# Pyörimisliike

Pyörimisliikkeessä oleva pallo.
**Pyörimisliike** eli **rotaatio** on liikettä, jossa kappaleen jokainen osa kiertää ympyränmuotoista rataa kappaleen poikki kulkevan akselin ympäri. Tällöin kappaleen voidaan ajatella koostuvan pienistä osista, joista jokainen on ympyräliikkeessä, ja liikkeen keskipiste on tällä akselilla. Jos kappale on jäykkä eli se ei muuta muotoaan eivätkä sen eri osien väliset etäisyydet muutu, sen kaikkien kohtien kulmanopeus on pyörimisliikkeessä sama mutta nopeus on suoraan verrannollinen kunkin kohdan etäisyyteen akselista.

Pyörimisliikkeeseen liittyviä suureita ovat kulmanopeus, kulmakiihtyvyys ja liikemäärämomentti. Samoja suureita voidaan soveltaa myös ympyräliikkeeseen, joissa radan keskus on kappaleen ulkopuolella. Pyörimisliikkeeseen liittyviä suureita koskevat yhtälöt vastaavat selvästi suoraviivaisen etenemisliikkeen yhtälöitä. Massan asemesta yhtälöissä on kuitenkin käytettävä hitausmomenttia, joka riippuu paitsi kappaleen massasta myös sen muodosta.

**Suoran liikkeen ja pyörimisliikkeen vastaavuudet**| Suora liike | tunnus | yksikkö | Pyörimisliike | tunnus | yksikkö |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Nopeus | *v* | m/s | Kulmanopeus (kierrosnopeus, kierrosluku, pyörimisnopeus) | *ω* | rad/s |
| Kiihtyvyys | *a* | m/s² | Kulmakiihtyvyys | *α* | rad/s² |
| Massa | *m* | kg | Hitausmomentti (inertiamomentti) | *J* | kg·m² |
| Liikemäärä | *p* | N·s | Pyörimismäärä (kiertoliikemäärä, liikemäärämomentti, impulssimomentti) | *L* | N·m·s |
| Voima | *F* | N | Voiman momentti | *M* | N·m |

## Pyörimisenergia

Oletetaan, että pyöreä kappale, pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella *ω*. Silloin kappaleen jokainen osa liikkuu ympyränmuotoista rataa kehänopeudella

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ,
missä *r* on osan etäisyys pyörimisakselista.

Etäisyydellä *r* pyörimisakselista kiitävän kappaleen osan, jonka massaa merkitään *ρ*, liike-energia on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .
Koko kappaleen pyörimiseen sisältyvä liike-energia saadaan laskemalla yhteen (integroimalla) sen eri etäisyyksillä olevien osien liike-energiat.

Jos ajatellaan, että suure *ρ*(*r*) kuvaa kappaleen massan jakautumista eri etäisyyksille akselista, ja integroidaan eri etäisyyksien osuudet, kokonaisenergiaksi saadaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ,
missä *R* on kappaleen säde pyörimisakselista mitattuna, ja suuretta

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 kutsutaan kappaleen hitausmomentiksi.
Esimerkiksi tasa-aineisen ympyränmuotoisen levyn tai umpinaisen sylinterin, jonka kokonaismassa on *m* ja säde *R*, hitausmomentti on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
ja umpinaisen pallon

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
joten liike-energiaksi saadaan pyörivälle levylle

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
ja pallolle

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
edellyttäen, että pyörimisakseli kulkee levyn tai pallon keskipisteen kautta.

## Yhdistetty liike

Vierivällä kappaleella on sen pyörimis- eli rotaatioenergian lisäksi sen tasaiseen liikkeeseen liittyvää liike-energiaa. Tällöin liikkeeseen liittyvä kokonaisenergia on sen etenevän liike-energian ja rotaatioenergian summa.

## Tasaisella nopeudella pyörivän akselin välittämä teho

Tasaisella nopeudella pyörivän akselin välittämä teho lasketaan seuraavasti:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
missä WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 on akselin välittämä vääntömomentti (yksikkönä Nm) ja
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 on akselin kulmanopeus (yksikkö rad/s).

## Rinnastus aaltoliikkeeseen

Pyörivän kiekon tai sylinterin kehänopeus voidaan kirjoittaa myös

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
missä *n* = kappaleen pyörimisnopeus (kierrosta sekunnissa) ja *s* on kappaleen ympärysmitta eli piiri.

Tätä on mielenkiintoista verrata aalto-opin perusyhtälöön

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
jossa *c* on aaltoliikkeen (esim. valo- tai ääniaalto) nopeus, *f* on taajuus ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 on aallonpituus. Tämän analogian mukaan pyörimisliikkeessä taajuutta vastaa kierrosnopeus ja aallonpituutta kehän pituus.

## Katso myös

* Ympyräliike
* Spin
* Hyrrävoima

## Lähteet

## Aiheesta muualla

* Opetus.tv: Fysiikan etäopiskeluympäristö, Pyöriminen ja gravitaatio
* Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti (video)