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_442
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_444
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_446
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_448
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_450 որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_452
Համապատասխանաբար, իրական WIKINIUM\_MATH\_PH\_454 -ի համար.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_456
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_458
Կոմպլեքս սինուսը և կոսինուսը սերտ փոխկապակցված են հիպերբոլական ֆունկցիաների հետ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_460
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_462
Թվարկված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները հիմնականում պահպանվում են նաև կոմպեքսի դեպքում։ Որոշ լրացուցիչ հատկություններ՝

* կոմպլեքս սինուսը և կոսինուսը, ի տարբերություն իրականների, կարող են ընդունել որքան հնարավոր է շատ մոդուլով արժեքներ,
* կոմպլեքս սինուսի և կոսինուսի բոլոր զրոները գտնվում են իրական առանցքի վրա։

### Կոմպլեքս գրաֆիկներ

Հետևյալ գրաֆիկներում պատկերված է կոմպլեքս հարթություն, իսկ ֆունկցիաների արժեքները առանձնացված են գույներով։ Պայծառությունն արտացոլում է բացարձակ արժեքը (սև՝ զրո)։ Գույնը փոխվում է համաձայն քարտեզի։

**Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոմպլեքս հարթության վրա**|  |  |  |  |  |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_464  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_466  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_468  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_470  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_472  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_474  |

## Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար

Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս, սեկանս և կոսեկանսի արժեքները որոշ անկյուների համար բերված են աղյուսակում ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_476 - նշանակում է, որ ֆունկցիան նշված կետում որոշված չէ, իսկ նրա շրջակայքում ձգտում է անվերջության)։

 Նկ. 4 Կոսինուսի և սինուսի արժեքները շրջանագծի վրա

| Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար /Աղյուսակ 1/ |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_478  | 0°(0 ռադ) | 30° ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_480 /6) | 45° ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_482 /4) | 60° ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_484 /3) | 90° ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_486 /2) | 180° ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_488 ) | 270° (3 WIKINIUM\_MATH\_PH\_490 /2) | 360° (2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_492 ) |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_494  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_496  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_498  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_500  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_502  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_504  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_506  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_508  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_510  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_512  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_514  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_516  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_518  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_520  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_522  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_524  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_526  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_528  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_530  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_532  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_534  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_536  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_538  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_540  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_542  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_544  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_546  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_548  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_550  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_552  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_554  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_556  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_558  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_560  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_562  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_564  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_566  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_568  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_570  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_572  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_574  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_576  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_578  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_580  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_582  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_584  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_586  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_588  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_590  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_592  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_594  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_596  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_598  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_600  |

### Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչ ստանդարտ անկյունների համար

| Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 2/ |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_602  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_604  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_606  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_608  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_610  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_612  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_614  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_616  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_618  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_620  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_622  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_624  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_626  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_628  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_630  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_632  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_634  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_636  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_638  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_640  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_642  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_644  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_646  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_648  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_650  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_652  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_654  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_656  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_658  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_660  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_662  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_664  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_666  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_668  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_670  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_672  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_674  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_676  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_678  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_680  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_682  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_684  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_686  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_688  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_690  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_692  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_694  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_696  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_698  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_700  |

| Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչ ստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 3/ |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_702  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_704  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_706  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_708  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_710  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_712  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_714  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_716  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_718  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_720  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_722  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_724  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_726  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_728  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_730  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_732  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_734  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_736  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_738  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_740  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_742  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_744  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_746  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_748  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_750  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_752  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_754  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_756  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_758  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_760  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_762  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_764  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_766  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_768  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_770  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_772  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_774  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_776  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_778  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_780  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_782  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_784  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_786  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_788  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_790  |

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ուրիշ անկյունների համար  [ցույց տալ]

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_792

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_794

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_796

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_798

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_800

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_802

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_804

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_806

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_808

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_810

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_812

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_814

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_816

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_818

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_820

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_822

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_824

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_826

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_828

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_830

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_832

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_834

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_836

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_838

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_840

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_842

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_844

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_846

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_848

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_850

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_852

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_854

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_856

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_858

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_860

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_862

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_864

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_866

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_868

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_870

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_872

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_874 WIKINIUM\_MATH\_PH\_876

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_878

## Տես նաև

* Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
* Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
* Եռանկյունների լուծում

## Գրականություն

* *Бермант А. Ф. Люстерник Л. А*. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
* «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204-206.
* *Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.* Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
* *Выгодский, Марк Яковлевич* Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
	+ Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
* *Двайт Г. Б.* {{{заглавие}}}.
* *Кожеуров П. А*. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
* *Маркушевич А. И*. Замечательь=Тригонометрические функции|заглавие=Таблицы интегралов и другие математические формулы|издание=4-е изд|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страные синусы. — М.: Наука, 1974.
* Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — Т. 5. — с. 436.
* Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика/ Ред. коллегия, *Гнеденко Б.В*. (гл. ред.), *Савин А.П*. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299–301–305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. 342 Արխիվացված 2018-02-07 Wayback Machine, 343 Արխիվացված 2018-02-07 Wayback Machine — таблицы тригонометрических функций 0°–90°, в т.ч. в радианах)
* Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А.Г., под ред. Степанова С.А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240–258. — 480 с.

## Ծանոթագրություններ

## Արտաքին հղումներ

* GonioLab Արխիվացված 2007-10-06 Wayback Machine — Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (Java Web Start)
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_880
* Օնլայն հաշվիչ։ եռանկյունաչափական ֆունկցղիաների հաշվարկներ
* Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ Արխիվացված 2019-08-07 Wayback Machine
* Եռանկյունաչափական աղյուսակներ (0° — 360°)
* «Սինուս և կոսինուս» Արխիվացված 2016-01-29 Wayback Machine — How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (անգլ.)

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 520)։*  |