# Trigonometrinen funktio

**Trigonometriset funktiot** ovat matematiikassa kulman funktioita, jotka ovat tärkeitä, kun tutkitaan kolmioita tai mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot määritellään yleisesti kulman sisältävän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan yhtäpitävästi määritellä yksikköympyrään piirrettyjen janojen pituuksina. Modernimmat määritelmät esittävät ne sarjoina tai tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, jolloin ne voidaan laajentaa käsittämään sekä positiiviset että negatiiviset luvut ja jopa kompleksiluvut. Kaikki nämä lähestymistavat esitellään edempänä.

Nykyään on käytössä kuusi trigonometrista perusfunktiota, jotka on taulukoitu alempana keskinäisine yhteyksineen. Näitä yhteyksiä pidetään usein varsinkin neljän viimeisen funktion *määritelmänä*, mutta ne voidaan määritellä yhtä hyvin myös geometrisesti tai muilla tavoilla ja johtaa sitten funktioiden väliset yhteydet.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Funktio** | **Lyhenne** | **Yhteydet** |
| **Sini** | sin |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| **Kosini** | cos |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |
| **Tangentti** | tan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |
| **Kotangentti** | cot |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |
| **Sekantti** | sec |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  |
| **Kosekantti** | csc (tai cosec) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  |

Ennen oli käytössä myös muutama nykyään vähän käytetty funktio, joiden arvoja myös taulukoitiin, kuten:

* **versaalisini**: WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
* **ekssekantti**: WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

Myös sekantti ja kosekantti ovat harvoin käytettyjä, sillä niiden sijasta käytetään yleensä sinin ja kosinin käänteisarvoja.

Trigonometristen funktioiden tiettyjen rajoittumien käänteisfunktioita ovat arkusfunktiot.

## Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla

Suorakulmaisessa kolmiossa on aina yksi 90° kulma, jota tässä merkitään γ:lla. Kulmat α ja β ovat aina teräviä kulmia. Trigonometriset funktiot määräävät kolmion sivujen suhteiden ja sisäkulmien suuruuksien väliset yhteydet.
Määritelläksemme trigonometriset funktiot kulmalle *α*, aloitamme mielivaltaisesta suorakulmaisesta kolmiosta, jonka terävistä kulmista toiselle käytetään merkintää *α* (0 < *α* < 180°). Suoran kulman vastainen sivu on hypotenuusa, mitä merkitsemme myös h:lla. Vastainen kateetti on tarkastelemamme kulman vastainen sivu eli *a*. Viereinen kateetti on suoran kulman ja tarkastelemamme kulman välinen sivu eli *b*.

Oletamme kaikkien kolmioiden olevan euklidisella tasolla, jolloin kolmion sisäkulmien summa on 180°. Tällöin suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat molemmat välillä 0° < θ < 90°, missä θ on kulma. Määrittelemmekin nyt tässä trigonometriset funktiot vain näille kulmille, laajempia määritelmiä esittelemme tuonnempana.

Kulman **sini** on vastaisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. On huomattava, että tämä suhde riippuu vain kulmasta *α*, sillä kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on kulma *α*, ovat yhdenmuotoisia. Kulman **kosini** on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman **tangentti** on vastaisen ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Määritelmistä saamme seuraavat kaavat:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Jäljellä oleville kolmelle funktiolle on helpointa antaa määritelmät äsken laatimiemme määritelmien avulla. Kulman **kosekantti** on kulman sinin käänteisluku eli hypotenuusan ja vastaisen kateetin pituuksien suhde. Kulman **sekantti** on kulman kosinin käänteisluku eli hypotenuusan ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Kulman **kotangentti** on kulman tangentin käänteisluku eli viereisen ja vastaisen sivun pituuksien suhde. Saamme kaavat:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Kun kulma WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 on hyvin lähellä nollaa tai suoraa kulmaa, kolmio on muodoltaan hyvin kapea. Tällöin siinä toinen kateetti on hyvin lyhyt ja toinen melkein hypotenuusan pituinen. Tällä perusteella laajennamme antamaamme trigonometristen funktioiden määritelmiä rajatapauksina myös 0 ja 90 asteen kulmille seuraavasti:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Nollan asteen kulmalle ei voida määritellä kotangenttia eikä sekanttia eikä liioin 90 asteen kulmalle tangenttia eikä kosekanttia. Kulman lähestyessä näitä arvoja näiden funktioiden arvot kasvavat rajattomasti, minkä vuoksi funktioilla sanotaan näissä kohdissa olevan raja-arvo ääretön.

## Määritelmät yksikköympyrän avulla

Yksikköympyrä
Trigonometriset funktiot voidaan myös määritellä yksikköympyrän eli origossa sijaitsevan ympyrän, jonka säde on 1, avulla. Tämä määritelmä ei juuri eroa aiemmasta suorakulmaisten kolmioiden avulla tehdystä, sillä se tukeutuu vahvasti suorakulmaisiin kolmioihin. Yksikköympyrän etu on kuitenkin se, että se sallii trigonometristen funktioiden määrittelyjoukon luontevan laajentamisen kaikille positiivisille ja negatiivisille kulmille sen sijaan, että hyväksyttäisiin kulman arvot ainoastaan välillä 0° < θ < 90°.

Piirretään origon kautta kulkeva suora, joka muodostaa positiivisen *x*-akselin kanssa kulman θ. Suora leikkaa yksikköympyrän kahdessa pisteessä, joista toinen on x-akselin ylä- ja toinen alapuolella (tai erikoistapauksessa, kun θ=0, pisteissä (-1,0) ja (1,0)). Olkoon toinen näistä leikkauspisteistä (*x*,*y*). Tällöin määritellään, että tämän pisteen *x*-koordinaatti on kulman θ kosini ja *y*-koordinaatti sen sini, eli

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 .
Jos kulma on muodostettu kiertämällä leikkauspisteestä (1,0) lähdettäessä vastapäivään, kulma θ katsotaan positiiviseksi, myötäpäivään kierrettäessä negatiiviseksi. Koska yksikköympyrän yhtälö on:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ,
seuraa tästä, että kaikilla θ:n arvoilla pätee

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .
Tämä yhtälö on itse asiassa sama kuin Pythagoraan lause trigonometristen funktioiden avulla ilmaistuna.

Kuvassa on annettu joitain tavallisia kulmien arvoja radiaaneissa. Vastapäivään tehdyt mittaukset ovat positiivisia ja myötäpäivään tehdyt negatiivisia kulmia.

Yksikköympyrän sisälle piirretty kolmio vahvistaa, että jos kulma θ on terävä, tämä määritelmä on yhtäpitävä aikaisemman, suorakulmaiseen kolmioon perustuvan määritelmän kanssa: kolmion hypotenuusa on ympyrän säde, jonka pituus on 1, joten sin θ = *y*/1 ja cos θ = *x*/1. Yksikköympyrää voi ajatella tapana tarkastella ääretöntä määrää suorakulmaisia kolmioita vaihtelemalla sivujen pituuksia mutta pitämällä hypotenuusa yhtäsuurena.

Yksikköympyrään perustuva määritelmä ei kuitenkaan edellytä, että kulman on oltava terävä. Kuviosta voidaan todeta, että jos pisteestä (1,0) lähdetään ympyrän kehää pitkin vastapäivään kulman θ tai edelleen kulman 180°-θ verran, pisteet, joihin päädytään, ovat toistensa peilikuvia y-akselin eli suoran *x*=0 suhteen. Koska näiden pisteiden koordinaatit ovat (cos θ, sin θ) ja (cos (180°-θ), sin (180°-θ), seuraa tästä, että

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ,
tai jos kulmayksikkönä käytetään radiaania,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
Jos taas kulma θ korvataan kulmalla -θ, päädytään pisteeseen, joka on alkuperäisen pisteen peilikuva x-akselin suhteen. Siitä seuraa, että

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .
Tämä merkitsee, että kosini on parillinen, sini sen sijaan pariton funktio.

Muut trigonometriset funktiot määritellään sinin ja kosinin suhteina tai käänteisarvoina samoin kuin suorakulmaista kolmiota lähtökohtana käytettäessäkin voitaisiin tehdä:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ,
 sin(*x*)- ja cos(*x*)-funktiot koordinaatistossa.
Kulmilla, jotka ovat suurempia kuin täysikulma WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 tai pienempiä kuin WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 , trigonometriset funktiot määritellään antamalla kulman kiertyä ympäri. Toisin sanoen, jos ympyrän kehää pitkin kuljetaan kulman WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 verran, ajatellaan, että on tehty ensin täysi kierros ja sen jälkeen jatkettu vielä kulman WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 verran, jolloin päädytään samaan pisteeseen kuin jos olisikin kierretty vain kulman WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 verran. Tällä tavalla laajennetut sini ja kosini ovat siis jaksollisia funktioita, joiden jakso on WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
kaikille kulman arvoille θ ja kokonaisluvuille *n*.

Sinillä, kosinilla ja tangentilla on kaikilla äärettömästi nollakohtia seuraavasti, kun kulma on θ ja *n* on kokonaisluku:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
Jaksollisen funktion *pienintä* positiivista jaksoa sanotaan funktion *perusjaksoksi*. Sinin, kosinin, sekantin ja kosekantin kokonainen ympyrä eli WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 radiaania tai 360 astetta; tangentin perusjakso on puoliympyrä eli WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 radiaania tai 180 astetta. Yllä määriteltiin vain sini ja kosini suoraan yksikköympyrän avulla, sillä neljä muuta trigonometrista funktiota voidaan määritellä niiden avulla:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
Tangenttifunktio tan(x) koordinaatistossa.
Oikealla olevassa kuvassa on sinin ja kosinin kuvaajista huomattavasti poikkeava tangenttifunktion kuvaaja piirrettynä koordinaatistoon. Huomaa, että sen *x*-akselin leikkauspisteet vastaavat sinifunktion vastaavia, kun taas ne arvot joilla se ei ole määritelty vastaavat kosinifunktion nollakohtia. Funktion arvot muuttuvat hitaasti lähellä kulman arvoja WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ja nopeasti kulmilla jotka ovat lähellä arvoja WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 . Tangentilla on pystysuora asymptootti WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 :n arvoilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 . Tämä johtuu siitä, että kulman arvon lähestyessä arvoa WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 vasemmalta lähestyy funktion arvo ääretöntä, kun taas oikealta lähestyttäessä sen arvo lähestyy miinus ääretöntä.

*Kaikki* trigonometriset funktiot voidaan konstruoida geometrisesti yksikköympyrään jonka keskipiste on *O*.
*Kaikki* trigonometriset funktiot voidaan vaihtoehtoisesti määritellä *O*-keskisen yksikköympyrän (kuvattu oikealla) avulla, ja vastaavanlaisia geometrisia määritelmiä käytettiinkin ennen paljon. Ympyrän jänteelle *AB*, jossa θ on puolet kolmion *OAB* janan *AB* vastaisesta kulmasta, sin(θ) on *AC* (puolet jänteestä); määritelmä, jonka esitti intialainen matemaatikko Aryabhata 400-luvun lopulla. cos(θ) on vaakasuora jana *OC*, ja versin(θ) = 1 − cos(θ) on jana *CD*. tan(θ) on ympyrän pisteeseen *A* piirretylle tangentille piirretyn janan *AE* pituus, minkä takia funktio onkin nimetty *tangentiksi*. cot(θ) on jana *AF*, joka on myös pisteen *A* kautta kulkevalla tangentilla. sec(θ) ja csc(θ) ovat sekanttien osia, ja niitä voidaan myös pitää janan *OA* projektioina *x*- ja *y*-akseleille pisteeseen *A* piirrettyä tangenttia pitkin. *DE* on exsec(θ) = sec(θ) − 1 (sekantin ympyrän ulkopuolinen osa). Näissä konstruktioista on helppoa nähdä, että tangentti- ja sekanttifunktiot hajaantuvat, kun θ lähestyy suoraa kulmaa, ja että kosekantti ja kotangentti hajaantuvat θ:n lähestyessä nollaa. (Moni muu vastaava rakennelma on mahdollinen, ja yksinkertaiset trigonometriset identiteetit voidaan todistaa graafisesti.)

Jos kulma θ on hyvin pieni, on sitä vastaava kaari (**arc** oheisessa kuviossa) vain hieman pidempi kuin tämän kulman vastainen kateetti, jonka pituus on sin θ. Mitä pienempi kulma θ on, sitä tarkemmin nämä ovat yhtä pitkiä, eli niiden suhde on sitä lähempänä arvoa 1. Tähän liittyen voidaankin osoittaa, että kun kulmayksikkönä käytetään radiaania, on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 .
### Todistus

Todistetaan tapaus WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , tapaus WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 todistetaan vastaavalla tavalla.

Koska ympyrän jänne on lyhyempi kuin sen määrittämä kaari, niin sinifunktion määritelmän ja tasakylkisen kolmion huippukulman puolittajan ominaisuuksien nojalla pätee WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 . Kun WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 , niin WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 .

Yksikköympyrän sektori, jonka määrittää kulma WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 on puolestaan pienempi kuin suorakulmainen kolmio, jonka kateetin pituus on WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 ja viereinen kulma WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 . Siis tangenttifunktion määritelmän nojalla saadaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 , joka on yhtäpitävä epäyhtälön WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 kanssa. Koska WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 , kun WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , niin WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 .

Yhdistettynä edellinen jänteen ja kaaren pituuksista johdetun epäyhtälön kanssa saadaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 . Koska WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 , niin kuristuslauseen nojalla WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 . WIKINIUM\_MATH\_PH\_128

#### Seuraus

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 , sillä WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 , kun WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 on WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 :n lähellä, joten WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 .

Tätä ja edellistä raja-arvoa sekä trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavoja käytetään johdettaessa WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 - ja muiden trigonometristen funktioiden derivaattoja.

## Määritelmät sarjakehitelmien avulla

Seitsemännen asteen Taylorin polynomilla (vaaleanpunainen) päästään sinifunktion (sininen) tarkkaan approksimaatioon keskellä kuvaajaa olevan kokonaisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 :n pituisen jakson alueella.
*Huomautus*: Kuten differentiaalilaskennassa yleensäkin, kaikkien kulmien arvot ilmoitetaan tässä radiaaneina. (Katso otsikko radiaanien merkitys)

Pelkällä geometrialla ja raja-arvoilla voidaan osoittaa, että sinin derivaatta on kosini, ja että kosinin derivaatta on sinin vastaluku. Taylorin polynomien avulla voidaan näyttää että seuraavat identiteetit pätevät kaikille reaaliluvuille *x*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
Näitä identiteettejä käytetään usein sinin ja kosinin *määritelminä* ja lähtöpisteenä trigonometristen funktioiden ja niiden sovellusten (esim. Fourier-sarjoissa) täsmälliselle käsittelylle, sillä sarjojen teoria voidaan rakentaa reaalilukujen pohjalta, ilman minkäänlaisia geometrisia tulkintoja. Näiden funktioiden derivoituvuus ja jatkuvuus todentuu näin sarjojen määritelmien pohjalta.

Muillekin funktioille on olemassa sarjakehitelmiä (Abramowitz ja Stegun 1964, Weisstein 2006):

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  |

Kun tämä sarja esitetään muodossa, jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "tangenttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parittomasti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  |

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  |

Kun tämä sarja esitetään muodossa, jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "sekanttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parillisesti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |

missä

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 on *n*:s Bernoullin luku,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 on *n*:s Eulerin luku, ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 on *n*:s ylös/alas-luku.
Kompleksianalyysissä käytetyn teoreeman mukaan tällä funktiolla on yksikäsitteinen analyyttinen laajennus kompleksilukujen alueelle. Sen Taylorin polynomi on sama kuin reaaliluvuille määritelty, joten trigonometriset funktiot on määritelty kompleksiluvuille käyttämällä yllä olevia Taylorin sarjoja.

### Suhde eksponenttifunktioon ja kompleksilukuihin

Eksponenttifunktiolle WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 voidaan johtaa Taylorin sarjakehitelmä:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
Tämä on alun perin johdettu vain muuttujan *x* reaaliarvoille. Tämä kehitelmä tekee kuitenkin mahdolliseksi laajentaa eksponenttifunktiota niin, että se on määritelty silloinkin, kun *x* on mielivaltainen kompleksiluku: otetaan vain yllä oleva kehitelmä funktion määritelmäksi. Tällöin osoittautuu, että trigonometriset funktiot ja eksponenttifunktio liittyvät kompleksialueella läheisesti toisiinsa: kosini- ja sinifunktio ovat eksponenttifunktion reaali- ja imaginaariosa, kun muuttuja on puhtaasti imaginaarinen:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
Tämän yhteyden huomasi ensimmäisenä Leonhard Euler, ja sitä kutsutaan hänen mukaansa Eulerin lauseeksi. Tämän lauseen seurauksena trigonometrisista funktioista tulee oleellinen osa kompleksianalyysin geometrista tulkintaa. Esimerkiksi kompleksitasolle piirretty yksikköympyrä, jonka määrittelee kaava WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 , voidaan parametrisoida sinin ja kosinin avulla, jolloin kompleksiarvoisten eksponenttifunktioiden ja trigonometristen funktioiden välinen yhteys muuttuu entistä selvemmäksi.

Eulerin kaavan avulla voidaan lisäksi määritellä trigonometriset funktiot kompleksiargumenteilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
Lisäksi kaikille reaalisille WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
#### Funktioiden käyttäytyminen kompleksitasossa

Funktio WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 ei saavuta ääretöntä missään äärellisessä pisteessä, mutta funktio lähenee sitä raja-arvona, jos WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 lähestyy ääretöntä siten, että sen imaginääriosa kasvaa kohti ääretöntä tai pienenee kohti miinusääretöntä. Tästä seuraa, että ääretön on siis funktion WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 asymptoottinen arvo. Edelläesitetty pätee myös funktiolle WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 , koska sinin arvot saadaan kosinin arvoista siirtämällä niitä x-akselin suuntaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 :n verran.

## Määritelmät differentiaaliyhtälöiden avulla

Sini- ja kosinifunktio toteuttavat differentiaaliyhtälön

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
toisin sanoen kumpikin on oman toisen derivaattansa vasta-alkio. Kaksiulotteisessa lineaariavaruudessa *V*, joka koostuu tämän yhtälön kaikista ratkaisuista, sinifunktio saadaan alkuehdoilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 , ja kosinifunktio saadaan alkuehdoilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 . Koska sini ja kosini ovat lineaarisesti riippumattomia, muodostavat ne *V*:n kannan. Tämä tapa määritellä trigonometriset funktiot on olennaisesti sama kuin Eulerin kaavan avulla tehty määritelmä. Tätä differentiaaliyhtälöä voi myös käyttää sinin ja kosinin trigonometristen kaavojen todistamiseen.

Tangenttifunktio on epälineaarisen differentiaaliyhtälön

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226
yksiselitteinen ratkaisu alkuarvoilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 .

### Radiaanien merkitys

Radiaanit määrittelevät kulman mittaamalla yksikköympyrän kehää pitkin kuljettua matkaa ja ovat trigonometristen funktioiden luonnollinen muuttuja. Ainoastaan ne sini- ja kosinifunktiot, jotka kuvaavat radiaanit suhteiksi, toteuttavat ne differentiaaliyhtälöt, jotka tavallisesti kuvaavat niitä. Jos sinin tai kosinin muuttujan "taajuutta" muutetaan,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230
muuttuu derivaattojen "amplitudi".

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 .
Vakio WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 on muunnoskerroin yksiköstä toiseen. Jos WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 on ilmoitettu asteissa,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238
Sinin toinen derivaatta ei siis toteuta differentiaaliyhtälöä

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 ,
vaan yhtälön

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 ;
kosinifunktio käyttäytyy samalla tavoin.

Nämä sinit ja kosinit ovat siis eri funktioita, ja sinin neljäs derivaatta on sini vain, jos muuttuja on radiaaneissa.

## Muita määritelmiä

Matemaattisessa analyysissä trigonometriset funktiot voidaan määritellä abstraktisti seuraavien perusominaisuuksiensa avulla. Olkoot *s*(*x*) ja *c*(*x*) kaksi reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota, joilla on seuraavat ominaisuudet:

1. . Funktiot *s*(*x*) ja *c*(*x*) on määritelty kaikilla arvoilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_244
2. . *s*(0) = 0 ja *c*(0) = 1.
3. . WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 kaikilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
4. . Kaikilla arvoilla WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 pätevät seuraavat funktioiden yhteen- ja vähennyslaskukaavat:
	1. *s* (*x*+*y*) = *s*(*x*)*c*(*y*) + *c*(*x*)*s*(*y*)
	2. *c* (*x*+*y*) = *c*(*x*)*c*(*y*) - *s*(*x*)*s*(*y*)
5. : WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 .

Tällöin funktiota *s* sanotaan sinifunktioksi ja merkitään WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 , ja vastaavasti funktiota *c* sanotaan kosinifunktioksi ja merkitään WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 .

Vaikka tämän määritelmän nojalla ei olekaan heti selvää, onko tällaisia funktiota ylipäänsä olemassa tai ovatko ne yksikäsitteisesti määritellyt, voidaan siitä kuitenkin johtaa trigonometristen funktioiden muut ominaisuudet. Väliarvolauseen avulla voidaan esimerkiksi todistaa, että tällaiset funktiot ovat jaksollisia. Niin ikään voidaan osoittaa, että nämä funktiot ovat derivoituvia ja että

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 .
Derivaattojen avulla voidaan edelleen johtaa näiden funktioiden Taylorin sarjat, ja tällöin todetaan, että tämä funktioiden ominaisuuksiin perustuva määritelmä on yhtäpitävä sarjakehitelmiin perustuvan määritelmän kanssa.

Edelleen voidaan todistaa, että jos yksikköympyrältä valitaan sellainen piste (*x*0,*y*0), että tämän pisteen ja pisteen (1,0) välisen kaaren pituus on *s*, niin WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 . Tämä osoittaa, että tämä abstrakti määritelmä on myös yhtäpitävä funktioiden geometrisen, yksikköympyrään perustuvan määritelmän kanssa.

## Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja muunnoskaavoja

Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen geometrinen havainnollistus. Paksunnetun janan pituus on 1 pituusyksikkö, muiden janojen pituudet saadaan trigonometristen funktioiden avulla.
Trigonometristen funktioiden monet tärkeimmät ominaisuudet voidaan johtaa sinin ja kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavoista. Näistä voidaan johtaa vastaavat kaavat myös tangentille ja kotangentille:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
Näiden avulla voidaan johtaa edelleen myös seuraavat muunnoskaavat:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268
### Trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja

*Katso myös: Rationaalinen trigonometria*
Kahtia jaettu tasasivuinen kolmio, jonka puolikkaista saadaan 30 ja 60 asteen kulmien trigonometriset funktiot
Yleensä trigonometrisen funktion arvoa ei voida esittää tarkasti, mutta joillekin erityisarvoille tämä onnistuu helposti käyttämällä Pythagoraan lausetta apuna. Esitämme näistä arvoista muutamia ja kaksi ns. muistikolmiota, joiden avulla voi tarkkoja arvoja laskea käsin.

Neliön lävistäjä jakaa neliön kahteen yhtä suureen suorakulmaiseen ja tasakylkiseen kolmioon. Näissä molemmissa kateetit ovat yhtä pitkät ja kulmat 45°-45°-90°. Pythagoraan lauseen mukaan neliön lävistäjän ja sivun suhde on √2. Nyt kun suorakulmaisen kolmion kaikkien sivujen pituudet tunnetaan, voidaan trigonometristen funktioiden tarkka arvo laskea määritelmien avulla.

Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat suuruudeltaan 60°. Jakamalla tämä kolmio kahtia korkeusjanalla, syntyy kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden kulmat ovat 30°-60°-90° ja lyhyemmän kateetin pituus on puolet hypotenuusasta. Pythagoraan lauseesta seuraa, että pidemmän kateetin pituus on √3/2 kertaa hypotenuusan pituus.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
Näiden sekä edellä jo mainittujen yhteen- ja vähennyslaskukaavojen avulla trigonometristen funktioiden tarkat arvot voi johtaa monille muillekin kulmille, kuten kaikille kulmille, joiden asteluku on kolmen monikerta. Käytännössä lausekkeista tulee melko monimutkaisia.

### Derivaatat ja integraalit

Trigonometristen funktioiden derivaatat voidaan johtaa niiden yhteen- ja vähennyslaskukaavojen avulla. Tällöin on kulmayksikkönä käytettävä radiaania. Ohessa on myös sinin, kosinin ja tangentin integraalit.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272
#### Todistus

Todistetaan tulos WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 , tulos WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 todistetaan vastaavalla tavalla.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 (yhteenlaskukaavan nojalla) WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 (edellä todistettujen raja-arvojen nojalla) WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 . WIKINIUM\_MATH\_PH\_288

## Käänteisfunktiot

*Pääartikkeli: Arkusfunktiot*
Trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, joten niiden määrittelyjoukkoa täytyy rajoittaa, jotta niille olisi mahdollista määritellä käänteisfunktio. Seuraavassa taulukossa oikealla olevat yhtälöt *määrittelevät* vasemmalla olevan funktion; nämä eivät siis ole johdettuja kaavoja. Käänteisfunktiot, joista käytetään nimitystä arkusfunktiot, määritellään yleensä seuraavalla tavalla:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
Trigonometrisille funktioille on mahdollista määrittää käänteisfunktiot myös mille tahansa jakson pituiselle monotoniselle välille. Joskus käytetään merkintää, jossa käänteisfunktion nimen alkuosan päällä on viiva, korostamaan sitä, että määrittely on tehty funktion päähaaran mukaan. Esimerkiksi WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 . Tällainen merkintätapa on kuitenkin harvinainen.

Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille käytetään joskus merkintätapaa sin−1(*x*) ja cos−1(*x*). Tässä merkintätavassa on kuitenkin vaarana, että käänteisfunktion sijasta sama merkintä voi tarkoittaa myös funktion negatiivista potenssia. Tämän välttämiseksi käytetään nimiä arcsin, arccos jne. trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille.

## Sovelluksia

Trigonometriset funktiot ovat, kuten nimestäkin käy ilmi, ratkaisevan tärkeitä trigonometriassa. Tämä johtuu pääasiassa kahdesta seuraavasta kaavasta:

### Sinilause

**Sinilauseen** mukaan mille tahansa kolmiolle pätee:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294
joka voidaan esittää myös muodossa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296
Eräs Lissajous'n kuvio, trigonometrisiin funktioihin perustuva käyrä.
jossa *a*, *b* ja *c* ovat kolmion sivut, *α* on sivun *a* vastainen kulma, *β* on *b*:n vastainen kulma, *γ* on *c*:n vastainen kulma ja *R* on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde. Sinilause voidaan todistaa jakamalla kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon ja käyttämällä yllä esitettyä sinin määritelmää suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina. Sinilause on hyödyllinen laskettaessa tuntemattomien sivujen pituuksia, kun kaksi kulmaa ja yksi sivu on tiedossa. Tämä on yleinen tilanne kolmioinnissa, jonka avulla mitataan tuntemattomia pituuksia määrittämällä kaksi kulmaa ja niiden välinen pituus.

### Kosinilause

**Kosinilause** on Pythagoraan lauseen laajennus mielivaltaisille kolmioille:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298
joka voidaan muotoilla myös

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_300
jossa *a*, *b* ja *c* ovat kolmion sivut ja *γ* on sivun *c* vastainen kulma. Tämänkin lauseen todistus on yksinkertainen kun jaetaan tutkittava kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Kosinilauseen avulla voidaan laskea kolmion puuttuvat tiedot jos kaksi sivua ja kulma on tiedossa.

Kannattaa huomata että kolmio ei välttämättä ole yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnettu kulma ei sijaitse tunnettujen sivujen välissä. Tällöin kosinilauseen ratkaisussa saadaan kaksi vaihtoehtoista sivun pituutta.

### Tangenttilause

On olemassa myös **tangenttilause**:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302
jossa *a* ja *b* kolmion sivuja, ja *α* ja *β* ovat niitä vastaavat kulmat.

Trigonometriset funktiot ovat tärkeitä muissakin kohteissa kuin kolmioiden tutkimuksessa. Ne ovat jaksollisia funktioita, joiden kuvaajille ominainen aaltomuoto on hyödyllinen toistuvien ilmiöiden, kuten ääni- ja valoaaltojen mallintamisessa. Jokainen signaali voidaan kirjoittaa eritaajuisten sinifunktioiden (tavallisesti äärettömänä) summana; tämä on perustavanlaatuinen ajatus harmonisessa analyysissä, jossa trigonometrisia sarjoja käytetään osittaisdifferentiaaliyhtälöiden erilaisten reuna-arvotehtävien ratkaisussa.

## Katso myös

* Alkeisfunktio
* Arkusfunktiot
* Hyperbolinen funktio

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku*.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf)  2015. Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).

## Aiheesta muualla

* Opetus TV: Trigonometriset funktiot
* Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla