# Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio, missä 90 asteen kulma on kulma C. Sivua c kutsutaan *hypotenuusaksi* ja sivuja a ja b *kateeteiksi*.
**Suorakulmainen kolmio** on geometriassa kolmio, jonka yksi kulma on suora eli 90 astetta. Suoran kulman viereisiä sivuja kutsutaan **kateeteiksi** ja suoran kulman vastaista sivua **hypotenuusaksi**.

## Yleiset ominaisuudet

Hypotenuusan projektion pituus kateetilla on yhtä pitkä kuin kateetti itse. Hypotenuusan keskipiste on yhtä etäällä kaikista kolmion kärjistä.

Suorakulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee aina siinä kolmion kärjessä, jossa on suora kulma. Jos suoraan kulmaan piirretään kulmanpuolittaja, jää sen kantapiste kolmion keskijanan ja korkeusjanan puoliväliin.

### Pythagoraan lause

*Pääartikkeli: Pythagoraan lause*
Pythagoraan lauseen havainnollistus. Pythagoraan yhtälössä lauseke a2 esitetään sinisen neliön alana, b2 punaisen ja c2 violetin neliön alana.
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (suoran kulman vastaisen sivun) neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen eli kateettien neliöiden summa. Jos hypotenuusan pituus on *c* ja kateettien *a* ja *b*, tämä voidaan ilmaista yhtälöllä

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Tämä pätee myös kääntäen: jos kolmion sivut toteuttavat tämän yhtälön, sivujen *a* ja *b* välinen kulma on suora. Yhtälö osoittaa myös, että hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

## Laskukaavoja

### Kulmat

Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat toistensa komplementtikulmia, koska WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

### Janat

Kateettien a ja b projektiot hypotenuusalla c ovat vastaavasti n ja m.
Piirtämällä suorakulmaisen kolmion *ABC* perusteella apupiirroksina kaksi suorakulmiota voidaan todeta, että suorakulmioiden alat ovat yhtä suuret eli *ab* = *hc*.
Geometrisen keskiarvon lauseen mukaan hypotenuusaa vastaan oleva korkeus on kateettien a ja b projektioiden n ja m keskiverto eli

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Kateetti a on hypotenuusan ja hypotenuusalla olevan projektionsa *n* keskiverto eli WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 eli

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Korkeusjanojen pituudet ovat kateetille *a* WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ja hypotenuusalle WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 mikä johtaa myös muotoon WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

Keskijanojen pituudet ovat kateetille *a*

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
ja hypotenuusalle *c*

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Kulmanpuolittajat ovat kateetille *a*

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
ja hypotenuusalle *c*

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
### Ala

Yleisesti kolmion pinta-ala lasketaan kannan *a* ja korkeuden *h* avulla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Suorakulmaisessa kolmiossa kummatkin kateetit *a* ja *b* kohtaavat toisensa kohtisuorasti ja toimivat korkeusjanana, jolloin pinta-alan suuruus voidaan ilmoittaa sivujen avulla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
Kun merkitään piirin pituuden puolikasta WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , tulee suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
### Sisään piirretty ympyrä

Suorakulmaisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Säteen lauseke voidaan kirjoittaa myös

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
### Ympäri piirretty ympyrä

Thaleen lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion ympäri piirretty ympyrän keskipiste on hypotenuusalla, joka on samalla ympyrän halkaisija.Thaleen lause sanoo, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Sen seurauksena kolmio, jonka yksi sivu on ympyrän halkaisijalla ja sen vastainen kärki ympyrän kehällä, on suorakulmainen kolmio. Tämän ympyrän säde on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Ympyrän keskipiste sijaitsee siis hypotenuusan keskipisteessä. Jos kolmio tämän lisäksi tasakylkinen, tulee säteeksi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
## Ruutupaperilla

Tietynkokoiselle neliöruudutetulle paperille voidaan yleensä piirtää useitakin sellaisia suorakulmaisia kolmioita, joiden kärkipisteet osuvat viivojen risteyskohtiin. Kuten yllä on todettu, suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituutta *c* vastaava korkeus *h* saadaan kateettien pituuksien *a* ja *b* avulla:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Kun tässä esim. *a* = 3, *b* = 4 ja *c* = 5, saadaan *h* = 2,4. Piirtämisen helpottamiseksi tämä voidaan kertoa viidellä, jolloin korkeudeksi saadaan 12. Suurennetun kolmion kärkipisteet voidaan nyt asettaa esim. koordinaattipisteisiin (0, 0), (9, 12) ja
 (25, 0).

## Katso myös

* Trigonometria

## Lähteet

* Väisälä, Kalle: *Geometria*.  Porvoo:  Wsoy, 1959.  Teoksen verkkoversio (pdf).
* Spiegel, Murray R.: *Mathematical Handbook of Formulas and Tables*.  New York:  McGraw-Hill Book Company, 1968.  (englanniksi)
* Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) *users.utu.fi*. 2012. Turun yliopisto. Arkistoitu 28.9.2013. Viitattu 14.12.2012.

### Viitteet