# איחוד (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, **האיחוד** של אוסף של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל מה ששייך לקבוצות אלה, ושום דבר אחר.

## הגדרה

דיאגרמת ון של ה**איחוד** של **A** ו-**B**
אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 הן קבוצות, אז האיחוד של WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ואת כל האיברים של WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , בלי איברים אחרים. האיחוד של WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 נכתב בדרך כלל כך: WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .

מבחינה פורמלית:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 הוא איבר ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ) אם ורק אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 .
נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה שמחזירה קבוצה שמכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי.

אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, הן מכונות קבוצות זרות, ואיחודן מכונה **איחוד זר**.

הערה: איחוד זר נהוג לסמן על ידי רשימת + או נקודה בתוך ה-⋃ של האיחוד (למשל WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ).

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 השייך לקבוצת אינדקסים WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ), אז האיחוד שלהן יסומן WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ומתקיים WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 אם ורק אם קיים WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 כלשהו כך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 .

ההגדרה הכללית ביותר היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 (מילולית: איבר *x* נמצא באיחוד של קבוצות ממשפחה WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 אם ורק אם קיימת קבוצה *A* ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 כך ש-*x* שייך ל-*A*).

## דוגמאות

* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 .
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 (B הוא קבוצה חלקית של A) אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 .
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 (קבוצה ריקה) אז לכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 מתקיים WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 .
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .
* בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך:
	+ בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , אז הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 כלשהו.
	+ בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , אז הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.

(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה **הגבול התחתון** ו**הגבול העליון** של סדרת הקבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ומסומנות WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ).
## תכונות אלגבריות

איחוד הוא פעולה אסוציאטיביות (קיבוצית); כלומר
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 . בשל כך הביטוי
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך בסוגריים אף-פעם כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות.

באופן דומה, איחוד הוא גם קומוטטיבי (חילופי), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה.

הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות.

ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה מורגן.

באופן פורמלי:

* אסוציאטיביות: WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
* קומוטטיביות: WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
* דיסטריבוטיביות של חיתוך על איחוד: WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
* דיסטריבוטיביות של איחוד על חיתוך: WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
* משלים: WIKINIUM\_MATH\_PH\_102

## ראו גם

* עקרון החיבור
* OR

## קישורים חיצוניים

 מדיה וקבצים בנושא **איחוד** בוויקישיתוף
* איחוד, באתר MathWorld (באנגלית)