# ISO 31-11

**ISO 31-11** ISO 31 nazioarteko estandarraren parte bat zen, zeinean «matematikako zeinuak eta sinboloak definitzen diren, zientzia fisikoetan eta teknologian erabil daitezen». Geroago, 2009an, ISO 80000-2 nazioarteko estandarrak ordeztu zuen ISO 31-11 araua.

## Logika matematikoa

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **Zeinua** | **Adibidea** | **Izena** | **Esanahia eta ahozko irakurbidea** | **Oharrak** |
| ∧ | *p* ∧ *q* | konjunkzio-zeinua | *p* eta *q* |  |
| ∨ | *p* ∨ *q* | disjunkzio-zeinua | *p* edo *q* (edo biak) |  |
| ¬ | ¬ *p* | ukazio-zeinua | *p*-ren ukazioa
ez *p* |  |
| ⇒ | *p* ⇒ *q* | inplikazio-zeinua | baldin *p*, orduan *q*
*p* izateak *q* izatea dakar | Honela ere idatz daiteke: *q* ⇐ *p*.
Batzuetan → erabiltzen da. |
| ∀ | ∀*x*∈*A* *p*(*x*)(∀*x*∈*A*) *p*(*x*) | kuantifikatzaile unibertsala | edozein *x* *A*-ren barnekoa izanik, *p*(*x*) proposizioa egiazkoa da | "∈*A*" hori ezabatu egin daiteke, *A*-ren esanahia argia bada testuinguruz. |
| ∃ | ∃*x*∈*A* *p*(*x*)(∃*x*∈*A*) *p*(*x*) | kuantifikatzaile existentziala | existitzen da *A*-ren barnekoa den *x* balio bat *p*(*x*) proposizioa egiazkoa egiten duena | "∈*A*" hori ezabatu egin daiteke, *A*-ren esanahia argia bada testuinguruz.
∃! erabiltzen da, *x* bakarra dagoenean *p*(*x*) egiazkoa egiten duena. |

 |

## Multzoak

| Zeinua | Adibidea | **Esanahia eta ahozko irakurbidea** | Oharrak |
| --- | --- | --- | --- |
| ∈ | *x* ∈ *A* | x elementua *A* multzoaren barnekoa da;
*x* elementua A multzokoa da; *x* barne *A* |  |
| ∉ | *x* ∉ *A* | *x* elementua ez da *A* multzoaren barnekoa
*x* ez-barne *A* | Ukazioa adierazten duen barra bertikala izan daiteke. |
| ∋ | *A* ∋ *x* | *A* multzoak *x* elementua dauka bere barnean | *x* ∈ *A* adierazpenak bezalako esanahia |
| ∌ | *A* ∌ *x* | *A* multzoak ez dauka *x* elementua bere barnean | *x* ∉ *A* adierazpenak bezalako esanahia |
| { } | {*x*1, *x*2, ..., *xn*} | bere barnean *x*1, *x*2, ..., x*n* elementuak dauzkan multzoa | Honela ere idatz daiteke: {*xi* ∣ *i* ∈ *I*}, non *I* sinboloak indizeen multzo bat adierazten duen. |
| { ∣ } | {*x* ∈ *A* ∣ *p*(*x*)} | *A* multzokoak izanik *p*(*x*) proposizioa egiazkoa egiten duten elementuen multzoa | Adibidea: {*x* ∈ ℝ ∣ *x* > 5}
Testuinguruan argi badago, ∈*A* sinboloa ezabatu egin daiteke. |
| card | card(*A*) | zenbat elementu dauden *A* multzoan;
*A* multzoaren kardinala |  |
| ∖ | *A* ∖ *B* | *A* eta *B* multzoen arteko kendura;
*A* minus *B* | *A* multzokoak bai, baina *B* multzokoak ez diren elementuak
*A* ∖ *B* = { *x* ∣ *x* ∈ *A* ∧ *x* ∉ *B* }
Ez da erabili behar *A* − *B* idazkera. |
| ∅ |  | multzo hutsa, elementurik ez daukana |  |
| ℕ |  | zenbaki naturalen multzoa;
zenbaki oso positiboak eta zero zenbakia daude bertan | ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Zero kontuan hartzen ez bada, asterisko bat gehitzen: ℕ\* = {1, 2, 3, ...}
ℕ*k* = {0, 1, 2, 3, ..., *k* − 1} |
| ℤ |  | zenbaki osoen multzoa | ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
ℤ\* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} |
| ℚ |  | zenbaki arrazionalen multzoa | ℚ\* = ℚ ∖ {0} |
| ℝ |  | zenbaki errealen multzoa | ℝ\* = ℝ ∖ {0} |
| ℂ |  | zenbaki konplexuen multzoa | ℂ\* = ℂ ∖ {0} |
| [,] | [*a*,*b*] | ℝ multzoko tarte itxia, a elementutik b elementura doana, biak barnean hartuta | [*a*,*b*] = {*x* ∈ ℝ ∣ *a* ≤ *x* ≤ *b*} |
| ],]
(,] | ]*a*,*b*]
(*a*,*b*] | ezkerretik irekitako tartea ℝ multzoan, *a* kanpoan eta *b* barnean | ]*a*,*b*] = {*x* ∈ ℝ ∣ *a* < *x* ≤ *b*} |
| [,[
[,) | [*a*,*b*[
[*a*,*b*) | eskuinetik irekitako tartea ℝ multzoan, *a* barruan eta *b* kanpoan | [*a*,*b*[ = {*x* ∈ ℝ ∣ *a* ≤ *x* < *b*} |
| ],[
(,) | ]*a*,*b*[
(*a*,*b*) | open interval in ℝ from *a* (excluded) to *b*(excluded)
tarte irekia ℝ multzoan, *a* eta *b* kanpoan | ]*a*,*b*[ = {*x* ∈ ℝ ∣ *a* < *x* < *b*} |
| ⊆ | *B* ⊆ *A* | *B* multzoa *A* multzoaren barnean dago;
*B* multzoa *A*-ren azpimultzoa da | *B* multzoaren elementu guztiak *A*-ren barnean daude;
⊂ sinboloa ere erabiltzen da |
| ⊂ | *B* ⊂ *A* | *B* multzo osoa dago "garbiki*" A*-ren "barnean";
*B* multzoa *A*-ren azpimultzoa da | *B*-ren elementu guztiak daude *A*-ren barnean, baina *B* ez da *A*-ren berdina. Baldin ⊂ sinboloa erabiltzen bada "barnean" dagoela esateko, orduan ⊊ erabili behar da, "garbiki barruan" dagoela adierazteko. |
| ⊈ | *C* ⊈ *A* | *C* multzoa ez dago *A* multzoaren barneean;
*C* ez da *A*-ren azpimultzoa | ⊄ sinboloa ere erabiltzen da. |
| ⊇ | *A* ⊇ *B* | *A* multzoak bere barnean dauka *B* multzoa (azpimultzo gisa) | *A* multzoak *B*-ren elementu guztiak dauzka bere barnean; ⊃ sinboloa ere erabiltzen da.
*B* ⊆ *A* eta *A* ⊇ *B* idazkerak baliokideak dira. |
| ⊃ | *A* ⊃ *B*. | *A* bere barnean dauka *B* multzoa "garbiki". | *A* multzoak *B*-ren elementu guztiak dauzka bere barnean, baina *A* eta *B* ez dira berdinak.
Baldin ⊃ "barnean" adierazteko erabiltzen bada, orduan, ⊋ "garbiki barnean" adierazteko erabiltzen da. |
| ⊉ | *A* ⊉ *C* | *A* multzoak ez dauka bere barnean *C* multzoa (hau ez da haren azpimultzoa) | Halaber erabiltzen da ⊅ sinboloa: *A* ⊉ *C* eta *C* ⊈ *A* adierazpenek gauza bera esan nahi dute. |
| ∪ | *A* ∪ *B* | *A* eta *B* multzoen bildura | *A* edo *B* multzoetako baten barnean dauden elementuen multzoa, edo aldi berean *A*-ren eta *B*-ren barnean
*A* ∪ *B* = { *x* ∣ *x* ∈ *A* ∨ *x* ∈ *B* } |
| ∪ |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  | multzo sorta baten bildura |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 horrek esan nahi du gutxienez WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 sortako multzoren baten barnean dauden elementuak hartzen dituela bldurak |
| ∩ | *A* ∩ *B* | *A* eta *B* multzoen ebakidura | Aldi berean *A* eta *B* multzoen dauden elementuen multzoa.
*A* ∩ *B* = { *x* ∣ *x* ∈ *A* ∧ *x* ∈ *B* } |
| ⋂ |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  | multzo sorta baten ebakidura | , WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 horrek esan nahi du WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  sortako multzo guztien barnean dauden elementuak biltzen dituela ebakidurak. |
| ∁ | ∁*A**B* | A-ren barneko *B* azpimultzoaren multzo osagarria | A multzokoak izanik B azpimultzokoak ez diren elementuen multzoa. Batzuetan, testuinguruan argi badago, ez da idazten A sinboloa.
∁*A**B* = *A* ∖ *B* eran ere idazten da |
| (,) | (*a*, *b*) | *a*, *b* bikote ordenatua;
*a*, *b* bikotea | (*a*, *b*) = (*c*, *d*) izango da, balbin eta soilik baldin *a* = *c* eta *b* = *d* badira;
⟨*a*, *b*⟩ eran ere idazten da. |
| (,…,) | (*a*1, *a*2, …, *an*) | *n*-kote ordenatua | ⟨*a*1, *a*2, …, *an*⟩ eran ere idazten da. |
| × | *A* × *B* | *A* eta *B* multzoen arteko biderketa kartesiarra | (*a*, *b*) bikote ordenatuen multzoa, non *a* ∈ *A* eta *b* ∈ *B* diren.
*A* × *B* = { (*a*, *b*) ∣ *a* ∈ *A* ∧ *b* ∈ *B* }
*A* × *A* × ⋯ × *A* adierazteko *An* idatzi ohi da, non *n* horrek elkarrekin biderkatu beharreko faktoreen kopurua adierazten duen. |
| Δ | Δ*A* | (*a*, *a*) ∈ *A* × *A* erako bikoteen multzoa, non *a* delakoa *A* × *A* multzoko diagonala den. | Δ*A* = { (*a*, *a*) ∣ *a* ∈ *A* }
id*A* eran ere adierazten da. |

## Denetariko zeinu eta sinboloak

HEMENDIK ITZULTZEKO DAGO (aste honetan egingo dut)

| Zeinua | Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- | --- |
| ≝ | *a* ≝ *b* | *a* definizioz da *b*-ren berdina;
*a* definizioz berdin *b* | := idazkera ere erabiltzen da. |
| = | *a* = *b* | *a* berdin *b* | ≡ ere idatz daiteke berdintza jakin bat identitatea dela azpimarratzeko. |
| ≠ | *a* ≠ *b* | *a* ezberdin *b* |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ere idatz daiteke *a* eta *b* identikoki berdinak ez direla azpimarratzeko. |
| ≙ | *a* ≙ *b* | *a* dagokio *b*-ri | 1:106 eskalako mapa batean: 1 cm ≙ 10 km. |
| ≈ | *a* ≈ *b* | *a* eta *b* gutxi gorabehera berdinak dira;
*a* gutxi gorabehera *b* | Bestalde, ≃ sinboloa "asintotikoki berdina" adierazteko erabiltzen da. |
| ∼
∝ | *a* ∼ *b*
*a* ∝ *b* | *a* balioa *b*-ren proportzionala da;
*a* proportzional *b* |  |
| < | *a* < *b* | *a* txikiago *b* |  |
| > | *a* > *b* | *a* handiago *b* |  |
| ≤ | *a* ≤ *b* | *a* txikiago edo berdin *b* | ≦ sinboloa ere erabiltzen da. |
| ≥ | *a* ≥ *b* | *a* handiago edo berdin *b* | ≧ sinboloa ere erabiltzen da. |
| ≪ | *a* ≪ *b* | *a* askoz txikiago *b* |  |
| ≫ | *a* ≫ *b* | *a* askoz handiago *b* |  |
| ∞ |  | infinitu |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  | parentesiak
parentesi karratuak
kortxeteak
kortxete angeludunak | Oinarrizko aljebran habiaratzeko erabiltzen den WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 eta WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 sekuentzia ez dago estandarizaturik.
Bestalde, zenbait arlotan WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 sinboloek erabilera bereziak dituzte |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  | *AB* WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 *CD* | *AB* eta *CD* lerroak elkarren paraleloak dira;
*AB* paralelo *CD* |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_44  | *AB* WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 *CD* | *AB* eta *CD* lerroak elkarren perpendikularrak dira;
*AB* perpendikular *CD* |  |

## Eragiketak

| Zeinua | Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- | --- |
| + | *a* + *b* | *a* gehi *b* |  |
| − | *a* − *b* | *a* ken *b* |  |
| ± | *a* ± *b* | *a* gehi edo ken *b* |  |
| ∓ | *a* ∓ *b* | *a* ken edo gehi *b* | −(*a* ± *b*) = −*a* ∓ *b* |
| ... | ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Funtzioak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48  | *f* funtzioak *D* barrutia dauka eta *C* da haren irudi-multzoa | Horrela definitzen dira esplizituki funtzio baten barrutia eta irudi-multzoa |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  | f-ren barrutiko S azpimultzoaren irudi izan daitezkeen irteera posible guztien multzoa. |
| ⋮ |

## Funtzio esponentzial eta logaritmikoak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- |
| e | logaritmo naturalen oinarria | e = 2.718 28... |
| ex | *x*-ren e-oinarriko funtzio esponentziala;
e esponentzial ixa;
e ber ixa |  |
| logax | *x*-ren logaritmoa a-oinarrian;
logaritmo a-oinarrian ixa |  |
| lb x | *x*-ren logaritmo bitarra;
logaritmo bitar ixa | lb x = log2x |
| ln x | *x*-ren logaritmo natural;
logaritmo natural ixa | ln x = logex |
| lg x | *x*-ren logaritmo arrunta (10-oinarrian);

logaritmo arrunt ixa | lg x = log10x |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Funtzio zirkular eta hiperbolikoak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- |
| π | zirkulu baten zirkunferentziaren luzeraren eta beraren diametroaren arteko zatidura edo arrazoia | π = 3.141 59... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Zenbaki konplexuak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- |
| i   j | unitate irudikaria;
i² = −1 | Elektroteknian j letra erabili ohi da. |
| Re *z* | *z* zenbaki konplexuaren parte erreala | *z* = *x* + i*y*, non *x* = Re *z* eta *y* = Im *z* diren |
| Im *z* | *z* zenbaki konplexuaren parte irudikaria |
| ∣*z*∣ | *z* zenbaki konplexuaren balio absolutua;
*z*-ren modulua | mod *z* idazkera ere erabiltzen da. |
| arg *z* | *z*-ren argumentua;
*z*-ren fasea | *z* = *r*ei*φ*, non *r* = ∣*z*∣ eta *φ* = arg *z* diren.
Re *z* = *r* cos *φ*
Im *z* = *r* sin *φ* |
| *z*\* | *z*-ren konjugatua (zenbaki konjugatua) | Batzuetan barra bat jartzen da gainean, *z*\* erabili ordez |
| sgn *z* | *z*-ren zeinua | sgn *z* = z / ∣*z*∣ = exp(i arg *z*) for z ≠ 0, sgn 0 = 0 |

## Matrizeak

| Example | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Remarks |
| --- | --- | --- |
| A | A matrizea | ... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Koordinatu-sistemak

| Koordinatuak | Posizio-bektorea eta beraren diferentzialak | Koordinatu-sistemaren izena | Oharrak |
| --- | --- | --- | --- |
| *x*, *y*, *z* | (*x*, *y*, *z*);
(d*x*, d*y*, d*z*) | sistema kartesiarra | Halaber erabiltzen da (*x*1, *x*2, *x*3) idazkera koordinatuentzat eta (e1, e2, e3) bektore unitarioentzat. Notazio hau erra orokortzen da espazio *n*-dimentsinalez kasurako.
Bestalde, (e**x*, e**y*, e**z*) idazkerak eskuin-eskuko sistema adierazten du.
Bektore unitarioak adierazteko, (i, j, k) idazkera ere erabiltzen da. |
| *ρ*, *φ*, *z* | (*x*, *y*, *z*) = (*ρ* cos*φ*, *ρ* sin*φ*, *z*) | sistema zilindrikoa | Kasu honetan, [e**ρ*(*φ*), e**φ*(*φ*), e**z*] eskuin-eskuko sistema ortonormala da.
Baldi *z* = 0 bada, orduan *ρ* eta *φ* *koordinatu polarrak* dira. |
| *r*, *θ*, *φ* | (*x*, *y*, *z*) = *r* [sin*θ* cos*φ*, sin*θ* sin*φ*, cos*θ*) | sistema esferikoa | [e**r*(*θ*,*φ*), e**θ*(*θ*,*φ*),e**φ*(*φ*)] eskuin-eskuko sistema ortonormala da. |

## Bektoreak eta tentsoreak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- |
| a | a bektorea | Letrakera etzan eta lodia erabili ordez,bektoreak letraren gainean jarritako gezi batez ere adieraz daitezke: WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 .
Edozein bektore biderkatu egin daiteke eskalar batez; adibidez: *k**a. |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Funtzio bereziak

| Adibidea | Esanahia edo hitzezko irakurbidea | Oharrak |
| --- | --- | --- |
| J*l*(*x*) | Besselen funtzio zilindrikoak (lehenengo motakoak) | ... |
| ... | ... | ... |
| ⋮ |

## Erreferentziak eta oharrak

## Kanpo estekak

* Jose Ramon Etxebarria: *Zientzia eta teknikako euskara arautzeko gomendioak*, Eusko Jaurlaritzaren Argitalpen Zerbitzu Nagusia, 2011.