# Unión (conxuntos)

Unión de dous conxuntos:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 Unión de tres conxuntos:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 A unión de A, B, C, D e E é todo agás a área branca.
Na teoría de conxuntos, a **unión** dunha colección de conxuntos (denotada por ∪) é o conxunto de todos os elementos da colección. É unha das operacións fundamentais mediante as que se poden combinar e relacionar conxuntos entre si. Unha **unión nula** refírese a unha unión de cero ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ) conxuntos e é por definición igual ao conxunto baleiro.

Para a explicación dos símbolos utilizados neste artigo, consulte a táboa de símbolos matemáticos.

## Unión de dous conxuntos

A unión de dous conxuntos *A* e *B* é o conxunto de elementos que están en *A*, en *B* ou en *A* e *B*.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 .
Vemos un exemplo, se *A* = {1, 3, 5, 7} e *B* = {1, 2, 4, 6, 7} entón *A* ∪ *B* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplo con dous conxuntos infinitos pode ser:

*A* = {*x* é un enteiro par máis grande que 1}
*B* = {*x* é un enteiro impar máis grande que 1}
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Un exemplo dun elemento non incluído na unión, o número 9 *non* está contido na unión do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e do conxunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...}, porque 9 non é nin primo nin par.

Os conxuntos non poden ter elementos duplicados, polo tanto a unión dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {1, 2, 3, 4}. As aparicións múltiples de elementos idénticos non teñen ningún efecto sobre a cardinalidade dun conxunto ou o seu contido.

## Propiedades alxébricas

A unión binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 Así, as parénteses pódense omitir sen ambigüidades: calquera das anteriores pódese escribir como  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 . Ademais, a unión é conmutativa, polo que os conxuntos poden escribirse en calquera orde. O conxunto baleiro é un elemento identidade para o funcionamento da unión. É dicir,  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , para calquera conxunto  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 . Ademais, a operación de unión é idempotente:  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 .

A intersección é distributiva coa unión WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 a unión é distributiva coa intersección WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 O conxunto de partes dun conxunto  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , xunto coas operacións dadas pola unión, intersección e complemento, é unha álxebra de Boole. Nesta álxebra de Boole, a unión pódese expresar en termos de intersección e complementario pola fórmula WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 onde o superíndice WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 significa o complemento no conxunto universal  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 .

## Unións finitas

Unha **unión finita** é a unión dun número finito de conxuntos; a frase non implica que o conxunto de unión sexa un conxunto finito.

## Unións arbitrarias

A noción máis xeral é a unión dunha colección arbitraria de conxuntos. Se **M** é un conxunto ou clase cuxos elementos son conxuntos, entón *x* é un elemento da unión de **M** se e só se hai polo menos un elemento *A* de **M** tal que *x* é un elemento de *A*. En símbolos:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
### Notacións

A notación para o concepto xeral pode variar considerablemente. Para unha unión finita de conxuntos WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 pódese escribir como WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ou WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 . As unións arbitrarias teñen varias notacións similares: WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , e WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 . A última destas notacións refírese á unión da colección WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 , onde *I* é un conxunto de índices e WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 é un conxunto para todos eses índices  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 . No caso de que o conxunto índice *I* sexa o conxunto de números naturais, utilízase a notación WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 , que é análogo ao das sumas infinitas en serie.

## Notas

## Véxase tamén

### Outros artigos

* Intersección.
* Complementario (conxuntos).
* Álxebra de conxuntos.

### Ligazóns externas

* "Union of sets". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. 2001 [1994].
* Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.