# תורת היחסות הפרטית

אלברט איינשטיין בסביבות 1905, השנה שבה פרסם את מאמרי שנת הפלאות, שכללו את המאמר "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים" שייסד את תורת היחסות הפרטית.
בפיזיקה, **תורת היחסות הפרטית** היא תאוריה מדעית יסודית המתארת את הקשר בין מרחב וזמן. אלברט איינשטיין פרסם את התאוריה בשנת 1905, והיא מהווה בסיס למהפכת היחסות, והיא אחת משתי פריצות הדרך שעיצבו את הפיזיקה המודרנית (לצד מכניקת הקוונטים). היא קראה תיגר על תפיסת המרחב והזמן המוחלטים של המכניקה הקלאסית, והוכללה מאוחר יותר על ידי איינשטיין עצמו בתורת היחסות הכללית, המתארת את הכבידה.

הצורך בתאוריה חדשה נבע מסתירה בין המכניקה של ניוטון, שבה מהירויות ניתנות לחיבור, ובין תורת האלקטרומגנטיות של מקסוול, שקבעה כי מהירות האור היא גודל קבוע ואוניברסלי, ללא תלות במהירות הצופה. תורת היחסות הפרטית פתרה סתירה זו, והובילה למסקנות מרחיקות לכת אודות טבע המציאות: מדידות של זמן ומרחב אינן מוחלטות, אלא תלויות במהירות היחסית שבין הצופה לגוף הנמדד.

תחזיותיה המרכזיות של התאוריה, שכולן אומתו בניסויים, כוללות את התארכות הזמן, תופעה שבה שעונים הנמצאים בתנועה יחסית לצופה נמדדים על ידו כפועלים לאט יותר; את התכווצות האורך, שלפיה גופים בתנועה נמדדים כקצרים יותר בכיוון תנועתם; את יחסיות הסימולטניות, בנוסף, היא הציגה את שקילות המסה והאנרגיה, שמשמעותה היא שמסה היא צורה של אנרגיה, וניתן להמיר ביניהן על פי הנוסחה המפורסמת WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 .

כל התופעות הללו נובעות משתי הנחות יסוד פשוטות, המכונות הַפּוֹסְטוּלָטִים של היחסות הפרטית:

1. עקרון היחסות: חוקי הפיזיקה הם זהים במערכות ייחוס הנעות במהירות קבועה המכונות אינרציאליות. תכונה זו, שלפיה החוקים אינם משתנים בין צופים הנעים במהירות קבועה זה ביחס לזה, מכונה אינווריאנטיות.
2. מהירות האור בריק היא גודל קבוע וזהה עבור כל הצופים, ללא תלות בתנועת מקור האור או הצופה.

תורת היחסות הפרטית מוגבלת בהיקפה: הפוסטולטים שעליהם היא מבוססת תקפים רק במערכות ייחוס אינרציאליות (שאינן מאיצות), והיא אינה כוללת כלל את תופעת הכבידה. איינשטיין זיהה את הקשר העמוק בין תאוצה לכבידה, ומגבלות אלו היוו את המוטיבציה המרכזית להמשיך בעבודתו, שהגיעה לשיאה כעשור לאחר מכן בפיתוח תורת היחסות הכללית, המתארת את הכבידה כעיקום של המרחב-זמן.

## רקע

תורת היחסות הפרטית מתבססת על מספר מושגי יסוד פיזיקליים. ניתן לחלקם לרעיונות מושגיים כלליים ולרעיונות טכניים-מתמטיים.

### רעיונות מושגיים

* מהירות: הקצב שבו המרחק היחסי בין גוף לנקודת ייחוס משתנה בזמן.
* מהירות האור: גודל יסודי בתאוריה. זוהי המהירות המרבית שבה מידע יכול לנוע ביקום, והיא קבועה ובלתי תלויה במהירות של מקור האור או של הצופה.
* מאורע: התרחשות המוגדרת על ידי מיקום מדויק במרחב ורגע מדויק בזמן. לדוגמה, התפוצצות או פליטת אור מאטום.
* שעונים: תורת היחסות מדגישה כי מדידת הזמן אינה מושג מופשט, אלא פעולה פיזיקלית קונקרטית. הזמן הוא הגודל הנקרא בשעון, ומדידתו תלויה במערכת הייחוס של הצופה.

כאשר שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית זה לזה קולטים מידע על שני מאורעות, המידע מגיע אליהם באמצעות אותות אור הנעים במהירות קבועה, הזהה עבור שניהם. תנועתם היחסית גורמת לכך שכל אחד מהם יקבל את המידע בזמן אחר על פי השעון המקומי שלו.

### רעיונות טכניים

* אינווריאנטיות: תכונה של חוק פיזיקלי להישאר זהה (לא להשתנות) כאשר תנאי הניסוי או נקודת המבט משתנים, למשל, במעבר בין צופים הנעים במהירויות קבועות שונות.
* מרחב-זמן: איחוד מתמטי של שלושת ממדי המרחב וממד הזמן לכדי יריעה ארבע-ממדית אחת, המהווה את "זירת" ההתרחשות הפיזיקלית.
* אינטרוול מרחב-זמן: בעוד שמדידות של מרחב וזמן בנפרד הן יחסיות ותלויות-צופה, האינטרוול הוא מדד הפרדה משולב ומוחלט. זהו גודל אינווריאנטי – כלומר, ערכו זהה עבור כל הצופים האינרציאליים. הוא מחושב באמצעות הנוסחה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 סימן המינוס (בניגוד למשפט פיתגורס רגיל) הוא המבטא את האופי המיוחד של ממד הזמן ביחס לממדי המרחב. שורש ריבועי של האינטרוול חלקי מהירות האור הוא גודל הנקרא זמן עצמי שמייצג את הזמן כפי שהוא נמדד על ידי שעון במערכת ייחוס שנעה ביחד עם המאורע, וביחס אליה הוא במנוחה.
* מערכת ייחוס: מסגרת תיאורית (מערכת קואורדינטות) שבאמצעותה צופה יכול לתאר מאורעות במרחב ובזמן.
* מערכת ייחוס אינרציאלית: מערכת ייחוס הנעה במהירות קבועה ובקו ישר (או נחה), שבה גופים אינם מאיצים אלא אם פועל עליהם כוח חיצוני. תורת היחסות הפרטית עוסקת אך ורק במערכות כאלה, ואינה מטפלת בכבידה (נושא המטופל בתורת היחסות הכללית).
* מהירות יחסית: הגודל והכיוון של התנועה האחידה והיחסית של גופים בשתי מערכות ייחוס.
* טרנספורמציית קואורדינטות: הליך מתמטי המאפשר "לתרגם" את התיאור של מאורע ממערכת ייחוס אחת לאחרת. בתורת היחסות הפרטית הטרנספורמציות הן טרנספורמציות לורנץ.

## סקירה כללית

### יסודות התאוריה

באופן יוצא דופן ביחס לנושאים בפיזיקה המודרנית, תורת היחסות הפרטית דורשת ידע מתמטי ברמה תיכונית בלבד, ועם זאת היא משנה באופן יסודי את הבנת המציאות, ובמיוחד את מושג הזמן. היא נבנית על שתי הנחות יסוד (פוסטולטים) בלבד, שמהן נובעות מסקנות רבות.

שני הפוסטולטים עוסקים בצופים הנעים במהירות קבועה זה ביחס לזה:

1. עקרון היחסות: קובע שחוקי הפיזיקה אינם תלויים במצב תנועה קבוע. לדוגמה, נוסע ברכבת יראה תופעות טבע (כמו נפילת חפץ) באופן זהה, בין אם הרכבת נוסעת במהירות קבועה ובין אם היא עומדת.
2. עקרון קביעות מהירות האור: קובע שכל הצופים ימדדו את אותה מהירות אור בריק, ללא קשר לשאלה אם הם מודדים אור שנפלט ממקור נייח או ממקור נע. לדוגמה, צופה ברציף הרכבת ימדוד מהירות זהה לאות אור שנשלח מהרציף ולאות אור שנשלח מהרכבת הנוסעת.

בתורת היחסות הפרטית, שילוב שני העקרונות הללו משנה את ההגדרה של "מהירות יחסית". במקום התפיסה הפשוטה של מרחק חלקי זמן, התאוריה החדשה קובעת את מהירות האור כמהירות מרבית אפשרית. כתוצאה מכך, חיבור מהירויות אינו פשוט כפי שהיה בפיזיקה הניוטונית.

### השלכות התאוריה

לתורת היחסות הפרטית יש מגוון רחב של השלכות שאוששו בניסויים רבים. ההשלכות המושגיות המרכזיות כוללות:

1. יחסיות הסימולטניות: מאורעות הנראים כמתרחשים בו-זמנית עבור צופה אחד, עשויים שלא להיראות סימולטניים עבור צופה הנמצא בתנועה יחסית אליו.
2. התארכות הזמן: מדידת הזמן החולף בין שני מאורעות תהיה שונה עבור צופים הנמצאים בתנועה יחסית זה לזה.
3. התכווצות האורך: מדידת המרחק בין שני מאורעות תהיה שונה עבור צופים הנמצאים בתנועה יחסית זה לזה.
4. חיבור מהירויות יחסותי: מהירויות אינן מתחברות באופן פשוט (כפי שנהוג בפיזיקה הקלאסית).

בשילוב עם חוקי פיזיקה אחרים, שני הפוסטולטים חוזים את שקילות המסה והאנרגיה, כפי שהיא מבוטאת בנוסחה המפורסמת WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .

תורת היחסות הפרטית החליפה את התפיסה הקלאסית של זמן אוניברסלי ומוחלט, ברעיון של זמן שהוא מקומי ותלוי-צופה. יתר על כן, העובדה שמהירות האור היא סופית ומהווה מחסום, פירושה שכל תצפית מתארת מאורעות שהתרחשו בעבר, לפני משך הזמן שלקח לאור להגיע. יש להבחין בין אפקט זה (הנקרא עיכוב-אור) ובין אפקטים יחסותיים (כמו התכווצות האורך).

לתאוריה גם השלכות טכניות, ובמרכזן עומדת שינוי הכללים המתמטיים של המכניקה הקלאסית. במכניקה הניוטונית, המעבר בין מערכות ייחוס נעשה באמצעות טרנספורמציות גליליי, המבוססות על חיבור מהירויות פשוט ומניחות זמן אבסולוטי. תורת היחסות הפרטית הראתה כי מדידות של מרחק וזמן בנפרד אינן מוחלטות, אלא תלויות במערכת הייחוס של הצופה. במקום זאת, היא הציגה את אינטרוול המרחב-זמן כגודל האינווריאנטי האמיתי, גודל שכל הצופים יסכימו עליו, ללא תלות בתנועתם. האינטרוול מחליף את הגאומטריה האוקלידית (בה משמש משפט פיתגורס לחישוב מרחקים במרחב) בגאומטריה לורנציאנית (הכוללת את ממד הזמן בסימן הפוך). כתוצאה מכך, הכללים למעבר בין מערכות ייחוס הוחלפו בטרנספורמציות לורנץ.

השלכות נוספות של טרנספורמציות אלו הן תיקונים יחסותיים לאפקט דופלר (השינוי בתדירות גל כתוצאה מתנועה יחסית) ונקיפת תומאס (אפקט קינמטי המתאר את סיבוב ציר הסיבוב של גוף מאיץ). התאוריה גם נותנת הסבר יסודי לקשר בין חשמל למגנטיות, ומראה כיצד שדה מגנטי הנצפה על ידי צופה אחד יכול להיראות כשדה חשמלי (או כשילוב של השניים) עבור צופה הנמצא בתנועה.

## היסטוריה

עקרון היחסות, המהווה את אחד משני הפוסטולטים של תורת היחסות הפרטית, תואר לראשונה על ידי המדען האיטלקי גלילאו גליליי ב-1632. גלילאו השתמש בניסוי מחשבתי מפורסם, שבו תיאר כיצד תופעות טבע ייראו זהות לחלוטין בין אם הן מתרחשות בבטן ספינה העומדת בנמל ובין אם בספינה הנעה במהירות קבועה בים שקט. עקרונות היחסות של גליליי שימשו כבסיס למכניקה הניוטונית. אייזק ניוטון הרחיב על כך וציין כי תיאור זה תקף רק במערכות ייחוס שאינן מאיצות, שאותן כינה מערכות הנעות ביחס ל"מרחב מוחלט" ונייח.

בשנת 1864, הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול הציג תאוריה מאוחדת של אלקטרומגנטיות. בעת שאיחד את משוואות החשמל והמגנטיות, הוא גילה שהן מתארות התפשטות של גל במהירות קבועה. מהירות זו, WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , נקבעה אך ורק על ידי שני קבועים יסודיים של הטבע (הקבועים החשמלי והמגנטי של הריק), ולא הייתה תלויה במהירות המקור או הצופה. גילוי זה, שזיהה את האור כגל אלקטרומגנטי, עמד בסתירה חזיתית ליחסות של גליליי (שבה מהירויות מתחברות). באותה עת, ההנחה הרווחת הייתה שחוקי מקסוול תקפים רק במערכת ייחוס אחת מיוחדת – זו של האתר, התווך ההיפותטי שבו האור אמור להתפשט. ניסויים רבים ניסו למדוד את מהירות כדור הארץ ביחס לאתר זה, והגיעו לשיאם בניסוי מייקלסון-מורלי (1887), שנכשל כישלון חרוץ בגילוי תנועה כזו, ורק אישר את קביעותה של מהירות האור.

מספר פיזיקאים, ובהם ג'ורג' פיצג'רלד, הנדריק לורנץ ואנרי פואנקרה, הציעו תיקונים לתורת האתר (כמו התכווצות האורך) שהסבירו את תוצאות הניסוי והצביעו על כיוון דומה לזה של תורת היחסות הפרטית. הצעד המכריע נעשה על ידי אלברט איינשטיין במאמרו "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים" (1905). איינשטיין זנח את רעיון האתר, הניח את קביעות מהירות האור כפוסטולט, והחיל את הכללים המתמטיים (שנודעו כטרנספורמציות לורנץ) על המכניקה הקלאסית עצמה. מהלך זה שינה באופן יסודי את חוקי התנועה של ניוטון, במיוחד עבור מהירויות גבוהות המתקרבות למהירות האור.

דרך נוספת לתאר את פריצת הדרך של איינשטיין היא שהוא הרחיב את עקרון היחסות של גליליי כך שיכלול גם את קביעות מהירות האור. הוא גם הניח שהעיקרון תקף לכל חוקי הפיזיקה, כולל מכניקה ואלקטרודינמיקה. התאוריה הפכה למודל גאומטרי שלם ב-1907, עם עבודתו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, שהציג את רעיון המרחב-זמן הארבע-ממדי.

תורת היחסות הפרטית הוכחה כמודל המדויק ביותר לתיאור תנועה בכל מהירות, כל עוד ניתן להזניח השפעות כבידתיות וקוונטיות. עם זאת, המודל הניוטוני נותר קירוב מצוין במהירויות נמוכות (כמו תנועה יומיומית על פני כדור הארץ).

השם "תורת היחסות הפרטית" נטבע מאוחר יותר, כדי להבדיל אותה מתורת היחסות הכללית. ב-1920, הפיזיקאי רוברט קרמייקל כינה אותה "התאוריה המצומצמת", כ"מקרה פרטי" של התאוריה הכללית החדשה. איינשטיין עצמו השתמש במונח "תורת היחסות הפרטית" ב-1923, והסביר שהכוונה היא להגבלתה למערכות ייחוס בתנועה אחידה (אינרציאליות).

כשם שיחסות גליליי היא קירוב של היחסות הפרטית במהירויות נמוכות, כך תורת היחסות הפרטית נחשבת לקירוב של תורת היחסות הכללית בתנאים של שדות כבידה חלשים (כאשר המרחב-זמן שטוח, או "מינקובסקי"). תורת היחסות הכללית, לעומת זאת, משלבת גאומטריה לא-אוקלידית כדי לייצג את הכבידה כעיקום של המרחב-זמן.

## הגישה המסורתית המבוססת על שני פוסטולטים

>
> הרהורים מסוג זה הבהירו לי, כבר זמן רב, קצת אחרי 1900, כלומר, זמן קצר לאחר עבודתו פורצת הדרך של פלאנק, שאין בכוחן של המכניקה או האלקטרודינמיקה (למעט במקרי גבול) לטעון לתוקף מדויק. בהדרגה, התייאשתי מהאפשרות לגלות את החוקים האמיתיים באמצעות מאמצים קונסטרוקטיביים המבוססים על עובדות ידועות. ככל שניסיתי זמן רב יותר ונואשות יותר, כך התגבשה בי ההכרה שרק גילויו של עיקרון פורמלי אוניברסלי יוכל להוביל אותנו לתוצאות בטוחות... כיצד, אם כן, ניתן למצוא עיקרון אוניברסלי שכזה?
>
>
>
> — אלברט איינשטיין: "רשימות אוטוביוגרפיות"
>

כפי שמעיד הציטוט, איינשטיין הגיע למסקנה כי הדרך הנכונה אינה לנסות "לתקן" את התאוריות הקיימות, אלא לזהות עקרונות יסוד אוניברסליים שכל תאוריה חייבת לציית להם. הוא זיהה שתי טענות יסוד שנראו הוודאיות ביותר: קביעות מהירות האור בריק, ואי-תלותם של חוקי הפיזיקה בבחירת מערכת הייחוס האינרציאלית. במאמרו המקורי משנת 1905, הוא ניסח את שני הפוסטולטים כך:

* **עקרון היחסות** – החוקים שלפיהם משתנים מצביהן של מערכות פיזיקליות אינם מושפעים מכך ששינויי מצב אלו מתייחסים לאחת או לאחרת מבין שתי מערכות ייחוס הנמצאות בתנועה קווית אחידה זו ביחס לזו.
* **עקרון קביעות מהירות האור** – "...אור מתפשט תמיד בחלל ריק במהירות מוגדרת *c*, שאינה תלויה במצב התנועה של הגוף הפולט אותו". כלומר, אור בריק מתפשט במהירות *c* (קבוע אוניברסלי) לפחות במערכת קואורדינטות אינרציאלית אחת ("המערכת הנייחת"), ללא תלות במצב התנועה של מקור האור.

המוטיבציה לפוסטולט קביעות מהירות האור נבעה מתורת האלקטרומגנטיות של מקסוול (אשר חזתה מהירות אור קבועה) ומהיעדר כל עדות לקיומו של האתר – התווך ההיפותטי שבו האור אמור היה להתפשט. קיימות עדויות סותרות לגבי המידה שבה איינשטיין הושפע ישירות מניסוי מייקלסון-מורלי, הניסוי המפורסם שנכשל בגילוי האתר. כך או כך, התוצאה החד-משמעית של ניסוי מייקלסון-מורלי סייעה לרעיון קביעות מהירות האור להתקבל במהירות בקהילה המדעית.

הפיתוח של תורת היחסות הפרטית אינו נסמך רק על שני פוסטולטים מפורשים אלה, אלא גם על מספר הנחות סמויות. אלו הן הנחות יסוד בסיסיות, המשותפות כמעט לכל תאוריה פיזיקלית, שהתיאוריה מניחה את נכונותן מבלי להצהיר על כך במפורש. ההנחות המרכזיות הן איזוטרופיות של המרחב - העובדה שהמרחב זהה בכל כיוון והומוגניות של המרחב - העובדה שהמרחב זהה בכל נקודה. הנחות אלו חיוניות כדי שניתן יהיה כלל להגדיר "מערכת ייחוס" עקבית; הן מבטיחות שסרגלי מדידה ושעונים יפעלו באופן זהה, ללא תלות במיקומם או בכיוונם במרחב.

## עקרון היחסות

 ערך מורחב – **עקרון היחסות**

### מערכות ייחוס ותנועה יחסית

איור 2-1: מערכת 'S (עם תג) נעה ביחס למערכת S במהירות קבועה *v* לאורך ציר *x* בלבד, מנקודת מבטו של צופה נייח במערכת S. על פי עקרון היחסות, צופה נייח במערכת 'S יראה תיאור דומה, אלא שהמהירות שהוא ימדוד תהיה *v*-. השינוי במהירות התפשטות האינטראקציה, מאינסופית במכניקה הניוטונית למהירות סופית, מחייב שינוי בטרנספורמציות הממפות מאורעות ממערכת אחת לאחרת.
לתורת היחסות תפקיד מכריע במושג מערכת הייחוס. היא מתארת נקודת תצפית במרחב אינרציאלית (שאינה נתונה בתאוצה) וממנה ניתן למדוד מיקום לאורך שלושה צירים מרחביים. למעשה, מאחר שאין מערכת ייחוס אבסולוטית המצויה במנוחה, מערכת ייחוס אינרציאלית, מוגדרת ככזו אם מתקיים בה החוק הראשון של ניוטון. בנוסף, למערכת ייחוס יש את היכולת לקבוע מדידות זמן של מאורעות באמצעות "שעון" (כל אמצעי ייחוס בעל מחזוריות אחידה).

מאורע הוא התרחשות שניתן לייחס לה רגע יחיד בזמן ומיקום יחיד במרחב, ביחס למערכת ייחוס; זוהי "נקודה" במרחב-זמן. מכיוון שמהירות האור קבועה ביחסות, ללא תלות במערכת הייחוס, ניתן להשתמש באותות אור כדי למדוד מרחקים באופן חד-משמעי ולקשר את זמני המאורעות לשעון, גם אם לוקח לאור זמן להגיע לשעון לאחר שהמאורע התרחש.

לדוגמה, התפוצצות של זיקוק יכולה להיחשב "מאורע". ניתן לאפיין מאורע באופן מלא על ידי ארבע הקואורדינטות שלו במרחב-זמן: רגע ההתרחשות ושלושת ממדי המיקום המרחבי. נכנה מערכת ייחוס זו *S*.

בתורת היחסות, עולה לעיתים קרובות הצורך לחשב את הקואורדינטות של מאורע כפי שהן נמדדות ממערכות ייחוס שונות. המשוואות המקשרות בין מדידות שנעשו במערכות שונות נקראות משוואות טרנספורמציה.

### תצורה סטנדרטית

כדי להבין כיצד צופים במערכות ייחוס שונות מודדים קואורדינטות מרחב-זמן, נוח לעבוד עם מערך מפושט המכונה תצורה סטנדרטית. באופן זה, ניתן לפשט את המתמטיקה מבלי לאבד את הכלליות של המסקנות. באיור 2-1, שתי מערכות ייחוס גליליאניות (כלומר, מערכות קרטזיות תלת-ממדיות) מוצגות בתנועה יחסית:

* צירים מקבילים: צירי ה-*x*, *y*, *z* של מערכת S מקבילים לצירים התואמים במערכת 'S.

* תנועה בכיוון אחד: מערכת 'S נעה, לשם הפשטות, בכיוון אחד בלבד – ציר ה-*x* של מערכת S – במהירות קבועה *v* כפי שהיא נמדדת במערכת S.
* ראשית משותפת: ראשית הצירים של שתי המערכות מתלכדות בזמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 עבור מערכת S ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 עבור מערכת 'S.

מכיוון שאין מערכת ייחוס מוחלטת בתורת היחסות, למושג "תנועה" אין משמעות קבועה, שכן כל דבר עשוי לנוע ביחס למערכת ייחוס אחרת. במקום זאת, שתי מערכות הנעות באותה מהירות ובאותו כיוון נחשבות כ"נעות במשותף" (*comoving*). לפיכך, S ו-'S אינן נעות במשותף.

### היעדר מערכת ייחוס מוחלטת

עקרון היחסות, הקובע כי לחוקי הפיזיקה יש אותה צורה בכל מערכת ייחוס אינרציאלית, נוסח לראשונה על ידי גלילאו ושולב בפיזיקה הניוטונית. אולם, בסוף המאה ה-19, גילוי הגלים האלקטרומגנטיים הוביל פיזיקאים להציע שהיקום מלא בחומר שכונה "אתר" (Aether). ההנחה הייתה שהאתר משמש כתווך שדרכו גלים אלה מתפשטים, בדומה לאופן שבו גלי קול מתפשטים באוויר.
האתר נתפס כמערכת ייחוס מוחלטת – מסגרת נייחת וקבועה ביקום, שביחס אליה ניתן למדוד את כל המהירויות. התכונות שיוחסו לאתר היו בעייתיות וסותרות: ההנחה הייתה שהוא אלסטי מספיק כדי לתמוך בהתפשטות גלים אלקטרומגנטיים, אך בו-זמנית אינו מציע כל התנגדות לגופים חומריים העוברים דרכו. תוצאותיהם של ניסויים שונים, שהגיעו לשיאם בניסוי מייקלסון-מורלי ב-1887 (ושאוששו בניסויים מדויקים יותר מאוחר יותר), הראו כי האתר אינו קיים.

הפתרון של איינשטיין היה לנטוש לחלוטין את רעיון האתר ואת מושג המנוחה המוחלטת. בתורת היחסות, כל מערכת ייחוס הנעה בתנועה אחידה תצפה באותם חוקי פיזיקה בדיוק. בפרט, מהירות האור בריק תימדד תמיד כ-*c*, גם כאשר היא נמדדת על ידי מערכות שונות הנמצאות בתנועה יחסית זו לזו.

### יחסות ללא הפוסטולט השני

דרך חלופית ומתוחכמת יותר להגיע לתורת היחסות הפרטית נמנעת מלהניח את קביעות מהירות האור כהנחת יסוד. במקום זאת, היא מבוססת על עקרון היחסות בלבד, בתוספת הנחות יסוד בסיסיות על אחידות המרחב (כלומר, שהוא איזוטרופי – זהה בכל כיוון, והומוגני – זהה בכל נקודה).

ניתן להראות באופן מתמטי כי בהינתן הנחות אלו, קיימות רק שלוש משפחות אפשריות של טרנספורמציות (כללי "תרגום" בין מערכות ייחוס) התואמות את עקרון היחסות: אוקלידיות, גליליאניות או לורנציאניות. במילים אחרות, עקרון היחסות לבדו מאלץ את היקום להתנהג באחת משתי דרכים מציאותיות:

* העולם של ניוטון (טרנספורמציה גליליאנית): זמן מוחלט, מהירויות מתחברות, ואין מהירות גבולית.
* העולם הלורנציאני: זמן ומרחב יחסיים, וקיימת מהירות גבולית סופית ואוניברסלית כלשהי.

הניסויים, ובראשם ניסוי מייקלסון-מורלי, מספקים את ההכרעה: הם מראים כי אכן קיימת מהירות גבולית כזו ביקום, וכי מהירות זו היא מהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ). לכן, המבנה המתמטי של היקום חייב להיות לורנציאני, ותורת היחסות הפרטית נובעת מכך באופן הכרחי.

## טרנספורמציות לורנץ

 ערך מורחב – **טרנספורמציות לורנץ**

טרנספורמציות לורנץ הן הליבה המתמטית של תורת היחסות הפרטית. אלו הן "משוואות התרגום" המאפשרות לחשב כיצד מדידות של זמן ומרחב משתנות כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת לשנייה. הן מחליפות את טרנספורמציות גליליי הישנות של המכניקה הניוטונית (שכללו חיבור מהירויות פשוט), ומבטאות את האופן שבו המרחב והזמן משתנים כדי לשמור על מהירות האור קבועה עבור כל הצופים.

### גישת שני הפוסטולטים מול גישת הפוסטולט היחיד

>
> התובנה היסודית של תורת היחסות הפרטית היא זו: ההנחות של עקרון היחסות ושל קביעות מהירות האור מתיישבות זו עם זו, רק אם מניחים סוג חדש של יחסים ('טרנספורמציית לורנץ') להמרת הקואורדינטות והזמנים של מאורעות... העיקרון האוניברסלי של תורת היחסות הפרטית כלול בפוסטולט: חוקי הפיזיקה הם אינווריאנטיים תחת טרנספורמציות לורנץ...
>
>
>
> — אלברט איינשטיין: *רשימות אוטוביוגרפיות*
>

בעקבות הצגתו המקורית של איינשטיין ב-1905, שהתבססה על שני הפוסטולטים הפיזיקליים, הוצעו ניסוחים חלופיים לתאוריה. בעוד שאיינשטיין דבק בגישתו המקורית לאורך כל עבודתו, הגישה המתמטית, שפותחה במידה רבה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה, נטלה נקודת מוצא אחרת. פואנקרה חקר את המבנה המתמטי של משוואות האלקטרומגנטיות וגילה את אוסף הסימטריות השלם שלהן – חבורת פואנקרה. "חבורת סימטריה" היא האוסף המלא של כל הפעולות המתמטיות (כמו הזזות, סיבובים ומעבר בין מערכות ייחוס) שניתן לבצע מבלי לשנות את צורתם של חוקי הפיזיקה. פואנקרה הראה כי טרנספורמציות לורנץ הן תת-קבוצה הכרחית של חבורה זו. כלומר, איינשטיין הגיע לטרנספורמציות מתוך עקרונות פיזיקליים, בעוד פואנקרה זיהה אותן כחלק מהמבנה המתמטי היסודי של התאוריה.

בעוד שהגישה המסורתית של שני הפוסטולטים מוצגת ברוב ספרי הלימוד, קיימות גישות מודרניות המעדיפות לבסס את התאוריה כולה על פוסטולט יחיד, בעל אופי גאומטרי. במקום להתחיל משני עקרונות פיזיקליים נפרדים, גישות אלו מניחות כעיקרון יסוד את המבנה המתמטי של המציאות עצמה. הן עושות זאת באחת משתי דרכים שקולות:

1. **אינווריאנטיות לורנץ אוניברסלית:** זוהי ההנחה שכל חוקי הטבע, ללא יוצא מן הכלל, חייבים להיות אינווריאנטיים-לורנץ (או "קו-וריאנטיים-לורנץ"). משמעות הדבר היא שצורתן המתמטית של המשוואות הפיזיקליות חייבת להישאר זהה לחלוטין כאשר "מתרגמים" אותן ממערכת ייחוס אחת לאחרת באמצעות טרנספורמציות לורנץ.
2. **הנחת מרחב מינקובסקי:** זוהי הנחה שקולה, הקובעת כי "זירת" ההתרחשות הפיזיקלית היא מרחב מינקובסקי. זהו מודל מתמטי של מרחב-זמן ארבע-ממדי "שטוח", שהגיאומטריה שלו (ה"סרגל" למדידת מרחקים וזמנים) כבר כוללת בתוכה את קביעות מהירות האור ואת כללי טרנספורמציות לורנץ. במקום לגזור את המבנה הזה מהפוסטולטים, גישה זו מניחה אותו כנקודת מוצא.

### טרנספורמציית לורנץ ומשמעותה

בבסיס הניסוח המתמטי של הטרנספורמציות עומד **מקדם לורנץ** (המסומן באות היוונית WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , גמא). מקדם זה הוא גודל חסר ממד המבטא את פקטור קנה המידה של העיוות הקינמטי שחווה המרחב-זמן בעת מעבר בין מערכות ייחוס הנמצאות בתנועה יחסית. מקדם לורנץ קובע באופן ישיר את שיעור ההתארכות של מרווחי הזמן ואת שיעור ההתכווצות של המרחקים המדידים: במהירויות נמוכות בהרבה ממהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ), ערכו של המקדם שואף ל-1 והשפעתו על מערכת הקואורדינטות זניחה; מנגד, ככל שהמהירות היחסית מתקרבת למהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ), ערכו שואף לאינסוף והאפקטים היחסותיים הופכים לדומיננטיים (גזירה פיזיקלית וגאומטרית של המקדם מתוך הנחות היסוד של התאוריה מוצגת בהמשך הערך, ראו סעיף שעון האור של לנז'בן).

כדי לתאר את הטרנספורמציה, נגדיר מאורע שקואורדינטות המרחב-זמן שלו הן WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 במערכת ייחוס WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ("מערכת המעבדה"), ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 במערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , הנעה במהירות קבועה WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ביחס ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . טרנספורמציית לורנץ קובעת את הקשר הליניארי בין הקואורדינטות בשתי המערכות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

כאשר מקדם לורנץ מוגדר מתמטית על פי המהירות היחסית WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ומהירות האור בריק WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 :
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

המשמעות הפיזיקלית של משוואות אלו היא מהפכנית ומערערת על תפיסת המרחב והזמן המוחלטים של המכניקה הניוטונית. המשוואה הראשונה, המתארת את רכיב הזמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , מדגישה כי מדידת הזמן במערכת הנעה אינה זהה לזו שנמדדת במערכת הנייחת, והיא תלויה לא רק ברגע הזמן המקורי WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 אלא גם במיקומו המרחבי של המאורע ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ). תלות הדדית זו מבטאת שזירה מתמטית ומושגית של המרחב והזמן: גדלים שנמדדים כזמן טהור במערכת ייחוס אחת, מתורגמים לשילוב של רכיבי זמן ומרחב במערכת ייחוס אחרת הנעה ביחס אליה.

ביטוי מובהק לשזירה זו הוא יחסיות הסימולטניות: שני מאורעות המתרחשים במיקומים שונים במרחב ונמדדים כבו-זמניים במערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ), לא יימדדו כבו-זמניים במערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ), שכן הפרש הזמנים החדש במערכת הנעה מושפע ישירות מהמרחק המרחבי שהפריד ביניהם במערכת המקורית.

אם פותרים את מערכת המשוואות עבור הקואורדינטות של S (מנקודת המבט של 'S), מתקבלת הטרנספורמציה ההופכית: WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 הסימן החיובי של המהירות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ) במשוואות ההופכיות נובע מכך שמנקודת מבטה של מערכת 'S, מערכת S היא זו שנעה בכיוון ההפוך, במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 . סימטריה זו היא הלב של עקרון היחסות. יצוין כי הבחירה בציר *x* היא שרירותית, והטרנספורמציות חלות באופן דומה על כל כיוון תנועה. כמות הנשמרת ללא שינוי תחת טרנספורמציית לורנץ נקראת סקלר לורנציאני (דוגמת האינטרוול במרחב-זמן).

כאשר מתארים הפרשים בין שני מאורעות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ), המשוואות מקבלות צורה זהה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

### ייצוג גרפי של טרנספורמציית לורנץ

איור 3-1: בניית דיאגרמת מרחב-זמן (דיאגרמת מינקובסקי) להמחשת טרנספורמציית לורנץ.
דיאגרמות מרחב-זמן (הנקראות גם דיאגרמות מינקובסקי) הן כלי עזר חיוני להמחשה חזותית של האופן שבו קואורדינטות משתנות במעבר בין מערכות ייחוס שונות. אף על פי שקשה לבצע באמצעותן חישובים מדויקים (לעומת שימוש ישיר בנוסחאות טרנספורמציית לורנץ), כוחן העיקרי טמון ביכולתן לספק הבנה אינטואיטיבית של התוצאות בתרחישים יחסותיים.536

כדי לשרטט דיאגרמת מרחב-זמן, נתחיל בהתבוננות בשתי מערכות ייחוס, S ו-'S, הנמצאות ב"תצורה סטנדרטית" (ראשית צירים משותפת בזמן 0, תנועה לאורך ציר ה-x), כפי שהוצג באיור 2-1.155–199

**איור 3-1 (a)**: נשרטט את הצירים WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 של מערכת S. ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 הוא אופקי, וציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 (הזמן כפי שהוא נמדד ביחידות של מרחב, כלומר מוכפל במהירות האור) הוא אנכי; זהו סידור הפוך מהמקובל בגרפים קינמטיים קלאסיים. ציר הזמן מוכפל בפקטור WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 כדי שלשני הצירים יהיו יחידות מידה זהות (אורך). בדיאגרמה המוצגת, קווי הרשת מרוחקים זה מזה מרחק יחידה אחת. הקווים האלכסוניים ב-45 מעלות מייצגים את "קווי העולם" (Worldlines) של שני פוטונים העוברים דרך ראשית הצירים בזמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 השיפוע של קווים אלו הוא 1, מכיוון שפוטונים מתקדמים יחידת מרחב אחת לכל יחידת זמן אחת. שני מאורעות, המסומנים ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 סומנו על הגרף כדי שניתן יהיה להשוות את הקואורדינטות שלהם במערכות S ו-'S.

**איור 3-1 (b)**: נשרטט את הצירים WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 של מערכת 'S (המערכת הנעה). ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 מייצג למעשה את קו העולם של ראשית הצירים של 'S, כפי שהוא נמדד במערכת S. באיור זה, המהירות היחסית היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 שני הצירים החדשים, WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , נטויים פנימה ביחס לצירים המקוריים בזווית WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 לכל הצירים (המתויגים והלא-מתויגים) יש ראשית משותפת, מכיוון שהמערכות הוגדרו כך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_102

**איור 3-1 (c)**: היחידות על הצירים המתויגים ('S) הן בעלות קנה מידה שונה מאשר היחידות בצירים המקוריים. מתוך טרנספורמציות לורנץ, ניתן לראות כי הקואורדינטות WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 של הנקודה WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 במערכת המתויגת, מתורגמות ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 במערכת הלא-מתויגת. באופן דומה, הנקודה WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 במערכת המתויגת מתורגמת ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 במערכת הלא-מתויגת. נשרטט קווי רשת המקבילים לציר WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ועוברים דרך הנקודות WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 (כפי שנמדד ב-S), כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 הוא מספר שלם. כמו כן, נשרטט קווי רשת המקבילים לציר WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 דרך הנקודות WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 . באמצעות משפט פיתגורס, ניתן לראות שהמרווח הפיזי בין יחידות הזמן על ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 גדול פי WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 מאשר המרווח בין היחידות על ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 . יחס זה תמיד גדול מ-1, והוא שואף לאינסוף ככל שהמהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 מתקרבת ל-1.

**איור 3-1 (d)**: מכיוון שמהירות האור היא אינווריאנטית (קבועה לכל צופה), קווי העולם של הפוטונים שעברו בראשית ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 עדיין משורטטים כאלכסונים של 45 מעלות גם ביחס לצירים החדשים. הקואורדינטות של המאורעות WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 ב-'S ניתנות לחישוב מדויק דרך הטרנספורמציות, וניתן גם למדוד אותן בקירוב ישירות מהגרף (בהנחה ששורטט במדויק); אולם, היתרון האמיתי של דיאגרמת מינקובסקי הוא בהענקת מבט גאומטרי על המתרחש. למשל, באיור זה אנו רואים בבירור ששני המאורעות, שהיה ביניהם מרחק מרחבי במערכת הלא-מתויגת (היטלים שונים ל-x), נמצאים כעת באותו מיקום בדיוק במרחב של מערכת 'S (הם יושבים על אותו קו אנכי מקווקו המקביל לציר הזמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 ).

בעוד שמערכת הייחוס הלא-מתויגת (S) מצוירת עם צירים המאונכים זה לזה, המערכת המתויגת ('S) מצוירת עם צירים הנפגשים בזוויות חדות. חוסר סימטריה זה נובע מעיוותים בלתי נמנעים במיפוי של קואורדינטות מרחב-זמן אל תוך מישור קרטזי (דף שטוח). מבחינה פיזיקלית, המערכות שקולות לחלוטין.

### אינטרוול אינווריאנטי

ביחסות של גליליי (המכניקה הקלאסית), המרחק המרחבי בין שני מאורעות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 ) והפרש הזמנים ביניהם ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ) הם גדלים נפרדים ובלתי תלויים; כל אחד מהם הוא "אינווריאנט" בפני עצמו – כלומר, ערכו אינו משתנה כשמודדים אותו ממערכות ייחוס שונות. לעומת זאת, בתורת היחסות הפרטית, שזור המרחב והזמן זה בזה יוצר מושג חדש של מרחק משולב, המכונה **אינטרוול אינווריאנטי** ומסומן ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 : WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 כאשר בוחנים את המשמעות הפיזיקלית של האינטרוול WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 , ישנם שלושה מקרים אפשריים:

* **WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 :** במקרה זה, המאורעות מופרדים על ידי "יותר זמן מאשר מרחב", והם מכונים **דמויי-זמן** (timelike). משמעות הדבר היא ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 . בשל כך, ניתן להראות באמצעות טרנספורמציית לורנץ כי קיימת מערכת ייחוס שבה שני המאורעות מתרחשים באותו מקום ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 ). במערכת זו, שבה המאורעות מתרחשים באותה נקודה, הפרש הזמנים ביניהם הוא הקטן ביותר האפשרי והוא נקרא **הזמן העצמי** (Proper time, WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 ). מאורעות שהקשר ביניהם הוא דמוי-זמן יכולים להשפיע סיבתית זה על זה.
* **WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 :** במקרה זה, המאורעות מופרדים על ידי "יותר מרחב מאשר זמן", והם מכונים **דמויי-מרחב** (spacelike). משמעות הדבר היא ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 . במקרה זה, ניתן למצוא מערכת ייחוס שבה שני המאורעות מתרחשים בו-זמנית ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 ). במערכת מיוחדת זו, המרחק המרחבי הנמדד בין המאורעות נקרא **המרחק העצמי** או האורך העצמי ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ). תכונה חשובה של מאורעות דמויי-מרחב היא שסדר הזמנים ביניהם אינו מוחלט; צופה אחד עשוי לראות את מאורע A קודם ל-B, בעוד שצופה אחר יראה את B קודם ל-A. מכיוון שלא ניתן לעבור את מהירות האור, מאורעות אלו אינם יכולים להשפיע סיבתית זה על זה.
* **WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 :** במקרה זה, המאורעות מכונים **דמויי-אור** (lightlike). הקשר בין המרחב לזמן מקיים את היחס WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 . יחס זה נשמר בכל מערכות הייחוס, מה שמצביע על כך שמהירות האור WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 היא גודל קבוע לכל הצופים האינרציאליים. כלומר, בגישה זו (המתחילה מהנחת הסימטריה של לורנץ), קביעות מהירות האור היא מסקנה נגזרת ולא הנחת יסוד. קרני אור נעות תמיד לאורך מסלולים דמויי-אור.

שזירת המרחב והזמן מבטלת את המושגים הקלאסיים של בו-זמניות מוחלטת ושל סנכרון גלובלי בין מערכות שונות.

המבנה של הנוסחה לחישוב WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 – הכולל את ההפרש בין רכיב הזמן לרכיב המרחב (ולא את סכומם) – מצביע על הבדל יסודי בין הגאומטריה של המרחב-זמן לבין הגאומטריה האוקלידית הרגילה. העובדה ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 נשמרת תחת טרנספורמציות לורנץ אנלוגית לשימור המרחק ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 ) תחת סיבוב במרחב רגיל. אף על פי שביחסות יש לזמן ולמרחב מעמד שווה-ערך, סימן המינוס בנוסחה מדגיש שהם אינם זהים במהותם. מרחב שבו המרחק מוגדר כך נקרא מרחב מינקובסקי, והוא שונה ממרחב אוקלידי ארבע-ממדי רגיל. טרנספורמציית לורנץ הכללית (הכוללת גם סיבובים במרחב ושיקופים) שומרת על אינטרוול זה, ולכן נחשבת לאיזומטריה של המרחב-זמן.

לצורך ניתוח של תרחישים פשוטים, נהוג להשתמש בגרסה מופחתת-ממדים של האינטרוול (ממד זמן אחד וממד מרחב אחד): WIKINIUM\_MATH\_PH\_178

הוכחת האינווריאנטיות (השימור) של האינטרוול במקרה פשוט זה, תחת טרנספורמציית לורנץ סטנדרטית, היא תרגיל אלגברי ישיר: WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 התוצאה מראה כי ערכו של WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 זהה בשתי המערכות, ולכן אינו תלוי במערכת הייחוס שבה הוא נמדד.

### יחסיות הסימולטניות

 ערכים מורחבים – **יחסיות הסימולטניות, פרדוקס הסולם והאסם**

איור 4–1. שלושה מאורעות (A, B, C) מתרחשים בו-זמנית במערכת הייחוס של צופה כלשהו **O**. במערכת ייחוס הנעה במהירות *v* = 0.3*c* ביחס ל-**O**, המאורעות מתרחשים בסדר C, B, A. במערכת ייחוס הנעה במהירות *v* = −0.5*c* ביחס ל-**O**, המאורעות מתרחשים בסדר A, B, C. הקווים הלבנים, "קווי הבו-זמניות", נעים מהעבר לעתיד במערכות השונות (צירי קואורדינטות ירוקים), ומדגישים את המאורעות הנמצאים עליהם. הם מייצגים את האוסף הגאומטרי (Locus) של כל המאורעות המתרחשים באותו זמן במערכת המתאימה. האזור האפור הוא קונוס האור ביחס לראשית הצירים של כל המערכות הנידונות.
נבחן שני מאורעות המתרחשים בו-זמנית בשני מיקומים שונים (סימולטנית) במערכת ייחוס של צופה אינרציאלי אחד. מאורעות אלו עשויים להתרחש בזמנים שונים במערכת הייחוס של צופה אינרציאלי אחר. תופעה זו נקראת היעדר בו-זמניות מוחלטת.

מתוך משוואת טרנספורמציית לורנץ עבור הזמן (במונחים של הפרשים):
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184

ברור כי שני מאורעות שהם בו-זמניים במערכת *S* (כלומר, המקיימים WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 ), אינם בהכרח בו-זמניים במערכת אינרציאלית אחרת *S*‎'‎ (כלומר, WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 ). רק אם מאורעות אלו הם גם שווי-מקום (co-local) במערכת *S* (כלומר, מתקיימים באותה נקודה, WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 ), הם יהיו בו-זמניים גם במערכת אחרת *S*‎'‎.

אפקט סניאק יכול להיחשב כביטוי של יחסיות הסימולטניות עבור מערכות ייחוס מקומיות הנעות יחד עם כדור הארץ המסתובב. מכשירים המבוססים על אפקט סניאק, כגון ג'ירוסקופ לייזר טבעתי או ג'ירוסקופ סיב אופטי, מסוגלים להגיע לרמות רגישות קיצוניות.

### התארכות הזמן

משמעותה של תופעת התארכות הזמן היא שמדידת הזמן אינה מוחלטת, אלא תלויה במהירות היחסית שבין הצופה לגוף הנמדד. עבור צופה המודד מערכת הנמצאת בתנועה יחסית אליו, הזמן במערכת הנעה יחלוף בקצב איטי יותר בהשוואה לשעון הנח לצד הצופה (כלומר, "שעונים נעים מתקתקים לאט יותר"). תופעה זו אינה נובעת ממגבלה טכנית של מכשירי המדידה או מאשליה אופטית, אלא משקפת תכונה יסודית של המרחב-זמן.

על פי עקרון היחסות, תופעה זו היא סימטרית לחלוטין: מכיוון שאין מערכת ייחוס מועדפת, צופה הנמצא במערכת "הנעה" רשאי לראות את עצמו כנח ואת הצופה השני כנע בכיוון ההפוך. לכן, כל צופה ימדוד שהשעון של הצופה השני פועל לאט יותר בהשוואה לשעון שלו. מצב זה, שבו כל צופה רואה את זמנו של האחר כאיטי יותר, אינו מוביל לסתירה לוגית, שכן הצופים נמצאים במערכות ייחוס שונות ואינם מסכימים על הבו-זמניות של אירועי המדידה (מתי המדידה התחילה ומתי הסתיימה). אם כן, משך הזמן החולף בין שני מאורעות אינו גודל אינווריאנטי המשותף לכל הצופים, אלא תלוי במהירות היחסית של מערכות הייחוס של הצופים.

נניח ששעון נמצא במנוחה במערכת הלא-מתויגת *S*. מיקומו של השעון בשני "תקתוקים" (פעימות) שונים מאופיין בכך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 (השעון לא זז במערכת שלו). כדי למצוא את היחס בין פרק הזמן שבין התקתוקים כפי שהוא נמדד בשתי המערכות, ניתן להציב תנאי זה בטרנספורמציית לורנץ ולקבל:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 עבור מאורעות המקיימים WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 .
תוצאה זו מראה שפרק הזמן ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 ) בין שני התקתוקים, כפי שהוא נצפה במערכת שביחס אליה השעון נמצא בתנועה (*S*‎'‎), הוא *ארוך* יותר מפרק הזמן ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 ) שנמדד במערכת המנוחה של השעון (*S*). תופעת התארכות הזמן מסבירה מספר תופעות פיזיקליות; למשל, מיואונים מהירים הנוצרים בהתנגשויות של קרניים קוסמיות עם חלקיקים באטמוספירה העליונה של כדור הארץ ונעים לעבר הקרקע, שורדים זמן רב יותר ("חיים" זמן ארוך יותר) מאשר מיואונים איטיים הנוצרים ודועכים במעבדה.

איור 4–2. מערך אינסופי היפותטי של שעונים מסונכרנים המשויכים למערכת הייחוס של צופה. כל מדידה של זמן במקום מסוים נעשית על ידי השעון המקומי באותה נקודה.כדי להבין נכון את האמירה ש"שעונים נעים פועלים לאט יותר", יש להימנע מהטעות הנפוצה של צפייה בשעון ממרחק. במקום זאת, יש לדמיין שמערכת הייחוס שלנו ("המערכת הנייחת") מאוכלסת בצפיפות בשעונים זהים ומסונכרנים, הפזורים בכל נקודה במרחב. כאשר השעון הנע חולף דרך מערך זה, איננו מסתכלים עליו מרחוק; במקום זאת, בכל רגע נתון, הקריאה בשעון הנע מושווית לשעון הנייח הנמצא **ממש לידו** באותו רגע.

הדגשה זו חיונית כדי להבדיל בין תופעת **התארכות הזמן** (שהיא תופעה פיזיקלית אמיתית) לבין אפקטים אופטיים הנובעים מכך שמהירות האור סופית.

* **תצפית ישירה ("לראות"):** אם נסתכל בעין על שעון מתרחק, המידע יגיע אלינו בעיכוב הולך וגדל, והשעון ייראה כאילו הוא פועל לאט יותר (בדומה לאפקט דופלר). זהו עיוות אופטי ולא התארכות הזמן היחסותית.
* **מדידה:** אפקטים יחסותיים מתייחסים למה שקורה לזמן עצמו, לאחר שקיזזנו וניכינו את הזמן שלקח לאור להגיע אל הצופה. המדידה באמצעות "רשת השעונים" מנטרלת את זמן הגעת האור, וחושפת שהזמן במערכת הנעה אכן מתקדם לאט יותר באופן מהותי.

#### שעון האור של לנז'בן

איור 4–3. ניסוי מחשבתי המשתמש ב"שעון אור" להסבר התארכות הזמן.
פול לנז'בן, מתומכיה המוקדמים של תורת היחסות, תרם רבות לפופולריזציה של התאוריה מול ההתנגדות שהפגינו פיזיקאים רבים לרעיונותיו המהפכניים של איינשטיין. בין תרומותיו הרבות ליסודות תורת היחסות הפרטית ניתן למנות עבודה עצמאית על הקשר בין מסה לאנרגיה, בדיקה מעמיקה של פרדוקס התאומים, ומחקרים על מערכות קואורדינטות מסתובבות. שמו נקשר לעיתים קרובות למבנה היפותטי המכונה "שעון אור" (שהומצא במקור על ידי לואיס וטולמן ב-1909), שבו השתמש כדי לבצע גזירה מקורית של טרנספורמציית לורנץ.

שעון אור מתואר כקופסה בעלת דפנות המחזירות אור באופן מושלם, שבה אות אור (פולס) מוחזר הלוך ושוב בין פאות נגדיות. מושג התארכות הזמן נלמד לעיתים קרובות באמצעות שעון אור הנע בתנועה אינרציאלית אחידה, במאונך לקו המחבר את שתי המראות. (לנז'בן עצמו השתמש בשעון אור המכוון במקביל לכיוון התנועה).

נתבונן בתרחיש המוצג באיור 4-3A (למעלה). צופה A מחזיקה שעון אור באורך WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 , וכן שעון עצר אלקטרוני שבאמצעותו היא מודדת כמה זמן לוקח לאות אור לבצע מסלול הלוך-ושוב לאורך שעון האור. למרות שצופה A נעה במהירות ברכבת, מנקודת מבטה פליטת האות וקליטתו בחזרה מתרחשות באותו מיקום מרחבי, והיא מודדת את משך הזמן באמצעות שעון יחיד הממוקם במיקום המדויק של שני המאורעות הללו. עבור האינטרוול שבין שני המאורעות, צופה A מודדת זמן של WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 . פרק זמן הנמדד באמצעות שעון יחיד הנח במערכת ייחוס מסוימת נקרא זמן עצמי (Proper time).

איור 4-3B (צד למטה) ממחיש את אותם שני מאורעות מנקודת מבטו של צופה B, העומד לצד המסילה בזמן שהרכבת חולפת על פניו במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 . במקום לראות תנועה ישרה של מעלה-מטה, צופה B רואה את פולס האור נע במסלול זיג-זג (אלכסוני). עם זאת, בשל הפוסטולט של קביעות מהירות האור, מהירות הפולס לאורך הקווים האלכסוניים הללו היא אותה מהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 שצופה A ראתה עבור הפולס האנכי שלה.

מכיוון שהמהירות הכוללת של האור על האלכסון היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 , והרכיב האופקי של המהירות הוא מהירות הרכבת WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 , הרי שלפי משפט פיתגורס, צופה B מודד את הרכיב ה*אנכי* של מהירות הפולס כ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 .

לכן, הזמן הכולל למסלול הלוך-ושוב הנמדד על ידי B הוא המרחק האנכי הכפול ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 ) מחולק במהירות האנכית: WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 חשוב לשים לב כי עבור צופה B, פליטת האות וקליטתו התרחשו במקומות שונים במרחב, והוא מדד את האינטרוול באמצעות שני שעונים נייחים ומסונכרנים הממוקמים בשתי נקודות שונות במערכת הייחוס שלו. לכן, האינטרוול ש-B מדד *אינו* זמן עצמי, מכיוון שהוא לא מדד אותו באמצעות שעון נח יחיד.

#### התארכות זמן הדדית

בתיאור הנ"ל של שעון האור של לנז'בן, כאמור ההחלטה לתייג צופה אחד כ"נייח" ואת השני כ"נמצא בתנועה" הייתה שרירותית לחלוטין. באותה מידה, ניתן היה להניח שצופה B הוא זה שנושא את שעון האור ונע במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 שמאלה (ביחס ל-A). במקרה כזה, הניתוח היה מתהפך: צופה A הוא זה שהיה מודד שהשעון של B פועל לאט יותר מהשעון המקומי שלו.

אין כאן שום פרדוקס, משום שלא קיים צופה שלישי, "אובייקטיבי" (נכנה אותו C), שיכול להסכים עם המדידות של שניהם בו-זמנית. צופה C חייב בהכרח לבצע את המדידות מתוך מערכת הייחוס שלו עצמו.

* אם מערכת הייחוס של C מתלכדת עם זו של A, אזי C יסכים עם מדידת הזמן של A.
* אם מערכת הייחוס של C מתלכדת עם זו של B, אזי C יסכים עם מדידת הזמן של B.
* אם מערכת הייחוס של C אינה מתלכדת לא עם זו של A ולא עם זו של B, אזי מדידת הזמן של C תהיה שונה מהמדידות של *שניהם* גם יחד.

### פרדוקס התאומים

 ערך מורחב – **פרדוקס התאומים**

ההדדיות של התארכות הזמן בין שני צופים במערכות אינרציאליות נפרדות מובילה לניסוי מחשבתי המכונה "פרדוקס התאומים". הוא נוסח בצורתו הנוכחית על ידי פול לנז'בן ב-1911. לנז'בן דמיין הרפתקן המעוניין לחקור את העתיד של כדור הארץ. הנוסע עולה על רכב חלל המסוגל לנוע במהירות של 99.995% ממהירות האור. לאחר מסע הלוך-ושוב לכוכב סמוך, שאורך שנתיים בלבד מחייו שלו, הוא חוזר לכדור הארץ ומגלה שעברו שם מאתיים שנה.

תוצאה זו נראית מתמיהה, משום שגם הנוסע וגם הצופה שנשאר בכדור הארץ רואים זה את זה כמי שנמצאים בתנועה. בשל ההדדיות של התארכות הזמן, ניתן היה לצפות שכל אחד מהם ימצא שהאחר הזדקן פחות ממנו. במציאות, אין כאן פרדוקס כלל. הסיבה לכך היא שכדי שהצופים יוכלו לבצע השוואה "זה לצד זה" של הזמנים העצמיים שעברו עליהם, הסימטריה של המצב חייבת להישבר: לפחות אחד משני הצופים חייב לשנות את מצב התנועה שלו (כלומר, להאיץ, להסתובב ולחזור) כדי לפגוש את השני.

איור 4-4: ניתוח פרדוקס התאומים באמצעות אפקט דופלר
היכרות עם הפתרון הכללי של הפרדוקס אינה מבטיחה בהכרח את היכולת לחשב את התוצאות הכמותיות הנכונות. פתרונות רבים לחידה זו הוצעו בספרות ונסקרו בערך המורחב על פרדוקס התאומים. להלן נבחן את אחד הפתרונות הללו, המבוסס על ספירת אותות (ניתוח דופלר).

מטרתנו היא להראות שלאחר המסע, שני התאומים מסכימים לחלוטין לגבי מי הזדקן ובכמה, ללא תלות בחוויות השונות שלהם. איור 4-4 מדגים תרחיש שבו התאום המטייל טס במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 אל כוכב המרוחק 3 שנות אור, וחוזר מיד. במהלך המסע, כל תאום שולח אות "דרישת שלום" אחת לשנה (לפי שעונו העצמי) אל התאום השני. בסוף המסע, משווים את ספירת האותות המצטברת.

בשלב הטיסה החוצה (התרחקות), כל תאום קולט את האותות של השני בקצב איטי יותר, המחושב לפי נוסחת דופלר היחסותית: WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 . בשלב זה המצב סימטרי לחלוטין: כל תאום קולט אות אחד של השני על כל שנתיים שעוברות בשעון שלו. הסימטריה נשברת כאשר התאום המטייל מסתובב לחזור, בנקודת ה-4 שנים לפי שעונו. במהלך 4 השנים הנותרות של מסעה (החזרה), היא קולטת את האותות מכדור הארץ בקצב מוגבר של WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 .

המצב שונה עבור התאום שנשאר בכדור הארץ. בגלל הזמן שלוקח לאור להגיע, הוא אינו רואה את אחותו מסתובבת מיד; הוא רואה זאת רק לאחר שחלפו 8 שנים בשעון שלו. לכן, הוא קולט את האותות המהירים מאחותו רק למשך תקופה קצרה מאוד (שנתיים בלבד). על אף שהתאומים אינם מסכימים על מדידת הזמן הכולל, הטבלה להלן (וכך גם התבוננות בדיאגרמת מינקובסקי) מראה שכל תאום מסכים לחלוטין עם האחר לגבי המספר הכולל של האותות שנשלחו והתקבלו. לכן, אין שום פרדוקס.

| נתון | נמדד על ידי הנשאר בבית | איור 4-4 | נמדד על ידי המטייל | איור 4-4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| זמן כולל של המסע |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228  | 10 שנים |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  | 8 שנים |
| מספר האותות הכולל שנשלחו |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232  | 10 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  | 8 |
| הזמן שבו **זוהה** הסיבוב של המטייל |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  | 8 שנים |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  | 4 שנים |
| מספר אותות שנקלטו בקצב ההתחלתי (האיטי) WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  | 4 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252  | 2 |
| הזמן שנותר להמשך המסע |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  | 2 שנים |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_256  | 4 שנים |
| מספר אותות שנקלטו בקצב הסופי (המהיר) WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264  | 4 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  | 8 |
| סך כל האותות שהתקבלו |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274  | 8 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_276  | 10 |
| חישוב של התאום לגבי כמה התאום האחר היה צריך להזדקן |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_278  | 8 שנים |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_280  | 10 שנים |

### התכווצות האורך

ממדיו של גוף (למשל, אורכו) כפי שהם נמדדים על ידי צופה אחד, עשויים להיות קטנים יותר מתוצאות המדידה של אותו גוף בדיוק על ידי צופה אחר. דוגמה מפורסמת לכך היא פרדוקס הסולם, המציג סולם ארוך הנע במהירות הקרובה למהירות האור ומצליח להיכנס לתוך מוסך הקצר ממנו.

כדי להבין זאת, נניח שסרגל מדידה נמצא במנוחה ומיושר לאורך ציר ה-*x* במערכת הלא-מתויגת *S*. במערכת זו, אורך הסרגל מסומן כ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 . כדי למדוד את אורך הסרגל במערכת *S*‎'‎, שביחס אליה הסרגל נמצא בתנועה, יש למדוד את המיקום של שני קצוות הסרגל (המרחק WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 ) בו בזמן באותה מערכת. במילים אחרות, המדידה מאופיינת בכך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 .

אם נציב תנאי זה בנוסחת הטרנספורמציה למרחק, נקבל את היחס בין האורכים WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 עבור מאורעות המקיימים WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 .
תוצאה זו מראה שאורך הסרגל ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 ) כפי שהוא נמדד במערכת שבה הוא נע (*S*‎'‎), קצר יותר מאורכו ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 ) במערכת המנוחה שלו (*S*). מכיוון ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 , האורך הנמדד בתנועה תמיד יהיה קצר יותר.

התארכות הזמן והתכווצות האורך אינן אשליות אופטיות גרידא. התארכות זמן קשורה לאופן שבו אנו מודדים מרווחי זמן בין מאורעות המתרחשים באותו מקום במערכת קואורדינטות נתונה. מרווחי זמן אלו יהיו שונים במערכת קואורדינטות אחרת הנעה ביחס לראשונה (אלא אם כן המאורעות הם בו-זמניים בנוסף להיותם באותו מקום).

באופן דומה, התכווצות האורך קשורה למדידת המרחק שלנו בין מאורעות מופרדים אך בו-זמניים במערכת קואורדינטות נתונה. אם מאורעות אלו אינם באותו מקום, אלא מופרדים במרחק (מרחב), הם *לא* יתרחשו באותו מרחק מרחבי זה מזה כאשר ייראו ממערכת קואורדינטות נעה אחרת.

### טרנספורמציית המהירויות (חיבור מהירויות)

 ערך מורחב – **חיבור מהירויות**

נתבונן בשתי מערכות *S* ו-*S*‎'‎ בתצורה סטנדרטית (תנועה יחסית לאורך ציר ה-x). נניח שחלקיק נע במערכת *S* בכיוון x עם וקטור מהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 . מהי מהירותו WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 במערכת *S*‎'‎?

לפי הגדרת המהירות (מרחק חלקי זמן), ניתן לכתוב: WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 WIKINIUM\_MATH\_PH\_308

נציב את הביטויים עבור WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 מתוך משוואות טרנספורמציית לורנץ, נבצע פעולות אלגבריות פשוטות ונציב חזרה את WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 , כדי לקבל את הנוסחה לטרנספורמציה של המהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 : WIKINIUM\_MATH\_PH\_320

את הקשר ההפוך (חישוב המהירות ב-S מתוך המהירות ב-'S) ניתן לקבל על ידי החלפת המשתנים המתויגים בלא-מתויגים והחלפת WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 : WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 משוואה זו מחליפה את הנוסחה הגליליאנית הפשוטה לחיבור מהירויות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 ). היא מדגימה כיצד מהירויות אינן מתחברות באופן ליניארי פשוט כאשר הן מתקרבות למהירות האור.

כאשר המהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 אינה מיושרת לאורך ציר ה-x (כלומר, יש לה רכיבים גם בצירים המאונכים לכיוון התנועה היחסית), נכתוב: WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334

הטרנספורמציות הישירות וההופכיות למקרה זה (עבור רכיבים בכיוון התנועה ובמאונך לה) הן:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 WIKINIUM\_MATH\_PH\_338

המשוואות לעיל, המכונות "נוסחאות חיבור מהירויות יחסותי", מובילות למספר מסקנות חשובות:

* אם אובייקט (למשל, פוטון) נע במהירות האור במערכת אחת (כלומר WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 ), אזי הוא ינוע במהירות האור בכל מערכת אחרת (בתנאי שהמהירות היחסית WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 ).
* המהירות השקולה של חיבור שתי מהירויות הקטנות מ-c, תהיה תמיד קטנה מ-c. לא ניתן לעבור את מהירות האור על ידי חיבור מהירויות.
* אם שתי המהירויות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 ) קטנות מאוד ביחס למהירות האור, המכנה בנוסחה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 ) מתקרב ל-1, ואנו מקבלים בחזרה את טרנספורמציית גליליי האינטואיטיבית.
* הצמדת מערכת ייחוס לפוטון ("רכיבה על קרן אור", כפי שאיינשטיין דמיין בצעירותו) דורשת טיפול מיוחד בגבולות המתמטיים, שכן עבור WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 הנוסחאות הופכות לבלתי מוגדרות.

חשוב לציין שאין שום ייחוד בכיוון *x* בתצורה הסטנדרטית. הפורמליזם לעיל תקף לכל כיוון, ופירוק וקטורים לרכיבים מאפשר לטפל בכל כיוון תנועה במרחב.

### סיבוב תומאס

איור 4-5. סיבוב תומאס-ויגנר
הרכבה של שתי טרנספורמציות לורנץ (Boosts) שאינן בכיוונים מקבילים (קולינאריים), מניבה טרנספורמציה שאינה רק "דחיפה" (Boost) טהורה, אלא שילוב של דחיפה וסיבוב מרחבי. אפקט זה מכונה **סיבוב תומאס**.

סיבוב תומאס נובע באופן ישיר מיחסיות הסימולטניות. באיור 4-5a, מוט באורך WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 (במערכת המנוחה שלו) עולה אנכית לאורך ציר ה-y במערכת המעבדה.

באיור 4-5b, אותו מוט נצפה ממערכת של רקטה הנעה במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 ימינה. אם נדמיין שני שעונים הממוקמים בקצה השמאלי והימני של המוט ומסונכרנים *ב*מערכת *המוט*, יחסיות הסימולטניות גורמת לכך שצופה ברקטה ימדוד (לא "יראה" בעין, אלא ימדוד) שהשעון בקצה הימני מקדים בזמן את השעון בקצה השמאלי בשיעור של WIKINIUM\_MATH\_PH\_358 . כתוצאה מכך, המוט יימדד כנטוי בזווית.

בניגוד לאפקטים יחסותיים מסדר שני כמו התכווצות האורך או התארכות הזמן (התלויים ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_360 ), אפקט זה הופך למשמעותי גם במהירויות נמוכות יחסית. דוגמה חשובה לכך היא הספין של חלקיקים נעים: נקיפת תומאס היא תיקון יחסותי המתאר את השינוי בכיוון הספין של חלקיק אלמנטרי (או גירוסקופ) הנע במסלול עקום. התיקון מקשר בין המהירות הזוויתית של הספין לבין המהירות הזוויתית של התנועה המסלולית.

סיבוב תומאס מספק גם את הפתרון ל"פרדוקס המוט והחור" המפורסם (גרסה דו-ממדית של פרדוקס הסולם).

### סיבתיות ואיסור על תנועה מהירה מהאור

 ערך מורחב – **סיבתיות**

איור 4–6. קונוס האור
באיור 4-6, המרווח בין מאורע A ("הסיבה") למאורע B ("התוצאה") הוא **דמוי-זמן**; כלומר, קיימת מערכת ייחוס שבה A ו-B מתרחשים באותו *מיקום במרחב*, ומופרדים רק בזמן. אם A קודם ל-B במערכת זו, אזי A יקדים את B בכל מערכת ייחוס אחרת אליה ניתן להגיע באמצעות טרנספורמציית לורנץ. במצב זה, חומר או מידע יכולים לנוע (במהירות נמוכה ממהירות האור) מ-A ל-B, ולכן ייתכן קשר סיבתי ביניהם (A גרם ל-B).

לעומת זאת, המרווח AC בדיאגרמה הוא **דמוי-מרחב**; כלומר, קיימת מערכת ייחוס שבה A ו-C מתרחשים בו-זמנית, ומופרדים רק במרחב. קיימות מערכות שבהן A קודם ל-C (כמו באיור), ומערכות אחרות שבהן C קודם ל-A. עם זאת, לא קיימת שום מערכת ייחוס שבה A ו-C מתרחשים באותו מיקום. לו היה מתקיים קשר סיבה-ותוצאה בין A ל-C, היו נוצרים פרדוקסים של סיבתיות.

לדוגמה, אם ניתן היה לשלוח אותות מהר יותר מהאור, אזי ניתן היה לשלוח אותות אל העבר של השולח (ראה צופה B בדיאגרמות). ניתן היה לבנות מגוון פרדוקסים הנובעים מכך (כמו "פרדוקס הסבא").

איור 4-7. הפרת סיבתיות באמצעות שימוש ב"משדרים מיידיים" פיקטיביים: (a) תחילת התרחיש. (b) המקבל מקבל את ההודעה לפני ששלח אותה.איור 4–7. הדגמת הפרת סיבתיות (פרדוקס של שליחת מסר לעבר) הנוצרת כאשר מניחים שניתן לתקשר במהירות אינסופית.
נתבונן בדיאגרמות המרחב-זמן באיור 4-7. A ו-B עומדים לצד מסילת רכבת. רכבת מהירה חולפת על פניהם, כש-C יושב בקרון האחרון ו-D בקרון הראשון. קווי העולם של A ו-B הם אנכיים ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 ), ומייצגים את עמידתם במקום. קווי העולם של C ו-D נטויים קדימה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 ), ומייצגים את תנועתם המהירה כפי שהיא נצפית מהקרקע.

1. **איור 4-7a:** ברגע ש-B חולף על פני הקרון הראשון (D), הוא מוסר לו הודעה. D שולח מיד את ההודעה לאורך הרכבת אל C בקרון האחרון, באמצעות "משדר מיידי" (הפועל במהירות אינסופית). קו העולם של הודעה זו הוא החץ האדום העבה לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 ; זהו קו של בו-זמניות במערכת הרכבת. אולם, במערכת הקרקע (של A ו-B), האות מגיע ל-C בזמן *מוקדם* יותר מהזמן שבו נשלח.
2. **איור 4-7b:** ברגע ש-C מקבל את ההודעה (בזמן שהוא חולף על פני A), הוא מוסר אותה ל-A. כעת A שולח את ההודעה לאורך הפסים אל B באמצעות "משדר מיידי" משלו. קו העולם של הודעה זו הוא החץ הכחול העבה לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 . כפי שניתן לראות בדיאגרמה, B יקבל את ההודעה (את התשובה של עצמו) לפני שהוא בכלל שלח אותה מלכתחילה. זוהי הפרת סיבתיות מובהקת.

אין צורך שהאותות יהיו מיידיים (מהירות אינסופית) כדי להפר סיבתיות. גם אם האות מ-D ל-C היה נע מעט לאט יותר ממהירות אינסופית (אך עדיין מהר מהאור), וגם האות מ-A ל-B, עדיין היה ניתן ליצור מצב שבו B מקבל את ההודעה לפני ששלח אותה. על ידי הגדלת מהירות הרכבת למהירות הקרובה לאור, הצירים WIKINIUM\_MATH\_PH\_370 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 "נמעכים" ומתקרבים לקו המקווקו של מהירות האור. במצב זה, ניתן להדגים שאפילו אותות המהירים רק *במעט* ממהירות האור יובילו להפרת סיבתיות.

לפיכך, אם אנו מניחים שסיבתיות היא עיקרון יסוד שנשמר בטבע, אחת המסקנות ההכרחיות של תורת היחסות הפרטית היא ששום מידע או עצם חומרי אינם יכולים לנוע בריק מהר יותר ממהירות האור.

יש לסייג כי רק חומר ואנרגיה מוגבלים על ידי מהירות האור. ניתן לתאר מצבים טריוויאליים שבהם "נקודות דמיוניות" או גאומטריות נעות מהר מהאור. למשל, המיקום שבו אלומת זרקור פוגעת בתחתית ענן רחוק יכול לנוע מהר מהאור אם מסובבים את הזרקור במהירות מספקת. עם זאת, כתם האור אינו עצם פיזיקלי מוצק, והוא אינו יכול להעביר מידע מנקודה לנקודה על הענן במהירות זו (כל פוטון בכתם מגיע מהזרקור, לא מהנקודה השכנה בענן), ולכן אין כאן הפרת סיבתיות.

## אפקטים אופטיים

### אפקטי גרירה

איור 5–1: תרשים מפשט של ניסוי פיזו משנת 1851.
בשנת 1850 קבעו היפוליט פיזו ולאון פוקו, באופן בלתי תלוי, כי האור נע במים לאט יותר מאשר באוויר. קביעה זו איששה את תחזית תורת הגלים של האור של אוגוסטן-ז'אן פרנל והפריכה את התחזית המקבילה של התאוריה החלקיקית (הקורפוסקולרית) של ניוטון. מדידה זו בוצעה במים נייחים, אך עוררה את שאלה על מהירות האור במים זורמים.

כדי לענות על כך, ערך פיזו ניסוי בשנת 1851(ראו איור 5-1). אלומת אור מפוצלת לשניים באמצעות מפצל אלומה, ושתי האלומות המפוצלות עוברות בכיוונים מנוגדים דרך צינור שבו זורמים מים. לאחר מכן הן משולבות מחדש כדי ליצור פסי התאבכות, המעידים על הפרש באורך המסלול האופטי, שבהם יכול צופה להבחין. הניסוי הדגים כי גרירת האור על ידי המים הזורמים גרמה להסטה של פסי ההתאבכות, דבר שהוכיח כי תנועת המים השפיעה על מהירות האור.

לפי התאוריות שהיו רווחות באותה תקופה, מהירותו של אור המתפשט דרך תווך נע אמורה להיות סכום אלגברי פשוט של מהירותו בתוך התווך ומהירות התווך עצמו. בניגוד לציפיות, פיזו מצא כי אף על פי שהאור אכן נגרר על ידי המים, שיעור הגרירה היה נמוך בהרבה מהצפוי. אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 היא מהירות האור במים נייחים, WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 היא מהירות המים, ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_378 היא מהירות האור הנמדדת במערכת המעבדה (כאשר זרם המים מתווסף למהירות האור או מופחת ממנה), אזי התוצאה שנתקבלה בניסוי היא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380

תוצאותיו של פיזו, אף שעלו בקנה אחד עם השערתו המוקדמת של פרנל בדבר גרירה חלקית של האתר, היו מטרידות ביותר עבור הפיזיקאים של אותה תקופה. בין היתר, נוכחותו של רכיב המכיל את מקדם השבירה פירושה היה שמאחר ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 תלוי באורך הגל, על האתר להיות מסוגל לקיים תנועות שונות בו-זמנית עבור אורכי גל שונים. מגוון הסברים תאורטיים הוצעו כדי ליישב את מקדם הגרירה של פרנל, אך הם סתרו זה את זה לחלוטין. עוד לפני ניסוי מייקלסון-מורלי, תוצאות הניסוי של פיזו היו לאחת התצפיות המרכזיות שיצרו משבר מדעי חריף בניסיון להסביר את האופטיקה של גופים נעים.

מנקודת המבט של תורת היחסות הפרטית, תוצאתו של פיזו אינה אלא קירוב מתמטי של הנוסחה היחסותית להרכבת מהירויות (נוסחה 10):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_384

### אברציה יחסותית של אור

איור 5–2: איור של אברציה כוכבית (סטיית האור).
בשל מהירותו הסופית של האור, כאשר קיים רכיב מהירות רוחבי (ניצב) בתנועה היחסית שבין מקור האור לצופה, הכיוון הזוויתי שבו האור נקלט בפועל יוסט בהשוואה למיקומו הגאומטרי הממשי של המקור במרחב באותו רגע. החישוב הקלאסי של הסטה זו לבש שתי צורות מתמטיות שונות והניב תחזיות סותרות, בהתאם לשאלה איזו ישות נעה ביחס לתווך האתר ההיפותטי:

1. (1) **אם הצופה נמצא בתנועה**, ההסטה היא תולדה של **אברציה של אור**. תופעה זו נובעת משינוי כיוון התפשטותה של קרן האור במערכת הייחוס של הצופה הנע, כתוצאה מחיבור וקטורי של מהירות האור ומהירות הצופה. מבחינה מעשית, כדי שקרן אור החודרת לתוך שפופרת של טלסקופ נע תגיע לעינו של הצופה מבלי לפגוע בדפנות המכשיר, יש להטות את הטלסקופ מעט קדימה לעבר כיוון התנועה; בשל הטיה זו, המקור מיוחס למיקום זוויתי שונה במרחב.
2. (2) **אם המקור נמצא בתנועה**, ההסטה היא תולדה של **תיקון זמן-אור** (Light-time correction). במקרה זה, בשל משך הזמן שנדרש לאור לעבור את המרחק מהמקור אל הצופה, המקור הספיק להתקדם במסלולו בזמן שהאור עשה את דרכו. הצופה קולט את הקרן ומייחס את כיוונה למיקום שבו שהה הגוף בעבר, ברגע פליטת האור, ולא למיקומו הגאומטרי הממשי ברגע הקליטה.

ההסבר הקלאסי כשל במבחן הניסיוני. מאחר שזווית האברציה תלויה ביחס שבין מהירות הצופה למהירות האור הפוגע, מעבר של האור דרך תווך בעל מקדם שבירה (המשנה את מהירות האור בתוכו) אמור היה לשנות את זווית האברציה הנמדדת. בשנת 1810 ניסה פרנסואה אראגו להשתמש בתופעה צפויה זו בניסיון שלא צלח למדוד את מהירות האור, ובשנת 1870 בחן ג'ורג' איירי את ההשערה באמצעות טלסקופ שמולא במים. איירי מצא כי בניגוד לציפיות התאורטיות, האברציה שנמדדה הייתה זהה לחלוטין לאברציה שנמדדת באמצעות טלסקופ רגיל המלא באוויר. ניסיון "מסורבל" ליישב תוצאות אלו נעשה באמצעות השערת הגרירה החלקית של האתר, אולם השערה זו לא התיישבה עם תוצאות ניסוי מייקלסון-מורלי, אשר תבע לכאורה גרירה מלאה של האתר.

תחת ניתוח המבוסס על מערכות ייחוס אינרציאליות בתורת היחסות הפרטית, שתי התופעות הללו מתמזגות: הביטוי היחסותי לאברציה של אור מוחל באופן מאוחד ואחיד הן עבור מקרה של צופה נע והן עבור מקור נע, שכן התופעה תלויה אך ורק במהירות היחסית ביניהם ולא בתנועה מוחלטת ביחס לתווך כלשהו. בספרות המקצועית פורסמו מגוון נוסחאות שקולות מבחינה טריגונומטרית לתיאור הסטה זו. במונחי המשתנים המוגדרים באיור 5-2, נוסחאות אלו כוללות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386 או: WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 או: WIKINIUM\_MATH\_PH\_390

### אפקט דופלר היחסותי

#### אפקט דופלר היחסותי האורכי

אפקט דופלר הקלאסי (המוכר מגלי קול) תלוי באופן מובהק בשאלה איזה רכיב נמצא בתנועה – המקור, הקולט או שניהם – ביחס לתווך שבו הגל מתפשט (כמו אוויר או מים). לעומת זאת, אפקט דופלר היחסותי, העוסק בגלי אור, אינו תלוי בקיומו של תווך נושא כלשהו, שכן מהירות האור קבועה עבור כל הצופים. אף על פי כן, ניתן לגזור את הסטת דופלר היחסותית עבור המקרה האורכי, שבו המקור והקולט נעים בקו ישר ישירות זה לקראת זה או זה הרחק מזה , על בסיס המשוואות של התופעה הקלאסית, תוך התאמתן באמצעות הוספת איבר המבטא את התארכות הזמן היחסותית. גישה זו היא שתתואר להלן.

נניח כי הקולט והמקור משנים את המרחק ביניהם ומתרחקים זה מזה במהירות יחסית קבועה WIKINIUM\_MATH\_PH\_392 , כפי שהיא נמדדת על ידי צופה הנמצא על הקולט או על המקור (מוסכמת הסימנים הננקטת כאן היא ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 מקבל ערך שלילי אם הקולט והמקור נעים זה לקראת זה). אם נניח תחילה, לצורך הניתוח בשלב הביניים, כי המקור נייח נקודתית בתווך, אזי הנוסחה הקינמטית הקלאסית עבור התדר הנקלט WIKINIUM\_MATH\_PH\_396 תהיה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_398 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 מייצג את מהירות התפשטות הגל בתווך (במכניקה הקלאסית, מהירות הקול).

עבור גלי אור במרחב, כאשר הקולט נע במהירות יחסית גבוהה (המתקרבת למהירות האור), חלה תופעת התארכות הזמן: השעונים במערכת הייחוס של הקולט פועלים לאט יותר בהשוואה לשעונים במערכת הייחוס של המקור. בשל האטה זו בקצב תקתוק השעון של הצופה, תדר הגל כפי שהוא נמדד בפועל על ידי הקולט ישתנה. כאשר מכפילים את הביטוי הקלאסי בפקטור לורנץ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 ) כדי לשקלל את עיוות הזמן, מתקבל התדר הנקלט היחסותי: WIKINIUM\_MATH\_PH\_404

הפרמטרים מוגדרים על פי המהירות היחסית ומהירות האור בריק:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_406
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 הוא מקדם לורנץ.

ביטוי מתמטי זהה לחלוטין עבור הסטת דופלר היחסותית מתקבל גם כאשר מנהלים את הניתוח הפיזיקלי מנקודת מבטה של מערכת הייחוס של הקולט, שבה המקור הוא זה שנמצא בתנועה. עקביות זו מדגישה את עקרון היחסות: מאחר שאין ליקום מערכת מנוחה מוחלטת ("אתר"), הסטת התדר הפיזיקלית נקבעת אך ורק על פי המהירות היחסית שבין שני הגופים.

#### אפקט דופלר הרוחבי

איור 5–3: אפקט דופלר הרוחבי בשני תרחישים: (a) הקולט נע במסלול מעגלי סביב המקור; (b) המקור נע במסלול מעגלי סביב הקולט.
אפקט דופלר הרוחבי הוא אחת מהתחזיות המרכזיות והחדשניות ביותר של תורת היחסות הפרטית.

מבחינה קלאסית, ניתן היה לצפות כי אם המקור והקולט נעים בכיוון מאונך (רוחבי) זה לזה – ללא כל רכיב מהירות אורכי לאורך קו הראייה המקשר ביניהם באותו רגע – המרחק הרגעי ביניהם לא ישתנה, ולפיכך לא תחול כל הסטת דופלר בתדירות האור המגיע אל הקולט.

תורת היחסות הפרטית חוזה אחרת. איור 5-3 ממחיש שתי וריאציות נפוצות של תרחיש זה, אשר את שתיהן ניתן לנתח במדויק באמצעות שיקולים פשוטים של התארכות זמן קינמטית.

* **באיור 5-3a:** הקולט מודד את האור המגיע מהמקור כשהוא מוסט לכחול (תדר גבוה יותר) בפקטור של WIKINIUM\_MATH\_PH\_410 . הסטה זו נובעת מכך ששעונו של הקולט הנע מאיט עקב התארכות הזמן; מאחר ש"השנייה" של הקולט ארוכה יותר, הוא ימדוד מספר רב יותר של מחזורי גל הנכנסים לטלסקופ שלו בכל יחידת זמן מקומית.
* **באיור 5-3b:** האור הנקלט מוסט לאדום (תדר נמוך יותר) באותו פקטור בדיוק. במקרה זה, המקור הוא היישות שנמצאת בתנועה מעגלית, ושעונו המאט גורם לו לפלוט את חזיתות גל האור בקצב איטי יותר (בתדירות נמוכה יותר) כפי שהדבר נמדד במערכת הייחוס של הקולט הנייח במרכז.

### מדידה לעומת מראה חזותי

 ערך מורחב – **סיבוב טרל**

איור 5–4: השוואה בין התכווצות האורך המדודה של קובייה לבין המראה החזותי שלה בפועל.
התארכות הזמן והתכווצות האורך אינן אשליות אופטיות, אלא תופעות פיזיקליות ממשיות לחלוטין. קיומן של תופעות אלו אינו תולדה של אפקט דופלר, והן אינן נובעות מהזנחה מתמטית של הזמן שלוקח לאור לנוע מהמאורע אל הצופה.

המדע מבחין הבחנה יסודית בין "מדידה" (או תצפית) לבין "מראה חזותי" (מה שהעין רואה בפועל). צורתו המדודה של גוף היא מפת קואורדינטות היפותטית (מעין "תצלום בזק") של כל נקודות הגוף כפי שהן קיימות באותו רגע בדיוק במערכת הייחוס של הצופה. לעומת זאת, המראה החזותי של הגוף מושפע מכך שלקרני האור היוצאות מנקודות שונות על פניו נדרשים משכי זמן שונים כדי להגיע אל עין הצופה, בשל המרחקים השונים שעליהן לעבור.

איור 5–5: השוואה בין התכווצות האורך המדודה של גלובוס לבין המראה החזותי שלו, כפי שהוא נצפה ממרחק השווה לשלושה מקטרים של הגלובוס מהעין אל הצלב האדום.
במשך שנים רבות, הבחנה זו לא זכתה להכרה נרחבת, והסברה הרווחת הייתה שגוף שחווה התכווצות אורך וחוצה את שדה הראייה של צופה, אכן ייראה לעיניו כשהוא מכווץ. בשנת 1959 הראו ג'יימס טרל ורוג'ר פנרוז, באופן בלתי תלוי, כי הפרשי הזמנים בהגעת האותות מחלקיו השונים של הגוף הנע גורמים לכך שהמראה החזותי של גוף מהיר שונה לחלוטין מצורתו המדודה. למשל, גוף מתרחק ייראה מכווץ, גוף מתקרב ייראה מוארך, וגוף החולף על פני הצופה יקבל מראה מעוות הדומה לסיבוב מרחבי של הגוף סביב צירו. תכונה מעניינת נוספת היא שגוף כדורי (ספירה) המצוי בתנועה ישמור תמיד על מתאר מעגלי מושלם בעיני הצופה בכל מהירות, מכל מרחק ובכל זווית צפייה, אף שפני השטח של הכדור והציורים שעליהם ייראו מעוותים לחלוטין.

איור 5–6: גלקסיית M87 פולטת סילון של אלקטרונים וחלקיקים תת-אטומיים אחרים המונע על ידי חור שחור ונע במהירות הקרובה למהירות האור.
איורים 4-5 ו-5-5 מדגימים שניהם עצמים הנעים בכיוון מאונך לקו הראייה. באיור 4-5, קובייה נצפית ממרחק הגדול פי ארבעה מאורך צלעותיה. במהירויות גבוהות, דפנות הקובייה המאונכות לכיוון התנועה מקבלות מראה היפרבולי. הקובייה עצמה אינה מסתובבת פיזית; במקום זאת, לאור המגיע מחלקה האחורי של הקובייה לוקח זמן רב יותר להגיע אל העין בהשוואה לאור המגיע מחלקה הקדמי, ובפרק זמן זה הספיקה הקובייה כולה להתקדם ימינה בשדה הראייה. במהירויות גבוהות, הכדור באיור 5-5 מקבל מראה של דיסק פחוס המוטה בזווית של עד WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 ביחס לקו הראייה. אם תנועת הגופים אינה מאונכת לחלוטין אלא כוללת גם רכיב מהירות אורכי (התקרבות או התרחקות), עשויים להיווצר עיוותי פרספקטיבה קיצוניים עוד יותר. אשליה אופטית זו נודעה בשם **סיבוב טרל** או אפקט טרל-פנרוז.

דוגמה נוספת שבה המראה החזותי עומד בסתירה למדידה הפיזיקלית היא תופעת התנועה העל-אורית המדומה (Apparent superluminal motion), הנצפית בגלקסיות רדיו שונות, בגופי BL Lac, בקוואזרים ובעצמים אסטרונומיים אחרים הפולטים סילוני חומר במהירות יחסותית בזוויות חדות מאוד ביחס לצופה בהם. כתוצאה מזווית זו נוצרת אשליה אופטית המקנה לסילון מראה כאילו הוא נע במהירות הגבוהה ממהירות האור. באיור 5-6, גלקסיית M87 פולטת סילון חלקיקים מהיר הפונה כמעט ישירות אלינו, אך אפקט טרל-פנרוז גורם לסילון להיראות כאילו הוא מתפשט הצידה באופן המותח את ממדיו, בדומה לעיוות שחווה הקובייה באיור 5-4.

## דינמיקה

בעוד שהדיון עד כה התמקד בקינמטיקה, חקר התנועה במרחב-זמן מנקודת מבט גאומטרית וללא התחשבות בגורמים לה, חלק זה עובר לעסוק בדינמיקה היחסותית. הדינמיקה מעתיקה את מרכז הכובד אל מושגי היסוד של המסה, הכוח והאנרגיה, ומשלבת עקרונות פיזיקליים וחוקי שימור אשר אינם נגזרים באופן בלעדי מטרנספורמציית לורנץ כשלעצמה, אלא מרחיבים אותה אל עולם החומר והקרינה.

### שקילות המסה והאנרגיה

 ערך מורחב – **שקילות מסה ואנרגיה**

שקילות מסה ואנרגיה היא אחת התוצאות המרכזיות והעמוקות של תורת היחסות הפרטית. האנרגיה והתנע, המהווים גדלים נפרדים ובלתי תלויים במכניקה הניוטונית, מתלכדים בתורת היחסות לכדי ישות מתמטית אחת המכונה **ארבע-וקטור** (וקטור בעל ארבעה רכיבים המאחד את ממדי המרחב והזמן). כדי לאחד את האנרגיה והתנע לווקטור משותף אחד, נדרש להביא אותם לאותן יחידות מידה; הדבר נעשה על ידי חלוקת רכיב האנרגיה במהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_414 ). מבנה זה קושר בין רכיב הזמן (האנרגיה) לבין רכיבי המרחב (התנע) באופן לא-טריוויאלי, שכן טרנספורמציית לורנץ "מערבבת" בין הזמן למרחב בעת מעבר בין מערכות ייחוס משתנות.

עבור גוף הנמצא במנוחה, הארבע-וקטור של האנרגיה והתנע (הנקרא ארבע-תנע) מוגדר בצורה הפשוטה WIKINIUM\_MATH\_PH\_416 : יש לו רכיב זמן יחיד המייצג את האנרגיה שלו, בעוד שלושת רכיבי המרחב שלו (התנע) שווים לאפס. כאשר עוברים למערכת ייחוס נעה באמצעות טרנספורמציית לורנץ לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_418 במהירות נמוכה WIKINIUM\_MATH\_PH\_420 , רכיבי הווקטור משתנים והוא מקבל את הצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_422 . השינוי ברכיב השני נובע מכך שחלק מרכיב הזמן (האנרגיה) "זלג" והפך לרכיב מרחבי (תנע) עקב התנועה היחסית. במצב זה, רכיב התנע המרחבי שווה לאנרגיה כפול המהירות, כשהיא מחולקת בריבוע מהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_424 ). מכיוון שבמהירויות נמוכות המסה הניוטונית הקלאסית מוגדרת פשוט כיחס שבין התנע למהירות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_426 ), הרי שהשוואת הגדלים הללו מובילה ישירות לכך שהמסה שווה ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_428 – ומכאן הנוסחה המפורסמת WIKINIUM\_MATH\_PH\_430 .

האנרגיה והתנע הם תכונות פיזיקליות אינהרנטיות של חומר ושל קרינה. לא ניתן להסיק כי הם מתלכדים לכדי מבנה של ארבע-וקטור אך ורק מתוך שני הפוסטולטים הבסיסיים של תורת היחסות הפרטית כשלעצמם, שכן פוסטולטים אלו מגדירים את גאומטריית המרחב והזמן בלבד, ואינם דנים ישירות בחומר או בקרינה. משום כך, גזירת הקשר מחייבת שיקולים פיזיקליים משלימים.

במאמרו המקורי משנת 1905, השתמש איינשטיין בעקרונות עזר נוספים, ובהם ההנחה כי חוקי המכניקה הניוטונית חייבים להישאר תקפים כקירוב מצוין במהירויות נמוכות (כך שמתקבלים סקלר אנרגיה יחיד ווקטור תלת-ממדי עבור התנע), וכן שחוקי השימור של האנרגיה והתנע מתקיימים באופן מוחלט ומדויק בתורת היחסות. יתרה מכך, הוא הניח כי האנרגיה של הקרינה האלקטרומגנטית משתנה תחת מעבר בין מערכות ייחוס על פי אותו פקטור של הסטת דופלר שבו משתנה התדר שלה. הנחה זו נשענת על היסודות של הפיזיקה המודרנית (לפיהם האנרגיה של קרינה פרופורציונלית ישר לתדר שלה על פי קשר פלאנק, WIKINIUM\_MATH\_PH\_432 ), ואיינשטיין הוכיח קודם לכן באותו שנתון כי היא מתחייבת מתוך משוואות מקסוול. מאמרו הראשון של איינשטיין בנושא זה נשא את הכותרת "האם האינרציה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו?" (1905). אף על פי שטיעונו של איינשטיין במאמר זה מקובל כיום באופן כמעט אוניברסלי על ידי פיזיקאים כנכון ואף אלגנטי בפשטותו, לאורך השנים היו חוקרים שטענו כי נפלו בו כשלים לוגיים. מחברים אחרים הציעו כי הטיעון פשוט אינו חד-משמעי ומכריע דיו, כיוון שהוא נשען על מספר הנחות סמויות שלא נוסחו במפורש.

איינשטיין עצמו הכיר בפולמוס סביב הגזירה שלו במאמר סקירה מקיף שפרסם ב-1907 על תורת היחסות הפרטית. שם הוא ציין כי ההסתמכות הבלעדית על משוואות מקסוול לצורך הטיעון היוריסטי של שקילות המסה והאנרגיה מעוררת קושי מסוים. הוא הסביר כי ניתן אמנם להחיל את הטיעון המופיע במאמרו מ-1905 על פליטה של כל חלקיק חסר מסה באשר הוא, אך משוואות מקסוול נדרשות שם באופן סמוי כדי להבהיר שפליטת קרינה אלקטרומגנטית, בפרט, כרוכה בביצוע עבודה מכנית. לפי תורת החשמל והמגנטיות, כדי לייצר ולפלוט קרינה אלקטרומגנטית יש להניד חלקיק טעון חשמלית; פעולה זו דורשת הפעלת כוח וביצוע עבודה מכנית כנגד השדה החשמלי שמפעיל החלקיק. מכיוון שהגוף הפולט משקיע עבודה ומאבד אנרגיה כדי ליצור את הקרינה הזו, האינרציה (המסה) שלו חייבת לקטון בהתאם.

### הפיתוח של איינשטיין משנת 1905 ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_434

במאמרו הרביעי מבין מאמרי שנת הפלאות (1905), הציג איינשטיין טיעון היוריסטי (טיעון המבוסס על תובנה פיזיקלית וקירובים, ולא על הוכחה מתמטית פורמלית וסגורה) לשקילות המסה והאנרגיה. אף על פי שמחקרים מאוחרים יותר ביססו את העובדה כי טיעוניו במאמר זה היו חסרים מבחינה לוגית ולא היוו הוכחה מוחלטת (כפי שצוין לעיל), המסקנות שאליהן הגיע עמדו במבחן הזמן.

כנקודת מוצא לטיעון, הניח איינשטיין את הנוסחה שפיתח זה מכבר עבור אפקט דופלר היחסותי, את חוקי שימור האנרגיה ושימור התנע, ואת הקשר הפרופורציונלי בין תדר הקרינה האלקטרומגנטית לבין האנרגיה שלה, כפי שנובע ממשוואות מקסוול.

הניסוי המחשבתי של איינשטיין (1905) לגזירת WIKINIUM\_MATH\_PH\_436 : (למעלה) גוף במנוחה במערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_438 הפולט צמד פולסי קרינה אלקטרומגנטית, (למטה) אותה מערכת כפי שהיא נצפית ממערכת נעה WIKINIUM\_MATH\_PH\_440 שבה חלה הסטת דופלר יחסותית.איור 6–1: הגזירה של איינשטיין משנת 1905 לקשר שבין מסה לאנרגיה.
**איור 6-1 (למעלה):** נתבונן במערכת של גלים מישוריים של קרינה אלקטרומגנטית בעלי תדירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_442 , המתפשטים בכיוון היוצר זווית WIKINIUM\_MATH\_PH\_444 ביחס לציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_446 במערכת ייחוס WIKINIUM\_MATH\_PH\_448 . התדירות (ומכאן גם האנרגיה) של הגלים, כפי שהיא נמדדת במערכת הייחוס WIKINIUM\_MATH\_PH\_450 הנעה לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_452 במהירות קבועה WIKINIUM\_MATH\_PH\_454 , נתונה על ידי הנוסחה לאפקט דופלר היחסותי שאיינשטיין פיתח במאמרו על תורת היחסות הפרטית:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_456
מכיוון שהאנרגיה של קרינה אלקטרומגנטית תלויה ישירות בתדר שלה (על פי קשר פלאנק, WIKINIUM\_MATH\_PH\_458 ), יחס תדירויות זה קובע במדויק גם את שינוי האנרגיה של הגל במעבר בין מערכות הייחוס.

**איור 6-1 (למטה):** נתבונן בגוף כלשהו הנמצא במנוחה במערכת הייחוס WIKINIUM\_MATH\_PH\_460 . נניח שגוף זה פולט בו-זמנית צמד פולסים של קרינה אלקטרומגנטית בעלי אנרגיה זהה ובכיוונים מנוגדים לחלוטין, בזווית WIKINIUM\_MATH\_PH\_462 ביחס לציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_464 . כל פולס נושא עמו אנרגיה שגודלה WIKINIUM\_MATH\_PH\_466 , כך שסך האנרגיה הנפלטת מהגוף היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_468 . בשל חוק שימור התנע, מכיוון ששני הפולסים נפלטים בכיוונים הפוכים ובאנרגיות שוות, התנעים שלהם מבטלים זה את זה, והגוף אינו חווה רתע אלא נותר במנוחה במערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_470 גם לאחר הפליטה. נסמן ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_472 את אנרגיית הגוף לפני פליטת שני הפולסים, וב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_474 את אנרגייתו לאחר הפליטה. במערכת זו מתקיים פשוט:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_476
כעת, נבחן את אותה מערכת פיזיקלית כפי שהיא נצפית ממערכת הייחוס הנעה WIKINIUM\_MATH\_PH\_478 , המתקדמת לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_480 במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_482 ביחס למערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_484 . במערכת נעה זו, הגוף אינו נח אלא נע במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_486 . פולסי הקרינה האלקטרומגנטית שנפלטו יחוו הסטת דופלר יחסותית: הפולס שנפלט לכיוון התנועה יוסט לתדר (ולאנרגיה) גבוהים יותר, והפולס שנפלט בכיוון ההפוך יוסט לתדר (ולאנרגיה) נמוכים יותר. נסמן ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_488 את אנרגיית הגוף כפי שהיא נמדדת במערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_490 לפני הפליטה, וב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_492 את אנרגייתו לאחר הפליטה. מתוך החוק לשימור האנרגיה במערכת זו, נקבל את הקשר הבא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_494
בשל פליטת הפולסים בכיוונים מנוגדים, הרכיבים המכילים את זווית הפליטה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_496 ) מבטלים זה את זה מבחינה אלגברית, כך שהתוצאה הסופית אינה תלויה כלל בכיוון שבו נפלטה הקרינה.

משילוב המשוואות של שתי המערכות (חיסור המשוואה הראשונה מהשנייה), אנו מקבלים את הקשר הבא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_498
להפרשים מהצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_500 במשוואה זו יש פרשנות פיזיקלית ישירה. מאחר ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_502 מייצג את אנרגיית הגוף כשהגוף נמצא בתנועה (במערכת הנעה) ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_504 מייצג את האנרגיה שלו כשהוא במנוחה, ההפרש ביניהם מוגדר כאנרגיה הקינטית של הגוף. לפיכך, ההפרש WIKINIUM\_MATH\_PH\_506 הוא האנרגיה הקינטית של הגוף לפני הפליטה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_508 ), וההפרש WIKINIUM\_MATH\_PH\_510 הוא האנרגיה הקינטית שלו לאחר הפליטה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_512 ). מכאן נובע:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_514
באמצעות פיתוח לטור טיילור עבור מהירויות נמוכות בהרבה ממהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_516 ), ותוך הזנחת האיברים מסדר גבוה המיועדים למהירויות קיצוניות, קיבל איינשטיין את הקירוב הבא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_518
כאשר משווים ביטוי מקורב זה לנוסחה הקלאסית המוכרת של המכניקה הניוטונית לאנרגיה קינטית, WIKINIUM\_MATH\_PH\_520 , מבחינים במסקנה המהפכנית: השינוי באנרגיה הקינטית של הגוף ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_522 ) מתנהג בדיוק כאילו הגוף איבד חלק מהמסה שלו עקב פליטת האנרגיה. מכאן הסיק איינשטיין: "אם גוף פולט אנרגיה WIKINIUM\_MATH\_PH\_524 בצורת קרינה, המסה שלו קטנה ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_526 ."

הפיזיקאי וולפגנג רינדר ציין כי הטיעון ההיוריסטי של איינשטיין משנת 1905 הוכיח רק כי שינוי באנרגיה מוביל לשינוי במסה, כלומר שאנרגיה תורמת לאינרציה של הגוף. ניסוח זהיר זה הותיר בשעתו פתח לאפשרות קיומה של מסה "רדומה" או שיורית – קרי, חומר קבוע ויסודי שיוותר בגוף גם אם תרוקן ממנו כל אנרגיה זמינה. אולם, עד שנת 1907 ביצע איינשטיין קפיצה מחשבתית וקבע כי אין מדובר בשני מושגים נפרדים, וכי כל מסה אינרציאלית היא למעשה מאגר חבוי של אנרגיה. רינדר סיכם זאת בציינו כי ההחלטה להשוות את סך כל המסה לאנרגיה, עוד לפני שהיו לכך הוכחות חותכות, דרשה "אקט של אמונה אסתטית" – שאיפה לפשטות ואחידות בטבע שהייתה אופיינית מאוד לאיינשטיין. השערתו הנועזת זכתה לאישושים ניסיוניים כבירים בשנים שלאחר מכן.

מגוון סיבות מובילות לכך שהגזירה המקורית של איינשטיין כמעט ואינה נלמדת כיום במוסדות האקדמיים. מעבר לוויכוח המדעי הער הנמשך עד ימינו בנוגע לתקפותה הפורמלית-לוגית של ההוכחה המקורית, ההכרה בתורת היחסות הפרטית כפי שאיינשטיין הגדיר אותה – "תאוריית עקרונות" (כלומר תאוריה המושתתת על עקרונות יסוד אוניברסליים של הטבע, כמו עקרון היחסות, ולא על תופעות מכניות או אלקטרומגנטיות ספציפיות), הובילה להעדפה של שיטות הוכחה דינמיות וגאומטריות טהורות, שאינן נשענות על תופעות אלקטרומגנטיות כפי שעשה איינשטיין.

### לאיזה מרחק ניתן לנסוע מכדור הארץ?

מאחר שדבר אינו יכול לנוע במהירות הגבוהה ממהירות האור, ניתן היה להסיק באופן אינטואיטיבי כי במהלך חייו של בן-אנוש (כ-100 שנים) לא ניתן להתרחק מכדור הארץ למרחק העולה על כ-100 שנות אור. תחת הנחה זו, קל לחשוב כי נוסע בחלל לעולם לא יוכל להגיע מעבר למערכות השמש הבודדות הנמצאות ברדיוס מצומצם זה. אולם, בשל תופעת התארכות הזמן, חללית היפותטית מסוגלת לעבור מרחקים של אלפי ואף מיליוני שנות אור במהלך תקופת חיים של איש צוות יחיד.

לו ניתן היה לבנות חללית המאיצה בתאוצה עצמית קבועה השווה לתאוצת הכובד על פני כדור הארץ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_528 – תאוצה המדמה משקל טבעי ונוח עבור האסטרונאוטים), מהירותה מנקודת מבטו של צופה בכדור הארץ תלך ותתקרב למהירות האור, אך לעולם לא תחצה אותה. התנהגות אסימפטוטית זו מתוארת על ידי הנוסחה לתאוצה יחסותית קבועה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_530 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_532 היא מהירות החללית כפי שהיא נמדדת מכדור הארץ בזמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_534 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_536 היא התאוצה הקבועה שחשים הנוסעים בחללית, ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_538 הוא "זמן קואורדינטה" – הזמן הנמדד על ידי שעוניהם של הצופים הנייחים בכדור הארץ.

מתוך משוואה זו עולה כי לאחר שנה אחת של האצה רציפה בשיעור של WIKINIUM\_MATH\_PH\_540 , מהירות החללית יחסית לכדור הארץ תגיע ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_542 , ולאחר שלוש שנים היא תעפיל ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_544 . בשלב זה, כאשר החללית נעה במהירות של 94.6% ממהירות האור ביחס למערכת המעבדה, אפקט התארכות הזמן הופך לדומיננטי: כל שנייה אחת שחולפת עבור האסטרונאוטים בחללית (בזמן העצמי שלהם) שקולה ל-3.1 שניות החולפות בכדור הארץ. עבור הצופים בכדור הארץ, השעונים וכל התהליכים הפיזיקליים והביולוגיים בחללית מאטים פי 3.1 בהשוואה לקצב המקומי שלהם.

כתוצאה מפער קצבים זה, מסע הלוך-וחזור שארך 5 שנים בלבד לפי שעונם של הנוסעים בחללית, יימשך 6.5 שנים על פי השעונים בכדור הארץ, ובמהלכו תגמא החללית מרחק של למעלה מ-6 שנות אור. אם יתמידו הנוסעים במסעם במשך 20 שנים לפי שעונם (כאשר המסלול מתוכנן בצורה מעשית: 5 שנות האצה, 5 שנות האטה לקראת היעד, ושלבים זהים בדרך חזרה), הם יגלו עם שובם כי בכדור הארץ חלפו לא פחות מ-335 שנים, וכי הם עברו מרחק פיזי של 331 שנות אור.

במסעות ממושכים יותר בתאוצה קבועה של WIKINIUM\_MATH\_PH\_546 , הפערים הופכים לקיצוניים: מסע של 40 שנה (בזמן עצמי של החללית) יימשך בכדור הארץ כ-58,000 שנים ויכסה מרחק של 55,000 שנות אור. לו תוגבר התאוצה קלות ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_548 , אותו מסע של 40 שנה בחללית יימשך בכדור הארץ כ-148,000 שנים ויעבור מרחק של כ-140,000 שנות אור. באופן זה, טיסה חד-כיוונית שתימשך 28 שנים בלבד עבור האסטרונאוטים (14 שנות האצה ו-14 שנות האטה בשעון החללית) תאפשר להם לחצות מרחק אסטרונומי של כ-2,000,000 שנות אור ולהגיע עד לגלקסיית אנדרומדה.

תופעת התארכות זמן זו אינה היפותטית בלבד; היא מהווה את המנגנון הפיזיקלי המוכח המאפשר לחלקיקים תת-אטומיים מהירים, כגון מיואונים, להגיע אל פני כדור הארץ. מיואונים הנוצרים באטמוספרה העליונה כתוצאה מקרינה קוסמית נעים במהירות הקרובה מאוד ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_550 . הם מצליחים לעבור במערכת המעבדה מרחק גדול בהרבה מהמרחק שהיו יכולים לעבור לו היינו מכפילים את מהירותם בזמן מחצית החיים שלהם כפי שהוא נמדד במנוחה; זאת משום שבמערכת הייחוס הנעה שלהם הזמן חולף לאט יותר, מה שמאריך את משך חיוניותם מנקודת מבטו של צופה נייח.

### התנגשויות אלסטיות

בחינת תוצרי ההתנגשויות המופקים במאיצי חלקיקים ברחבי העולם מספקת למדענים ראיות חותכות למבנה העולם התת-אטומי ולחוקי הטבע המושלים בו. ניתוח של תוצרי התנגשות אלו, אשר לעיתים סך המסות שלהם עשוי לעלות בהרבה על מסת החלקיקים הפוגעים (במקרה של התנגשויות לא-אלסטיות שבהן אנרגיית התנועה הופכת למסה של חלקיקים חדשים), מחייב שימוש בתורת היחסות הפרטית.

במכניקה הניוטונית, ניתוח התנגשויות נשען על חוקי השימור הנפרדים של המסה, התנע והאנרגיה. במכניקה היחסותית, לעומת זאת, המסה אינה גודל הנשמר באופן עצמאי, שכן היא מוטמעת בתוך האנרגיה היחסותית הכוללת של המערכת (לפי הקשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_552 ). כדי להמחיש את ההבדלים היסודיים בין הגישה הניוטונית לגישה היחסותית, נבחן את המקרה הפשוט של התנגשות אלסטית לחלוטין (התנגשות שבה אין אובדן של אנרגיית תנועה) בין שני חלקיקים בעלי מסת מנוחה שווה, שאחד מהם נייח (התנגשויות לא-אלסטיות יידונו בהמשך הערך; דעיכה רדיואקטיבית יכולה להיחשב כסוג של התנגשות לא-אלסטית בהיפוך זמן).

במציאות, התפזרות אלסטית של חלקיקים אלמנטריים טעונים חשמלית חורגת מעט מהמודל האידיאלי בשל פליטה של קרינת בלימה הנוצרת מהאטה פתאומית בעת המפגש.

#### ניתוח ניוטוני

איור 2-6: ניתוח ניוטוני של התנגשות אלסטית בין חלקיק נע לחלקיק נייח בעל מסה זהה.
איור 6-2 מציג תוצאה גאומטרית המוכרת היטב לשחקני ביליארד: כאשר כדור נע פוגע באופן אלסטי בכדור נייח בעל מסה זהה (בהנחה שהפגיעה היא צידית ואינה יוצרת סיבוב עצמי של הכדור), המסלולים שבהם ייפרדו שני הכדורים לאחר ההתנגשות יפתחו ביניהם זווית ישרה מדויקת של WIKINIUM\_MATH\_PH\_554 .

* (a) במערכת המעבדה (הנייחת): חלקיק פוגע נע במהירות WIKINIUM\_MATH\_PH\_556 לעבר חלקיק נייח.
* (b) במערכת מרכז התנע (C.M.): שני החלקיקים מתקרבים זה לקראת זה באופן סימטרי במהירויות שוות והפוכות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_558 . לאחר ההתנגשות האלסטית, שני החלקיקים נהדפים זה מזה במהירויות שוות והפוכות WIKINIUM\_MATH\_PH\_560 . חוק שימור האנרגיה המכנית מחייב שגודל המהירות הנסוגה יהיה שווה למהירות המקורית, כלומר WIKINIUM\_MATH\_PH\_562 .
* (c) בחזרה למערכת המעבדה: מהירויות ההדיפה של שני החלקיקים מתקבלות מחיבור וקטורי של מהירות מערכת מרכז התנע, והן שוות ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_564 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_566 . המכפלה הסקלרית של שני וקטורי המהירויות הללו מניבה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_568 . מכיוון שהמכפלה הסקלרית היא אפס, המשמעות הגאומטרית היא שהווקטורים ניצבים זה לזה לחלוטין.

#### ניתוח יחסותי

איור 3-6: התנגשות אלסטית יחסותית בין חלקיק נע לחלקיק נייח בעל מסה זהה. הזווית הכוללת שנוצרת קטנה מ-90 מעלות.
נתבונן כעת בתרחיש ההתנגשות האלסטית המוצג באיור 6-3. בשונה מהמכניקה הניוטונית, בתורת היחסות הזווית הכוללת שתיפתח בין שני החלקיקים לאחר ההתנגשות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_570 ) תהיה תמיד קטנה מ- **WIKINIUM\_MATH\_PH\_572** . זווית זו תלויה בזווית הפיזור, והיא הולכת ומצטמצמת ככל שמהירותו של החלקיק הפוגע מתקרבת למהירות האור.

תופעה זו נובעת מכך שבמהירויות גבוהות, התנע היחסותי של חלקיק גדל לא רק בשל מהירותו אלא בעיקר בשל השפעתו של מקדם לורנץ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_574 ). הגידול הדרמטי בתנע לאורך ציר התנועה המקורי יוצר מעין "אפקט מיקוד קדימה", המאלץ את החלקיקים הנהדפים להישאר קרובים יותר למסלול המקורי, כך שהזווית ביניהם קטנה.

התנע היחסותי והאנרגיה היחסותית הכוללת של חלקיק נתונים על ידי המשוואות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_576
חוק שימור התנע קובע כי סכום התנעים של החלקיק הפוגע והחלקיק הנייח (שתנע המנוחה שלו הוא 0) שווה לסכום התנעים של החלקיקים היוצאים לאחר ההתנגשות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_578
באופן דומה, חוק שימור האנרגיה קובע כי סכום האנרגיות הכוללות של החלקיק הפוגע והחלקיק הנייח (שאנרגיית המנוחה הטהורה שלו היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_580 ) שווה לסכום האנרגיות של החלקיקים היוצאים:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_582
כדי לפתור מערכת וקטורית זו, נפרק את משוואת התנע (6-5) לרכיביה לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_584 (כיוון התנועה המקורי) וציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_586 (הניצב לו). נציב את המהירות המנורמלת הלא-ממדית WIKINIUM\_MATH\_PH\_588 , ונצמצם את האיברים המשותפים (המסה WIKINIUM\_MATH\_PH\_590 ומהירות האור WIKINIUM\_MATH\_PH\_592 ) מתוך משוואות (6-5) ו-(6-6). תהליך זה מניב את מערכת המשוואות הרכיביות הבאה:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_594 (שימור תנע בציר x)
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_596 (שימור תנע בציר y)
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_598 (שימור אנרגיה כוללת)
מתוך פתרון אלגברי של מערכת משוואות זו, מתקבלים הקשרים הבאים המגדירים את מהירויות החלקיקים היוצאים ואת זווית הפיזור המדויקת ביניהם:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_600
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_602
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_604
עבור המקרה הסימטרי המיוחד, שבו שני החלקיקים נהדפים בזוויות שוות ביחס לציר המקורי ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_606 ) ובמהירויות זהות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_608 ), משוואה (6-12) המורכבת מצטמצמת לצורה הפשוטה הבאה:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_610

## רפידיטי

(a) קרן דרך מעגל היחידה WIKINIUM\_MATH\_PH\_612 בנקודה WIKINIUM\_MATH\_PH\_614 , כאשר הגודל WIKINIUM\_MATH\_PH\_616 מייצג פעמיים השטח הכלוא בין הקרן, המעגל וציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_618 . (b) קרן דרך היפרבולת היחידה WIKINIUM\_MATH\_PH\_620 בנקודה WIKINIUM\_MATH\_PH\_622 , כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_624 הוא פעמיים השטח הכלוא בין הקרן, ההיפרבולה וציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_626 .איור 7–1: השוואה גאומטרית בין פונקציות טריגונומטריות מעגליות לפונקציות היפרבוליות.
איור 7–2: גרפים של שלוש הפונקציות ההיפרבוליות הבסיסיות: סינוס היפרבולי (sinh, באדום), קוסינוס היפרבולי (cosh, בכחול) וטנגנס היפרבולי (tanh, בירוק).
במכניקה הקלאסית, מהירויות משתנות ומתחברות באופן ליניארי ואינטואיטיבי; אם גוף נע בתוך מערכת שבעצמה נמצאת בתנועה, מהירותו הכוללת היא פשוט סכום המהירויות. אולם כאמור, תורת היחסות הפרטית קובעת כי מהירות האור מהווה חסם עליון ומוחלט שאינו ניתן לחצייה עבור חומר או מידע. כפועל יוצא מגבול זה, סרגל המהירות הרגיל הולך ו"נפתח" באופן לא-פרופורציונלי: ככל שגוף מתקרב למהירות האור, תוספת מאמץ או תאוצה מניבה שינוי קטן יותר ויותר במהירות הנמדדת שלו מנקודת מבטו של צופה חיצוני. כתוצאה מכך, הנוסחה להרכבת מהירויות הופכת לאי-ליניארית, והחישוב של תנועות רב-שלביות הופך למסורבל ומורכב מבחינה אלגברית.

כדי לפתור קושי מושגי וחישובי זה, נדרש מדד תנועה חלופי הממפה את טווח המהירויות הפיזיקליות החסום לכדי סרגל מדדים ישר, רציף ואינסופי. מדד זה מכונה "רפידיטי". מבחינה פיזיקלית, הרפידיטי מייצגת את אפקט התאוצה המצטבר כפי שהוא נחווה במערכת של הנוסע עצמו, ומבחינה גאומטרית היא מתפקדת כ"זווית היפרבולית" של התנועה במרחב-זמן של מינקובסקי. בדיוק כפי שזוויות סיבוב גאומטריות במרחב שומרות על תכונת החיבוריות הפשוטה שלהן, כך גם הרפידיטי מחזירה את תכונת הליניאריות לחוקי התנועה, ומאפשרת להציג שינויי מערכות וחיבורי מהירויות יחסותיות כפעולות חיבור אלגבריות פשוטות וישרות.

טרנספורמציות לורנץ מקשרות בין קואורדינטות של מאורעות במערכת ייחוס אחת לאלו של מערכת ייחוס אחרת. כאשר רוצים לחשב את תנועתו של גוף הנע בתוך מערכת שבעצמה נמצאת בתנועה (למשל, אדם הרץ בתוך רכבת מהירה), משתמשים בנוסחת הרכבת המהירויות היחסותית. במכניקה הקלאסית (הניוטונית), חיבור מהירויות הוא פעולה ליניארית פשוטה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_628 ). לעומת זאת, הנוסחאות היחסותיות לבניית מהירות משולבת הן אי-ליניאריות, דבר ההופך חישובים רב-שלביים למורכבים ומסורבלים מבחינה אלגברית.

אי-ליניאריות זו אינה תכונה אינהרנטית של המרחב, אלא מהווה תוצר לוואי של בחירת הפרמטרים שבהם אנו משתמשים כדי למדוד תנועה (כלומר, השימוש ביחידות של מהירות רגילה). בדיאגרמת מרחב-זמן ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_630 ), הנקודות הנמצאות במרחק משולב קבוע (אינטרוול אינווריאנטי) מראש הצירים אינן מייצרות מעגל, אלא יוצרות היפרבולה קבועה. כפועל יוצא מכך, מעבר בין שתי מערכות ייחוס יחסותיות בתצורה סטנדרטית אינו מתבטא כסיבוב מעגלי רגיל של הצירים, אלא כסיבוב היפרבולי שלהם זה ביחס לזה.

הכלים המתמטיים הטבעיים ביותר לתיאור יחסים גאומטריים אלו הם הפונקציות ההיפרבוליות, המהוות את המקבילה ההיפרבולית לפונקציות הטריגונומטריות המוכרות. איור 7-1a מציג את מעגל היחידה הטריגונומטרי עם הפונקציות WIKINIUM\_MATH\_PH\_632 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_634 . ההבדל היחיד בין דיאגרמה זו לטריגונומטריה הבסיסית הוא הפרשנות של הפרמטר WIKINIUM\_MATH\_PH\_636 : במקום לראות בו את הזווית הגאומטרית שבין הקרן לציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_638 , ניתן להגדירו באופן כללי יותר כפעמיים השטח של גזרת המעגל שנחסמה על ידי הקרן (מבחינה נומרית, במעגל היחידה, ערך הזווית ברדיאנים וערך השטח הכפול זהים לחלוטין). איור 7-1b מציג היפרבולת יחידה עם הפונקציות הקוסינוס ההיפרבולי ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_640 ) והסינוס ההיפרבולי ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_642 ), שבו הפרמטר WIKINIUM\_MATH\_PH\_644 מוגדר באותו אופן בדיוק – כפעמיים השטח הצבוע הכלוא מתחת לקרן. איור 7-2 מציג את הגרפים של הפונקציות ההיפרבוליות הבסיסיות: WIKINIUM\_MATH\_PH\_646 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_648 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_650 (טנגנס היפרבולי).

עבור מעגל היחידה, שיפוע הקרן נקבע על ידי פונקציית הטנגנס הרגילה:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_652
במישור הקרטזי הדו-ממדי, סיבוב של נקודה WIKINIUM\_MATH\_PH\_654 לנקודה חדשה WIKINIUM\_MATH\_PH\_656 בזווית מוגדרת WIKINIUM\_MATH\_PH\_658 מחושב באמצעות כפל מטריצות באופן הבא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_660
בדיאגרמת מרחב-זמן, פרמטר המהירות המנורמלת, WIKINIUM\_MATH\_PH\_662 , מהווה את האנלוג המדויק של מושג השיפוע המעגלי. כדי לפשט את המתמטיקה של הגאומטריה ההיפרבולית הזו, מגדירים גודל חדש הנקרא **רפידיטי** (Rapidity, המסומן באות WIKINIUM\_MATH\_PH\_664 ), המהווה מעין "זווית היפרבולית". הרפידיטי מוגדרת דרך הקשר הבא:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_666
פונקציית הטנגנס ההיפרבולי מוגדרת כיחס בין הסינוס והקוסינוס ההיפרבוליים, וניתן לייצגה באמצעות פונקציית האקספוננט ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_668 ):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_670
האינטראקציה הזו הופכת את הרפידיטי לכלי שימושי ורב-עוצמה בתורת היחסות הפרטית, שכן ביטויים מתמטיים מורכבים רבים מקבלים צורה פשוטה ונקייה כאשר הם מנוסחים באמצעותה. היתרון הבולט ביותר קורה בנוסחת הרכבת המהירויות: כאשר שני וקטורי מהירות נמצאים על אותו קו ישר (תנועה קוליניארית), המהירויות עצמן אינן מתחברות בצורה ישירה, אך ה*רפידיטי* שלהן מתנהגת בצורה ליניארית לחלוטין ומתחברת בחיבור אלגברי פשוט, בדיוק כמו זוויות של סיבוב רגיל במרחב:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_672
ובמילים אחרות: WIKINIUM\_MATH\_PH\_674 .

בזכות השימוש ברפידיטי, גם פקטור לורנץ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_676 ) המורכב מקבל ביטויים אלגנטיים וקצרים, המקבילים לזהויות הטריגונומטריות של קשרים בין פונקציות מעגליות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_678
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_680
טרנספורמציות המשותפות למערכות הנמצאות בתנועה יחסית במהירות קבועה בקו ישר, וללא סיבוב פיזי של צירי המרחב עצמם, מכונות בשם **בוסטים** (Boosts; טרנספורמציות דחף).

כאשר מציבים את הביטויים הפשוטים של WIKINIUM\_MATH\_PH\_682 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_684 לתוך משוואות לורנץ המקוריות וכותבים אותן בצורת מטריצה, הבוסט היחסותי לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_686 מקבל מבנה הדומה באופן מובהק למטריצת הסיבוב הקרטזית, מה שמדגיש כי מעבר מערכות ביחסות הוא למעשה סיבוב היפרבולי במרחב-זמן של מינקובסקי:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_688
והטרנספורמציה ההפוכה (החזרה ממערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_690 למערכת WIKINIUM\_MATH\_PH\_692 ) נכתבת באופן זהה, תוך שינוי סימן המהירות (שהופך את הסינוס ההיפרבולי לחיובי):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_694
היתרונות המתודיים והמתמטיים המובהקים של השימוש בפונקציות היפרבוליות הם כה משמעותיים, עד שחלק מספרי הלימוד המובילים באקדמיה, כגון ספרם הקלאסי של טיילור וויגלר, בוחרים להציג את הרפידיטי והשימוש בה כבר בשלבים המוקדמים של לימוד התאוריה.

## מרחב-זמן של מינקובסקי

 ערך מורחב – **מרחב מינקובסקי**

איור 10–1: השוואה בין אורתוגונליות וסיבוב של מערכות קואורדינטות. מימין: במרחב אוקלידי תלת-ממדי דרך זווית מעגלית רגילה WIKINIUM\_MATH\_PH\_696 . משמאל: במרחב-זמן של מינקובסקי דרך זווית היפרבולית WIKINIUM\_MATH\_PH\_698 (הקווים האדומים המסומנים ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_700 מייצגים את קווי העולם של אות אור; בשל הנסח המשונה של המרחב, וקטור הנמצא על קו זה נחשב ניצב/אורתוגונלי לעצמו).
התאוריה הפיזיקלית של תורת היחסות הפרטית נוסחה מחדש על ידי המתמטיקאי הרמן מינקובסקי במסגרת גאומטריה ארבע-ממדית, המכונה כיום מרחב מינקובסקי. על אף שמרחב-זמן זה נראה במבט ראשון דומה מאוד למרחב האוקלידי התלת-ממדי הרגיל, קיים ביניהם הבדל מהותי ויסודי בכל הנוגע לטיפול בממד הזמן.

במרחב אוקלידי תלת-ממדי, הדיפרנציאל של המרחק (אלמנט קו אורך זעיר) WIKINIUM\_MATH\_PH\_702 מוגדר באמצעות משפט פיתגורס בצורה הבאה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_704 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_706 מייצג את השינויים הזעירים בשלושת ממדי המרחב. לעומת זאת, בגאומטריית מינקובסקי מתווסף ממד רביעי המגדיר את הזמן, המסומן כקואורדינטה WIKINIUM\_MATH\_PH\_708 . במרחב זה, דיפרנציאל המרחק המשולב מקיים את הקשר הבא: WIKINIUM\_MATH\_PH\_710 כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_712 הם הדיפרנציאלים של ארבעת ממדי המרחב-זמן.

כאמור, סימן המינוס המוצמד לרכיב הזמן ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_714 ) הוא אבן יסוד בתורת היחסות. הוא זה שמפריע למרחב-זמן מלהיות מרחב ארבע-ממדי רגיל, ומבטיח כי מהירות האור תישאר קבועה וזהה עבור כל הצופים. סימן מינוס זה הוא שמוליד את הגאומטריה ההיפרבולית של המרחב-זמן.

התובנה העמוקה העולה מכך היא שתורת היחסות הפרטית אינה אלא ביטוי של סימטרית סיבוב במרחב-זמן שלנו, האנלוגית לחלוטין לסימטריית הסיבוב הגיאומטרית של המרחב האוקלידי (ראו איור 10–1). בדיוק כפי שמרחב אוקלידי משתמש במטריקה אוקלידית קבועה, כך המרחב-זמן משתמש במטריקת מינקובסקי. במהותה, ניתן לנסח את תורת היחסות הפרטית כולה כחוק פשוט אחד: *האינטרוול המרחב-זמני (המרחק הארבע-ממדי בין שני מאורעות) הוא אינווריאנטי*, כלומר נשמר ומודד ערך זהה לחלוטין מנקודת מבטה של כל מערכת ייחוס אינרציאלית. ניתן לגזור את כל האפקטים והמשוואות של היחסות מתוך סימטריית סיבוב זו (המוגדרת מתמטית כחבורת פואנקרה) של מרחב מינקובסקי.

צורתו הצירופית של WIKINIUM\_MATH\_PH\_716 לעיל תלויה במטריקה שנבחרה ובהגדרת קואורדינטת הזמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_718 . כדי לגרום לרכיב הזמן להתנהג אלגברית בדיוק כמו רכיבי המרחב, נהגו בעבר חלק מהפיזיקאים להתייחס אליו כאל מספר מדומה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_720 (תהליך המכונה "סיבוב ויק"). אולם, כפי שציינו הפיזיקאים מיסנר, תורן ווילר בספרם המונומנטלי *Gravitation* (1971), הבנה עמוקה ואמיתית יותר של תורת היחסות הפרטית והכללית מתקבלת כאשר משאירים את המטריקה בצורתה הפסאודו-רימנית המקורית ומגדירים פשוט WIKINIUM\_MATH\_PH\_722 , במקום לנסות "לחפש" מטריקה אוקלידית מוסווה באמצעות שימוש במספרים מדומים.

חלק מהכותבים מעדיפים להשתמש בהגדרה ישירה שבה WIKINIUM\_MATH\_PH\_724 , ומפצים על פערי היחידות על ידי הוספת פקטורים של מהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_726 ) בתוך רכיבי טנזור המטריקה. כדי להתעלות מעל ריבוי המוסכמות הללו, נהוג במחקר המתקדם לעבור ליחידות טבעיות שבהן קובעים מראש WIKINIUM\_MATH\_PH\_728 . במצב זה, למרחב ולזמן יש יחידות מידה זהות לחלוטין, ומהירות האור אינה מופיעה עוד במפורש בנוסחאות.

כאמור, במרחב ארבע-ממדי, וקטורים מוגדרים באמצעות ארבעה רכיבים, והם מכונים ארבע-וקטור. הדוגמה הבסיסית ביותר לווקטור-ארבע היא מיקומו של מאורע במרחב-זמן. הוא מורכב מרכיב זמני WIKINIUM\_MATH\_PH\_730 ומשלושה רכיבים מרחביים WIKINIUM\_MATH\_PH\_732 , המאוחדים יחד לווקטור מיקום קונטרה-וריאנטי (וקטור שרכיביו משתנים קדימה עם מטריצת הטרנספורמציה): WIKINIUM\_MATH\_PH\_734 הגדרת הרכיב הראשון כ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_736 מבטיחה שלממד הזמן תהיה יחידת מידה של מרחק, בדיוק כמו לשאר הממדים, ובכך מתאפשר טיפול סימטרי ואחיד במרחב ובזמן כאחד.

### ארבע-וקטורים

 ערך מורחב – **4-וקטור**

השימוש בארבע-וקטורים, ובמושג הרחב יותר של טנזורים, מפשט באופן דרמטי את המתמטיקה ואת התפיסה המושגית של תורת היחסות הפרטית. עבודה בלעדית עם אובייקטים אלו מובילה לניסוח משוואות בעלות "אינווריאנטיות גלויה" (Manifestly invariant) – כלומר, משוואות שמבנהן המתמטי כשלעצמו מבטיח שהן יישארו זהות בכל מערכת ייחוס, ללא צורך בהוכחה נוספת. לדוגמה, הוכחת האינווריאנטיות של משוואות מקסוול בצורתן התלת-ממדית המסורתית היא משימה מתמטית מורכבת ומפרכת; לעומת זאת, כאשר מנסחים אותן באמצעות ארבע-וקטורים ובאמצעות טנזור השדה האלקטרומגנטי, ההוכחה הופכת לחישוב שגרתי ופשוט של שורה בודדת.

#### הגדתו של הארבע-וקטור

רביעיית רכיבים, WIKINIUM\_MATH\_PH\_738 , תוגדר כארבע וקטור אם ורק אם רכיביה משתנים ומעתיקים את ערכם במעבר בין מערכות ייחוס שונות בדיוק לפי חוקי טרנספורמציית לורנץ.

אם נשתמש במערכת קואורדינטות מהצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_740 , אזי WIKINIUM\_MATH\_PH\_742 הוא ארבע-וקטור אם במעבר למערכת נעה (לאורך ציר ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_744 ) רכיביו משתנים על פי התנאים הבאים:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_746
מבנה זה מתקבל ישירות על ידי החלפת הרכיב WIKINIUM\_MATH\_PH\_748 ברכיב הווקטורי WIKINIUM\_MATH\_PH\_750 , והחלפת מיקום המרחב WIKINIUM\_MATH\_PH\_752 ברכיב WIKINIUM\_MATH\_PH\_754 מתוך משוואות טרנספורמציית לורנץ המקוריות. כפי שנוהגים בקינמטיקה, כתיבת הרכיבים WIKINIUM\_MATH\_PH\_756 וכדומה מייצגת למעשה את ההפרשים הזעירים WIKINIUM\_MATH\_PH\_758 .

שלושת הרכיבים האחרונים של הארבע-וקטור חייבים להוות וקטור תלת-ממדי סטנדרטי במרחב הפיזיקלי. לפיכך, ארבע-וקטור נדרש להתנהג ולהשתנות בדיוק כמו וקטור ההעתק WIKINIUM\_MATH\_PH\_760 , הן תחת הגדלות מהירות (בוסטים של לורנץ) והן תחת סיבובים רגילים של צירי המרחב התלת-ממדי.

#### תכונות של ארבע-וקטורים

* **סגירות תחת צירוף ליניארי:** אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_762 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_764 הם ארבע-וקטורים, אזי גם כל שילוב שלהם מהצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_766 (כאשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_768 הם סקלרים) מהווה ארבע-וקטור תקני.
* **אינווריאנטיות של המכפלה הפנימית:** אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_770 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_772 הם ארבע-וקטורים, המכפלה הסקלרית הארבע-ממדית שלהם היא גודל אינווריאנטי, כלומר ערכה המספרי יהיה זהה לחלוטין בכל מערכת ייחוס שבה היא תחושב. יש לשים לב כי חישוב מכפלה פנימית זו שונה מהמכפלה הסקלרית הרגילה של וקטורים תלת-ממדיים ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_774 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_776 ):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_778
בנוסף לשימור ערכה תחת טרנספורמציית לורנץ, מכפלה פנימית זו נותרת קבועה גם תחת סיבובי מרחב רגילים.
שני ארבע-וקטורים יוגדרו כ**אורתוגונליים** (ניצבים) אם המכפלה הפנימית ביניהם שווה לאפס: WIKINIUM\_MATH\_PH\_780 . בשל סימן המינוס במטריקה, וקטורים אורתוגונליים ביחסות אינם יוצרים בהכרח זווית חזותית של WIKINIUM\_MATH\_PH\_782 בדיאגרמה. הכלל הגאומטרי קובע כי שני ארבע-וקטורים הם אורתוגונליים אם הם נטויים בזוויות שוות והפוכות ביחס לקו ה- WIKINIUM\_MATH\_PH\_784 (המייצג את מסלול התקדמותו של גל אור). תכונה זו מובילה למסקנה המרתקת כי וקטור מסוג אור (Lightlike) הוא למעשה אורתוגונלי לעצמו.
* **אינווריאנטיות של גודל הווקטור (הנורמה):** גודלו של ארבע-וקטור מוגדר כמכפלה הפנימית שלו עם עצמו ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_786 ). זהו מאפיין פיזיקלי מוחלט שאינו תלוי במערכת המדידה. בדיוק כמו במקרה של אינטרוולים, תוצאת המכפלה יכולה להיות חיובית, שלילית או אפס. בהתאם לכך, הווקטורים מסווגים לשלושה סוגים: וקטורים זמניים (Timelike), מרחביים (Spacelike) או אפסיים/וקטורי קרינה (Null/Lightlike). וקטור אפסי אינו וקטור שרכיביו הם אפס, אלא וקטור שרכיביו הריבועיים מבטלים זה את זה במכפלה המטרית ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_788 ). דוגמאות בולטות לאינווריאנטיות של הנורמה כוללות את אינטרוול המרחב-זמן השמור WIKINIUM\_MATH\_PH\_790 , ואת אורך וקטור התנע היחסותי השמור המניב את קשר האנרגיה-מסה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_792 .

#### דוגמאות לארבע-וקטורים

* + **ארבע-וקטור ההעתק:** הפרש המרחב-זמן בין שני מאורעות, ונתון על ידי הרביעייה WIKINIUM\_MATH\_PH\_794 , או בצורתו הדיפרנציאלית עבור מרחקים זעירים:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_796
* + **ארבע-וקטור המהירות:** וקטור זה מתקבל כאשר מחלקים את וקטור ההעתק הדיפרנציאלי WIKINIUM\_MATH\_PH\_798 ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_800 – המייצג את הזמן העצמי (הזמן הנמדד בשעונו המקומי של הגוף הנע בין שני המאורעות):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_802
(A) מערכות ייחוס מלוות רגעיות (MCRF) של חלקיק מאיץ כפי שהן נצפות ממערכת מעבדה נייחת. (B) השתנות מערכות הייחוס המלוות הרגעיות לאורך קו העולם של צופה מאיץ (במרכז).איור 7–3: שימוש במערכת ייחוס מלווה רגעית לניתוח תנועה מואצת ביחסות.
ארבע-וקטור המהירות תמיד משיק לקו העולם של החלקיק, ואורכו המטרי שווה תמיד ליחידת זמן אחת במערכת הייחוס העצמית של החלקיק.
לחלקיק המצוי בתנועה מואצת אין מערכת ייחוס אינרציאלית קבועה שבה הוא נותר במנוחה לאורך זמן. עם זאת, בכל רגע ורגע ניתן למצוא מערכת ייחוס אינרציאלית דמיונית הנעה בדיוק במהירותו הרגעית של החלקיק באותה מאית שנייה. מערכת זו מכונה **מערכת ייחוס מלווה רגעית** (MCRF - Momentarily Comoving Reference Frame), והיא הכלי המאפשר להחיל את חוקי תורת היחסות הפרטית גם על גופים ומערכות החווים תאוצה פיזיקלית.
מאחר שפוטונים (חלקיקי אור) נעים על גבי קווים אפסיים, הזמן העצמי שלהם הוא אפס ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_804 ). כפועל יוצא מכך, לא ניתן להגדיר עבור פוטון ארבע-וקטור מהירות, לא קיימת מערכת ייחוס שבה האור נמצא במנוחה, ולא ניתן להצמיד מערכת מלווה רגעית (MCRF) לאורך מסלולו של פוטון.
* + **ארבע-וקטור האנרגיה-תנע :** WIKINIUM\_MATH\_PH\_806
כפי שצוין קודם לכן, קיימות מוסכמות סימון שונות בספרות עבור ארבע-וקטור האנרגיה-תנע, ולעיתים ניתן לראות אותו מבוטא בצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_808 או בצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_810 , בהתאם לבחירת מערכת היחידות והמטריקה. הרכיב הראשון במערך זה מייצג את האנרגיה הכוללת של החלקיק (או של מערכת החלקיקים) במערכת ייחוס נתונה (אנרגיה הכוללת בתוכה גם את מסת המנוחה), בעוד שארשת הרכיבים מהווים את התנע המרחבי שלו. ארבע-וקטור האנרגיה-תנע הוא גודל נשמר פיזיקלית במערכת סגורה.
	+ **ארבע-וקטור התאוצה:** ארבע-וקטור זה מתקבל מגזירת ארבע-וקטור המהירות לפי הזמן העצמי WIKINIUM\_MATH\_PH\_812 : WIKINIUM\_MATH\_PH\_814
	+ **ארבע-וקטור הכוח:** ארבע-וקטור זה (המכונה לעיתים "כוח מינקובסקי") מוגדר כנגזרת של ארבע-וקטור האנרגיה-תנע לפי הזמן העצמי WIKINIUM\_MATH\_PH\_816 : WIKINIUM\_MATH\_PH\_818 כצפוי, שלושת הרכיבים האחרונים ("רכיבי המרחב") של ארבע-הוקטורים הללו כולם תלת-וקטורים סטנדרטיים במרחב התלת-ממדי, המתאימים לתנע המרחבי, לכוח המרחבי המוכר ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_820 ) וכן הלאה.

#### ארבע-וקטורים וחוקי הפיזיקה

הפוסטולט הראשון של תורת היחסות הפרטית קובע את שקילותן המלאה של כל מערכות הייחוס האינרציאליות. חוק פיזיקלי התקף במערכת ייחוס אחת חייב להיות מיושם באופן זהה בכל מערכת ייחוס אחרת, שכן אחרת ניתן היה להשתמש בשוני זה כדי להבחין בין המערכות ולקבוע מי מהן נמצאת ב"מנוחה מוחלטת".

הגדרת התנע המכני הניוטונית הקלאסית ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_822 ) אינה מתנהגת כהלכה תחת טרנספורמציית לורנץ; חלקיקים המאיצים למהירויות יחסותיות משנים את מסתם האפקטיבית בעיני צופה חיצוני, דבר המביא לקריסתו של חוק שימור התנע הניוטוני במעבר בין מערכות נעות. בשל כך, העדיף אלברט איינשטיין להרחיב ולשנות את הגדרת התנע לכזו המבוססת על ארבע-וקטורים, ובכך להבטיח את הישמרותו של חוק יסוד קוסמולוגי זה בכל מהירות.

חוקי הטבע חייבים להיות מבוססים על מבנים מתמטיים שאינם תלויים במערכת המדידה של הצופה (מבנים אינווריאנטיים). משמעות הדבר היא שחוקים פיזיקליים יכולים ללבוש צורה של משוואות המקשרות בין סקלרים, אשר ערכם המספרי נותר קבוע בכל מערכת ייחוס. עם זאת, משוואות מורכבות יותר המערבות ארבע-וקטורים מחייבות שימוש באובייקטים מתמטיים רב-ממדיים הנקראים טנזורים מדרגה מתאימה, אשר אותם ניתן לתפוס כהרחבות גאומטריות הנבנות מתוך ארבע-הוקטורים עצמם. כאשר משוואה פיזיקלית מנוסחת באמצעות טנזורים או ארבע-וקטורים, שני צידי המשוואה משתנים באותו אופן בדיוק כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת לאחרת (קווריאנטיות). מבנה זה מבטיח כי חוק הטבע ישמור על אותה צורה מתמטית נקייה עבור כל צופה ביקום, ללא צורך בהתאמות מיוחדות.

תורת היחסות הכללית, העוסקת בכבידה ובמרחבים עקומים, נשענת מעצם טבעה ומשלבי פיתוחה הראשונים באופן כבד על ארבע-וקטורים, ובאופן כללי יותר על טנזורים, ככלים היחידים המסוגלים לייצג ישויות פיזיקליות בעלות משמעות מוחלטת ואוניברסלית בטבע.

## תאוצה

תורת היחסות הפרטית נוגעת גם לגופים הנמצאים בתנועה מואצת, וכן למערכות ייחוס מואצות (המתוארות למשל באמצעות קואורדינטות רינדלר). תפיסה שגויה נפוצה גורסת כי היחסות הפרטית תקפה אך ורק עבור מערכות ייחוס אינרציאליות (מערכות הנעות במהירות קבועה בקו ישר), וכי היא אינה מסוגלת להתמודד עם עצמים מאיצים או עם מערכות מואצות. בפועל, רק כאשר השפעות הכבידה והתעקמות המרחב-זמן הופכות למשמעותיות, נדרש מעבר אל תורת היחסות הכללית.

הבלבול המדעי נובע לרוב מההבדל היסודי הבא: (1) בתורת היחסות הפרטית, כל המהירויות הן יחסיות, אך התאוצה היא גודל מוחלט (אבסולוטי) – כלומר, כל הצופים יסכימו אם גוף מסוים מאיץ או לא, כיוון שתאוצה זו ניתנת למדידה פיזיקלית על ידי מד-תאוצה (אקסלרומטר) פנימי. (2) בתורת היחסות הכללית, לעומת זאת, כל תנועה היא יחסית לחלוטין – בין אם מדובר בתנועה אינרציאלית, תנועה מואצת או תנועה סיבובית. כדי לאפשר את הכללת היחסיות גם לתאוצות אבסולוטיות אלו, משתמשת היחסות הכללית במרחב-זמן עקום.

להלן ניתוח מספר תרחישים קלאסיים המערבים מערכות ייחוס מואצות ביחסות הפרטית.

### פרדוקס החלליות של בל (פרדוקס דיואן-בראן-בל)

בפרדוקס החלליות של בל (המוכר גם כפרדוקס דיואן-בראן-בל) נעשה שימוש פדגוגי נרחב במוסדות האקדמיים, שכן הוא מדגים כיצד ניתן לפתור קושי מחשבתי עמוק באמצעות דיאגרמות מרחב-זמן בסיסיות ובאמצעות הגישה הגאומטרית הטהורה של היחסות הפרטית.

איור 7–4: המערך הראשוני בפרדוקס החלליות של בל.
כפי שמתואר באיור 4-7, שתי חלליות זהות נמצאות במנוחה זו ביחס לזו במרחב הפתוח. הן מחוברות ביניהן בחוט מתיחה עדין, המסוגל לעמוד במידת התארכות מוגבלת בלבד לפני שיינתק. ברגע מסוים במערכת הייחוס שלנו (מערכת הצופה הנייח בכדור הארץ), שתי החלליות מתחילות להאיץ בו-זמנית ובאותו כיוון לאורך הקו המשותף המחבר ביניהן, כאשר לשתיהן יש אותה תאוצה עצמית קבועה. בתורת היחסות, **תאוצה עצמית** היא התאוצה הפיזית הממשית שחווה עצם (כזו הנמדדת ישירות על ידי מד-תאוצה המותקן עליו), והיא מוגדרת כתאוצה ביחס לצופה אינרציאלי הנמצא במנוחה רגעית עם העצם. השאלה המרכזית היא: האם החוט המחבר בין החלליות ייקרע במהלך ההאצה?

כאשר הפרדוקס הוצג לראשונה, הוא עורר קושי רב ואפילו פיזיקאים מקצועיים התקשו למצוא לו פתרון מוסכם. שתי שורות של טיעונים לוגיים הובילו למסקנות הפוכות לחלוטין:

1. **טיעון א' (המסקנה הנכונה, אך בניסוח חסר):** מנקודת מבטם של הצופים הנייחים על הארץ, החלליות מתחילות לנוע במרחק WIKINIUM\_MATH\_PH\_824 זו מזו, ומכיוון שהן מאיצות בקצב זהה לחלוטין, המרחק ביניהן בעיני הצופה הנייח נותר קבוע לאורך כל הדרך. אולם, מנקודת מבטן של החלליות הנעות, המרחק המקורי WIKINIUM\_MATH\_PH\_826 הוא מרחק שעבר התקצרות אורך לורנץ, ולכן המרחק האמיתי (במערכת המנוחה שלהן) צריך להיות גדול יותר: WIKINIUM\_MATH\_PH\_828 . ככל שחולף הזמן והמהירות גדלה, פקטור לורנץ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_830 ) שואף לאינסוף, המרחק העצמי ביניהן גדל, ולכן החוט חייב להימתח ולהיקרע.
2. **טיעון ב' (הטיעון השגוי):** נסמן את החלליות כאחורית ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_832 ) וקדמית ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_834 ). במערכת הייחוס של החלליות, כל טייס רואה את חללית השכנה מבצעת בדיוק את אותן פעולות שהוא מבצע. טייס WIKINIUM\_MATH\_PH\_836 רואה שלחללית WIKINIUM\_MATH\_PH\_838 יש תאוצה זהה לשלו, וטייסת WIKINIUM\_MATH\_PH\_840 רואה שחללית WIKINIUM\_MATH\_PH\_842 עוקבת במדויק אחר כל תמרון שלה. מכיוון שהן שומרות על סימטריה מלאה, המרחק ביניהן לא משתנה, והחוט לעולם לא ייקרע.

הכשל הלוגי בטיעון השני נובע מכך שביחסות פרטית אין מערכת ייחוס אינרציאלית משותפת אחת לשתי החלליות המאיצות. בגלל תאוצתן, המרחק הפיזיקלי ביניהן הולך וגדל במערכות המלוות הרגעיות שלהן. הטיעון השני מתעלם לחלוטין מעקרון יחסיות הסימולטניות: שתי החלליות אמנם מאיצות בו-זמנית עבור הצופה בכדור הארץ, אך הן אינן מאיצות בו-זמנית עבור עצמן.

איור 7–5: דיאגרמת מרחב-זמן של פרדוקס בל. הקווים המעוקלים מייצגים את קווי העולם של החלליות A ו-B המאיצות בתאוצה קבועה k. בנקודות 'A ו-'B התאוצה נפסקת. הקווים המקווקווים מציגים את קווי הסימולטניות (שעוני המערכת) לפני תחילת התנועה ולאחר סיומה.
דיאגרמת מרחב-זמן (איור 5-7) מבהירה את הפתרון כמעט באופן מיידי. שני צופים במרחב-זמן של מינקובסקי מאיצים בתאוצה עצמית בעלת גודל קבוע WIKINIUM\_MATH\_PH\_844 למשך זמן עצמי WIKINIUM\_MATH\_PH\_846 (הזמן הנמדד בשעוני החלליות עצמן). שתי החלליות הן אינרציאליות ומלוות רגעית לפני שלב זה ולאחריו. בגאומטריית מינקובסקי, אורך הקו לאורך קו הסימולטניות החדש WIKINIUM\_MATH\_PH\_848 (המרחק בין החלליות לאחר שהאטו או סיימו להאיץ במערכת שלהן) מתגלה כגדול באופן מובהק מהאורך המקורי לאורך קו הסימולטניות ההתחלתי WIKINIUM\_MATH\_PH\_850 .

ניתן לחשב במדויק את גידול המרחק הזה באמצעות טרנספורמציית לורנץ. אם, כפי שמוצג באיור 5-7, שלב ההאצה מסתיים, החלליות יישארו במרחק קבוע כלשהו במערכת הייחוס הנעה החדשה WIKINIUM\_MATH\_PH\_852 . אם נסמן ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_854 וב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_856 את מיקומי החלליות במערכת הייחוס הנייחת המקורית WIKINIUM\_MATH\_PH\_858 , המיקומים במערכת החדשה WIKINIUM\_MATH\_PH\_860 יהיו:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_862

ה"פרדוקס" נובע מהאופן שבו הגדיר בל את הניסוי המחשבתי שלו. בניתוח הרגיל של התקצרות אורך לורנץ, אנו לוקחים גוף קשיח שאורכו במנוחה קבוע, וכאשר הוא מתחיל לנוע – אורכו נראה לצופה הנייח קצר יותר. אולם, בניסוי של בל, המרחקים הנמדדים במערכת הנייחת ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_864 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_866 ) נאלצים להישאר קבועים ומקובעים לערך WIKINIUM\_MATH\_PH\_868 בשל תאוצתן הסימולטנית של החלליות על הארץ. מכיוון שהמרחק במערכת הנעה נשמר קבוע באופן מלאכותי, המתמטיקה של לורנץ מאלצת את המרחק במערכת המנוחה העצמית של החלליות ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_870 ) להתארך פי WIKINIUM\_MATH\_PH\_872 . מכיוון שהחלליות מתרחקות פיזית זו מזו במערכת שלהן, והחוט אינו מסוגל להימתח מעבר לאורכו המקורי – החוט נמתח מעבר לנקודת הקצה שלו ונקרע.
#### צופה מאיץ עם אופק אירועים יחסותי

 ערך מורחב – **אופק אירועים**

הגדרת בעיות מסוימות במסגרת תורת היחסות הפרטית יכולה לספק תובנות עמוקות לגבי תופעות אשר לרוב משויכות באופן בלעדי לתורת היחסות הכללית, כגון קיומם של אופקי אירועים. בפרקים הקודמים של הערך ראינו כי ההיפרבולות השמורות מייצגות את מסלולי תנועתו של נוסע המאיץ בתאוצה עצמית קבועה במרחב-זמן. במהלך תקופות אלו של תאוצה חיובית רציפה, מהירותו של הנוסע רק שואפת ומתקרבת למהירות האור אך לעולם אינה חוצה אותה, בעוד שתאוצתו הנמדדת בעיני צופה נייח בכדור הארץ הולכת ופוחתת ללא הרף.

איור 7–6: צופה יחסותי מאיץ עם אופק אירועים מדומה (אופק רינדלר).
איור 7-6 מציג לפרטים את מאפייני התנועה של צופה מאיץ זה. בכל רגע נתון, ציר המרחב הרגעי שלו (קו הסימולטניות המקומי שלו) מיוצג על ידי קו ישר העובר דרך ראש הצירים הכללי ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_874 ) ודרך מיקומו הנוכחי על גבי ההיפרבולה. ציר הזמן שלו הוא המשיק המדויק להיפרבולה באותה נקודה. ככל שזמן הקואורדינטה ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_876 ) גדל, פרמטר המהירות המנורמלת WIKINIUM\_MATH\_PH\_878 שואף ל-1. במקביל, פקטור לורנץ ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_880 ) שואף לאינסוף.

ניתן להוכיח כי הצורה של היפרבולה שמורה זו מתאימה במדויק למסלול של תאוצה עצמית קבועה, בשלבים הבאים:

1. מהירות המנורמלת נתונה על ידי השיפוע: WIKINIUM\_MATH\_PH\_882 .
2. מאחר שמתקיים קשר האינטרוול WIKINIUM\_MATH\_PH\_884 , אנו מסיקים כי המהירות כפונקציה של הזמן היא: WIKINIUM\_MATH\_PH\_886 .
3. פקטור לורנץ מתקבל מההצבה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_888 .
4. מתוך חוק הכוח היחסותי, הכוח השמור מוגדר כנגזרת של התנע לפי הזמן: WIKINIUM\_MATH\_PH\_890 .
5. הצבת הביטוי של WIKINIUM\_MATH\_PH\_892 משלב 2 והביטוי של WIKINIUM\_MATH\_PH\_894 משלב 3 לתוך חוק הכוח מניבה את התוצאה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_896 . מאחר ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_898 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_900 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_902 הם קבועים, מתקבל כוח קבוע (ותאוצה עצמית קבועה).

* **כיצד נוצר אופק אירועים ללא חור שחור?** איור 7-6 מדגים תרחיש פיזיקלי מחושב הממחיש את המושג "אופק אירועים מדומה" (אופק רינדלר). נניח כי טרנס (A) וסטלה (B) עומדים יחד בתחילה במרחק של 100 שעות אור מראש הצירים. סטלה ממריאה בזמן 0, כאשר החללית שלה מאיצה בקצב קבוע של WIKINIUM\_MATH\_PH\_904 בכל שעה. מדי 20 שעות בשעונו, טרנס משדר לסטלה עדכוני רדיו לגבי המתרחש בבית (הקווים הירוקים הרציפים).

* סטלה קולטת את השידורים הללו באופן סדיר, אך המרחק הגדל ביניהם (המשולב עם אפקט התארכות הזמן היחסותי) גורם לכך שהיא קולטת את ההודעות של טרנס באיחור הולך וגדל לפי שעון החללית שלה. המתמטיקה של המסלול ההיפרבולי מראה כי סטלה **לעולם לא תקלוט** שום שדר שישלח טרנס לאחר שיעברו 100 שעות בשעון שלו על פני כדור הארץ (הקווים הירוקים המקווקווים).

לאחר שחלפו 100 שעות בשעונו של טרנס, סטלה נכנסת עבורו ל"אזור אפל". היא נעה אל מטה מחוץ לעתיד הזמני (Timelike future) של טרנס. מן העבר השני, התהליך אינו סימטרי: טרנס יכול להמשיך ולספוג הודעות שסטלה משדרת אליו לאורך זמן ללא הגבלה, כל עוד הוא מוכן להמתין מספיק שנים בכדור הארץ עד שהאור יגמע את המרחק העצום.

באופן זה, המרחב-זמן השטוח של מינקובסקי נחצה לשני אזורים נפרדים לחלוטין, המופרדים על ידי **אופק אירועים מדומה**. כל עוד סטלה תתמיד בתאוצתה הקבועה, קרני האור הנושאות מידע מהאירועים שקורים מאחורי קו אופק זה לעולם לא יוכלו להשיג אותה, והיא לא תוכל לדעת מה התרחש בהם לעולמי עולמים.

## תורת היחסות ואיחוד האלקטרומגנטיות

מחקרים תאורטיים במסגרת האלקטרומגנטיות קלאסית הובילו בשעתם לגילוי התופעה של התפשטות גלים. משוואות שהכלילו את האפקטים האלקטרומגנטיים הראו כי מהירות ההתפשטות הסופית של השדות החשמליים ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_906 ) והמגנטיים ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_908 ) מכתיבה התנהגויות פיזיקליות מסוימות מצד חלקיקים טעונים. המחקר הכללי של מטענים נעים מנוסח באמצעות פוטנציאלי לינאר-ויכרט, פיתוח מתמטי שהיווה צעד מתודי מכריע לקראת גיבוש תורת היחסות הפרטית.

הפעלת טרנספורמציית לורנץ על שדה חשמלי של מטען נע, במעבר למערכת הייחוס של צופה נייח, מולידה איבר מתמטי חדש המוכר לנו כשדה מגנטי. באופן הפוך, השדה המגנטי הנוצר על ידי מטען נע מתאפס לחלוטין והופך לשדה אלקטרוסטטי טהור כאשר בוחנים אותו ממערכת ייחוס המלווה את המטען בתנועתו (מערכת המנוחה שלו). מכאן נובע כי משוואות מקסוול אינן אלא התאמה אמפירית של אפקטים יחסותיים בתוך מודל קלאסי של היקום. מאחר שהשדות החשמליים והמגנטיים תלויים במערכת הייחוס של הצופה ושזורים זה בזה באופן בלתי ניתן להפרדה, הפיזיקה המודרנית מתייחסת אליהם במאוחד כאל **שדות אלקטרומגנטיים**. תורת היחסות הפרטית מספקת את חוקי הטרנספורמציה המדויקים המגדירים כיצד שדה אלקטרומגנטי הנמדד במערכת אינרציאלית אחת ייראה ממערכת אינרציאלית אחרת.

ניתן להדגים כיצד מגנטיות נובעת מיחסות דרך ניסוי מחשבתי פשוט: נתבונן בזרם חשמלי הזורם תיל מוליך נייטרלי (בעל כמות שווה של פרוטונים נייחים ואלקטרונים נעים). עבור חלקיק טעון שנמצא במנוחה מחוץ לתיל, אין שום כוח חשמלי כיוון שהתיל נייטרלי. אולם, אם החלקיק יתחיל לנוע במקביל לתיל, מנקודת מבטו האלקטרונים (או הפרוטונים) יקבלו מהירות יחסית אליו, ויחוו התקצרות אורך לורנץ. התקצרות זו תדחוס את המטענים ותגרום לתיל להיראות בעיני החלקיק הנע כבעל מטען חשמלי עודף. כתוצאה מכך, החלקיק יחווה כוח משיכה או דחייה חשמלי. מה שבעיני החלקיק הנע הוא כוח חשמלי טהור הנובע מהתקצרות המרחב, נראה בעיני צופה נייח במעבדה כ"כוח מגנטי". המגנטיות היא למעשה ביטוי יחסותי של השדה החשמלי.

משוואות מקסוול בצורתן התלת-ממדית המסורתית כבר עקביות לחלוטין עם התוכן הפיזיקלי של תורת היחסות הפרטית, אף על פי שנוח בהרבה לנתח ולתפעל אותן בצורה בעלת קווריאנטיות גלויה, כלומר במסגרת שפת החשבון הטנזורי הארבע-ממדי.[דרוש מקור]

## תורת היחסות ומכניקת הקוונטים

ניתן לשלב את תורת היחסות הפרטית עם מכניקת הקוונטים כדי ליצור את מכניקת הקוונטים היחסותית ואת האלקטרודינמיקה קוונטית (QED). מנגד, השאלה כיצד לאחד את תורת היחסות הכללית (העוסקת בכבידה) עם מכניקת הקוונטים נותרה אחת הבעיות הפתוחות הגדולות והמרכזיות ביותר בפיזיקה המודרנית; פיתוח תאוריה של כבידה קוונטית וגיבוש "תאוריה של הכל", שיכללו בתוכן איחוד מלא של כל כוחות הטבע יחד עם היחסות הכללית, מהווים תחומי מחקר פעילים ודינמיים ביותר בחזית הפיזיקה התאורטית העכשווית.

עוד בשלביה המוקדמים של הפיזיקה המודרנית, מודל בוהר-זומרפלד המורחב של האטום הצליח להסביר את המבנה הדק (הפיצול העדין של קווי הבליעה והפליטה) של אטומי מתכות אלקליות באמצעות שילוב של אפקטים של יחסות פרטית יחד עם הידע הקוונטי הראשוני של אותה תקופה.

בשנת 1928 פיתח הפיזיקאי פול דיראק משוואת גלים יחסותית משפיעה, המכונה כיום על שמו משוואת דיראק, אשר תואמת לחלוטין הן את עקרונות היחסות הפרטית והן את הניסוח המלא של התורה הקוונטית שהתגבש לאחר 1926. משוואה זו לא רק הסבירה באופן מובנה את התנע הזוויתי הפנימי של האלקטרונים המכונה ספין, אלא הובילה באופן מתמטי מדהים לחיזוי קיומו של האנטי-חלקיק של האלקטרוני – הפוזיטרון. בזכותה, תופעת המבנה הדק של רמות האנרגיה באטום קיבלה לראשונה ביסוס פיזיקלי שלם המבוסס על דינמיקה יחסותית, והיא הניחה את היסודות הרשמיים למכניקת הקוונטים היחסותית.

מן העבר השני, עצם גילויים של אנטי-חלקיקים הוביל את הפיזיקאים למסקנה כי מכניקת הקוונטים היחסותית הפשוטה – המנסה לתאר חלקיק בודד באמצעות משוואת גלים – אינה מספקת כדי לבנות תאוריה שלמה ומדויקת של אינטראקציות באנרגיות גבוהות. כאשר חלקיקים נעים במהירויות יחסותיות קרובות למהירות האור, האנרגיה הקינטית שלהם כה גבוהה שעל פי הקשר WIKINIUM\_MATH\_PH\_910 היא יכולה להפוך באופן ספונטני לחלקיקים חדשים (כפי שקורה במאיצים). במצב שבו מספר החלקיקים במערכת אינו קבוע, משוואת גלים של חלקיק יחיד קורסת. בשל כך, נדרש מעבר אל תורת שדות קוונטית, תאוריה שבה החלקיקים אינם ישויות עצמאיות קבועות, אלא עירורים מקומיים של שדות קוונטיים בסיסיים, המאפשרים מתמטית תהליכים רציפים של יצירה והשמדה של חלקיקים ואנטי-חלקיקים לאורך המרחב והזמן.

## מעמד מדעי ותקפות ניסיונית

כמו כל תאוריה פיזיקלית, גם תורת היחסות הפרטית אינה חזות הכל, ולתקפותה המדעית ישנם גבולות יישום מוגדרים. התאוריה מצטיינת בתיאור מדויק של מערכות הדינמיקה והקינמטיקה במהירויות קיצוניות, אך היא מושתתת על הנחת יסוד לפיה המרחב-זמן הוא "שטוח" ומנותק מהשפעותיהם של שדות כבידה מאסיביים או מחוקי מכניקת הקוונטים השולטים בעולם התת-אטומי. כאשר תנאי הסביבה הפיזיקליים משתנים והופכים לקיצוניים – בין אם בשל נוכחותן של מסות אדירות המעקמות את המרחב ובין אם בשל צלילה לקני מידה זעירים, היחסות הפרטית אינה מספקת עוד, והפיזיקה נדרשת לעבור לתאוריות מקיפות יותר המגדירות את גבולותיה מחדש.

תורת היחסות הפרטית במסגרת מרחב-זמן של מינקובסקי היא מדויקת לחלוטין רק כאשר הערך המוחלט של הפוטנציאל הכבידתי באזור הנמדד קטן בהרבה מ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_912 . בשדות כבידה חזקים ומשמעותיים, חובה לעבור לשימוש בתורת היחסות הכללית, אשר מתכנסת חזרה אל היחסות הפרטית בגבול של שדה כבידה חלש (או מקומית, בתוך נפח קטן בנפילה חופשית על פי עקרון השקילות). בקני מידה זעירים קיצוניים, כגון באורך פלאנק ומטה, יש לקחת בחשבון אפקטים קוונטיים של המרחב-זמן עצמו, דבר המצריך תאוריה של כבידה קוונטית.

אולם, בקני מידה מקרוסקופיים ובהיעדר שדות כבידה עזים, תורת היחסות הפרטית הועמדה לאורך השנים למבחנים ניסיוניים קפדניים ביותר והוכחה בדיוק קיצוני יוצא דופן (בסדר גודל של עד WIKINIUM\_MATH\_PH\_914 ), ולכן היא מקובלת ללא עוררין על הקהילה המדעית הבינלאומית. תוצאות ניסיוניות שנדמו במבט ראשון כסותרות אותה התבררו לאורך ההיסטוריה ככאלו שאינן ניתנות לשחזור, והקונצנזוס המדעי מייחס אותן לשגיאות מדידה וכשלים ניסיוניים.

היחסות הפרטית היא עקבית לחלוטין מבחינה מתמטית, והיא מהווה חלק אורגני ויסודי מכל התאוריות הפיזיקליות המודרניות, ובראשן תורת השדות הקוונטית, תורת המיתרים והיחסות הכללית (כאשר השפעת הכבידה זניחה).

המכניקה הניוטונית מתקבלת מתמטית מתוך תורת היחסות הפרטית בגבול של מהירויות נמוכות בהרבה ממהירות האור ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_916 ) – ולפיכך ניתן לראות במכניקה הניוטונית כמקרה פרטי של תורת היחסות עבור גופים הנעים באיטיות. ראו מכניקה קלאסית לדיון מורחב בנושא זה.

מספר ניסויים היסטוריים מרכזיים שקדמו לפרסום מאמרו של איינשטיין ב-1905 מפורשים כיום כראיות מוצקות וחד-משמעיות לטובת תורת היחסות. מתוכם, ידוע כי איינשטיין היה מודע לניסוי פיזו עוד לפני 1905, והיסטוריונים של המדע הגיעו למסקנה כי הוא הכיר לפחות את ניסוי מייקלסון-מורלי כבר בשנת 1899, על אף הצהרותיו המפורסמות בשנותיו המאוחרות כי הניסוי לא שיחק תפקיד מרכזי בתהליך פיתוח התאוריה על ידו:

* **ניסוי פיזו (1851, אשר חזר עליו מיקלסון ומורלי ב-1886):** מדד את מהירות האור בתוך תווך חומרי נע (מים זורמים), והניב תוצאות המתיישבות במדויק עם נוסחת הרכבת המהירויות היחסותית בקו ישר, וסותרות את חיבור המהירויות הקלאסי.
* **ניסוי מייקלסון-מורלי המפורסם (1881, 1887):** סיפק את התמיכה הניסיונית המרכזית לפוסטולט לפיו לא ניתן למדוד מהירות ייחוס מוחלטת ביקום ושאין קיום לישות ה"אתר". יש לציין כי בניגוד לטענות פופולריות רבות, הניסוי כשלעצמו לא הוכיח את קביעות מהירות האור ביחס לצופה ולמקור, שכן הן מקור האור והן הגלאי נעו יחד באותה מהירות על פני כדור הארץ לכל אורך המדידה.
* **ניסוי טראוטון-נובל (1903):** הראה כי מומנט הכוח הפועל על קבל לוחות טעון אינו תלוי בנטייתו המרחבית או במערכת הייחוס האינרציאלית שבה הוא נמדד, בהתאמה מלאה לעקרון היחסיות.
* **ניסויי ריילי וברייס (1902, 1904):** הראו כי התקצרות האורך של גופים נעים אינה מובילה לתופעה של שבירה כפולה (Birefringence) עבור צופה הנע יחד עם המערכת, בהתאם לעקרון היחסיות לפיו צופה אינרציאלי אינו יכול לגלות את תנועתו העצמית באמצעות ניסוי מקומי.

מאיצי חלקיקים חדישים מאיצים ומודדים באופן יומיומי את תכונותיהם של חלקיקים תת-אטומיים הנעים במהירויות הקרובות כדי שברירי אחוז למהירות האור; התנהגות החלקיקים במערכות אלו תואמת במדויק את תחזיות תורת היחסות וסותרת לחלוטין את המכניקה הניוטונית. מכונות מורכבות אלו פשוט לא היו מסוגלות לפעול פיזית לו מהנדסיהן לא היו מתכננים אותן על פי עקרונות תורת היחסות. בנוסף, נערכו שורה ארוכה של ניסויים מודרניים מתקדמים במטרה לבחון את תקפות היחסות הפרטית, ובהם:

* **מבחני אנרגיה ותנע יחסותיים:** בחינת חסם המהירות העליון של חלקיקים טעונים והוכחת הגידול בתנע היחסותי.
* **ניסוי אייבס-סטילוול:** בחינה ישירה של אפקט דופלר היחסותי הרוחבי והוכחה ישירה של התארכות הזמן.
* **בחינה ניסיונית של התארכות זמן:** מדידת השפעת המהירות על זמן מחצית החיים של חלקיקים מהירים (כמו מיואונים ופיונים).
* **ניסוי קנדי-תורנדייק:** בחינת תלות מהירות האור במהירות המערכת, לאישוש מלא של טרנספורמציות לורנץ.
* **ניסוי יוז-דרבר:** בדיקת האיזוטרופיות של המרחב והמסה האינרציאלית בדיוקים פנטסטיים.
* **חיפושים מודרניים אחר הפרת לורנץ:** שורה של ניסויים מודרניים המשתמשים בשעונים אטומיים ובמהודים אופטיים כדי לאתר סטיות מזעריות ביותר מחוקי לורנץ.
* **ניסויים לבחינת תאוריית הפליטה (יחסות):** הוכיחו באופן חותך כי מהירות האור אינה תלויה במהירות של המקור הפולט אותו.
* **ניסויים לבחינת השערת גרר האתר:** שללו את הרעיון לפיו גופים מאסיביים "גוררים" עמם את תווך האתר ובכך מעוותים את מהירות האור המקומית.

## לקריאה נוספת

* פרופ' יורם קירש, מיכל בן-יעקב, ‏**יסודות הפיזיקה ב (כרך 7)**, האוניברסיטה הפתוחה, 1998
* יהודה שדמי, **תורת היחסות הפרטית**, המכון לאמצעי הוראה, תש"ל

* אלברט איינשטיין, **על תורת היחסות הפרטית והכללית**, תרגום מגרמנית: יעקב גרינברג, הוצאת דביר, תרפ"ט 1928; יכין אונא, הוצאת מאגנס, 2015
* צבי מזא"ה, **מבוא לתורת היחסות הפרטית**.

* Albert Einstein, **The Meaning of Relativity**, Princton University Press, New Jersey, 1922

* Albert Einstein,  **Relativity - the Special and General Relativity**, Crown, New York, 1961 (מהדורה להפצה בארצות הברית בלבד, תרגום מהמקור בגרמנית מ-1916)

## קישורים חיצוניים

 מדיה וקבצים בנושא **תורת היחסות הפרטית** בוויקישיתוף
* שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית, מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
* יואב בן-דב, סרגלים ושעונים - תורת היחסות הפרטית - בספר מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים.
* רשימה קצרה של אתרים על יחסות פרטית (אורכב 18.04.2005 בארכיון Wayback Machine) (באנגלית)
* On the electrodynamics of moving bodies - תרגום מגרמנית לאנגלית של המאמר המפורסם של איינשטיין מ־1905, באתר "Fourmilab"
* רפי מור, להבין את תורת היחסות הפרטית
* מאמר מכתב-העת גליליאו
* קליפ אנימציה המדגים את השפעות תורת היחסות הפרטית על עצמים הנעים במהירות
* אבשלום אליצור, שיעור חי ביחסות
* The fundamentals of space-time – סרטוני הסבר על יסודות החלל זמן: חלק 1, חלק 2 וחלק 3
* תורת היחסות הפרטית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* יחסות פרטית (פיזיקה), דף שער בספרייה הלאומית

## ביאורים

## הערות שוליים

### מקורות נוספים