# Pii (vakio)

Kun ympyrän halkaisija on 1, ympyrän kehä on pii.
**Pii** eli **π** on matemaattinen vakio, ympyrän kehän suhde halkaisijaan euklidisessa geometriassa. Pii esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla.

Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä *r*-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena *r*-sivuisen neliön pinta-alaan: WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 . Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , jolle WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .

Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

Joissakin maissa pii tunnetaan myös nimillä *Arkhimedeen vakio* ja (erityisesti saksankielisellä alueella) *Ludolphin luku* matemaatikkojen Arkhimedes ja Ludolph van Ceulen mukaan.

## Piin vanhoja likiarvoja

Pii
Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 on 3: ”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 :n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 :n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 on joko **3** tai WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 (kaksi des. oikein) on tiedetty pitkään.

Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 välillä. Ptolemaios käytti WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 :n arvoa WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 (kolme des. oikein). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 :lle arvon WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 (kuusi des. oikein), jota parempi murtolukuarvio on vasta WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (yhdeksän des. oikein).

Luku WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

## Piin laskeminen sarjakehitelmien avulla

Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.

Alkulukujen 7, 11, 13, … avulla on johdettu tulokaava

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, … lähtien pätee myös tulokaava

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ,
josta saadaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
Muita äärettömiä sarjoja:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .
Muutama BBP-kaava:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
## Piin laskeminen tulokehitelmien avulla

Wallisin tulo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
Viètan kaava:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 .
Muita äärettömiä tuloja:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94

## Piin approksimaatioita

Piin avulla laskiessa voidaan lausekkeissa korvata se erityisellä lausekkeella.

* kaksi oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
* kolme oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
* kolme oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
* Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
* neljä oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
* kuusi oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
* Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
* yhdeksän oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
* yhdeksän oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
* 17 oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
* 29 oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
* 51 oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
* 160 oikeaa desimaalia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
missä
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 .
## Piin desimaalien laskeminen

Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks (1812 – 1882) laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.

Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja elokuussa 2021 siitä tiedettiin ensimmäiset 62,8 biljoonaa desimaalia. Vuoden 2024 keväällä piille laskettiin 105 biljoonaa eli 105 000 000 000 000 desimaalia.

1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita, mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.

## Muita esimerkkejä

Kolikkoa kuvaava ympyrä neliöruudukolla.
Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.

## Avoimia kysymyksiä

Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:

* Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?
* Toistuvatko jotkin numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?

## Katso myös

* Luettelo piin laskukaavoista
* Feynmanin piste
* Tau (vakio)

## Lähteet

* Pappas, Theoni: *Lisää matematiikan iloja*.  (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You)  Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki:  Terra Cognita, 1991.  ISBN 952-5202-46-1

### Viitteet

## Kirjallisuutta

* Beckmann, Petr: *π: Erään luvun tarina*.  ((A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen)  Helsinki:  Terra Cognita, 2000.  ISBN 952-5202-28-3

## Aiheesta muualla

* Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
* PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti
* Pi-memory (Arkistoitu – Internet Archive)
* Pii-laskin, joka toimii selaimessa