# פונקציית גמא

**פונקציית גמא** היא פונקציה מרוכבת מֵרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , הפונקציה מקבלת את הערך WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .

הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.

הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 .

לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.

## הגדרה

פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

וזאת לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 שהחלק הממשי שלו, WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , הוא חיובי. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 , המוגדר היטב לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 . משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.

## תכונות

### הקשר לפונקציית עצרת

גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי
ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.

אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 הוא חיובי ושלם, אזי WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , ומאחר ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 נקבל כי WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
לכל מספר טבעי WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

### זהויות אחרות

זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא **נוסחת השיקוף**: WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 .

מכאן נובע כי
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , ולכן WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .

זהות חשובה אחרת היא **נוסחת הכפל של גאוס**:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב.
 באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה
לפונקציית גמא יש קוטב ב WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 הוא "קבוע אוילר-מסקרוני".

## משפט בוהר-מולרופ

 ערך מורחב – **משפט בוהר-מולרופ**

משפט בוהר-מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא על פי המשוואה הפונקציונלית שהיא מקיימת. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.

**משפט**: פונקציית גמא הממשית, המוגדרת לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 על ידי WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , היא הפונקציה היחידה WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 בקרן WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 המקיימת:
1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 היא פונקציה לוג-קמורה

אחת ההוכחות לנוסחת סטרלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.

## אומדן

 ערך מורחב – **נוסחת סטרלינג**

השוואה בין גמא מוזז (קו כחול) לעצרת (נקודות כחולות) ואומדן סטרלינג (קו סגול)
ניתן לאמוד את הערכים הממשיים והמרוכבים של פונקציית גמא בעזרת אומדן לנקזוס או אומדן סטרלינג:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70

אומדן זה מדויק בכך שהיחס בין האומדן לערך האמיתי שואף ל-1 כש WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 שואף לאינסוף.

## ראו גם

* פונקציית בטא
* פונקציית גמא הלא שלמה
* משפט בוהר-מולרופ

## קישורים חיצוניים

 מדיה וקבצים בנושא **פונקציית גמא** בוויקישיתוף
* פונקציית גמא באתר Wolfram mathworld
* פונקציית גמא, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
* מחשבון לפונקציית גמא
* פונקציית גמא, באתר MathWorld (באנגלית)
* פונקציית גמא, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)