# מספר סודר

לחצו כדי להקטין חזרה

לחצו להגדלה

---

תצוגה גרפית של כל הסודרים מ־0 עד WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

בתורת הקבוצות, **מספר סודר** (באנגלית: **Ordinal number**) הוא טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב. את רעיון המספרים הסודרים הגה לראשונה אבי תורת הקבוצות גאורג קנטור, במסגרת עבודתו על קבוצות נגזרות.

המוטיבציה להגדרת המספרים הסודרים מגיעה מהרצון להכליל את התכונות המועילות של המספרים הטבעיים. למספרים הטבעיים שני תפקידים עיקריים:

* מנייה וייצוג כמות;
* סדר ומיקום בסדרה.

במסגרת תורת הקבוצות מגדירים את המספרים המונים כהכללה של המספרים הטבעיים במובן הראשון, כך שניתן יהיה לייצג גם כמויות אינסופיות. המספרים הסודרים מוגדרים במטרה להכליל את המובן השני, כך שניתן יהיה לדבר על איברים במקומות "אינסופיים" בסדרה.

המספרים הסודרים הראשונים הם המספרים הטבעיים WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 (בתורת הקבוצות מקובל להחשיב את WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 כמספר טבעי). לאחריהם מגיע הסודר האינסופי הראשון, WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 (אומגה). WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 מתאפיין בכך שהוא "הסודר הקטן ביותר שגדול מכל מספר טבעי". לאחריו מגיעים הסודרים: WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

## הגדרה

למספרים הסודרים מספר הגדרות, להלן הנפוצה שבהם.

|  |
| --- |
| קבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 נקראת סודר אם מתקיימים התנאים הבאים: ‏•‏‏ WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 היא קבוצה טרנזיטיבית. ‏•‏‏ יחס השייכות ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 הוא סדר טוב על WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 . |

התכונה הראשונה שמופיעה מאפשרת הגדרת סדר בין סודרים: עבור WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 סודרים WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 . כמו כן סדר זה בין סודרים הוא סדר טוב.

### עוקב

הגדרת פעולת **העוקב**: WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .

סודר WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ייקרא **סודר עוקב**, אם קיים סודר אחר WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 כך שמתקיים WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 , ו**סודר גבולי** אחרת (לעיתים לא מתייחסים ל־0 כאל סודר גבולי מטעמי נוחות).
**סודר מונה** (לעיתים נקרא "סודר פותח") הוא סודר שאינו שווה־עוצמה לאף סודר קטן יותר.

אקסיומת היסוד מבטיחה שאם WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 היא קבוצה טרנזיטיבית ויחס השייכות ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 הוא סדר קווי על WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , אז יחס זה הוא גם סדר טוב על WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 .

## הסודרים הסופיים

סודר נקרא **סודר סופי** אם הוא WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 או שהוא עוקב של סודר סופי.

בניית המספרים הטבעיים של ג'ון פון נוימן מתלכדת עם המספרים הסודרים הסופיים:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

הסודרים הסופיים הם סודרים עוקבים וסודרים מונים.

## סודרים נוספים

המחשה של מבנה המספרים הסודרים: אינסוף סדרות של מספרים אינסופיים.
לפי אקסיומת הקבוצה האינסופית קיימת קבוצת כל הסודרים הסופיים.
קבוצה זו: WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , היא הסודר האינסופי הקטן ביותר.

ניתן להמשיך ולהגדיר סודרים נוספים בעזרת פעולת העוקב ובעזרת איחוד הסודרים הקודמים. למשל:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

## תכונות

* כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו;
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 סודר, אז גם WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 סודר;
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 היא קבוצה של סודרים, אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 הוא סודר;
* אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 היא קבוצה (או מחלקה) של סודרים, אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 הוא סודר. סודר זה הוא המינימום ב־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ;
* עבור שני סודרים WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 שונים, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ;
* קבוצת הסודרים הסופיים מהווים מודל לתורה של אקסיומות פאנו.

תכונה מעניינת נוספת שמתקבלת היא הפרדוקס של בּוּרָלִי–פוֹרְטִי, ששולל את קיום "קבוצת כל המספרים הסודרים". משום כך, לא ניתן לדבר בתורת הקבוצות על "קבוצת כל המספרים הסודרים", כשם שבגלל הפרדוקס של ראסל לא ניתן לדבר על "קבוצת כל הקבוצות". בלשון תורת הקבוצות, נאמר כי אוסף כל הסודרים הוא מחלקה ולא קבוצה.

לכל קבוצה ויחס סדר שלה WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , אם הסדר הוא סדר טוב קיים סודר WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 יחיד כך ש־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , כאשר הסימון WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 מציין שקיים איזומורפיזם ביניהם (פונקציה חד־חד־ערכית ועל, ששומרת את הסדר בין האיברים). WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 נקרא טיפוס הסדר של WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ומסומן WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 .

נציין כי ניתן להגדיר מספר סדרים טובים על אותה קבוצה לפי יחס סדר שונה.

מהתכונה הנ"ל ניתן להסיק תכונה מעניינת נוספת: תהי קבוצה שניתנת לסידור טוב WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 (כלומר, שניתן להגדיר עליה סדר טוב אחד או יותר). נסתכל על קבוצת הסודרים שאיזומורפיים לה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 . הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 היא קבוצה של סודרים.
כפי שאמרנו, חיתוך של קבוצת סודרים הוא סודר, ולכן WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 סודר.
כעת נוכל להגדיר את העוצמה של הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 כסודר המינימלי שאיזומורפי לה, קרי: WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 .
ניתן להראות שסודר מסוג זה הוא תמיד סודר מונה.

## הקשר בין סודרים לעוצמות

אחת המטרות של הגדרת הסודרים היא לתת ביסוס פורמלי למושג העוצמה, ואכן ניתן להשיג מטרה זו בהנחת אקסיומת הבחירה.
במערכת האקסיומות של צרמלו–פרנקל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, ולכן כל קבוצה ניתנת לסידור טוב, ומכאן הגדרת העוצמה שהוצגה קודם מוגדרת היטב עבור כל קבוצה.

נוכל להגדיר את המספרים המונים בתור הסודרים המונים.

באופן זה נזהה כל מונה כסודר המונה שעוצמתו היא המונה הנ"ל, למשל את WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 (אָלֶף אֶפֶס) נזהה עם WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 .

תחת הגדרה זו ישנה טריכוטומיה בין עוצמות של קבוצות; כלומר, עבור שתי קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 שונות זו מזו, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 (לא ניתן להוכיח זאת ללא אקסיומת הבחירה).

## פעולות בין סודרים

כפי שניתן להגדיר פעולות על מספרים מונים, ניתן גם להגדיר פעולות על מספרים סודרים.

פעולות על סודרים אינן בהכרח מתלכדות עם פעולות על מונים. למשל, WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 מזוהה עם WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 , אולם לפי ההגדרה מטה WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 , בעוד שלפי משפט קנטור WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 .

### חיבור

ניתן להגדיר חיבור סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:

#### הגדרה 1

הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 , עבור חיבור עם WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 ;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , עבור חיבור סודר עוקב WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 ;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 , עבור חיבור סודר גבולי WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 .

#### הגדרה 2

נגדיר את WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 באופן הבא: נסתכל על WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 יחד עם יחס הסדר בו איברי WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 שומרים על סדרם הפנימי, איברי WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 שומרים על סדרם הפנימי ואיברי WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 קטנים מאיברי WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 . ניתן להראות, כי יחס סדר זה הוא יחס סדר טוב. כעת ניתן להגדיר את החיבור כטיפוס הסדר (ראו הגדרה מעלה) של האיחוד הנ"ל, תחת יחס הסדר המדובר: WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 .

ניתן להראות, כי שתי ההגדרות שהוצגו שקולות זו לזו.

### כפל

באופן דומה, ניתן להגדיר כפל סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:

#### הגדרה 1

הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית, בדומה להגדרת החיבור.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 , עבור כפל ב־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 , עבור כפל בסודר עוקב WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 ;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 , עבור כפל בסודר גבולי WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 .

#### הגדרה 2

באופן דומה להגדרת החיבור השנייה, נגדיר WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 כאשר יחס הסדר הוא יחס הסדר הלקסיקוגרפי.

### חזקה

באופן דומה, ניתן להגדיר העלאה בחזקת סודרים במספר דרכים; נציג את אחת הדרכים.

בדרך זו נגדיר חזקה באופן אינדוקטיבי.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 , עבור העלאה בחזקת WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 ;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , עבור העלאה בחזקת סודר עוקב WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 ;
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 , עבור העלאה בחזקת סודר גבולי WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 .

## קישורים חיצוניים

* בועז צבאן, החלום של קנטור, המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב, אוניברסיטת בר־אילן.
* גדי אלכסנדרוביץ', איך קנטור המציא את הסודרים?, באתר "לא מדויק", 23 במאי 2011
* גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - סודרים, באתר "לא מדויק", 12 בינואר 2023
* גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - אריתמטיקה של סודרים, באתר "לא מדויק", 14 בינואר 2023
* מספר סודר, באתר MathWorld (באנגלית)

| תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים |
| --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|             |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

| **מקרא** |
| --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|   | שדה. |
|   | חוג קמוטטיבי עם יחידה. |
|   | חוג עם חילוק. |
|   | מבנה כללי יותר. |

 |

|  |  |
| --- | --- |
|   | קבוצה סופית |
|   | קבוצה בת מניה |
|   | קבוצה מעוצמת הרצף |
|   | מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה |

 |

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|

|  |
| --- |
|   |

 | שיכון |  |
|

|  |
| --- |
|   |

 | העתקה על |  |
|   | איזומורפיזם לא קאנוני. |
|  | העתקה שקיימת רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 ). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית. |

 |

 |  |
|  |   |   |   |   |   |  |   | אלגברות קיילי-דיקסון
 אלגברות קיילי-דיקסון  |  |  |  |
|  |  |   |   |   |   |   |  |  |
|  | מבנים ארכימדיים |  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  |   |  |  |
|  |  |   |  |  |  |  |  |   |   |  |   |  |  |
|  |  |   |  |  |  |  |  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |  | מבנים אדליים ו - p-אדיים |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים
 הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים  |             |                       |             |             |                  |             |             |             |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  |   |   |  |  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  |             | מבנים ממאפיין חיובי |             |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  |   |  |
|  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |  |   |  |  |   |   |   |  |             |             |   |   |   |   |   |   |  |
|   |  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  |   |   |   |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  |   |  |             |             |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |   |  |
|   |  |   |  |   |   |   |  |   |   |  |   |  |  |   |  |  |  |   |   |  |   |   |   |   |   |   |   |  |  |
|   |  |   |  |   |   |   |  |   |   |  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  |   |   |   |   |   |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250  |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266  |   |  |
|   |   |   |  |   |   |   |  |   |   |  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |   |   |  |   |   |  |   |  |  |
|   |   |   |  |   |   |   |  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_268
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294  |  |   |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_296
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298  |   |  |   |   |  |
|   |   |   |  |   |   |   |  |   |   |   |   |   |  |   |   |  |   |   |   |  |   |   |  |   |   | שדה מקומי ממאפיין חיובי WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302
 שדה מקומי ממאפיין חיובי WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306  |  |
|   |   |   |  |   |   |   |  |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_308
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310  |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_312
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_314  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_316
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_318  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_324
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 WIKINIUM\_MATH\_PH\_328
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_330  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 WIKINIUM\_MATH\_PH\_338  |   |  |
| שדה המספרים הסוריאליסטיים
 שדה המספרים הסוריאליסטיים  |  |   |  |   |   |   |  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |  |   |  |  |
|   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 WIKINIUM\_MATH\_PH\_342
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 WIKINIUM\_MATH\_PH\_346  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 WIKINIUM\_MATH\_PH\_350
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 WIKINIUM\_MATH\_PH\_354  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 WIKINIUM\_MATH\_PH\_358
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_360 WIKINIUM\_MATH\_PH\_362  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_364
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_366  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |   |  |  |
|  |   |  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |   |   |   |  |   |   |  |   |   |  |   |  |  |
|   |  |  |  |  |   |  |  |   |  |  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |   |  |  |   |  |  |   |  |  |
|   |  |  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 WIKINIUM\_MATH\_PH\_374  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 WIKINIUM\_MATH\_PH\_378
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 WIKINIUM\_MATH\_PH\_382  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_384
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 WIKINIUM\_MATH\_PH\_390
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_392 WIKINIUM\_MATH\_PH\_394  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_396
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_398  |  |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 WIKINIUM\_MATH\_PH\_402
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 WIKINIUM\_MATH\_PH\_406  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 WIKINIUM\_MATH\_PH\_414  |  |  |
|   |  |  |   |   |  |  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |  |
|   |  |   |   |  |  |   |   |  |  |  |   |   |   |  |  |   |  |   |   |  |  |   |  |  |
|   |  |  |  |   |   |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_416 WIKINIUM\_MATH\_PH\_418
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_420 WIKINIUM\_MATH\_PH\_422  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_424
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_426  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_428
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_430  |   |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_432

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_434  |   |   |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_436

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_438  |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_440 WIKINIUM\_MATH\_PH\_442
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_444 WIKINIUM\_MATH\_PH\_446  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_448 WIKINIUM\_MATH\_PH\_450
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_452 WIKINIUM\_MATH\_PH\_454  |  |  |
|   |  |  |  |  |   |  |   |  |   |  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| מספרים סודרים
 מספרים סודרים  |   |   |   |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_456 WIKINIUM\_MATH\_PH\_458
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_460 WIKINIUM\_MATH\_PH\_462  |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_464
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_466  |   |   |   |   |   |   |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_468
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_470  |   |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

 |