# مساحت

| مساحت |
| --- |
| مساحت‌های این دو مربع و دایره یکسان می‌باشد |
| نمادهای رایج | *A* یا *S* |
| دستگاه بین‌المللی یکاها | متر مربع (m2) |
| یکای اصلی اس‌آی | m2 |
| تحلیل ابعادی |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |

**مساحت** یا **پهنه**، کمیتی است غیر برداری (اسکالر یا نرده‌ای) که بیانگر انداز‌هٔ سطح یک شکل دو بعدی و یا سطوح احجام سه بعدی است. با آن که نخستین بار مفهوم مساحت در بستر هندسه معرفی شد، رد پای آن در دیگر شاخه‌های ریاضی (همانند حساب انتگرال در آنالیز ریاضی) دیده می‌شود.

## تاریخچه

یک مسأله‌ی هندسی و حل آن بر روی یک پاپیروس مصری
همانند بسیاری از مفاهیم پایهٔ ریاضی (که در دوران پیش از مدرن ایجاد شده‌اند) نمی‌توان تعیین کرد که چه فرد یا افرادی برای نخستین بار مفهوم مساحت را معرفی کرده‌اند. با این حال، الواح گلی بابلی و پاپیروس‌های مصری نمایانگر آشنایی این دو تمدن باستانی با مفهوم مساحت‌اند. ریاضیات این دو تمدن در بیش‌تر موارد تخمینی بر روابط حقیقی مساحت اشکال هندسی بودند؛ زیرا بسیاری از مسائل مطرح شده در این الواح و پاپیروس‌ها محاسبهٔ مساحت زمین‌های زراعی در اشکال گوناگون است. در بسیاری از موارد فرمول یکپارچه‌ای برای محاسبه وجود نداشت و هر مسأله با شیوهٔ مخصوص به خود حل می‌شد؛ هرچند شواهدی مبنی بر آشنایی با روابط مساحت اشکال ساده‌ای همانند مربع، مستطیل، مثلث و دایره (با فرض WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ) یافت شده است.

با ایجاد ریاضیات برهانی توسط یونانیان باستان، فرمول‌های محاسبهٔ مساحت نیز همانند دیگر روابط ریاضی اثبات شدند و مسائل جدیدی همانند پیدا کردن عدد پی و روش افنا مطرح شدند.

## یکای مساحت

۱ متر مربع از یکا های مساحت
مساحت یک یکای فرعی در سیستم SI است که مبنای آن مساحت مربعی با ضلع یک متر (۱ متر مربع یا m²) است.

### یکای مساحت در ایران

تا پیش از فراگیری واحدهای متریک در ایران، یکای مساحت (همانند دیگر یکاهای رایج آن دوران) مبتنی بر ابعاد و اندازهٔ بدن انسان و همچنین قرارداد بود. یکاهای مساحت در ایران جریب، قفیز و قصبه بودند. جریب مساحتی در حدود ۱۰۰ متر مربع، قفیز حدود ۱۰۰۰ متر مربع (در برخی نقاط ۱۵۰۰ متر مربع) و جریب نیز حدود ۱۰۰۰ متر مربع (در برخی نقاط ۱۱۰۰ متر مربع) بودند. تا سال ۱۳۱۱ خورشیدی و معرفی یکاهای متریک از سوی دولت، این واحدها (با وجود اختلاف در اندازه‌ی آن‌ها در هر نقطه) تنها واحدهای مساحت رایج ایران بودند که به مرور با متر مربع و هکتار جایگزین شدند.

## در هندسه

شاید بتوان شکل پایهٔ محاسبهٔ مساحت را مستطیل دانست؛ زیرا با بسط و گسترش روابط این شکل می‌توان به روابط دیگر شکل‌های هندسی همانند مربع، مثلث، لوزی، متوازی الاضلاع، دایره (با استفاده از محاسبات انتگرال) و ... دست یافت. با استفاده از استدلال و قضایای ریاضی نیز می‌توان مساحت کل احجام منتظم را (با بهره‌گیری از مساحت اشکال پایه) به دست آورد.

برای به دست آوردن مساحت اشکال نامنتظم می‌توان آن‌ها را به پاره‌های منتظم (مانند مثلث، مستطیل، دایره و ...) تفکیک کرد و با تجمیع مساحت این پاره‌ها، مساحت شکل اصلی را به دست آورد. همچنین برای به دست آوردن مساحت کل احجام نامنتظم، می‌توان مساحت هر سطح را جداگانه محاسبه کرد و با یکدیگر جمع بست.

### فرمول‌های مساحت

| شکل | فرمول | متغیرها |
| --- | --- | --- |
| مستطیل |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 به ترتیب اندازه طول و عرض مستطیل هستند. |
| مربع |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 طول یک ضلع مربع است. |
| متوازی الاضلاع |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 طول قاعده و WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ارتفاع عمود بر آن است. |
| لوزی |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 طول دو قطر لوزی هستند. |
| مثلث متساوی الاضلاع |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 طول یک ضلع مثلث است. |
| مثلث |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 به ترتیب قاعده و ارتفاع هستند |
| مثلث (فرمول هرون) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 نصف محیط، WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 طول هر ضلع هستند. |
| مثلث |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 دو ضلع دلخواه و WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 زاویه بین شان است. |
| ذوزنقه |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 طول دو ضلع موازی و WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 فاصله بین شان (ارتفاع) است. |
| شش ضلعی منتظم |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 طول یکی از اضلاع است. |
| هشت ضلعی منتظم |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 طول یکی از اضلاع است. |
| چند ضلعی منتظم |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 طول یک ضلع و WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 تعداد اضلاع است. |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 شعاع دایره فرضی محیط بر چندضلعی و WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 محیط چندضلعی است. |
| دایره |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 شعاع و WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 قطر است. |
| قطاع دایره |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 به ترتیب شعاع و زاویه (برحسب رادیان) هستند. |
| بیضی |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 دو شعاع بیضی هستند. |
| مساحت کل یک استوانه |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند. |
| مساحت جانبی استوانه |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند. |
| مساحت کل مخروط |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 به ترتیب شعاع و مولد مخروط ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 ) هستند. |
| مساحت جانبی مخروط |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 به ترتیب شعاع و مولد مخروط ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 ) هستند. |
| مساحت کل کره |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 به ترتیب شعاع و قطر کره هستند. |
| مساحت کل کره بیضوی |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_134  | مانند کره
a=شعاع b X=شعاع c Y=s=شعاع Z |
| مساحت کل هرم |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 مساحت قاعده، WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 محیط قاعده و WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ارتفاع عمود بر آن هستند. |

## منابع