# کره (هندسه)

| کره |
| --- |
| A perspective projection of a sphere |
| نوع | Smooth surface Algebraic surface |
| مشخصه اویلر | ۲ |
| گروه تقارنی |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| مساحت کل |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_1  |
| حجم |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |

نگارهٔ یک کره به صورت توپولوژی.
**کُره** یا **گوی** یا **سِپِهر** (به انگلیسی: Sphere) یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک **کره** است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف *r* نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.

## تعریف

کره به این صورت تعریف می‌گردد:

> کره مجموعه نقاطی از فضا است که این نقاط به فاصلهٔ یکسان در مرکز کره شعاع آن را ایجاد می‌کند، کره نوعی چندوجهی منحنی پیچیده‌ای است که از نوع حجم‌ها هندسی است.
>
>

## اصلاحات پایه

شعاع کره را R یا r نشان می‌دهند. شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می‌آید. قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می‌دهند. اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می‌آید. سیارات و ستاره‌ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند. این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند. ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می‌دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است. آنها یک کره و یک توپ را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می‌کنند. یک توپ باز خود کره را حذف می‌کند، در حالی که یک توپ بسته شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین توپ و کرههمیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می‌کنند. تمایز بین "دایره" و "دیسک" در هواپیما مشابه است.

کره‌های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می‌شوند، به عنوان مثال کره مریخ.

### نکاتی دربارهٔ کره

* حجم کره دوسوم حجم استوانه است
* مساحت آن چهار برابر مساحت دایره است
* کره نوعی چندوجهی است
* کره از نوع حجم‌ها هندسی است
* اگر حجم دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر حجم کره با شعاع مجذور دوکره است
* اگر مساحت دو کره هم شعاع رد درهم ضرب کنیم حاصل برابر با چهار برابر مساحت کره با شعاع مجذور دوکره است
* کره در مختصات سه بعدی به کار می‌رود

## معادلات

در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x0,y0,z0)داشته باشیم و مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می‌توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه، نوعی سطح جبری است. WIKINIUM\_MATH\_PH\_3

معادله فرض کنید a, b، c, d، e اعداد حقیقی با *a* ≠ ۰ باشند و درمعادله درجه یک قرار دهید WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 سپس معادله برابر با WIKINIUM\_MATH\_PH\_7

### معادله پارامتریک

اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر با WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 باشد و مرکز کره ما برابر با WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 باشد به صورت زیر نوشته می‌گردد

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13

نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می‌شود. r ثابت است، در حالی که θ از ۰ تا π و WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 متغیر است از ۰ تا WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 نیز متغیر است.

## تعریفات کره بر اساس حوزه ریاضیات

### هندسه کروی

عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند. در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می‌شوند. آنالوگ «خط» ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است. مشخصه تعیین‌کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می‌گیرد از مرکز کره نیز عبور می‌کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.

بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی‌تواند برخی از فرضیه‌های هندسه کلاسیک، از جمله فرض موازی را برآورده کند. در مثلثات کروی، زاویه‌ها بین دایره‌های بزرگ تعریف می‌شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است. به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از ۱۸۰ درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.

هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می‌گیرد، *نقاط پادپای* نامیده می‌شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است. هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کره

* روی یک دایره بزرگ بی نظیر دراز بکش،
* آن را به یک قوس مینور (یعنی کوتاهتر) و یک قوس اصلی (یعنی بلندتر) تقسیم کنید و
* طول قوس فرعی *کمترین فاصله* بین آنها روی کره باشد.

هندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می‌دهد.

### هندسه دیفرانسیل

کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ r2 است. طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای ۳ بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی‌توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد؛ بنابراین، هر طرح‌ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می‌کند WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 .

کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است. این را می‌توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت.

کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21
این معادله نشان می‌دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.

در هندسه ریمانی، حدس ناحیه پر شدن بیان می‌کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است.

## منحنی روی یک کره

### منحنی دایره ای (حلقه ای)

دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است. دایره‌های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می‌گذرد: بقیه دایره‌های کوچک نامیده می‌شوند.

سطوح پیچیده‌تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم *محور* هستند) از دایره‌ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می‌دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.

### لوکسودروم

در ناوبری، **خط رومب** یا **لوکسودروم** کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می‌کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است. خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست. به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.

### منحنی کلیا

منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن است WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 و همبستگی WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 معادله را برآورده کند

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27

موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 ) و مارپیچ‌های کروی ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 ) مانند مارپیچ سیفرت. منحنی‌های کلیا مسیر ماهواره‌ها را در مدار قطبی تقریبی می‌کند.

### مخروط‌های کروی

آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است، یک منحنی کوارتیک که می‌تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:

* به عنوان محل تلاقی یک کره با یک مخروط درجه دوم که راس آن مرکز کره است.
* به عنوان تقاطع یک کره با یک استوانه بیضوی یا هذلولی که محور آن از مرکز کره می‌گذرد.
* به عنوان مکان نقاطی که مجموع یا اختلاف فواصل دایره بزرگ از یک جفت کانون ثابت است.

بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط‌های کروی نیز گسترش می‌یابد.

### تقاطع یک کره با سطح عمومی تر

اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی‌های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.

#### مثال

تقاطع کره - استوانه

تقاطع کره با معادله WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 و استوانه با معادله WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات است

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39
## مداد کروی

یک کره به‌طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می‌شود. به‌طور کلی، یک کره به‌طور منحصر به فردی با چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود. این ویژگی مشابه این ویژگی است که سه نقطه غیر خطی یک دایره منحصر به فرد را در یک صفحه تعیین می‌کنند. در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می‌شود (یعنی از آن عبور می‌کند). با بررسی راه حل‌های رایج معادلات دو کره می‌توان دریافت که دو کره در یک دایره قطع می‌شوند و صفحه حاوی آن دایره رادیکال نامیده می‌شود. صفحه ' کره‌های متقاطع. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره‌ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره‌ها در آن نقطه مماس هستند). اگر

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

سپس معادلات دو کره مجزا هستند پس: WIKINIUM\_MATH\_PH\_43

همچنین معادله یک کره برای مقادیر دلخواه پارامترهای WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 است. مجموعه تمام کره‌هایی که این معادله را برآورده می‌کنند «مداد کره‌ها» نامیده می‌شوند که توسط دو کره اصلی تعیین می‌شود. در این تعریف، کره مجاز است یک صفحه باشد (شعاع بی‌نهایت، مرکز در بی‌نهایت) و اگر هر دو کره اصلی صفحه باشند، تمام کره‌های مداد صفحه هستند، در غیر این صورت فقط یک صفحه (صفحه رادیکال) در آن وجود دارد. مداد.

## خواص

یک کره را می‌توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می‌شود، ساخت. این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است. از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می‌شود. چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل.

یک کره به‌طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می‌شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به‌طور منحصربه‌فردی چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود.

در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می‌شود (یعنی از آن عبور می‌کند).

با بررسی جواب‌های رایج معادلات دو کره، می‌توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می‌کنند و صفحه حاوی آن دایره، **صفحه رادیکال** کره‌های متقاطع نامیده می‌شود. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره‌ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره‌ها در آن نقطه مماس هستند).

زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می‌شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می‌شوند. آنها در زوایای قائمه متقاطع می‌شوند (متعامد هستند) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد.

### یازده خواص کره

این خواص را دو ریاضی‌دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده‌اند و این خواص‌های اثبات شده است.

* نقاط روی کره همگی از یک نقطه ثابت فاصله دارند. همچنین نسبت فاصله نقاط آن از دو نقطه ثابت ثابت است.
* بخش اول تعریف معمول کره است و آن را به‌طور منحصر به فرد تعیین می‌کند. قسمت دوم به راحتی قابل استنباط است و نتیجه مشابه آپولونیوس پرگا برای دایره را دنبال می‌کند. این قسمت دوم نیز برای هواپیما صادق است.
* خطوط و مقاطع صفحه کره دایره هستند.
این ویژگی کره را به‌طور منحصر به فردی تعریف می‌کند.
* کره دارای عرض ثابت و دور ثابت است.
* عرض یک سطح فاصله بین جفت صفحات مماس موازی است. بسیاری از سطوح محدب بسته دیگر دارای عرض ثابت هستند، به عنوان مثال بدنه مایسنر. دور یک سطح، محیط مرز برآمدگی متعامد آن روی یک صفحه است. هر یک از این ویژگی‌ها بر دیگری دلالت دارد.
* تمام نقاط یک کره ناف هستند.
* در هر نقطه از سطح یک جهت عادی با سطح زوایای قائمه است زیرا در کره این خطوط هستند که از مرکز کره خارج می‌شوند. تقاطع صفحه ای که دارای حالت عادی با سطح است منحنی را تشکیل می‌دهد که به آن مقطع *نرمال* می‌گویند و انحنای این منحنی *انحنای نرمال است*. برای اکثر نقاط روی بیشتر سطوح، بخش‌های مختلف انحناهای متفاوتی دارند. مقادیر حداکثر و حداقل آنها را انحنای اصلی می‌نامند. هر سطح بسته حداقل چهار نقطه به نام *نقاط نافی* دارد. در یک ناف تمام انحناهای مقطعی برابر هستند. به ویژه انحناهای اصلیبرابر هستند. نقاط ناف را می‌توان به عنوان نقاطی در نظر گرفت که سطح آن با یک کره تقریباً نزدیک است.
* برای کره، انحنای تمام بخش‌های عادی برابر است، بنابراین هر نقطه یک ناف است. کره و صفحه تنها سطوحی هستند که این خاصیت را دارند.
* کره سطحی از مراکز ندارد.
* برای یک مقطع عادی، دایره ای از انحنا وجود دارد که برابر با انحنای مقطع است، مماس بر سطح است، و خطوط مرکزی آن در امتداد خط عادی قرار دارند. به عنوان مثال، دو مرکز مربوط به حداکثر و حداقل انحنای مقطع، *نقاط کانونی* نامیده می‌شوند و مجموعه تمام این مراکز، سطح کانونی را تشکیل می‌دهند.
* برای اکثر سطوح، سطح کانونی دو صفحه تشکیل می‌دهد که هر کدام یک سطح هستند و در نقاط ناف به هم می‌رسند. چند مورد خاص هستند
* برای سطوح کانال یک ورق یک منحنی و ورق دیگر یک سطح است
* برای مخروط‌ها، استوانه‌ها، توری‌ها و سیکلیدها، هر دو ورق منحنی تشکیل می‌دهند.
* برای کره، مرکز هر دایره منعش‌کننده در مرکز کره است و سطح کانونی یک نقطه واحد را تشکیل می‌دهد. این خاصیت منحصر به کره است.
* تمام ژئودزیک‌های کره منحنی‌های بسته هستند.
* ژئودزیک‌ها منحنی‌هایی روی سطحی هستند که کمترین فاصله را بین دو نقطه نشان می‌دهند. آنها تعمیم مفهوم خط مستقیم در صفحه هستند. برای کره، ژئودزیک‌ها دایره‌های بزرگی هستند. بسیاری از سطوح دیگر این ویژگی را به اشتراک می‌گذارند.
* از میان تمام جامداتی که حجم معینی دارند، کره با کمترین مساحت سطحی است. از بین تمام جامداتی که سطح مشخصی دارند، کره بیشترین حجم را دارد.
* از نابرابری ایزوپریمتری نتیجه می‌شود. این ویژگی‌ها کره را به‌طور منحصربه‌فردی تعریف می‌کنند و می‌توان آن را در حباب‌های صابون مشاهده کرد: حباب صابون یک حجم ثابت را در بر می‌گیرد و کشش سطحی سطح آن را برای آن حجم به حداقل می‌رساند؛ بنابراین یک حباب صابون شناور آزادانه به یک کره نزدیک می‌شود (اگرچه نیروهای خارجی مانند گرانش شکل حباب را کمی تغییر می‌دهد). همچنین در سیارات و ستارگانی که گرانش سطح اجرام آسمانی بزرگ را به حداقل می‌رساند، دیده می‌شود.
* کره کوچک‌ترین انحنای میانگین کل را در بین تمام جامدات محدب با سطح معین دارد.
* انحنای متوسط میانگین دو انحنای اصلی است که ثابت است زیرا دو انحنای اصلی در تمام نقاط کره ثابت هستند.
* کره دارای انحنای متوسط ثابت است.
* کره تنها سطح نهفته است که فاقد مرز یا تکینگی با میانگین انحنای مثبت ثابت است. سایر سطوح غوطه ور مانند سطوح حداقل دارای میانگین انحنای ثابت هستند.
* کره دارای انحنای گاوسی مثبت ثابت است.
* انحنای گاوسی حاصلضرب دو انحنای اصلی است. این یک ویژگی ذاتی است که می‌توان آن را با اندازه‌گیری طول و زوایا تعیین کرد و مستقل از نحوه قرار گرفتن سطح در فضا است. از این رو، خمش یک سطح، انحنای گاوسی را تغییر نمی‌دهد و سایر سطوح با انحنای گاوسی مثبت ثابت را می‌توان با بریدن یک شکاف کوچک در کره و خم کردن آن به دست آورد. همه این سطوح دیگر دارای مرز خواهند بود و کره تنها سطحی است که فاقد مرزی با انحنای گاوسی ثابت و مثبت است. شبه کره نمونه ای از سطحی با انحنای گاوسی منفی ثابت است.
* کره توسط یک خانواده سه پارامتری از حرکات صلب به خود تبدیل می‌شود.
* چرخش حول هر محوری یک کره واحد در مبدأ، کره را روی خودش ترسیم می‌کند. هر چرخشی حول یک خط از مبدأ می‌تواند به صورت ترکیبی از چرخش‌ها حول محور سه مختصات بیان شود (به زوایای اویلر مراجعه کنید). بنابراین، یک خانواده سه پارامتری از چرخش‌ها وجود دارد به طوری که هر چرخش کره را به خود تبدیل می‌کند. این خانواده گروه چرخشی (SO(3 است. صفحه تنها سطح دیگری است که دارای یک خانواده تبدیل سه پارامتری است (ترجمه در امتداد محورهای x - و y و چرخش حول مبدأ). استوانه‌های دایره ای تنها سطوح با خانواده‌های دو پارامتری از حرکات صلب و سطوح چرخشی و هلیکوئیدی هستند. تنها سطوح با خانواده یک پارامتری هستند.

## حجم کره

در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
که در این رابطه، *r* شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره است.

در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست می‌آید.

### اثبات حجم کره

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می‌کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم می‌کنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می‌شود. پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

کره احاطه شده توسط استوانه
حجم استوانه=
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می‌آید

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51

که در اینجا r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد. این را می‌توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری. این فرمول همچنین می‌تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم‌های بی‌نهایت از دیسک‌های دایره ای با ضخامت بی‌نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده‌اند و در امتداد محور x از ''x'' = - ''r'' تا ''x'' = ''r'' متمرکز شده‌اند، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

### محاسبهٔ حجم کره با کمک مفهوم انتگرال

نیم کرهٔ مورد بحث
نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور *y*ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ *h = ۰* قرار دارد، شعاعی برابر با *r* دارد (*s = r*) و دیسکی که در نقطهٔ *h = r* قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (*s = ۰*).

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه *h*، برابر با *δh* باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53
پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55
در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57
با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59
پس به جای WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 است استفاده می‌کنیم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65
مقدار تازهٔ WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69
مقدار انتگرال برابر است با:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71
حجم نیمی از کره برابر با WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 است پس حجم کل کره می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_75
حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_77

بنابراین حجم کره برابر با این رابطه است.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79

### روش دیگر

نگارهٔ مربوط به روش دوم
حجم کره، حجمی است که توسط سطح و رویه کره محدود شده است و فضای کره را اشغال کرده است.

#### اشتقاق ارشمیدسی

از نتیجهٔ قضیهٔ فیثاغورس داریم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_81
مساحت هر دیسک یا مساحت مقطع مخروط در هر برش عرضی از مقطع شکل برابر است با:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83
بر اساس بازتابی از ریاضیدانان ارشمیدس یونانی، برای نیمکره ای با شعاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 میدان مرجعی وجود دارد که حجم آن با نیمکره مطابقت دارد، اما محاسبه آسان است. این بدنه مقایسه با تبدیل یک استوانه (به‌طور دقیق تر: یک استوانه دایره ای راست) با شعاع سطح پایه WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 و ارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 به a مخروط (به‌طور دقیق تر: مخروط دایره ای راست) با شعاع پایه WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 و ارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 حذف شده است. فکر کنم نادرست باشد برای همین ادامه ندادم

می‌توان از اصل کاوالیری برای اثبات اینکه نیمکره و جسم مقایسه دارای حجم یکسانی هستند استفاده کرد. این اصل مبتنی بر ایده تقسیم اجسام در نظر گرفته شده به برش‌های بی‌نهایت با ضخامت بی‌نهایت کوچک (بی‌نهایت کوچک) است. (یک جایگزین برای این روش استفاده از حساب انتگرال خواهد بود) با توجه به اصل ذکر شده، سطوح تقاطع هر دو جسم را با صفحه که موازی و یک فاصله WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 از آن داده شده است. در مورد نیمکره، تقاطع یک ناحیه دایره ای است.

شعاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 این ناحیه دایره ای از قضیه فیثاغورث حاصل می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 .
این برای محتوای رابط می‌دهد

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 .
از طرف دیگر، در مورد جسم مرجع، تقاطع یک حلقه دایره ای با شعاع بیرونی WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 و یک شعاع داخلی WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 است. مساحت این تقاطع بنابراین

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 .
برای فاصله دلخواه WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 تا ناحیه پایه، دو ناحیه تقاطع در محتوای ناحیه توافق دارند. این از اصل کاوالیری ناشی می‌شود که نیمکره و بدن مقایسه دارای حجم یکسانی هستند.

اکنون می‌توان حجم بدن مقایسه و در نتیجه نیمکره را به راحتی محاسبه کرد:

یکی کمتر از حجم استوانه و یکی بیشتر از حجم مخروط.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115
بنابراین، موارد زیر در مورد حجم کره (جامد) صدق می‌کند:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 .
#### اشتقاق جایگزین

کره را می‌توان به بی‌نهایت هرم با ارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 (راس در مرکز کره) تقسیم کرد که قاعده کل آنها با سطح کره مطابقت دارد (به زیر مراجعه کنید). بنابراین حجم کل همه اهرام برابر است با:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 .

#### استخراج با استفاده از حساب انتگرال

شعاع در فاصله WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 .
ناحیه دایره ای در فاصله WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 .
حجم کره WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_135
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 .
حجم یک قطعه کروی WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 از ارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 را می‌توان به همین ترتیب محاسبه کرد:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_143
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_145
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 .
#### مشتقات بیشتر

کره ای با شعاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 که مرکز آن در مبدأ مختصات است، می‌تواند با معادله نمایش داده شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_151
توضیح داده می‌شود که در آن WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 مختصات فاصله هستند.

این مشکل را می‌توان به دو روش با استفاده از حساب انتگرال حل کرد:

ما کره را به یک مجموعه تهی لبسگو پارامتر بندی می‌کنیم WIKINIUM\_MATH\_PH\_155 .

با تعیین عملکردی:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_157
عنصر حجم مورد نیاز WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 به عنوان نتیجه می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 .
بنابراین حجم کره به این صورت داده می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163
امکان دیگر از طریق مختصات قطبی است:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_165
اکنون دستگاه مختصات دکارتی به سیستم مختصات قطبی تبدیل می‌شود، به این معنی که ادغام پس از تغییر سیستم مختصات با استفاده از متغیرهای WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 به جای WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 . انگیزه این تحول، ساده‌سازی قابل توجه محاسبه در دوره بعدی است. برای دیفرانسیل این به این معنی است: WIKINIUM\_MATH\_PH\_175

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_177
راه دیگر با کمک فرمول بدنه‌های انقلاب:

اگر قطعه ای از سطح را حول یک محور مکانی ثابت بچرخانید، جسمی با حجم معین به دست می‌آورید. در مورد یک ناحیه دایره ای، یک کره تشکیل می‌شود. این را می‌توان به عنوان یک سکه در حال چرخش تجسم کرد.

فرمول کلی برای چرخش بدن انقلاب حول محور x به دست می‌دهد:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 .
معادله به صورت دایره ای است:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_181
با مرکز:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_183 .
با وصل کردن معادله دایره، دریافت می‌کنیم"

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 .
با جایگزین کردن فرمول بدنه‌های چرخشی حول محور x، دریافت می‌کنیم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_187
## مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_189
ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به *r*، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا *r* می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با *δV*، ضخامت هر پوسته را با *δr* و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع *r* با *A*(*r*) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_191
حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_193
هنگامی که *δr* به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_195
چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_197
از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_199
که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_201
در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت WIKINIUM\_MATH\_PH\_203 و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_207
### روش دیگر

سطح کره، سطح دو بعدی است که لبه کره را تشکیل می‌دهد؛ بنابراین مجموعه تمام نقاطی است که فاصله آنها از مرکز کره دارای مقدار ثابت WIKINIUM\_MATH\_PH\_209 است. این یک منیفولد دو بعدی بسته است. مساحت آن را همان‌طور که گفتیم برابر با WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 است که این یعنی چهار برابر با مساحت دایره و دو سوم و همان مساحت سطح استوانه دایره‌ای است که کره را در بر می‌گیرد. برای یک حجم معین، کره کوچک‌ترین سطح را در بین تمام اجسام ممکن دارد.

#### محاسبه مساحت

 اگر یک کره را به زیر تقسیم کنید:

* لایه‌های هر کدام با ارتفاع WIKINIUM\_MATH\_PH\_213 باشد.
* طولی که در خط استوا نیز WIKINIUM\_MATH\_PH\_215 از هم فاصله دارند.

و اجازه دهید WIKINIUM\_MATH\_PH\_217 برای WIKINIUM\_MATH\_PH\_219 تلاش کند،

* بنابراین طول WIKINIUM\_MATH\_PH\_221 هر سلول برعکس متناسب با WIKINIUM\_MATH\_PH\_223 است—یعنی با فاصله آن از محور مرکزی.

این از تصویر بالا در سمت راست مشخص است: WIKINIUM\_MATH\_PH\_225 فاصله نقطه مماس تا محور مرکزی است. مماس بر «سخن» WIKINIUM\_MATH\_PH\_227 عمود است و دو مثلث (راست) مشابه هستند. بر این اساس:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_229 .
* با این حال، عرض هر فیلد با WIKINIUM\_MATH\_PH\_231 متناسب است.

این به‌طور مستقیم از نقاشی زیر، «نمای بالا» دنبال می‌شود.
بنابراین طول ضرب در عرض همیشه یکسان است، یعنی. همه میدان‌های مربع مساحت یکسانی دارند.

مساحت خط استوا WIKINIUM\_MATH\_PH\_233 است ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_235 که در آن WIKINIUM\_MATH\_PH\_237 به WIKINIUM\_MATH\_PH\_239 تمایل دارد زیرا WIKINIUM\_MATH\_PH\_241 در خط استوا به WIKINIUM\_MATH\_PH\_243 سریعتر از WIKINIUM\_MATH\_PH\_245 به WIKINIUM\_MATH\_PH\_247 تمایل دارد. از آنجایی که همه فیلدها دارای محتوای WIKINIUM\_MATH\_PH\_249 هستند و در مجموع (تعداد فیلدها در جهت افقی ضربدر تعداد فیلدها در جهت عمودی، به عنوان مثال) وجود دارد WIKINIUM\_MATH\_PH\_251 در آنجا فیلد می‌شود مساحت کل همه فیلدها است: WIKINIUM\_MATH\_PH\_253 .

#### مشتق جایگزین با استفاده از حجم کره

کره ای را می‌توان متشکل از بی‌نهایت بی‌نهایت کوچک (بی‌نهایت کوچک) هرم تصور کرد. پایه‌های این اهرام با هم سطح کره را تشکیل می‌دهند. ارتفاع اهرام برابر با شعاع کره WIKINIUM\_MATH\_PH\_255 است. از آنجایی که حجم هرم با فرمول WIKINIUM\_MATH\_PH\_257 داده می‌شود، یک رابطه متناظر با حجم کل همه هرم‌ها، یعنی حجم کره اعمال می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_259 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_261
بر اساس پیدا کردن حجم کره به صورت مساحت کره برابر با:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_263
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_265
#### مشتق جایگزین با استفاده از حجم یک کره و حساب دیفرانسیل

حجم کره بر اساس این فرمول WIKINIUM\_MATH\_PH\_267 تعریف می‌شود و از سوی دیگر، سطح با توجه به تغییر حجم تعریف می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_269
این است که فرمول سطح بلافاصله از مشتق فرمول حجم پیروی می‌کند.

#### استخراج با استفاده از حساب انتگرال

به صورت انتگرالی اینگونه بدست می‌آید

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_271
برای سطح جانبی بدنه چرخشی:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_273
#### استخراج با استفاده از حساب انتگرال در مختصات کروی

برای عنصر سطح روی سطوح WIKINIUM\_MATH\_PH\_275 = ثابت در مختصات کروی اعمال می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_277 .
این امر محاسبه سطح را آسان می‌کند:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_279
## منابع