# Գամմա ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

**Գամմա-ֆունկցիա**-մաթեմատիկական ֆունկցիա է,սովորաբար նշանակվում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 : Ներմուծվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, իսկ իր գամմա-ֆունկցիայի նշանակությամբ պարտական ենք Ադրիեն-Մարի Լեժանդրին։

Գամմա-ֆունկցիայի գրաֆիիկը իրական փոփոխականով
Գամմա-ֆունկցիան չափազանց մեծ կիրառություն ունի գիտության մեջ։ Հիմնական լայն կիրառության ոլորտներն են մաթեմատիկական անալիզ,հավանականությունների տեսություն, կոմբինատորիկա, վիճակագրություն, ատոմային ֆիզիկա, աստղաֆիզիկա, հիդրոդինամիկա, երկրաշարժագիտություն և տնտեսություն։ Մասնավորապես, գամմա-ֆունկցիան կիրառվում է ֆակտորիալ հասկացությունն ընդհանրացնելու իրական թվեր և կոմպլեքս թվեր փաստարկային արժեքների հետ։

## Սահմանումներ

### Ինտեգրալի սահմանումը

Եթե կոմպլեքս WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 թվի իրական մասը դրական է, ապա գամմա-ֆունկցիան որոշվում է բացարձակ համընկնող ինտեգրալի միջոցով։

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Այս սահմանումը Լեժանդրը ստացել է Էյլերի սահմանումի բնօրինակից (1730 թվական)։

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 փոփոխականի փոխարինման միջոցով, և մինչև օրս հենց Լեժանդրի այս սահմանումն է հայտնի որպես գամմա-ֆունկցիայի դասական սահմանում։ Դասական սահմանման կտորը մաս առ մաս ինտեգրելով ՝ կարելի է հեշտությամբ տեսնել, որ WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 .
Գամմա ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվարկի համար ավելի հարմար է երրորդ բանաձևը, որը նույնպես ստացել ենք Էյուլերի սահմանումից ՝ կիրառելով հետևյալ հավասարությունը WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 և փոխելով փոփոխականը WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .
Այս բանաձևի ինտեգրալը համընկնում է WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 -ի դեպքում, չնայած այն սովորաբար օգտագործվում է դրական իրական արժեքների արգումենտի համար
(նախընտրելի արժեքները 1-ին մոտ են)։ Իրական WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 արժեքների դեպքում ինտեգրվելի ֆունկցիան ունի եզակի հատուկ կետ` WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 հատում առաջացնող, և եթե վերափոխեք այն այս պահին WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 արժեքով, ապա կդառնա անընդհատ WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ամբողջ հատվածում:Այսպիսով, ինտեգրալը հանդիսանում է սեփական, ինչը պարզեցնում է թվային ինտեգրումը։
Գոյություն ունի բնօրինակ բանաձևի ուղղակի վերլուծական շարունակություն ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, բացառությամբ ամբողջ թվերի, որը կոչվում է Ռիման-Հանկելի ինտեգրալ։

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Այստեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 եզրագիծը կոմպլեքս հարթության ցանկացած եզրագիծ է, շրջանցելով ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 կետը, որը ձգտում է դրական իրական առանցքի երկայնքով դեպի անվերջություն։
Հետևյալ արտահայտությունները ծառայում են որպես գամմա ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումներ։

### Սահմանում ըստ Գաուսի

Այն ճիշտ է բոլոր կոմպլեքս WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 -ի, բացառությամբ 0 և ամբողջ բացասական թվերի համար.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
### Սահմանում ըստ Էյլերի

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
### Սահմանում ըստ Վայերշտրասի

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_42  — Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն.

**Նշում**։ Երբեմն օգտագործվում է այլընտրանքային **Պի-ֆունկցիա**, որը հանդիսանում է ֆակտորիալի ընդհանրացում և կապված է գամմա-ֆունկցիայի WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 հարաբերակցության հետ:Հենց այս ֆունկցիայից (ոչ թե գամա-ֆունկցիայի) օգտվեց Գաուսը, Ռիմանը և XIX դարի գերմանացի շատ մաթեմատիկներ։

## Հատկություններ

Գամմա-ֆունկցիայի գրաֆիկական մոդուլը կոմպլեքս հարթությունում:
Կոմպլեքս արգումենտի ամպլիտուդի և փուլի ֆակտորիալը:
Եթե WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  — ամբողջ ոչ բացասական թիվ է,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .
Գամմա ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը դա նրա ռեկուրենտ հավասարումն է

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
որը ըստ ֆիքսված սկզբնական պայմանի համաձայն միակ ձևով որոշում է լոգարիթմական ուռուցիկ լուծումը, այսինքն հենց ինքը` գամմա-ֆունկցիան (միակության թեորեմ).
Գամմա-ֆունկցիայի համար արդարացի է Էյլերի բանաձևի լրացումը

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .
Արդարացի է նաև և Գաուսի բազմապատկման բանաձևը

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Այս բանաձևի մասնակի դեպքը, երբ n=2 գրվել է Լեժանդրի կողմից

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Գամմա-ֆունկցիան չունի զրոներ ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա։ WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 հանդիսանում է մերոմորֆ կոմպլեքս հարթությունում և հասարակ առավելություն ունեցող WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 կետերում։
Գամմա-ֆունկցիան ունի առաջին կարգի բևեռ WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 -ում ցանկացած բնական WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 -ի և զրոի համար, մնացքը այդ կետում տրվում է այսպես

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 .
Օգտակար հատկություն, որը կարելի է ստանալ վերջնական սահմանումից.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 .
Գամմա-ֆունկցիան դիֆերենցելի է անվերջ անգամ, և WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 , հաճախ անվանում են «փսի-ֆունկցիա» կամ դիգամա-ֆունկցիա։ Գամմա-ֆունկցիան և բետա-ֆունկցիա կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 .
## Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմ

Մի շարք պատճառներով, գամմա ֆունկցիայի հետ մեկտեղ հաճախ դիտարկվում է և գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը` սկզբնական դիգամա-ֆունկցիայի։ Դրա համար արդարացի են հետևյալ ինտեգրալ արտահայտությունները`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
և

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Ժակ Բինեի տվյալները 1839-ը թվականին(այս բանաձևերը հաճախ կոչվում են նաև առաջին և երկրորդ Բինեի բանաձևեր համապատասխանաբար գամմա ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Մի քանի լավագույն ինտեգրալի բանաձևեր լոգարիթմի համար կան նաև Մալմստենի աշխատանքներում, Լերխի և մի այլոնց։ Այսպես Մալմստենը ստացավ բանաձև, որը նման էր Ժակ Բինեի առաջին բանաձևին

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
Իսկ Լերխը ցույց տվեց, որ հետևյալ տեսքի բոլոր ինտեգրալները

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
նույնպես բերվում են դեպի գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմները։ Մասնավորապես բանաձևը, որը նման է Բինեի երկրորդ բանաձևին «կապված» հայտարարով, ունի հետևյալ տեսքը`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
(նայել վարժ. 40-ը-ում)
Բացի այդ, Մալմստենը նույնպես ստացավ ինտեգրալ բանաձևերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար, պարունակող լոգարիթմով հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ ինտեգրալի նշանի տակ։ Մասնավորապես`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
(նայել վարժ.2, 29-հ, 30-ում)
Յարոսլավ Բլագուշինը ցույց տվեց, որ ռացիոնալ արգումենտով WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 և WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ամբողջ դրական թվեր են, այնպիսին, որ WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 -ն չի գերազանցում WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 -ը, ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
(նայել հավելված C, а также упр. 60 и 58-ում)
Ավելին, և առավել ընդհանուր դեպքում ինտեգրալները, որոնք պարունակում են հիպերբոլական ֆունկցիաներ լոգարիթմով (կամ արգտանգենսով) ինտեգրալի նշանի տակ, հաճախ բերվում է գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմին և իր ածանցյալին, այդ թվում նաև կոմպլեքս արգումենտով, նայել օրինակ վարժ. 4-b, 7-а и 13-b в-ում։
Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը ամուր կապված է նաև անալիտիկ շարունակությանը ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի։

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
Այս կարևոր փոխհարաբերություններ, ներմուծված Լերխի կողմից, թույլ է տալիս ստանալ մեծ քանակությամբ ինտեգրալի ներկայացում գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի հայտնի բանաձևերի միջոցով։
Ֆուրիեի շարքը գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմների համար ունի հետևյալ տեսքը`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
Այս բանաձևը հաճախ վերագրվում է Էռնստ Կումմերին, որը դուրս է բերել 1847 թվականին (հեղինակավոր գրականությունում այս շարքը կոչվում է Կումմերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Բայց վերջերս բացահայտվել է, որ այս բանաձևը ստացվել է դեռևս 1842 թվականին Մալմստենի կողմից
(նայել Յարոսլավ Բլագուշին).
Ֆուրիեի շարքի դասավորումից բացի, գոյություն ունի նաև ուրիշ շարքերի դասավորություն։ Առավել հայտնիներից մեկը Ստիռլինգի շարքն է`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
Իր ստանդարտ գրության մեջ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
որտեղ WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 -ը նշանակում է Բեռնուլիի թվեր։
Ըստ գամմա-ֆունկցիայի Վայերշտրասի մեկնաբանության հետևում է ևս մեկ կարևոր շարքի ներկայացում`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 .
## Մասնավոր նշանակություն

Գամմա-ֆունկցիայի ամբողջ ու կիսաամբողջ արգումենտները արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով:Մասնավորապես

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
Գամմա-ֆունկցիայի արժեքները 1/4 և 1/3 կետերում հանդիսանում է մանրամասն ուսումնասիրության առարկա Էյլերի, Գաուսի և Լեժանդրի համար, սակայն նրանք չկարողացան հաշվարկել այս արժեքները փակ տեսքով։
Գոյություն ունի հետևյալ արտահայտությունները ոչ փակ տեսքի Γ(1/4)-ի համար

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
որտեղ AGM-թվաբանական-երկրաչափական միջին, G — Կատալանի հաստատուն և A — Գլեյշեր-Կինկելինի հաստատուն։

## Ընդհանրացումներ

Դասական ինտեգրալի սահմանման մեջ գամմա-ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմնաչափերը ֆիքսված են։ Դիտարկվում են նաև ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան,
ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիա[en], որոշված անալոգ ինտեգրալով` փոփոխականի վերին կամ ստորին ինտեգրման սահմանաչափով։ Տարբերվում է վերևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը հաճախ անվանում են երկու արգումենտների գամմա-ֆունկցիա`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
և ներքևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը նշանակվում է փոքրատառ «գամմա» տառով`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 .
Երբեմն ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան նշանակում են ինչպես`

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 .
## Դիտել նաև

* Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ
* K-ֆունկցիա
* Բարնսի G-ֆունկցիա
* Բետա ֆունկցիա
* Գամմա-բաշխում
* Թերի գամմա-ֆունկցիա

## Գրականություն և հղումներ

* Վ. Յա.Արսենին *Մաթեմատիկական ֆիզիկա:հիմնական հավասարումներ և հատուկ ֆունկցիաներ*,X գլուխ, էջ. 225—233. Գիտություն, Մոսկվա, 1966.
* Մ.Ա. Եվգրաֆով և այլք *Անալիտիկ ֆունկցիաների թեորեաների խնդիրների ժողովածու*, էջ. 307—316. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
* Գ.Մ.Ֆիխտենգոլց. *Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի դասընթաց* (7-րդ հրատարակչություն), XIV գլուխ, էջ. 750—794. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
* Ա. Ի. Մարկուշեվիչ *Անալիտիկ ֆունկցիայի թեորեմա* (2-րդ հրատարակչություն), 2 հատոր, էջ. 303—324.Գիտություն, Մոսկվա, 1968.
* Ն. Ն. Լեբեդև *Հատուկ ֆունկցիաներ և նրանց կիրառումները* (2-րդ հրատարակչություն), I գլուխ, էջ. 11—27. ФМ, Մոսկվա, 1963.
* Ա. Ֆ. Նիկիֆորով և Վ. Բ. Ուվարով*Մաթեմատիկական ֆիզիկայի հատուկ ֆունկցիաները*, էջ. 263—268. Գիտություն, Մոսկվա, 1978.
* R. Campbell. *Les intégrales eulériennes et leurs applications*, Dunod, Paris, 1966.
* M. Godefroy. *La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie*, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
* E. Artin. *Einführung in die Theorie der Gammafunktion*, Teubner, Leipzig, 1931.
* N. Nielson. *Handbuch der Theorie der Gammafunktion*, Teubner, Leipzig, 1906.

## Ծանոթագրություններ

|  |
| --- |
| *Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 674)։*  |