# Pythagoraan lause

Hypotenuusalle piirretyn vihreän neliön pinta-ala (C2) on sama kuin kateeteille piirrettyjen neliöiden yhteenlaskettu pinta-ala (A2 + B2).
**Pythagoraan lause** on matemaattinen teoreema, yksi kaikkein tunnetuimmista. Lause kuuluu: "Suorakulmaisen kolmion kateetit sivuina piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusa sivuna piirretyn neliön ala".

Lauseen avulla voidaan siis laskea suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun pituus, jos muiden sivujen pituudet tunnetaan. Se on käytännön sovellusten kannalta tärkeimpiä matematiikan yksittäisiä tuloksia, mm. siksi, että se mahdollistaa suorakulmaisen koordinaatiston pisteiden etäisyyden määrittämisen pisteiden koordinaattien avulla. Lause on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan mukaan. Lauseen sisältö on kuitenkin tunnettu jo mesopotamialaisessa laskennossa noin 2000 eaa., ja vuoteen 1650 eaa. ajoitetun Rhindin papyruksen perusteella voidaan päätellä sen olleen tunnettu myös Egyptissä.

Pythagoraan lauseen sisältö voidaan ilmaista yhtälönä WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , jossa WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ovat suoran kulman muodostavien sivujen eli kateettien pituudet ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 pisimmän sivun eli hypotenuusan pituus.

Yhtälöstä voidaan ratkaista

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ,      WIKINIUM\_MATH\_PH\_10   ja   WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .
Pythagoraan lause on erikoistapaus kosinilauseesta. Kosinilausetta kutsutaan usein myös laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.

## Lauseen todistaminen

selvennä
Eräs Pythagoraan lauseen todistus animoituna.
Pythagoraan lauseelle on olemassa satoja todistuksia. On myös perustettu järjestö, joka kerää todistuksia kyseiselle lauseelle. Seuraavassa eräs tapa todistaa lause paikkansapitäväksi:

**Todistus:** Olkoon suorakulmaisen kolmion hypotenuusa WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ja kateetit WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 sekä WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 . Osoitetaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa.

Piirretään neliö WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 , jonka yhden sivun pituus on suorakulmaisen kateettien summa eli WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 . Valitaan neliön sivuilta pisteet WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 niin, että WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Silloin WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , ja suorakulmaiset kolmiot WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ovat yhteneviä. Siis WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 . Edelleen WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 . Koska kolmio WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 on suorakulmainen, WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 . Siis WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 . Samalla tavalla nähdään, että nelikulmion WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 muutkin kolme kulmaa ovat suoria kulmia. Nelikulmio WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 on siis neliö, ja sen ala on WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 .

Jokaisen neljän yhtenevän suorakulmaisen kolmion ala on WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 . Neliön WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ala on
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 . Toisaalta neliön WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ala on WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 . Siis WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .

**Yksinkertaisin todistus.** Luultavasti yksinkertaisin Pythagoraan lauseen todistus nojautuu tietoon, jonka mukaan yhdenmuotoisten monikulmioiden alojen suhde on sama kuin niiden minkä tahansa vastinsivujen neliöiden suhde. Jos suorakulmaiseen kolmioon WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 , piirretään korkeusjana WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , niin kolmiot WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita. Niissä WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ovat vastinsivuja. Kolmioiden alat ovat WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 , missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 on jokin verrannollisuuskerroin. Koska kolmioista ensimmäisen ala on sama kuin kahden jälkimmäisen alojen summa, on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 .
Kun WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 supistetaan pois, saadaan Pythagoraan lause.

Vielä eräs tapa Pythagoraan lauseen todistamiseksi on esitetty ohessa animaationa.

## Pythagoraan lauseen käänteislause

Pythagoraan lauseelle käänteinen väittämä on myös voimassa: jos kolmion kahden lyhemmän sivun neliöiden summa on yhtä kuin pisimmän sivun neliö, on kolmio suorakulmainen. Esimerkiksi WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 , joten on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 yksikköä pitkät. Tätä tietoa on arveltu egyptiläisten pyramidien rakentajien käyttäneen suoran kulman määrittämiseen: lenkiksi liitetty pitkä solmunaru, jossa oli yhteensä 12 solmua tasavälein, vedettiin kolmioksi, jossa oli kolmen, neljän ja viiden solmuvälin sivut, ja näin saatiin aikaan suora kulma.

Pythagoraan lauseen käänteislause on helppo todistaa epäsuorasti Pythagoraan lauseeseen nojautumalla.

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 326–327.  Suomentanut Virpi Kauko. Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0

## Aiheesta muualla

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pythagoraan lause Wikimedia Commonsissa

* Opetus TV: Pythagoraan lause