# פאי

**פַּאי** (3.14159) WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 = היקף מעגל שקוטרו שווה 1 (ורדיוסו ½)
במתמטיקה,  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_2**  (האות היוונית פִּי; בעברית מקובלת ההגייה **פַּאי**, על דרך האנגלית) הוא מספר חסר ממד המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. זהו מספר אי־רציונלי, כלומר אינו ניתן לייצוג כיחס בין שני מספרים שלמים, (ואף מספר טרנסצנדנטי). בשל כך, הייצוג העשרוני של WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 כולל אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ללא מחזוריות קבועה. 20 הספרות הראשונות אחרי הנקודה בייצוג העשרוני הן: WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 אך לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 3.14.

|  |
| --- |
|
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי. |

## אטימולוגיה

האות היוונית WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 משמשת כסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין היקף המעגל לקוטרו משום שזו האות הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. השימוש המתועד הראשון של השימוש בסימון זה נמצא בספר "Synopsis Palmariorum Matheseos" (או "תצפית הישגי המתמטיקה") של המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס מ־1706. בשימוש מתמטי, האות הקטנה WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 מובדלת מהאות הגדולה WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , שמשמשת לציון מכפלה.

## תכונות

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 הוא מספר אי־רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן-ויירשטראס ממנו נובע ישירות ש־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע ש־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 אינו ניתן להצגה באמצעות שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות המפורסמות של ימי קדם.

## היסטוריה

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 היווה אתגר במשך מאות שנים.

כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את ערכו של היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון הציע את השיטה לחישוב הערך בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה ארכימדס.

באמצעות שיטת המיצוי של ארכימדס ניתן לחשב את ערכו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 בכל רמת דיוק רצויה, באמצעות מצולעים משוכללים החוסמים ונחסמים על ידי מעגל. בתמונה מוצג מעגל שבתוכו חסום משושה משוכלל, והוא חסום במשושה משוכלל אחר
קירובים ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה (המופיעה בספר על המדידה של המעגל):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

במהלך השנים נמצאו נוסחאות נוספות לחישובו. למשל, פאי הוא גבול הסדרה WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , כאשר p היא פונקציית החלוקה.

בתחילת המאה ה־15 חישב ג'אמשיד אל־קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.

המתמטיקאי ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 באמצעות השבר WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .

בשנת 1596 השתמש המתמטיקאי ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם המתמטיקאים הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 בשם **מספר לודולף**.

התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 . שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 כסכום של טור אינסופי.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 היא "שיטת מונטה־קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 . ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 . הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

בשנת 1789 חישב המתמטיקאי הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 (127 הספרות הראשונות מביניהן היו מדויקות).

המתמטיקאי ההודי רמנוג'ן מצא נוסחאות רבות לפאי הנובעות מחישוב ערכים של פונקציות מודולריות, כגון WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , שהקירוב שהיא נותנת משתפר בכשמונה ספרות עשרוניות עם כל מחובר.

השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא אלגוריתם צ'ודנובסקי. סיבוכיות האלגוריתם כדי לחשב WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ספרות היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 . בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP). השיא העולמי בחישוב הספרות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 היה במרץ 2019 היה למעלה מ־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ספרות. באוגוסט 2021 חושבו למעלה מ־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ספרות. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.

ב־2025 הצליח היוטיובר לינוס סבסטיאן, באמצעות התוכנה y-cruncher , לשבור שיא גינס, ולחשב WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ספרות.

## קירובים של פאי

קירוב מקובל של WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 . קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.

ההצגה של WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 כשבר משולב פותחת ב־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 .

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ; וכן הלאה.)

רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 :‏ WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 . קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 , השווה בערך ל־3.146. קירוב זה סוטה מערך WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 השווה בערך ל־3.1418. קירוב זה סוטה מערך WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 , השווה בערך ל־3.1413. קירוב זה סוטה מערך WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

## חישוב פאי

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 ניתן לחישוב בדרכים שונות, להלן אחדות מהן:

* נוסחה של פרנסואה וייט, 1593:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
* נוסחת גרגורי–לייבניץ, הקרויה על שם ג'יימס גרגורי (1638–1675) ווילהלם לייבניץ. את הנוסחה גילה גרגורי ב־1672. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava בקרלה שבהודו. הנוסחה קובעת כי

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
כלומר:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
(בהקשר רחב יותר, זהו הערך WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 בפיתוח לטור טיילור של WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 )
* מכפלת ואליס:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
* נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
* בעיית בזל נפתרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זטא של רימן):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
* פונקציית גמא (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
וכפי שניסח אוילר:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
## נוסחאות הקשורות בפאי

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

### גאומטריה

|  |  |
| --- | --- |
| היקף מעגל |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |
| שטח עיגול |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |
| שטח אליפסה |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  |
| נפח כדור |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  |
| שטח פנים של כדור |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |
| נפח גליל |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  |
| שטח פנים של גליל |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  |
| נפח חרוט |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |
| שטח פנים של חרוט |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  |

### אנליזה מתמטית

* נוסחת סטרלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
(מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח אסימפטוטי של פונקציית גמא)
* זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
* שטחו של רבע מעיגול היחידה:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
* אינטגרל לא אמיתי נוסף:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
הופעתו של פאי כערך של פונקציות טריגונומטריות מוליד ייצוגים שונים של המספר כטור אינסופי. למשל,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 ., הנובעים כולם מהפיתוח לטור טיילור של WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 .

### אנליזה מרוכבת

* יישום של משפט השאריות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
### פיזיקה

מערך ניסוי המניב את ספרות פיי.
אנימציה של הניסוי וניתוח מתמטי בערוץ של היוטיובר 3Blue1Brown:
ניתן לקבל את ערכו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 באמצעות מערך ניסוי שכולל משטח נטול חיכוך, קיר ושתי מאסות שיחס המסות ביניהן הוא חזקה שלמה של 100, כשכל התנגשויות אלסטיות לחלוטין. במערך הניסוי הגוף בעל המסה הקטנה ניצב במנוחה בין המסה הגדולה והקיר. המסה הגדולה מחליקה במהירות קבועה כלפי המסה הקטנה. בעת ההתנגשות (האלסטית לחלוטין) של הגוף המסיבי בגוף הפחות מסיבי נהדף האחרון כלפי הקיר, פוגע בו ומוחזר כלפי הגוף המסיבי, וחוזר חלילה עד שהגוף המסיבי מאבד את כל המהירות בכיוון הקיר ומתרחק במהירות שווה או גדולה למהירות הגוף הפחות־מסיבי הלאה מהקיר. מספר ההתנגשויות בין המסה קטנה לבין הקיר והגוף המסיבי נותן את ספרות WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 , וככל שהחזקה ב־100 בחזקת יחס המסות גבוהה יותר יתקבלו עוד ספרות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 .

* זמן המחזור של מטוטלת מתמטית הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
* קבוע פלאנק h הוא קבוע פיזיקלי שהוצג על ידי מקס פלאנק ומאפיין את העולם הקוונטי. בפועל, מקובל יותר השימוש בקבוע דיראק (קבוע פלאנק המצומצם) שמוגדר להיות WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 (מבוטא "h-bar").

### שברים משולבים

אפשר להציג את WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 באמצעות שברים משולבים רבים, בהם:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194

### תורת המספרים

בתורת המספרים יש קשר בין WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 לבין מספר תוצאות:

* ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 .
* ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 .
* מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 .

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.

## בעיות פתוחות

בחקר מאפייניו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 ישנן בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייוויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.

בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים.
ב־1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 היא בלתי תלויה אלגברית מעל WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 .

## הצעות לסימון חלופי

מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 לייצוג סיבוב אחד. תחת זאת, בשנת 2010 הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 (לציון Turn)‏. וראו גם סרטון של וי הארט בנושא.

## פאי בתרבות

קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 , בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 , למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס:

>
> How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
>
>
>
> — Pi Wordplay, באתר mathworld.wolfram.com
>

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).

בעברית קיימים משפטים דומים כגון ""ילד א' וילד ב' מהחוג לביולוגיה הם תאומים שלמדו יחד דברים מעניינים בביולוגיה" (3.141592653589).

יש החוגגים את 14 במרץ (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה בארצות הברית כ־3.14) כ"**יום פאי**", ואחרים חוגגים ביום קירוב WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 ב־22 ביולי (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב־7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 מאשר 3.14). מהדרי החג חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).

ביום פאי בשנת 2004, קבע הגאון האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. שיא גינס בדקלום WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 שייך לרג'וויר מינה מהודו שב־21 במרץ 2015 דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו־27 דקות.

חמשירים אחדים חוברו לכבודו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 , להלן אחד מהם:

'Tis a favorite project of mine

A new value of pi to assign.

I would fix it at 3;

For it's simpler, you see,

Than 3 point 1 4 1 5 9 !

ב־1998 הופק סרט בשם "Pi", שגיבורו הוא מתמטיקאי.

דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שילכו ויתקרבו ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 : גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.

"**נקודת פיינמן**" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 . כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים ש־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, שישה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 עד לשלב שבו יוכל לומר "תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי ש־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 הוא מספר רציונלי.
האזכור הראשון לרצף זה מופיע בספרו של דאגלס הופשטטר "Metamagical Themas" שם סיפר הופשטטר כי כ"נער משוגע בתיכון", כלשונו, שינן 380 ספרות בפיתוח העשרוני של WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 מתוך כוונה להגיע לרצף המופעים הרצופים של הספרה 9.

הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם " WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 " כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכרת עובדה בדויה שבבסיס 11, הספרות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.

באוקטובר 2014 פורסם סרטון בערוץ יוטיוב "Numberphile" עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 על נייר באורך 1,688 מטרים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של דיו בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט.

ב־21 באוקטובר 2015 שארמה סורש קומאר דיקלם 70,030 ספרות של π ושבר שיא עולם.

## ערכי פאי במקורות יהודיים

במקרא בספר מלכים א' (פרק ז', פסוק כ"ג) (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, ”ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (קרי: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב”. ההסבר הרווח לאי־הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.[דרוש מקור]

יש שציינו שהיחס בין הקבוע WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נרמז בקרי וכתיב של המילה שנכתבת **קוה** ונקראת **קו**; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב 1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי ארבע ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי ל**כתוב** את המספר המלא של הקבוע WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 , לצורך נוחות ה**קריאה** נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות.

במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3= WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 ). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'–ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 כשווה ל־3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג:–ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 כשווה ל־3 ואף מציינת מפורשות שזהו יחס מדויק. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, והסבירו כי דברי חכמים מכוונים להלכות מעשיות, ולכן הביאו מידת קירוב לשימוש האדם ביום יום – וכי לא הייתה כוונתם כלל לעסוק בדיוק החשבוני.

בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 . בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)". הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 , לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.

הרמב"ם, בן המאה ה־12, הביא, בפירושו למשנה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב". יש המבינים את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 הוא מספר אי־רציונלי (למרות שמלשונו עולה כי הוא סבר שלא ניתן לחשבו במדויק בשום צורה, ולא רק כשבר). דברים דומים נאמרו גם על ידי כמה מתמטיקאים מוסלמים קודמים לרמב"ם, כגון אל־חוואריזמי ואל־בירוני.

## ראו גם

* הצעת חוק פאי
* יום פאי
* קבוע הפרבולה האוניברסלי
* e (קבוע מתמטי)
* טרנסצנדנטיות של פאי

## לקריאה נוספת

* Petr Beckmann, **A History of Pi**, St. Martin's Press, 1976
* J.L. Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein, **Pi: A Source Book**, Springer, 2004
* J. Borwein and P. Borwein, 1987. **Pi and the AGM** (במיוחד פרק 11)

**על WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 במקורות היהדות הערך "היקף", ב**אנציקלופדיה תלמודית**, כרך י.
* ראו במאמרים הבאים (מכתבי עת תורניים):
	+ צבי שפטלר, ה"פאי" החז"לי, **תחומין** י"ט, תשנ"ט, עמ' 456-466 (מידע בקטלוג רמב"י)
	+ בעז צבן, על היחס שבין היקף עיגול לקוטרו, **סיני** קי"ז, כסלו-טבת תשנ"ו, עמ' קפו-קצא (מידע בקטלוג רמב"י)
	+ שמעון בולג, הערות לסוגיית הערך המספרי של pi בספרות התלמודית והפרשנית, **הגיון** ג', תשנ"ו, עמ' 92-102 (מידע בקטלוג רמב"י)
	+ בעז צבן, כל שיש בהיקפו, **הגיון** ג', תשנ"ו, עמ' 103-131 (מידע בקטלוג רמב"י)
	+ אביגדור אמיתי, תירוץ חדש לקושיה עתיקה בעניין יחס היקף המעגל אל רוחבו
* רבי שמעון בן צמח דוראן (1361 − 1444), שו"ת תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, דפים ס"א − ס"ג))
* ירון ידען, ידיעת חכמים בערך הפאי באתר דעת אמת, אדר א, תש"ס

## קישורים חיצוניים

* רן לוי, לא רציונלי (חוץ מבאינדיאנה): על פי, הקבוע המפורסם ביותר במדע, באתר "עושים היסטוריה" (שידור של הפודקאסט וטקסט מלא שלו)
* π והיקף המעגל, באתר מחלקה להוראת המדעים, מכון ויצמן למדע
* Jon McLoone, All Rational Approximations of Pi Are Useless, Wolfram Blog, 30 ביוני 2011
* עזרי זיכרון של פאי (עותק דף שמור מתוך ארכיון האינטרנט)
* פאי, באתר MathWorld (באנגלית)
* פרק 44 – דבר היום: על דרך קירוב – כשפיי נרמז בתנ"ך בפודקאסט דברי הימים בהגשת אילן אבקסיס
* אפסילון - חידת פאי, סרטון באתר יוטיוב, "פרויקט אפסילון", הטלוויזיה החינוכית
* סדרת הספרות של פאי באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
* The most unexpected answer to a counting puzzle, סרטון באתר יוטיוב של 3Blue1Brown על הופעה מפתיעה של פאי בהתנגשות עצמים
* נחשפו קשרים עמוקים בין נוסחאות מתמטיות שונות של הקבוע π, באתר ynet, 2 בדצמבר 2025

## הערות שוליים