# Kurbadura

*Dictyostelium discoideum* baten mugimendua. Zelularen mugak kurbaturaren arabera koloreztatu dira. Eskala: 5 µm.
Matematikan, **kurbadura** geometriarekin estuki erlazionaturiko kontzeptua da. Intuitiboki, kurba bat lerro zuzen bat izatetik edo gainazal bat plano bat izatetik desbideratzen diren neurria da.

Kurbei dagokienez, eredu kanonikoa zirkuluarena da, bere erradioaren alderantzizko zenbakiko kurbadura duena. Zirkulu txikiagoak zakarrago tolesten dira eta, beraz, kurbadura handiagoa dute. Kurba diferentzial baten puntu bateko kurbadura bere zirkunferentzia ukitzailearen kurbadura da. Lerro zuzen baten kurbadura zero da. Ukitzailearen kasuan, aldiz, puntu bateko kurbadura eskalar baten bidez adierazten da, zenbaki erreal positibo baten bidez, hain zuzen ere.

Espazio euklidear batean txertatuta dauden gainazalen kasuan, kurbaduraren kontzeptua konplexuagoa da, gainazalean norabide bat hautatzearen araberakoa baita. Horrek kurbadura maximoa, gutxieneko kurbadura eta batezbesteko kurbadura kontzeptuetara garamatza.

## Historia

*Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum* liburuan, Nicole Oresmek, XIV. mendeko filosofo eta matematikariak, kurbadura kontzeptua proposatu zuen zuzentasunetik desbideratzeko neurri gisa. Zirkuluen kurbadura alderantziz proportzionala denez erradioarekiko, ideia hau beste kurba batzuetara hedatzen saiatzen da Oresme, magnitude aldagarri gisa.

## Parametrizazioa

Kurba baten kurbadura kalkulatu aurretik, ezinbestekoa da kurbaren parametrizazioa lortzea. Izan bedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ,  planoko zein espazioko kurba bat. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 -ren parametrizazio bat funtzio bat da, zenbaki errealen multzoko tarte batetik espaziora zein planora doana, non tarte horretako balio bakoitzari WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 -ko puntu bat esleitzen zaion. Horrez gain, kurbadura ondo definitu ahal izateko, parametrizazioa definitzen duen funtzioak jarraitua eta deribagarria izan beharko du. Orduan, parametrizazioa WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 erako aplikazio bat izango da, WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 izanik planoko kurben kasuan eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 espazioko kurben kasuan.

Planoko kurben kasuan, aplikazioa mota honetakoa izango da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

Adibidez, erradioa 1 luzerakoa duen zirkunferentziaren parametrizazioa hurrengoa izango da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

### Deribatua

Izan bedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 kurba parametrizatua. Orduan, bere deribatua honako eran definituko dugu: WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .

Hau da, koordenatu bakoitzeko WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 -rekiko deribatua egingo dugu.

### Norma

Izan bedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 kurba parametrizatua. Bere norma euklidearra honako eran definituko dugu: WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .

Hau da,  koordenatu guztien karratuen baturaren erro karratua eginez kalkulatuko dugu.

## Kurba lauak

Intuitiboki, kurbadura kontzeptuak zera islatzen du: kurba baten edozein puntutan kurba horren norabidea zenbatean aldatzen den; beraz, zenbat eta kurbadura handiagoa izan, orduan eta gehiago aldatzen da kurbaren norabidea. Definizio formala nahi izanez gero, arku luzeraz parametrizatutako kurba baten puntu zehatz bateko kurbadura, da puntu horretako bektore ukitzailearen deribatuaren luzera da.

Kurbaduraren definizioak eta haren karakterizazioek eskatzen dute kurba jarraitutasunez diferentziagarria izatea, etengabe aldatzen den ukitzaile bat baitu; halaber, kurba bi aldiz diferentziagarria izan behar du, tartean diren mugak eta bektore ukitzailearen deribatua ondo definituta dagoela ziurtatzeko.

Kurbaduraren karakterizazioa unitate bektore ukitzailearen deribatuaren arabera ez da zirkunferentzia ukitzailearen arabera egindako definizioa bezain intuitiboa, baina kurbadura kalkulatzeko formulak errazago ondoriozta daitezke. Beraz, eta zinematikan ere erabiltzen denez, kurbaduraren definizio baterako, maiz ematen da aurreneko karakterizazio hori.

Zirkunferentzia ukitzailea
### Zirkunferentzia ukitzailea

Historikoki, kurbadura zirkunferentzia ukitzailearen bidez definitu izan ohi da, zirkunferentzia hori baita, puntu zehatz horretan, kurba ondoen hurbiltzen duen zirkunferentzia. Zehazki, kurba batean WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 puntu bat emanda, kurbaren beste edozein WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 puntuk (edo batzuetan lerro batek) WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 puntutik pasatzen den eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 -n kurbari ukitzailea den zirkulu bat definitzen du. Egonez gero, zirkunferentzia ukitzailea WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 -k WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 -ra jotzen dueneko zirkunferentziaren limitea da. Kurbadura *kurbadura-erradioaren* alderantzizkoa da; hau da,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

non WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 kurbadura-erradioa den (zirkulu osoak kurbadura hori du, WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 -ko luzeeran WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 -ko biraketa gisa irakur daiteke).

Definizio hau zaila izan daiteke erabiltzeko eta formuletan adierazteko. Horregatik, beste definizio baliokide batzuk sortu eta erabiltzen dira.

### Arku-parametrizazioa

Edozein kurba diferentziagarri arku-luzeraz parametriza daiteke. Kurba lau baten kasuan, horrek esan nahi du:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

Horrek esan nahi du bektore ukitzailea WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 , norma bat duela eta, beraz, bektore ukitzailea unitarioa da.

Kurba bi aldiz diferentziagarria bada, hau da, WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 -ren bigarren deribatuak existitzen badira, orduan, WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 deribatua existitzen da. WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 bektorea kurbarekiko normala da, bere norma kurbadura WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 da eta kurbaren zentrorantz orientatuta dago.

 **WIKINIUM\_MATH\_PH\_66**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70

Are gehiago, kurbaren erradioa honako hau da ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 dela suposatuta):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74

Eta kurbaduraren zentroa kurbaren zuzen normalean dago:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

(Kurbadura zero denean, kurbaduraren zentroa ez dago WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 planoan. Kasu horretan “infinituan” kokatuta dagoela deritzogu.)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 bektore unitarioa da eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 -tik lortzen dugu, erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 graduko errotazioa eginez. Orduan,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 izanik. WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 zenbaki erreala kurbadura orientatua da, planoaren eta kurbaren orientazioaren araberakoa dena. WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 aldagai aldaketak WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 kontrako zeinua duen arku-bidezko parametrizazioa ematen digu.

### Parametrizazio orokorra

Izan bedi WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 bi aldiz diferentziagarria den planoko kurba baten parametrizazioa. Parametizazio hori erabiliz, kurbadura honako hau da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98

Koordenatu gabeko era batean adierazteko:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100

Formula hauek arku-luzera bidezko parametrizazioaren kasutik atera daitezke. Aurreko parametrizazioaren baldintzaren ondorioz, arku-bidezko funtzioaren WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 parametroa, WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 parametroaren funtzio diferentziagarri monotonoa da. Eta alderantziz, WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 -ren funtzio monotonoa da. Halaber, WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 -ren ordez WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 idatziz (behar izanez gero) funtzioak gorakorrak izango dira eta deribatua positiboa. Aurreko ataleko notazioa eta katearen erregela erabiliz,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114

Bi aldeetan normak hartuz,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116

Kurbadura WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 -ren WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 -rekiko deribatuaren norma da. Goiko formula eta katearen erregela erabiliz, aurreko deribatua eta bere norma WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 -ren bidez adierazi daitezke. Horrela, arku-luzera bidezko WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 parametroa ezabatzea lortzen da.

### Funtzio baten grafoa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 funtzio baten grafoa kurba parametrizatuaren kasu berezia da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 -ren lehen eta bigarren deribatuak WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 direnez, hurrenez hurren, aurreko kurbaduraren formulak honela sinplifikatzen dira:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140

Grafoaren malda (edo funtzioaren deribatua) txikia denean, bigarren deribatua kurbaduraren hurbilpen ona da. Zehatzago, goi-borne asintotikoa erabiliz,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142

Fisika eta Ingeniaritzan ohikoa da kurbadura bigarren deribatuaren bidez hurbiltzea; esate baterako, kurba elastikoetan edota uhinaren ekuazioan. Honek aukera ematen digu ez-linealak diren sistemak linealtzat hartzeko.

Koordenatu polarretan parametrizatutako zirkunferentzia
### Koordenatu polarrak

Kurba bat koordenatu polarretan adierazita dago, hurrengo eran parametrizatuta dagoenean: WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 , non WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 erradioa eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 angelua diren.

Kurba bat koordenatu polarretan adierazita dagoenean kurbadura honako hau da:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152

## Adibideak

Erabilgarria izan daiteke aurreko ataletan definitutako formulek, adibide sinpleetan, benetan emaitza berdinak ematen dituztela egiaztatzea.

### Zirkunferentzia

Aurretik azaldu dugun bezala, WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 erradioko zirkunferentzia baten ohiko parametrizazioa WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 . Kurbaduraren formula jarraituz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158

Espero dugun bezala, kurbaduraren erradioa eta zirkunferentziaren erradioa berdinak dira. Are gehiago, kurbaduraren zentroa zirkunferentziaren zentroa da.

Zirkunferentzia arku-luzera bidezko parametrizazioa kalkulatzeko erraza duen kasu berezi bat da. Bereziki,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160

Arku-luzerazko parametrizazioa da, izan ere

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 adierazpenaren norma WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 en berdina da. Parametrizazio honi elkartutako kurbadurak balio bera du, aurreko formulan bere burua WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 -gatik zatitzerakoan izendatzaile eta zenbakitzailean balio hori lortzen baitugu.

## Erreferentziak

## Kanpo estekak