# Gammafunktsioon

Reaalarvude gammafunktsiooni graafik
Kompleksarvude gammafunktsioon: heledus vastab funktsiooni väärtuse moodulile, värvus argumendile
Kompleksarvude gammafunktsiooni moodul
**Gammafunktsioon** ehk **Euleri gammafunktsioon** ehk **teist liiki Euleri integraal** WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 on üks erifunktsioon matemaatilises analüüsis ja kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. Gammafunktsiooni võib positiivse reaalarvu WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 jaoks defineerida integraalina

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .
See on transtsendentne analüütiline funktsioon ja rahuldab funktsionaalvõrrandit

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
mida saab näidata ositi integreerimise abil.

Et WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , siis järeldub sellest kõigi positiivsete täisarvude WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 korral

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
seega interpoleerib WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 üht faktoriaali rööplüket.

Gammafunktsiooni saab üheselt jätkata meromorfseks funktsiooniks Gaussi tasandile WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 . Seal ei ole tal nullkohti ega mittepositiivsetel täisarvudel lihtsaid poolusi, seega on WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 täisfunktsioon.

Gammafunktsioon on aluseks gammajaotuseks nimetatavale tõenäosusjaotusele.

## Esituskujud

Funktsiooni WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 otsese definitsiooni kõigi argumentide WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 jaoks annab gammafunktsiooni korrutisesitus Gaußi järgi,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
mille positiivsete reaalarvude jaoks andis juba Euler 1729. Sellest tuletatud on WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 esitus Weierstraßi korrutisena:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Euleri-Mascheroni konstandiga WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 . Teist korrutist nimetatakse tavaliselt Weierstraßi esituseks, ent Karl Weierstraß kasutas ainult esimest.

Sissejuhatuses toodud integraalesitus pärineb samuti Eulerilt (1729), ta kehtib üldisemalt positiivse reaalosaga kompleksarvude puhul:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32     kui    WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
Euleri integraalesitusel on üks ilus variant juhtumil, kus
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ning WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Sellest esitusest saab näiteks elegantselt tuletada Fresneli integraalvalemid.

Ernst Eduard Kummer esitas 1847 logaritmilise gammafunktsiooni arenduse Fourier' reaks:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42     für     WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
seda nimetatakse ka *Kummeri reaks*. Juba 1846 leidis Carl Johan Malmstén sarnase rea:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46     für     WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
## Ajalugu

Gammafunktsiooni varaseimaks definitsiooniks peetakse Daniel Bernoulli kirjas Christian Goldbachile 6. oktoobrist 1729 antud definitsiooni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50     lõpmata suure *A* korral on tänapäeva tähistustes WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ehk WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Mõned päevad hiljem, 24./13. oktoobril 1729, kirjeldas Euler ka kirjas Goldbachile seda sarnast, pisut lihtsamat valemit,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56     läheneb *n*-i kasvades tänapäeva tähistustes WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ehk WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 tõelisele väärtusele,
mille Gauß 1812 taasavastas üldisemal, kompleksarvude juhtumil (nimetatud kirjad avaldati alles 1843). 8. jaanuaril 1730 kirjeldas Euler kirjas Goldbachile järgmist integraali faktoriaali interpoleerimiseks, mille ta oli 28. novembril 1729 ette kandnud Venemaa Teaduste Akadeemiale:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62     tänapäeva tähistustes:     WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
Seda definitsiooni eelistas Euler hiljem kasutada, ta läheb asendusega WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 üle kujule WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 .

Euler avastas selle integraali, uurides üht mehaanika probleemi, milles vaadeldakse osakese kiirendust.

Adrien-Marie Legendre võttis 1809 funktsiooni sümbolina kasutusele kreeka suurtähe WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 (gamma). Gauß kasutas 1812 funktsiooni sümbolina tähte WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 (pii) nõnda, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ning seega ka WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 mittenegatiivse täisarvulise *n*-i korral. See tähistus ei läinud käibele.

## Vaata ka

* Digammafunktion
* Meijeri G-funktsion

## Märkused

## Kirjandus

* Niels Nielsen: *Handbuch der Theorie der Gammafunktion*, B. G. Teubner, Leipzig 1906 (Interneti arhiivis, samas, samas)
* E. T. Whittaker, G. N. Watson: *The Gamma function*, Kapitel 12 in *A course of modern analysis*, Cambridge University Press, 4. Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S. 235–264 (inglise keeles; Interneti arhiivis)
* Emil Artin: *Einführung in die Theorie der Gammafunktion* (DjVu-fail, 30-sekundiline viivitus, 933 kB), B. G. Teubner, Leipzig 1931; *The Gamma function*, Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (Michael Butleri tõlge inglise keelde)
* Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: *Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen.* B. G. Teubner, Leipzig 1951
* Philip J. Davis. *Leonhard Euler's integral: A historical profile of the gamma function*. The American Mathematical Monthly 66, 1959, lk 849–869 (inglise keeles; 1963 Chauvenet' auhind ausgezeichnet; bei MathDL)
* Konrad Königsberger: *Die Gammafunktion*, Kapitel 17 in *Analysis 1*. Springer, Berlin 1990; 6. trükk 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 351–360
* Reinhold Remmert: *Die Gammafunktion*, ptk 2 raamatus: *Funktionentheorie 2*, Springer, Berlin 1991; koos Georg Schumacheriga: 3. trükk 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, lk 31–73
* Eberhard Freitag, Rolf Busam: *Die Gammafunktion*, ptk 4.1 raamatus: *Funktionentheorie 1*, Springer, Berlin 1993; 4. trükk 2006, ISBN 3-540-31764-3, lk 194–212