# تابع گاما

تابع گاما در امتداد محور حقیقی
تابع گاما در صفحه مختلط
**تابع گاما** (به انگلیسی: Gamma function) در علم ریاضیات، یک تعمیم پرکاربرد برای تابع فاکتوریل به اعداد مختلط است. نماد تابع گاما WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 می‌باشد، که این نماد حرف بزرگ گاما در الفبای یونانی است. تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده‌است. برای هر عدد صحیح مثبت WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 رابطه زیر برقرار است:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

دانیال برنولی برای اعداد مختلط با قسمت حقیقی مثبت، رابطه زیر را برای تابع گامای این اعداد به دست آورد، این عبارت یک انتگرال ناسره همگرا می‌باشد:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

تابع گاما به صورت امتداد تحلیلی این تابع انتگرالی به یک تابع مرومورفیک تعریف شده‌است (این تابع یک تابع تمام‌ریخت (هولومورفیک) در صفحه مختلط، بجز در اعداد صحیح غیر مثبت ، که در آنها تابع قطب ساده دارد، می‌باشد).

تابع گاما مقدار صفر ندارد، یعنی تابع گامای معکوس WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 یک تابع کامل است. در واقع، تابع گاما متناظر با تبدیل ملین برای تابع نمایی منفی است:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

تعمیم‌های دیگری نیز برای تابع فاکتوریل وجود دارد، اما تابع گاما مردمی‌ترین و مفیدترین تعمیم می‌باشد. این تابع یکی از مولفه‌های مهم در توابع مختلف توزیع احتمال است؛ و از این رو تابع گاما، قابل استفاده در احتمال و آمار و همچنین ترکیبیات می‌باشد.

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.

## تعریف

### تعریف اصلی

نمایش این تابع با WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 کاری از لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 مثبت باشد، در آن‌صورت انتگرال زیر:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20

مطلقاً همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‌شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‌شود. با انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء می‌توان رابطهٔ بازگشتی زیر را به دست آورد:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22

از آنجا که WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 از معادله خط پیشین به معادله می‌رسیم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

همچنین WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 را با معادله پایین می‌شود بدست آورد:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

با توجه به این‌که WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 به ازای WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 های حقیقی و مثبت، از رابطهٔ بالا نتیجه می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36

### دیگر تعریف‌ها

دو ضرب نامتناهی زیر را که به ترتیب لئونارد اویلر و وایرشتراس به‌دست آورده‌اند، تعریف‌های دیگری برای تابع گاما هستند:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

که در آن WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ثابت اویلر-ماسکرونی نامیده می‌شود.

## خواص

* وقتی WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 به سمت بینهایت میل می‌کند تابع گاما را می‌توان با تقریب استرلینگ به شکل پایین محاسبه کرد، در این معادله WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 به این معنی است که حاصل تقسیم سمت چپ و راست به عدد یک میل می‌کند:
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
* خاصیت پایین برای اعداد مختلط به کار می‌رود:
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
	+ به‌طور خاص اگر WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 باشد آنگاه:
	 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
	 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
	 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
* خاصیت انعکاس اویلری:
	+ WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

## جستارهای وابسته

* تابع گامای ناکامل
* فاکتوریل
* انتگرال بارنس

## نگارخانه

*
*
*

## منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Gamma function». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۵ سپتامبر ۲۰۲۰.

## پانویس

* Eric W. Weisstein, Gamma function at مث‌ورلد.