# Función gamma

Función gamma no eixe real.
Valor absoluto da función gamma no plano complexo.
En matemáticas, a **función gamma** (denotada como WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , onde WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
>
>
>

converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se *n* é un enteiro positivo, entón

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
>
>
>

o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de *z*. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

## Definición clásica

A función gamma no plano complexo.
Se a parte real do número complexo *z* é positiva (Re(*z*) > 0), entón a integral

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Esta ecuación funcional xeneraliza a relación WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 do factorial. Pódese avaliar WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 analiticamente:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
para os enteiros non negativos *n*.

A función gamma é unha función meromorfa de WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 con polos simples en WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 e residuos WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 . Estas propiedades poden ser empregadas para estender WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

## Definicións alternativas

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo *z*, agás para valores enteiros negativos:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
onde WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Tamén se pode a seguinte representación integral:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
## Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes

Atopar WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 é sinxelo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

Obtense logo unha fórmula para WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 como unha función de WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

Empregando integración por partes para resolver a integral

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

No límite inferior obtense directamente WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 .

Polo que se anula o primeiro termo, WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , o que nos dá o seguinte resultado:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

A parte dereita da ecuación é exactamente WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , co que se obtén unha relación de recorrencia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 .
Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
## Propiedades

Da representación integral obtense:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .
>
>
>

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
>
>
>

e a fórmula de duplicación

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
>
>
>

A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
>
>
>

Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
>
>
>

Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
>
>
>

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
>
>
>

que se pode obter facendo WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ou facendo a substitución WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de *n* tense:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92     (*n* impar)
>
>
>

onde *n*!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
>
>
>

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada *n*-ésima é:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
>
>
>

A función gamma ten un polo de orde 1 en WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:

>
>
>
>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
>
>
>

O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 para valores 0 < *z* < 1 é:

>
>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
>
>
>

Onde WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 é a función zeta de Riemann.

## Función pi

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada **función pi**, que en termos da función gamma é:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
Ás veces atópase a seguinte definición

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
onde WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

## Relación con outras funcións

* Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 e inferior WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
* A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
* A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 . As derivadas de maior orde son as funcións poligamma WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
* O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
* A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
* A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
Fórmula válida só se WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 . Tamén aparece na ecuación funcional de WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
## Valores da función gamma

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
## Aproximacións

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

## Aplicacións da función gamma

### Cálculo fraccionario

A n-ésima derivada de WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152

como WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 entón WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , de WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 e inclusive dunha constante WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168

## Notas

## Véxase tamén

### Bibliografía

* Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". *History of Mathematics* (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30).
* Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". *Am. Math. Monthly* (66): 849–869.
* Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". *Technical Report* (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016.
* Havil, Julian (2003). *gamma, Exploring Euler's Constant*. ISBN 0-691-09983-9.
* Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function".
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*. Nova York: Dover.
* Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press.
* Hochstadt, Harry (1986). "3". *The Functions of Mathematical Physics*. Nueva York: Dover.
* Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". *Numerical Recipes in C*. Cambridge: Cambridge University Press.
* Murray R. Spiegel: *Transformadas de Laplace*, Edicións Schaumm.
* Makárenko, Krasnov e Kiselev: *Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad*, editorial Mir.

### Outros artigos

* Función beta
* Función digamma
* Función gamma elíptica
* Distribución gamma

### Ligazóns externas

* Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com *(en inglés)*
* Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ *(en inglés)*
* Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
* Approximation Formulas - Aproximacións.
* Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitraria[*Ligazón morta*].
* Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages *(en inglés)*
* Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
* Calculadora Función gamma