# مقطع مخروطی

انواع مقاطع مخروطی:

# دایره و بیضی

# هذلولی، سهمی
 مخروطی، *دانشنامه*, ۱۷۲۸
**مقطع مخروطی** (به انگلیسی: Conic section) به خمی گویند که از برخورد یک مخروط و یک صفحه حاصل شود.

اثبات اینکه در حالت غیر انحطاط این منحنی‌ها، که به عنوان منحنی‌های مکان در صفحه تعریف می‌شوند، واقعاً به وجود می‌آیند، می‌تواند بدون محاسبه با کمک کره‌های دندلین انجام شود. اثبات ریاضی در اینجا در مقاطع صفحه بخش مخروط واحد آورده شده‌است. یک مخروط همچنین می‌تواند به عنوان یک مورد خاص دو بعدی از یک چهارگانه دیده شود و می‌توان آن را با یک معادله درجه دوم، معادله مخروطی عمومی توصیف کرد. جاسازی یک بیضی، هذلولی و سهمی در یک صفحه نمایشی منجر به مخروط‌های تصویری می‌شود که همگی معادل یکدیگر هستند، یعنی؛ یعنی می‌توان آنها را با نگاشت خط مستقیم به یکدیگر تبدیل کرد.

## معادلهٔ کلی

معادلهٔ یک مقطع مخروطی به‌صورت معادلهٔ درجه دو زیر برحسب WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 بیان می‌شود:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

## صفحات مقاطع مخروطی

برای تعیین اینکه منحنی ها/نقاطی که در بالا به عنوان مقاطع مخروطی به آنها اشاره شد در واقع زمانی رخ می‌دهند که یک مخروط یک صفحه را قطع می‌کند، در اینجا مخروط واحد را قطع می‌کنیم (مستقیم مخروط دایره ای) WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 با صفحه موازی با محور y. این یک محدودیت نیست زیرا مخروط به صورت چرخشی متقارن است. هر مخروط دایره‌ای سمت راست، تصویر پیوندی مخروط واحد WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 است و بیضی‌ها/hyperbolas/parabolas/... با یک نقشه‌برداری affine به همان شکل برگردید. داده شده: صفحه WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 مخروط WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 . جستجو: تقاطع WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

* Fall I: WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 In diesem Fall ist die *Ebene senkrecht* und WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 und WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 . Eliminiert man WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 aus der Kegelgleichung, so erhält man WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .
	+ *Fall Ia:* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 . In diesem Fall besteht der Schnitt aus dem *Geradenpaar* WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 .
	+ *Fall Ib:* WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 . Die obige Gleichung beschreibt jetzt eine Hyperbel in der y-z-Ebene. Also ist auch die Schnittkurve WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 selbst eine *Hyperbel.*
* Fall II: WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Eliminiert man WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 aus der Kegelgleichung mit Hilfe der Ebenengleichung, so erhält man das Gleichungssystem WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
	+ *Fall IIa:* Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 geht die *Ebene durch die Kegelspitze* WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 und Gleichung (1) hat jetzt die Gestalt WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .
	Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ist der Schnitt der *Punkt* WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 .
	Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ist der Schnitt die *Gerade* WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
	Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ist der Schnitt das *Geradenpaar* WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
	+ *Fall IIb:* Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 geht die *Ebene nicht durch die Kegelspitze* und ist *nicht senkrecht.*
	Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 geht (1) in WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 über und die Schnittkurve ist eine *Parabel.*
	Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 formen wir (1) um in WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 .
	Für WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ergibt sich als Schnittkurve eine *Ellipse* und
	für WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 ergibt sich eine *Hyperbel.*

Parameterdarstellungen der Schnittkurven findet man in Weblink CDKG, S. 106–107.

*Zusammenfassung:*

* Enthält die Schnittebene die Kegelspitze *nicht,* entstehen die *nicht ausgearteten* Kegelschnitte (s. Bild zu Ib, IIb), nämlich eine *Parabel,* eine *Ellipse* oder eine *Hyperbel,* je nachdem, ob die Kegelachse von der Schnittebene unter dem *gleichen,* einem *größeren* oder einem *kleineren* Winkel geschnitten wird als von den Mantellinien des Kegels.
* Liegt hingegen die Kegelspitze *in* der Schnittebene, entstehen die *ausgearteten* Kegelschnitte (s. Bild zu Ia, IIa), und zwar ein *Punkt* (nämlich die Kegelspitze), eine *Gerade* (nämlich eine Mantellinie) oder ein sich *schneidendes Geradenpaar,* (nämlich zwei Mantellinien).

* Parabel
Entsteht, wenn der Neigungswinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 der Schnittebene *gleich* dem Neigungswinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 der Mantellinie des Kegels ist.
* Ellipse
Entsteht, wenn der Neigungswinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 der Schnittebene *kleiner* ist als der Neigungswinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 der Mantellinie des Kegels.
* Hyperbel
Entsteht, wenn der Neigungswinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 der Schnittebene *größer* ist als der Neigungswinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 der Mantellinie des Kegels.
* Kreis
Entsteht, wenn die Achse des Kegels eine Orthogonale zur Schnittebene ist.
* Punkt
Entsteht, wenn die Schnittebene durch die Kegelpitze verläuft.
Gerade
Entsteht, wenn die Schnittebene entlang der Mantellinie durch die Kegelspitze verläuft.
* Geradenpaar
Entsteht, wenn die Schnittebene durch die Kegelspitze und Mantelfläche verläuft.

## معادله قطبی در مقاطع مخروطی

Die *Leitlinieneigenschaft* der nicht ausgearteten Kegelschnitte lautet:

* Die Menge der Punkte der euklidischen Ebene, deren Abstände zu einer vorgegebenen Geraden WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 und einem vorgegebenen Punkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 die Bedingung WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ist konstant, erfüllen, ist eine *Ellipse,* falls WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , eine *Parabel,* falls WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , eine *Hyperbel,* falls WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ist.

Ist der Punkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 der Nullpunkt und hat die Gerade WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 die Gleichung WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 , so gilt in Polarkoordinaten (s. Bild):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
Auflösen nach WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 liefert zunächst WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 . Setzt man WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 , so erhält man die Polardarstellung der nichtausgearteten Kegelschnitte:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 ist dabei der *Halbparameter* (halbe Breite des Kegelschnitts am Brennpunkt) und WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 die *numerische Exzentrizität.* Wählt man den Halbparameter WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 fest, so erhält man Kegelschnitte mit dem Nullpunkt als gemeinsamen Brennpunkt, und zwar

für WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 den *Kreis* mit Mittelpunkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 und Radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 ,
für WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 die *Ellipse* mit dem Mittelpunkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 und den Halbachsen WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 ,
für WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 die *Parabel* mit dem Scheitel WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 und der Gleichung WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 ,
für WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 die *Hyperbel* mit dem Mittelpunkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 und den Halbachsen WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 .
## دوران شکل‌ها

از دوران هر شکل دور یک محورش شکل جدیدی به وجود می‌آید.

مثلاً از دوران مستطیل حول یک محورش، استوانه به دست می‌آید.

مثلاً پاره‌خطی را حول خطی که بر آن عمود است دوران دهیم، یک دایره ایجاد می‌شود.

## برش

مخروطی را در نظر بگیرید. اگر برشی موازی قاعدهٔ آن روی آن ایجاد کنیم، سطح مقطع به وجود آمده یک دایره است. اگر این برش را به صورت مایل به طوری‌که نه موازی قاعده و نه موازی مولد مخروط باشد، سطح مقطع ایجاد شده یک بیضی خواهد بود. اگر این برش موازی مولد مخروط باشد، سطح مقطع به وجود آمده سهمی نامیده می‌شود. و اگر این برش بر قاعده عمود شود یک هذلولی ایجاد می‌شود.

## دایره

**دایره** یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.

## بیضی

بیضی مجموعهٔ نقاطی از صفحه است که جمع فواصل آن نقاط از دو نقطهٔ ثابت در صفحه، عددی ثابت است.

به این دو نقطه ثابت کانون‌های بیضی گفته می‌شود و فاصله این دو را فاصلهٔ کانونی می‌نامند. بیضی دارای دو قطر می‌باشد که برهم عمود هستند و به محل برخورد این دو قطر مرکز بیضی گفته می‌شود.

## سهمی

سهمی مجموعه نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی *نباشد*. اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل بیضی خواهد بود.

## هذلولی

**هُذلولی** خمی باز است که از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه، موازی با محورِ سطحِ مخروطی باشد، پدید می‌آید. در صفحهٔ اقلیدسی و از نظر مکان هندسی، هذلولی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه است که تفاضل فاصلهٔ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها)، مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد؛ اگر نصف اندازهٔ طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصلهٔ کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطهٔ c2 = a2 + b2 برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.

## پانویس

مقاطع مخروطی

## جستارهای وابسته

* دستگاه مختصات دائرةالبروجی

## منابع

* Sharma, A.K. (2005). *Text Book of Conic Section*. Discovery Publishing House. ISBN 8183560008, 9788183560009. `{{cite book}}`: Check `|isbn=` value: invalid character (help); Cite has empty unknown parameter: `|coauthors=` (help)

## پیوند به بیرون

* Conic section (Geometry) در *دانشنامهٔ بریتانیکا*