# מסילה גאודזית

משולש גיאודטי על ספירה תלת-ממדית. הגאודיזות הן המעגלים הגדולים של הספירה.
בגאומטריה דיפרנציאלית, **מסילה גאודזית** היא מסילה המתארת באופן מקומי את המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות על משטח (או באופן ככלי יותר, על יריעת רימן). זוהי הכללה של מושג הקו הישר מהגאומטריה האוקלידית ליריעות כלליות. למשל, על פני הכדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.

על פי תורת היחסות הכללית, גופים שלא פועלים עליהם כוחות מלבד כוח הכבידה, נעים בממוצע על פני מסילות גאודזיות במרחב-זמן.

אם מוגדרת מטריקה דיפרנציאלית על המרחב האפיני, למשל באמצעות סמלי כריסטופל, המסילות הגאודזיות מקיימות את המשוואה הדיפרנציאלית הנובעת מן העובדה שהווקטור המשיק שלהן מקביל לעצמו לאחר טרנספורט מקבילי לאורך העקום. ניתן גם למצוא את המסילה הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום על ידי כתיבת משוואת אורך הקו לפי פרמטר כלשהו, ואז למצוא את המינימום של משוואה זו על ידי חשבון וריאציות.

## אפיון

אם חרק מוצב על טורוס ומתמיד בתנועתו "קדימה" (כלומר לא מבצע פניות), הוא יתווה מסילה גאודזית.
במסגרת הגאומטריה הדיפרנציאלית, למושג המסילה הגאודזית כמה הגדרות שקולות:

* *מסילה גאודזית* היא עקומה שמזערת את המרחק בין שתי נקודות כשהוא נמדד על פניו של משטח מסוים. אינטואיטיבית, אילו היינו מותחים רצועה אלסטית דקיקה בין שתי נקודות על משטח באופן כזה שהרצועה נחה כולו בתוכו, אז היא הייתה מקבלת את צורת המסילה הגאודזית בין שתי נקודות (שכן הרצועה שואפת למזער את האנרגיה והאורך שלה). עם זאת, חשוב להדגיש שמנקודת המבט של הגאומטריה הדיפרנציאלית המודרנית, ההגדרה המקובלת יותר היא של עקומה קצרה ביותר **באופן מקומי**, שכן קיימים משטחים מיוחדים (עם נקודות/עקומות סינגולריות, או שחותכים את עצמם) שעליהם מסילה גאודזית אינה בהכרח המסלול הקצר ביותר באופן גלובלי.
* עקומה WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 על משטח *S* תיקרא מסילה גיאודזית אם בכל נקודה עליה וקטור התאוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 הוא וקטור האפס או מקביל לווקטור היחידה הנורמלי למשטח WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 . הגדרה "מכניסטית" זאת שקולה לדרך שבה יוהאן ברנולי אפיין לראשונה ב-1697 מסילות גאודזיות על משטח עקום כללי: אם מסתכלים לרגע על מסילה גאודזית WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 של משטח *S* כעקומה מרחבית (ללא התייחסות למשטח המכיל אותה) אז המישור הנושק ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 (המישור המכיל את המעגל הנושק לה) חייב להיות מאונך למישור המשיק למשטח בכל נקודה במסילה. תחת הגדרה זאת קל להבין מדוע רק מעגלים גדולים הם הגאודזות של הספירה - המישור הנושק למסילה חייב להיות ניצב למישור המשיק לספירה, ולכן הוא חייב להכיל את הנורמל לספירה ולעבור דרך מרכזה - והרי מישור העובר דרך מרכז הספירה בהכרח חותך ממנה מעגל גדול.
* הגדרה פיזיקלית: אם נקבע חלקיק נקודתי לפני השטח של משטח עקום מסוים, כך שלא פועלים עליו שום כוחות למעט הכוחות הנורמליים למשטח המקבעים את החלקיק, ונקנה לחלקיק מהירות התחלתית מסוימת, אז החלקיק ינוע במסילה גאודזית לאורך המשטח. הגדרה זו זהה להגדרה הקודמת, שכן לפי החוק השני של ניוטון התאוצה של החלקיק מקבילה לכוח שפועל עליו, ומכיוון שרק כוחות נורמליים פועלים וקטור התאוצה של החלקיק בעקומה בה הוא נע מקביל לנורמל למשטח.
* מסילה גאודזית היא עקומה שהעקמומיות הגאודזית שלה WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 מתאפסת בכל נקודה.

## מסילה גאודזית במרחב עקום

ביריעה רימנית עם טנזור מטרי WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , האורך של מסילה גזירה ברציפות WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 מוגדר על ידי

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
המרחק WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 בין שתי נקודות WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 מוגדר כאינפימום של כל אורכי המסילות האפשריות הגזירות ברציפות למקוטעין WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 כך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .

## משוואת המסילה הגאודזית

במרחב בעל טרנספורט מקבילי, הטרנספורט המקבילי של וקטור משיק לאורך המסילה הגאודזית אינו משנה אותו:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 והעקומה היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

בהטלה למערכת צירים נקבל:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 הם וקטורי הבסיס, ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 הם סמלי כריסטופל.

## ראו גם

* מרחב גאודזי

## קישורים חיצוניים

 מדיה וקבצים בנושא **מסילה גאודזית** בוויקישיתוף
* מסילה גאודזית, באתר MathWorld (באנגלית)