# Ympyrä

Ympyrä ja sen osia
Osa artikkelisarjaa
 **Geometria**

Tasogeometria

* Piste
* Suora
* Käyrä
* Taso
* Pinta
* Pinta-ala
* Pituus
* Kulma
* Trigonometria
* Ympyrä
* Ellipsi
* Monikulmio
* Kolmio
* Nelikulmio
* Suorakulmio
* Neliö
* Suunnikas
* Neljäkäs
* Puolisuunnikas

Avaruusgeometria

* Tilavuus
* Avaruuskappale
* Pallo
* Kartio
* Lieriö
* Särmiö
* Suuntaissärmiö
* Suorakulmainen särmiö
* Säännöllinen monitahokas
* Platonin kappale
* Tetraedri
* Heksaedri eli kuutio
* Oktaedri
* Dodekaedri
* Ikosaedri
* Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria

* Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria

* Hyperbolinen geometria
* Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

* n
* k
* m

**Ympyrä** on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän *keskipisteestä*) on yhtä suuri kuin ympyrän säde *r*. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan *jänteeksi*. *Halkaisija* on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli **ympyräkiekon** aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 .

## Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

Ympyrän kehän (piirin) pituus WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 saadaan kaavasta:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , jossa WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 on ympyrän säde ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 on vakio pii noin 3,14.

Voidaan myös ilmaista säde WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ja halkaisijan WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 avulla, eli WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 saadaan kaavasta:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 , missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 on ympyrän säde tai vastaavasti:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , jossa WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 on ympyrän halkaisija.
Jos ympyrän kehän pituus WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 tunnetaan, voidaan pinta-ala WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 laskea kaavasta:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Jos ympyrän halkaisija WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ja kehän pituus WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 tunnetaan, voidaan
pinta-ala laskea (ilman lukua WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ) kaavasta:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä,
on ympyrä sellainen käyrän muoto,
joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 sen
rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

## Ympyrän kaari, sektori ja segmentti

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .

Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 .

Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

## Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa

### Keskipisteen ja säteen avulla

Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
joka on parametrimuodossa:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

### Kolmen pisteen avulla

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
joka on evaluoituna

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
missä

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
*x:n* kerroin WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 saadaan matriisista

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
jättämällä WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 :n suhteen) determinantista

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
ja

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
ja vakiotermi *c*

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
missä keskipisteen koordinaatit ovat

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
ja

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
sekä säde

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
## Ympyrän kulmia

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

## Neljä ympyrää

Neljä toisia sivuavaa ympyrää
Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ,
missä r on kunkin ympyrän säde.

## Seitsemän ympyrää

Seitsemän toisia sivuavaa ympyrää
Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.

## Ympyrä ja neliö

Ympyrä ja neliö
Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.

## Ympyrä ja paraabeli

Paraabelien pisteet ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista
Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
## Katso myös

* Pisteen potenssi
* Ympyrän keskipisteen konstruointi

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Kivelä, Simo K.: *Algebra ja geometria*.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria*.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf)  2015. Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

## Aiheesta muualla

* Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
* Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
* Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
* Ympyrän pinta-alan laskeminen