# תורת הקבוצות

|  |
| --- |
|
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי. |

**תורת הקבוצות** היא תורה מתמטית בסיסית העוסקת במושג ה**קבוצה**, שהיא אוסף מופשט של איברים שונים זה מזה. התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות האקסיומטית, המנוסחת בשפה של הלוגיקה המתמטית, מספקת תשתית לכל תחומי המתמטיקה. כשלעצמה, תורת הקבוצות עוסקת בעיקר בתכונות של מונים וסודרים.

את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (בגרמנית במקור), בכתב-העת Mathematische Annalen.

בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרונן פותחה **תורת הקבוצות האקסיומטית**, ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת **תורת הקבוצות הנאיבית**. תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה והתוצאות שלה נכונות גם בגרסה האקסיומטית.

## הגדרת הקבוצה

**קבוצה** מוגדרת כאוסף של **איברים.** לכל קבוצה ולכל עצם בעולם נכונה בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות:

* העצם איבר בקבוצה
* העצם אינו איבר בקבוצה

את השייכות לקבוצה מסמנים באות היוונית אפסילון. הסימון " WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 " אומר " WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 שייך ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 " במשמעות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 איבר בקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 . אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 אינו איבר של WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , מסמנים WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .

בקבוצה אין משמעות לחזרות. כלומר, איבר לא יכול להופיע פעמיים בקבוצה: או שהוא שייך לה – או שאינו שייך. לדוגמה, הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 היא בדיוק הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , כלומר: WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 . בנוסף, אין חשיבות לסדר בייצוג הקבוצה, למשל: WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .

נתבונן עתה בקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ועליה נשאל, "**האם בקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 יש איברים?**"

* אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן: WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .
* אם קיימים בה איברים, אז היא אינה ריקה: WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .

את הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 שבה קיימים רק שלושת האיברים WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 נסמן: WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 .
אפשרות סימון נוספת היא על ידי תנאי, כלומר: WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , קבוצת כל ה-a-ים שעבורם הפסוק הלוגי WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 (תנאי כלשהו) מתקיים.

## יחסי ההכלה

אומרים ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 **מוכלת** ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 או **חלקית** ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 (ומסמנים WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ) אם כל איבר של WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 הוא איבר של WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 . יחס חשוב זה מגדיר **שוויון** בין קבוצות: קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים. באופן שקול: WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 אם ורק אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 וגם WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 . זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות. שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 חלקית ממש לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה נסמן WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 . כלומר, כל האיברים שבקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 שייכים גם לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , אך קיים לפחות איבר אחד אשר שייך ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ואינו שייך ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 .

## פעולות על קבוצות

דיאגרמת ון של ה**חיתוך** של **A** ו-**B**
באוסף של קבוצות מתקיימות הפעולות הבאות:

* **איחוד**: האיחוד של שתי קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ואת כל האיברים של WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , בלי איברים אחרים. האיחוד של WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 נכתב בדרך כלל כך: WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 .

בכתיב פורמלי:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 הוא איבר ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ) אם ורק אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 .
* **חיתוך**: החיתוך של שתי קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ששייכים גם ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 (או באופן שקול, כל האיברים ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 ששייכים גם ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 ), ורק אותם. החיתוך של WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 נכתב בדרך כלל כך: WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 . בכתיב פורמלי: WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 הוא איבר ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 ) אם ורק אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 וגם WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 .

לדוגמה: החיתוך של קבוצת אזרחי ישראל עם קבוצת אזרחי צרפת הוא קבוצת האנשים שלהם אזרחות כפולה, ישראלית וצרפתית.
* **משלים**: משלים של קבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 . זאת ביחס לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 כלשהי שהיא **הקבוצה האוניברסלית** - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 . נהוג לסמן משלים בסימונים WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 .

דוגמה: המשלים של קבוצת אזרחי ישראל הוא קבוצת האנשים שאינם ישראלים. בדוגמה זו מובלעת ההנחה שהקבוצה האוניברסלית בהקשר זה היא קבוצת האנשים. בדרך כלל ברור מתוך ההקשר מהי הקבוצה האוניברסלית, אך לעיתים ראוי לציין זאת במפורש.
* **הפרש**: ההפרש בין קבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 אך לא ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 . מסמנים את ההפרש ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 או WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 . בכתיב פורמלי: WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 הוא איבר ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 ) אם ורק אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 וגם WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 .

מתקיים WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 .
בהינתן קבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , המשלים שלה ביחס לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 הוא אם כן WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 .
* **מכפלה קרטזית**: בהינתן שתי קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 , המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 והיא הקבוצה שמכילה את אוסף הזוגות הסדורים WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 כך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 .
* **הפרש סימטרי**: הפרש סימטרי של שתי קבוצות WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 הוא הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 המורכבת מכל איברי WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 שלא שייכים ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 וכל איברי WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 שלא שייכים ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 מוגדר כדלהלן:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
* **קבוצת החזקה**: קבוצת החזקה של קבוצה נתונה WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 היא קבוצת כל תתי הקבוצות של WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 , היינו WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 . עוצמת קבוצת החזקה היא WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 , ומשפט קנטור קובע כי עוצמת קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמת הקבוצה.

## יחסים ופונקציות

### יחס

**יחס בינארי** הוא קבוצה של זוגות סדורים. יחסים מהווים כלי חשוב לזיהוי קבוצות ואיברים. פורמלית, יחס מקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 , ולכל WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 מסמנים WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 . אומרים שהיחס הוא על קבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 אם זה יחס מהקבוצה אל עצמה. למשל, היחס WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 (קטן ממש) על הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 הוא היחס WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 .

יחס על WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 נקרא **רפלקסיבי** אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 , **סימטרי** אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 , ו**טרנזיטיבי** אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 . יחס המקיים את שלוש התכונות הללו נקרא יחס שקילות. ליחסים כאלה תפקיד בסיסי וחשוב בכל תחומי המתמטיקה, והם מגדירים שקילויות בין איברים וקבוצות, ומאגדים איברים הנחשבים שקולים לאיבר אחד, המכונה **מחלקת שקילות**. מחלקות השקילות מהוות חלוקה של הקבוצה – הן זרות ואיחודן הוא כל הקבוצה. גם ההפך נכון, בהינתן חלוקה, ניתן להגדיר יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו הן איברי החלוקה. כלומר, יש התאמה מלאה בין יחסי שקילות לחלוקות של קבוצה נתונה.

יחס על WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 יקרא **יחס סדר** אם הוא טרנזיטיבי, רפלקסיבי ואנטי סימטרי, (לחלופין, טרנזיטיבי, א-סימטרי, וא-רפלקסיבי היינו WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 ). היחס יקרא **יחס סדר מלא** אם כל שני איברים ניתנים להשוואה, ו**יחס סדר טוב** אם הוא מלא ולכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. יחסי הסדר הקלאסיים על המספרים כולם יחסי סדר מלאים. יחס ההכלה הוא יחס סדר לא מלא. לכל יחס סדר ניתן לבנות את דיאגרמת הסה שלו - בדיאגרמה זו יש קו בין איבר תחתון לעליון, אם התחתון מתייחס לעליון. במקרה שהיחס מלא, מתקבלת שרשרת ארוכה של התייחסויות. באופן כללי, שרשרת עולה ביחס היא מהצורה WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 . הלמה של צורן קובעת כי בקבוצה סדורה חלקית, אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל, אז יש בקבוצה איבר מקסימלי.

### פונקציה

פונקציה היא **יחס** (תת קבוצה של המכפלה הקרטזית) **חד ערכי ומלא**. (כלומר לכל איבר בתחום מתאים איבר אחד ויחיד בטווח)

באופן לא פורמלי ניתן לחשוב על **פונקציה** כמורכבת משלושה חלקים: תחום, טווח וכלל התאמה בניהם.

פורמלית, פונקציה מקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 (תחום) לקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 (טווח) היא **יחס** המקיים שתי תכונות: **חד-ערכיות ומלאות**.

1) חד ערכיות: היחס הוא תת-קבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 המקיימת WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 . כלומר, לכל איבר בתחום מתאים איבר **יחיד** בטווח.

2) מלאות: **כל** אברי התחום הם חלק מהיחס. WIKINIUM\_MATH\_PH\_244

פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום איבר ייחודי בטווח נקראת פונקציה חד-חד-ערכית. (כלומר אין איברים נוספים בתחום המתאימים לאיבר הזה בטווח)

פונקציה עבורה לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום (כלומר התמונה שלה שווה לטווח שלה), נקראת פונקציה על.

פונקציה שהיא גם על וגם חד-חד ערכית נקראת פונקציה הפיכה. אם בין שתי קבוצות קיימת פונקציה הפיכה אזי הקבוצות שוות עוצמה.

הפונקציה היא מונח כללי השימושי בכל ענפי המתמטיקה. למחקר פונקציות והתכונות שלהן מקום מכריע בכל המתמטיקה. ניתן להגדיר פונקציות משמרות תכונות, פונקציות רציפות, פונקציות גזירות וכו', ולחקור את המבנים הנוצרים. הדגש על מעברים בין אובייקטים, המכליל את הרעיון של הפונקציה, נתון במושג המורפיזם בתורת הקטגוריות.

## קבוצה אינסופית ועוצמה

קבוצה המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום מוסמנת באות WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 , כלומר: WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 . הקבוצה WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 מוגדרת באופן שאינו מאפשר לספור את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם, תמיד יהיו עוד איברים לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי. קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל גודלן של קבוצות אלו. הוא החליף את פעולת הספירה האינטואיטיבית בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות, דבר שאיפשר להרחיב את היחסים המוכרים בין הקבוצות הסופיות גם לאינסופיות. אם קיים מיפוי דו-כיווני בין שתי קבוצות סופיות, קרי, פונקציה חד-חד ערכית ועל מ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 על WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 (או מ־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 ל־ WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 ) הרי שלשתי הקבוצות יש אותו גודל. לפי משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין, כדי להוכיח שפונקציה כזו קיימת, מספיק להוכיח שקיימות פונקציה חד-חד ערכית מ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 על WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 ופונקציה חד-חד ערכית מ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 על WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 .

למשל לקבוצות הסופיות WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 המוגדרות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272
נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 על WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 : (בשימוש בזוגות סדורים)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278
מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן באותו גודל. מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת גודלן של קבוצות סופיות בלי לספור את איבריהן. במינוח המתמטי, אם קיים יחס שקילות בין שתי קבוצות. אז הקבוצות הן **שוות עצמה**.

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, וקבוצת הטבעיים הזוגיים המוגדרות:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_280
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282
נגדיר פונקציה:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284
פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הזוגיים הטבעיים.

נגדיר באופן מדויק מהי קבוצה אינסופית: **קבוצה אינסופית** היא קבוצה שקיימת לה קבוצה חלקית ממש ושקולה לה. או לחלופין: **קבוצה היא אינסופית** אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 ל- WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 שאינה על WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 . תכונה זו לא מתקיימת בקבוצות סופיות, אך היא מתקיימות בקבוצות שעוצמתן אינסופית.

ישנן קבוצות אינסופיות רבות שונות בגודלן זו מזו. מושג העוצמה משמש כיום כלי מרכזי בהתייחסות מתמטית לגודלן של קבוצות, בייחוד אינסופיות. מסמנים את העוצמה של קבוצה ב- WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 ; אומרים ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 אם יש פונקציה חד-חד-ערכית WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 , ו- WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 אם יש פונקציה על WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 .קבוצות נקראות שקולות עוצמה אם יש ביניהן פונקציה הפיכה, ומסמנים WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 . משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע כי מכך ש- WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 ניתן להסיק כי WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 .

תוצאות נוספות (ולעיתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות: קנטור הוכיח באמצעות פונקציית הזיווג קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים. כמו כן, משפט קנטור הוכיח אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה והאלכסון של קנטור הוכיח אי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים.

קבוצה השקולה לתת קבוצה כלשהי של הטבעיים נקראת קבוצה בת-מנייה. חיתוך, מכפלה קרטזית סופית ואיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה נשאר בן מנייה. לעומת זאת קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים האי־רציונליים הן קבוצות שאינן בנות־מנייה. כלומר, שעוצמת גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.

## סודרים

לסודרים שימושים רבים בתחומים שונים ולא צפויים במתמטיקה, והם מהווים מונח יסוד בתורת הקבוצות. חשיבותם נובעת ממשפט הסדר הטוב, על פיו ניתן להגדיר על כל קבוצה לא ריקה יחס סדר, המקיים את התכונה הבאה: בכל תת-קבוצה לא ריקה קיים אבר מינימלי (אבר קטן ביותר).

**סודר** הוא קבוצה הסדורה היטב לפי היחס WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 שהיא גם WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 -טרנזטיבית (כלומר, אם WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 אז WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 . בין כל שני סודרים קיים יחס סדר. יתרה מזאת, כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר לסודר יחיד, המהווה מעין נציג קנוני במחלקה שלה.

ניתן גם להגדיר פעולות בין סודרים, כמו חיבור, הפרש, כפל וחזקה. פעולות אלו שומרות חלקית על התכונות של הפעולות הרגילות על מספרים (למשל, החיבור איננו חילופי). ניתן להגדיר פונקציות מונוטוניות ורציפות בין סודרים, ביחס לטופולוגיית סדר.

סודרים מאפשרים להגדיר בתורת הקבוצות את האינדוקציה הטרנספיניטית ולהוכיח את משפט הרקורסיה הטרנספיניטית המהווים הכללה של המונחים אינדוקציה ורקורסיה על הטבעיים, ולהם שימושים רבים.

## פרדוקסים

הגדרתו של קנטור למושג הקבוצה, שמאפשרת יצירת קבוצות באופן חופשי והכללת עצמים לפי כל תנאי, מובילה למספר פרדוקסים, בהם הפרדוקס של ראסל, הפרדוקס של קנטור והפרדוקס של בורלי-פורטי. בעקבות סתירות אלו פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהגרסה העיקרית שלה היא מערכת האקסיומות של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל שנקראת ZF (או ZFC, כשמוסיפים לה את אקסיומת הבחירה). מערכת זו מטילה מגבלות על קיומן והגדרתן של קבוצות שונות, כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית של קנטור, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.

## לקריאה נוספת

* אברהם הלוי פרנקל, **מבוא למתמטיקה**, כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, הוצאת מסדה, 1953

## קישורים חיצוניים

* שמואל ברגר, ‏**תורת הקבוצות**, האוניברסיטה הפתוחה, 1992
* תורת הקבוצות - הרצאות מוקלטות של פרופ' רון אהרוני
* גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זו תורת הקבוצות?, באתר "לא מדויק", 19 באוקטובר 2019
* תורת הקבוצות, באתר MathWorld (באנגלית)
* תורת הקבוצות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
* תורת הקבוצות, דף שער בספרייה הלאומית