# Suunnattu derivaatta

Suunnatun derivaatan idea kahden muuttujan funktiolla. Piste **A** sijaitsee WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 -koordinaatistossa, jossa sen kautta on piirretty punaisen suoran avulla näkyviin suunta WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 . Suoran kautta piirretään WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 -akselin suuntainen taso, joka leikkaa funktion kuvaajaa esittävältä pinnalta keltaisen käyrän. Käyrää sivuaa tangentti pisteessä **A** ja tangentin jyrkkyys vaakatasoon nähden on funktion suunnatun derivaatan suuruinen.
**Suunnattu derivaatta** on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta annetun vektorin suunnassa ja annetussa kohdassa. Muutosnopeuden suuruus voidaan parhaiten arvioida derivaatan avulla, joka määritellään niin, että tarkastelun suunta tulee huomioiduksi. Usean muuttujan funktion arvojen muutosnopeus muuttuu siirryttäessä eri suuntiin. Siksi erotukseksi yhden muuttujan funktioista, joilla on jokaisessa kohdassa yksi derivaatan arvo, usean muuttujan suunnatulla derivaatalla on jokaisessa pisteessä ääretön määrä derivaatan arvoja, jotka riippuvat tarkastelusuunnasta. Suunnatulla derivaatalla on sovelluksia enimmäkseen tieteen ja tekniikan aloilla.

Yhden muuttujan reaalifunktiolla suunnattua derivaattaa vastaa *toispuoleinen derivaatta*, joka voidaan ottaa vasemmalta tai oikealta puolelta tarkastelupistettä.

## Johdanto

### Esimerkki

Yksinkertaisin usean muuttujan funktio on kahden muuttujan funktio WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 Funktion muuttujia on tapana esittää joko koordinaattipareina tai kaksipaikkaisina vektoreina, joita kutsutaan pisteiksi. Funktion määrittelyjoukko on usein osajoukko WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 -koordinaatiston pisteistä. Funktion arvot lasketaan jokaiselle koordinaatiston pisteelle WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 erikseen ja kuvataan usein lisäämällä koordinaatistoon WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 -ulottuvuus funktion arvoja varten. Silloin funktion käyttäytymistä voidaan esittää yhtälön WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 avulla.

Funktion WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 graafinen esitys yhtälön WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 kuvaajana WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 -koordinaatistossa. Kuvaajan huippu sijaitsee origon WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 päällä. Piste WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 sijaitsee määrittelyalueen kulmauksessa taka-vasemmalla. Funktion WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 graafinen esitys yhtälöiden WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 kuvaajina WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 -koordinaatistossa. Kuvaajan huippu sijaitsee origon WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 päällä. Piste WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 sijaitsee määrittelyalueessa nuolen kannan kohdalla. Oranssin vektorin pituus on suunnatun derivaatan arvo.
Esimerkkinä käytetään funktiota WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 joka on aina positiivinen lukuun ottamatta yhtä nollakohtaa origossa WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . Valitaan piste WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , joka sijaitsee oheisen kuvaajan määrittelyalueen nurkkauksessa taka-vasemmalla, ja jossa funktio saa arvokseen WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 Kuvaajasta päätellään, että funktiota esittävä pinta muistuttaa pullistunutta pussia, joka on sekä WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 - että WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 -akselin suhteen symmetrinen. Koska molemmat symmetriat ovat yhtä aikaa voimassa, on kuvaaja samalla WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 -akselin suhteen symmetrinen ja muodostaa pyörähdyskappaleen pinnan. Pisteen WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 kohdalla on pinnan WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 -koordinaatti WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 Piirtämällä yhtälön WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 kuvaaja WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 -koordinaatistoon, muodostuu siihen ympyrä, jonka säde on WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ja keskipisteenä origo. Koska tämän käyrän pisteissä WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 funktio saa aina saman arvon WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , kutsutaan sitä tasa-arvokäyräksi. Tasa-arvokäyrillä saa funktion arvoista tarkan kuvan, jos käyrät nimikoidaan niiden arviolla.

Funktion arvojen muutosnopeus näkyy WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 -koordinaatistossa pinnan jyrkkyytenä. Jyrkkyys vaihtelee kuitenkin eri suunnissa. Jos vertaa funktion arvoja tasa-arvokäyrän suunnassa, on funktion arvon muutos nolla. Suurin muutosnopeus on origosta poispäin olevissa suunnissa (gradientti) ja pienin (negatiivinen) origoon päin olevissa suunnissa. Juuri tässä mielessä suunnattu derivaatta on tarpeellinen käsite, kun funktion muutosherkkyyttä eli derivaattaa määritellään eri suunnissa.

Käytännöllinen keino määrittää suunnattu derivaatta on laskea ensin gradientti. Gradientti on vektori, jonka arvo eli pituus on funktion suurin muutosnopeus kyseisessä pisteessä. Vektori myös osoittaa siihen suuntaan, missä muutosnopeus on suurimmillaan. Piirretään samaan pisteeseen suora, joka kulkee samaan suuntaan kuin suunnattu derivaatta tullaan määrittämään. Gradientin projektio tälle suoralle antaa sunnatun derivaatan arvon projektivektorin pituutena. Se voidaan laskea ottamalla gradientin arvosta kosini suoran ja gradientin välisestä kulmasta.

Esimerkkifunktion gradienttivektori lasketaan osittaisderivaatan avulla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
jolloin vektorin arvoksi tulee WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 Valitaan derivaatan suunnaksi yksikkövektori WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 , jolloin suunnatun derivaatan WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 arvoksi saadaan vektorien pistetulon avulla WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

eli

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
### Merkintöjä

Suunnattu derivaatta merkitään monella eri tavalla. Pisteessä WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ja suunnassa WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 määritetty funktion WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 suunnattu derivaatta voidaan merkitä seuraavilla tavoilla:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
missä merkityt kertolaskut ovat vektorien pistetuloja.

## Määritelmä

Usean muuttujan funktion WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 määrittelyjoukko voidaan ajatella koostuvan usean muuttujan pisteistä tai vektoreista WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , jolloin merkitään WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 (lihavoidut suureet ovat pisteitä ja vektoreita). Kun halutaan laskea funktion arvoja pisteessä WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , joka sijaitsee pisteestä WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 lähtevän yksikkövektorin WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 suunnassa, kirjoitetaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 . Funktion arvojen muutosnopeus pisteen WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ympäristössä ja suunnassa WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 muodostetaan erotusosamäärän avulla, jonka raja-arvona saadaan haluttu derivaatta

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
### Yhteys gradienttiin

Funktion gradientti WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 (lue *"nabla f"*) on vektori, joka osoittaa kussakin pisteessä WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 siihen suuntaan, missä funktion suunnattu derivaatta WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 saa suurimman arvonsa. Silloin suunnatun derivaatan arvo on yhtä suuri kuin gradientin itseisarvo eli WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 . Suunnattu derivaatta voidaan laskea yksikkövektorin ja gradientin vektorien pistetulon avulla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 on yksikkövektorin ja gradientin välinen kulma. Gradienttia käyttämällä saadaan helpoin tapa määrittää suunnatun derivaatan arvo.

Gradientti lasketaan ottamalla funktiosta osittaisderivaatat kunkin muuttujan suhteen erikseen ja järjestämällä tulokset muuttujien mukaiseen järjestykseen vektoriksi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
## Ominaisuuksia

Suunnatun derivaatan ominaisuuksia, kun derivaatta on otettu suunnassa WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 :

**Funktioiden summa:**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
**Vakiovektorin sääntö:**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
**Funktioiden tulon sääntö:**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
**Ketjusääntö:** Jos *g* on differentioituva pisteessä **p** and *h* on differentioituva pisteessä *g*(**p**), silloin

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
### Toispuoleiset suunnatut derivaatat

Toispuoleiset derivaatat funktiolle WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 suunnassa WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 , missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 , voidaan määritellä

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
Suunnattu derivaatta suunnassa WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 on olemassa, kun toispuoleiset suunnatut derivaatat WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 ovat samanarvoiset. Tällöin pätee

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
## Lähteet

### Viitteet

## Kirjallisuutta

* Pitkäranta, Juhani: *Calculus Fennicus*.  Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry, 2015.  ISBN 978-952-7010-12-9

## Aiheesta muualla

* Heikki P.: Gradientti ja suunnatut derivaatat (Arkistoitu – Internet Archive)
* Kangaslampi, R.: 6. Osittaisderivaatta 1[vanhentunut linkki], Osittaisderivaatta 2[vanhentunut linkki], 2012
* Silvennoinen, Risto: Luku 3. Raja-arvot. Osittaisderivaatat. (Arkistoitu – Internet Archive), 2010
* Turunen, E.: Differentiaalilaskentaa (viikko4) (Arkistoitu – Internet Archive)
* Hirvensalo, Mika: Insinöörimatematiikka IIB 2012 (Arkistoitu – Internet Archive)
* Long, Kevin: Math 5311 – Gateaux differentials and Frechet derivatives, 2009