# סינוס (טריגונומטריה)

גרף הפונקציה סינוס

|  |
| --- |
|
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי. |

**סינוס** (מסומן ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל.

## הגדרות

### הגדרה גאומטרית

במשולש זה, סינוס הזווית A שווה WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 לבין 90 מעלות (או WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 רדיאנים), כלומר לזווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים, ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב.

### הרחבה

הגדרת הסינוס של מספר כלשהו WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר כלשהו WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר ה-x הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 (ברדיאנים).

אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה
### טור טיילור

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , וזאת מכיוון שכאשר x קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
וכן,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 (ראו פונקציה היפרבולית)
### הגדרות נוספות

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

## תכונות

* פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, דהיינו: WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .
* פונקציית הסינוס הממשית היא מחזורית, בעלת מחזור של WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 . זאת משום שבייצוג של מעגל היחידה, סיבוב של WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 מחזיר את הנקודה P לנקודת המוצא.
* פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .
* לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 (מקסימום) ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 (מינימום), כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 מספר שלם. הערך בנקודות המקסימום הוא 1, ובנקודות המינימום (-1).
* לפונקציה יש אינסוף שורשים מהצורה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
* התמונה של פונקציית הסינוס הממשית היא: WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .
	+ נובע מכך כי פונקציית הסינוס הממשית חסומה בכל תחום ההגדרה שלה, WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 .

## נגזרת

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
### הוכחה בעזרת הגבול של sin(x)/x

לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 שווה לגבול:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
על פי הזהות הטריגונומטרית:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

נקבל:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
נשתמש בגבול הטריוויאלי: WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , בגבול המפורסם: WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 וברציפות הפונקציות כדי לקבל:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 .
**מש"ל.**

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 .

הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס: WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה ל WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 על ידי שימוש בכלל לנגזרת פונקציה הפוכה. אמנם את הנגזרת של הארכסינוס מקובל להוכיח בדרך כלל באמצעות הנגזרת של סינוס, ואם רוצים לגזור את הארכסינוס בנפרד צריך להשתמש באינטגרל ובמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

### הוכחה בעזרת טורי חזקות

את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 עם תנאי ההתחלה WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 . הגדרה שכזו מובילה להצגת הפונקציות באמצעות טורי מקלורין:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78

מכיוון שפעולת הגזירה היא אופרטור ליניארי, גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את המעגליות של השימוש בכלל לופיטל כדי להוכיח את הגבול של sin(x)/x, אך דורשות הוכחה דומה כדי להראות כי הפונקציות האלו יכולות לשמש בחישובי טריגונומטריה.

## ערכים

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

| *x* (זווית) | sin *x* |
| --- | --- |
| מעלות | רדיאנים | גראדים | במדויק | קירוב עשרוני |
| 0° | 0 | 0g | 0 | 0 |
| 180° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  | 200g |
| 15° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  | 162/3g |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  | 0.258819045102521 |
| 165° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  | 1831/3g |
| 30° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  | 331/3g |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  | 0.5 |
| 150° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  | 1662/3g |
| 45° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96  | 50g |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  | 0.707106781186548 |
| 135° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  | 150g |
| 60° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  | 662/3g |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  | 0.866025403784439 |
| 120° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  | 1331/3g |
| 75° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  | 831/3g |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  | 0.965925826289068 |
| 105° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  | 1162/3g |
| 90° |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  | 100g | 1 | 1 |

sup>1

## זהויות

 ערך מורחב – **זהויות טריגונומטריות פונקציית הסינוס מקיימת: WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 וכן WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
* בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 ‏**,** WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 ‏**,** WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 ‏**,** WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 ‏**,** WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
* סכום זוויות: WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
* זווית כפולה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ‏**,** WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 ובאופן כללי WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
* חצי זווית: WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
* סכום סינוסים: WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 ‏**,** WIKINIUM\_MATH\_PH\_142

## הפונקציה ההפוכה

גרף פונקציית הארכסינוס
הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת **ארקסינוס** ומסומנת WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 , וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 . הנגזרת שלה היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 .

## משפט הסינוסים

 ערך מורחב – **משפט הסינוסים**

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
כאשר הזוויות WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

## קישורים חיצוניים

 מדיה וקבצים בנושא **סינוס** בוויקישיתוף
* סינוס, באתר MathWorld (באנגלית)
* טריגוקליק - אתר עזר לפתרון בעיות בסינוס, קוסינוס וטנגנס

## הערות שוליים