# Pii

|  |  |
| --- | --- |
|  |  *See artikkel räägib arvust; teiste tähenduste kohta vaata Pii (täpsustus)* |

---

 **WIKINIUM\_MATH\_PH\_0**  [pii] ehk **Archimedese konstant** on matemaatiline konstant, mis on võrdne tasandil paikneva ringjoone pikkuse ja diameetri suhtega (see suhe ei sõltu ringjoone ega diameetri valikust). WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 ligikaudne väärtus on 3,14159.

Seda suurust on tähistatud kreeka tähe WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 -ga alates 18. sajandi keskpaigast.

Kuna WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 on irratsionaalarv, siis ei saa seda esitada kahe täisarvu jagatisena (murde, nagu näiteks 22/7, kasutatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 ligikaudsete väärtustena, aga ükski murd ei saa olla selle täpne väärtus). Selle tõttu on WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 kümnendesitus lõpmatu ning samuti ei teki kümnendesituses korduvaid jäädavaid mustreid. Arvatakse, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 kümnendesituse numbrid on juhuslikult jaotunud.
Lisaks on WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 transtsendentaalne arv ehk arv, mis ei ole ühegi 0-ist erineva ratsionaalarvuliste kordajatega polünoomvõrrandi lahendiks.

Matemaatikud on tuhandeid aastaid püüdnud suurendada oma teadmisi WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 -st, arvutades selle väärtust suure täpsusega. Enne 15. sajandit kasutasid matemaatikud, nagu Archimedes ja Liu Hui, geomeetrilisi meetodeid, mis baseerusid hulknurkadel, et hinnata WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 väärtust. Umbes 15. sajandil põhjustasid uued lõpmatutel jadadel põhinevad algoritmid revolutsiooni WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 arvutamises. 20. ja 21. sajandil avastasid matemaatikud ja arvutiteadlased uued lähenemised, mis ühendatuna aina kasvava arvutusvõimsusega võimaldasid hüppeliselt suurendada väljaarvutavate komakohtade arvu. Augustis 2010 anti teada, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 väärtusest on kindlaks tehtud 5 triljonit komakohta. Sellega purustati alles sama aasta algul püstitatud varasem rekord, mis oli 2,7 triljonit komakohta. 2011. aastal arvutati üle 10 triljoni WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 komakoha . Teaduslikes arvutustes ei kasutata tavaliselt rohkem kui 40 komakohta. Peamine motivatsioon selliste arvutuste tegemiseks on seega inimkonna soov purustada rekordeid, kuid WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 komakohtade leidmisega seonduvaid mahukaid arvutusi on kasutatud ka superarvutite ja suure täpsusega korrutusalgoritmide võimekuse hindamiseks.

Kuna WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 definitsioon on seotud ringjoonega, siis leidub seda paljudes trigonomeetria ja geomeetria valemites. Eriti nendes, mis on seotud ringide, ellipsite ja sfääridega. Seda esineb ka teistes teadusvaldkondades, nagu näiteks kosmoloogias, arvuteoorias, statistikas, fraktalites, termodünaamikas, mehaanikas ja elektromagnetismis. Kuna WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 esineb nii paljudes teadusharudes, siis on ta ka üks enim tuntud matemaatilisi konstante nii teadlaste kui ka üldise populatsiooni hulgas. WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 kohta on ilmunud mitu raamatut ja tema ülistamiseks peetakse ka Pii päeva. Lisaks jõuavad uued rekordid WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 arvutamisest tihti uudistesse. Samuti võistlevad inimesed WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 komakohtade meelde jätmises. Praegune rekord on üle 67 000 komakoha.

## Nimi

Matemaatikud kasutavad ringi ümbermõõdu ja diameetri suhte tähistamiseks kreeka tähte WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 . Seda tähte ja sealt tulenevalt ka suurust WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 võib kirjutada ladina sõnaga "pi". Väikest WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 -d ei tohi ajada segamine suure WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 -ga, millega tähistatkse matemaatikas jada liikmete korrutist.

## Definitsioon

Animatsioon, mis näitab pii tähendust
Enamasti on WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 defineeritud kui ringjoone ümbermõõdu suhe tema diameetrisse:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
Suhe *C/d* on konstant, hoolimata ringjoone suurusest. Näiteks kui ühe ringjoone diameeter on kaks korda pikem kui teise ringjoone diameeter, siis on ka tolle ringjoone ümbermõõt 2 korda suurem, säilitades nii suhte *C/d* väärtuse. See WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 definitsioon eeldab kaudselt eukleidilist geomeetriat. Ringjoone tähendust saab laiendada ka mitte-eukleidilistesse ruumidesse, aga need uued ringjooned ei rahulda enam võrdust WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 =*C/d*. Eksisteerivad ka teistsugused WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 definitsioonid, mis ei ole seotud ringijoontega. Näiteks on WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 kaks korda suurem vähimast positiivsest x-ist, mille korral cos(x) võrdub nulliga.

## Omadused

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 on irratsionaalarv, mis tähendab, et seda ei saa esitada kahe täisarvu suhtena (murde, nagu näiteks 22/7, kasutatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 ligikaudsete väärtustena, kuid ei leidu ühtegi lõplikku murdu, mis oleks selle täpne väärtus). Kuna WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 on irratsionaalarv, siis on selle kümnendesitus lõpmatu ning kümnendesituses ei teki lõpmatult korduma jäävaid mustreid. WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 irratsionaalsust saab tõestada
mitmel moel. Enamik neid mooduseid kasutab diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetodeid, tõestades, et vastandjuhul tekiks matemaatiline vastuolu. Arvu π irratsionaalsusmõõt (ratsionaalarvudega lähendatavuse aste) ei ole täpselt teada; see on suurem või võrdne arvu e irratsionaalsusmõõduga ja väiksem kui Liouville'i arvudel.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 on transtsendentne arv, mis tähendab, et see ei ole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega polünoomvõrrandi, nagu näiteks

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 ,
lahendiks. WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 transtsendentaalsusest tulenevad kaks järeldust. Esiteks ei saa WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 -d esitada ühegi ratsionaalarvu ja n-astme juure kombinatsioonina. Teiseks, kuna transtsendentaalse arvu pikkust külge ei saa konstrueerida sirge ja kompassi abil, siis ei ole ka võimalik konstrueerida sirge ja kompassi abil ruutu, mille pindala oleks võrdne etteantud ringi pindalaga.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 kümnendesituses esinevad numbrid ilma nähtavate mustriteta ja vastavad seniste arvutuste põhjal statistilisele juhuslikkusele. Samuti paistab, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 rahuldab normaalsuse testi tingimusi. Lõpmatut arvu nimetatakse normaalseks, kui kõik võrdse suvalise pikkusega numbrikombinatsioonid esinevad sarnase tõenäosusega. WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 normaalsust ei ole suudetud veel tõestada ega ümber lükata. Alates arvutite loomise perioodist on teadlastel olnud teada hulgaliselt WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 komakohtade väärtusi, mida statistiliselt analüüsida. Yasumasa Kanada on uurinud WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 -d statistilise analüüsi vaatenurgast ning leidnud, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 numbrid vastavad seniste andmete põhjal normaalsuse tingimusele.

## Ligikaudne väärtus

Mõned ligikaudsed WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 väärtused:

* **murruna**: Ligikaudsete murdude hulka kuuluvad kasvava täpsuse järjekorras WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_95
* **kümnendsüsteemis**: Esimesed sada komakohta on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
* **kahendsüsteemis**: 11.001001000011111101101010100010001000010110100011 ....
* **kuueteistkümnendsüsteemis**: 3,243F6A8885A308D31319
* **kuuekümnendsüsteemis**: 3;8,29,44,1
* **elliptiliste kõverate ja kompleksarvude korrutamise teooriast tulenev lähendus**: WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 , mis kehtib umbes 30 komakohani.

## Ajalugu

### Antiikaeg

Esimesed kirjalikud viited WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 ligikaudsest väärtusest pärinevad Egiptusest ja Babülooniast. Mõlemad hindasid WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 väärtust vähem kui 1% veaga. Babülooniast on leitud ajavahemikust 1900–1600 eKr pärinev savitahvel, millel kasutatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 väärtusena WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 . Egiptusest on pärit papüürus, mille valmistamise ajaks hinnatakse 1650 eKr ja millel on valem ringi pindala leidmiseks. Seal kasutatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 väärtusena WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 .

Indiast on leitud aastast 600 eKr pärinevaid viiteid, milles WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 väärtuseks hinnati
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 . 150 eKr Indiast pärit leidude põhjal võib öelda, et kasutatud on ka hinnangut WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 .

### Hulknurga lähenduse ajastu

Esimene teadaolev algoritm, mille põhjal WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 väärtusi arvutati, põhines geomeetrilisel lähenemisel, kasutades hulknurki.
Algoritm seisnes selles ,et ringi sisse konstrueeritakse korrapärane hulknurk, mille tipud toetuvad ringjoonele, ning ringjoonest välja konstrueeritakse korrapärane hulknurk, mille küljed on ringjoone puutujateks. Mida suurem on hulknurkade nurkade arv, seda täpsemalt saab määrata ringjoone pikkuse ja sealt tulenevalt WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 väärtuse.

Selle algoritmi mõtles 250 eKr välja kreeka matemaatik Archimedes ning too meetod valitses ilma eriliste alternatiivideta
üle 1000 aasta WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 arvutamise valdkonnas. Hulknurga algoritmiga jõudsid matemaatikud 39 komakoha täpsuseni 1630. aastal. See rekord purustati alles 1699. aastal, kui lõpmatute jadade meetodit kasutades jõuti 71 komakoha täpsuseni.

### Lõpmatute jadade ajastu

India matemaatik Madhava (1350–1425) avastas esimesena võimaluse avaldada WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 kuitahes täpne väärtus lõpmatu jada kujul.
Kuna aga Euroopasse see avastus ei jõudnud, loetakse lõpmatute jadade abil WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 väärtuse avaldajaks G.W. Leibnitzit ja J. Gregoryt.
Lõpmatute jadade uurimise areng 16. ja 17. sajandil põhjustas revolutsiooni WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 arvutamises. Lõpmatud jadad võimaldasid matemaatikutel arvutada WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 -d täpsemalt, kui seda olid teinud geomeetrilisi meetodeid kasutanud õpetlased. 1699. aastal arvutas inglise matemaatik Abraham Sharp WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 väärtuse 71 komakoha täpsusega, kasutades Gregory–Leibnizi jada.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133
See jada on võrdne WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 /4, kui arvutada selle väärtus kohal z = 1.

## Motivatsioon π arvutamiseks

Enamikus numbrilistes arvutustes, kus kasutatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 väärtust, piisab vähestest komakohtadest, et tagada vajalik täpsus. Jörg Arndti ja Christoph Haeneli järgi läheb enamikus kosmoloogilistes arvutustes vaja 39 komakohta, sest sellise hulga juures saab arvutada nähtava universumi ruumala ühe aatomi ruumala täpsusega. Hoolimata sellest on inimesed näinud suurt vaeva, et arvutada tuhandeid ja miljoneid WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 komakohti. Seda püüet võib osaliselt seletada inimkonna sooviga purustada rekordeid ja sellised saavutused jõuavad sageli uudistesse üle maailma. Samas leidub ka praktilisi põhjuseid. Näiteks hinnatakse sedasi superarvutite võimsust ja numbrilise analüüsi algoritme (kaasa arvatud suure täpsusega korrutamise algoritmid) ning ka matemaatikas kasutatakse saadavat infot WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 -s esinevate numbrikombinatsioonide juhuslikkuse uurimiseks.

## π arvuteoorias

Arvuteoorias kohtab arvu WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 tihti. Järgnevalt on toodud mõned näited:

* Tõenäosus, et juhuslikult valitud kahe täisarvu suurim ühistegur on üks, on WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 . (Tõenäosus on leitud kõigepealt hulga {1,2,3,...,*N*} jaoks ning mindud seejärel piirile, kus *N* läheneb lõpmatusele.)
* Tõenäosus, et juhuslikult valitud täisarv ei jagu mõne täisarvu ruuduga, on WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 ,
* Positiivset täisarvu on võimalik kirjutada kahe täisarvu ruudu summana (järjekord on oluline) keskmiselt WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 erineval moel.
* Arvude (1 − 1/*p*2) korrutis üle algarvude *p* on WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 .

## Viited

## Kirjandus

* Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Kasutatud 2013-06-05. ingliskeelne tõlge Catriona ja David Lischka.
* Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8.
* Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (1999). The Number Pi. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3246-2., ingliskeelne tõlge Stephen Wilson.

## Välislingid

* Wolfram MathWorld, Pi (*inglise keeles*)
* Esimesed 1 000 000 pii komakohta
* (BBC dokumentaalfilm (*inglise keeles*), vt 32:00–36:30)