# Diferentseeruv muutkond

**Diferentseeruv muutkond** (inglise keeles *differentiable manifold*, *differential manifold*) on matemaatikas geomeetriline objekt, mis näeb lokaalselt välja nagu vektorruum üle reaalarvude korpuse, nii et seal on rakendatavad tuletise mõiste ja sellega seotud mõisted. See on näiteks joone ja pinna üldistus.

Diferentseeruvat muutkonda saab kirjeldada kaartidega, mis moodustavad atlase. Teine võimalus on võtta seda kõrgema mõõtmega eukleidilise ruumi alamhulgana (eukleidilise ruumi alammuutkonnana) ning kirjeldada võrrandi või parameetrilise esitusena. Whitney sisestamisteoreem näitab, et need lähenemisviisid on samaväärsed.

Diferentseeruvat muutkonda saab defineerida topoloogilise muutkonnana koos diferentseeruva struktuuriga.

Diferentseeruvad muutkonnad on diferentsiaalgeomeetria ja diferentsiaaltopoloogia põhiline uurimisobjekt.

Diferentseeruvad muutkonnad on füüsikas väga olulised. Nendega opereeritakse füüsikateooriates, sealhulgas klassikalises mehaanikas (sidemetega süsteemid), üldrelatiivsusteoorias (aegruumi kirjeldus) ja Yangi-Millsi teoorias.

## Definitsioonid

### Diferentseeruv atlas

 *Pikemalt artiklis Diferentseeruv atlas*
Joonis illustreerib kaartide WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 vahetust. Suur ring sümboliseerib topoloogilist ruumi ja kaks alumist väiksemat ringi sümboliseerivad ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 alamhulki
Topoloogilise ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 kaart on järjestatud paar WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , mis koosneb ruumis WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 lahtisest mittetühjast hulgast WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ja homöomorfismist

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .
Kui WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 on WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 kaks ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 kaarti, kusjuures WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , siis kujutust nimetatakse

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
kaardivahetuseks.

Ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 atlas on siis niisugune kaartide kogum WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 on indeksite hulk), et

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Atlast nimetatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 -diferentseeruvaks, kus WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , kui kõik selle kaardivahetused on WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 -difeomorfismid.

### Diferentseeruv struktuur

 *Pikemalt artiklis Diferentseeruv struktuur*
Kaks WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 -diferentseeruvat atlast on definitsiooni järgi ekvivalentsed, kui ka nende ühend on WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 -diferentseeruv atlas ist. Seda atlaste ekvivalentsiklassi selle ekvivalentsiseose suhtes nimetatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 -diferentseeruvaks struktuuriks.

Kui WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 , siis räägitakse ka siledast struktuurist.

### Diferentseeruv muutkond

 *WIKINIUM\_MATH\_PH\_48*  korda diferentseeruv muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 -diferentseeruva struktuuriga.

Diferentseeruval muutkonnal on mõõde WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , kui mõni kaart ja seetõttu kõik kaardid kujutavad ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 mõnda alamhulka.

### Sile muutkond

 *Pikemalt artiklis Sile muutkond*
Sile muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos sileda struktuuriga.

Siledates muutkondades saab uurida funktsioonide siledust. See ei ole WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 korda diferentseeruvates muutkondades võimalik, sest kaardivahetus on ainult WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 korda diferentseeruv ning seetõttu saab iga funktsiooni muutkonnas diferentseerida ülimalt WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 korda. Diferentsiaalgeomeetrid vaatlevad sageli ainult siledaid muutkondi, sest nende kohta saadakse samad tulemused mis WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 korda diferentseeruvate muutkondade kohta, kuid pole tarvis hallata, mitu korda tohib kaardivahetust diferentseerida.

### Kompleksmuutkonnad

Ka kompleksmuutkonnad (diferentseeruva muutkonna mõiste modifikatsioon) on siledad, kuid neis peab kaardivahetus olema ka biholomorfne.

## Näited

Kahemõõtmeline sfäär
* Eukleidilist vektorruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 võib käsitada ka WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 -mõõtmelise muutkonnana. Ühest kaardist koosnev diferentseeruv atlas saadakse samasuskujutuse abil.
* Diferentseeruva muutkonna tõenäoliselt kõige lihtsam mittetriviaalne näide on WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 -mõõtmeline sfäär. Kahemõõtmeline sfäär on tavaline kahemõõtmeline kerapind. Sfääri diferentseeruv atlas saadakse näiteks stereograafilise projektsiooni abil. Sfääridel on aga võimalik defineerida ka mitteühitatavaid diferentseeruvaid atlasi.

## Diferentseeruvad kujutused, teed ja funktsioonid

 *Pikemalt artiklis Diferentseeruv kujutus*
 *Pikemalt artiklis Diferentseeruv tee*
Olgu WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 muutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 kaart ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 muutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 kaart, kusjuures WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 . Kujutust WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
nimetatakse kujutuse WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 kaardiesituseks (nende kaartide suhtes).

Olgu WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 -mõõtmeline ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 -mõõtmeline WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 -muutkond. Pidevat kujutust WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 nimetatakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 -kujutuseks ehk WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 korda pidevalt diferentseeruvaks (lühidalt diferentseeruvaks) kujutuseks, kui kõik selle kaardiesitused (need on siis kujutused ruumist WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ) on WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 korda pidevalt diferentseeruvad kujutused.

Diferentseeruvus ei sõltu kaartide valikust. See tuleneb sellest, et kaardivahetuskujutused on WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 -difeomorfismid, ja mitmemõõtmelisest liitfunktsiooni diferentseerimise reeglist.

Kujutuse WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 pidevus ei järeldu diferentseeruvusest, vaid seda tuleb eeldada, et kaardis saaks nii valida, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 .

Klassi WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 kuuluvaid kujutusi, st kui tahes palju kordi diferentseeruvaid kujutusi, nimetatakse ka siledateks kujutusteks.

Võimalikud on ka juhtumid WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 . Sellistel juhtudel pole mitut kaarti tarvis.

Diferentseeruvat kujutust lõigust WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 mingisse muutkonda nimetatakse teeks (diferentseeruvaks teeks) ehk parametriseeritud jooneks. Kui sihtruum on WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 , siis räägitakse diferentseeruvast funktsioonist muutkonnas WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 .

Kujutust WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 nimetatakse lokaalseks WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 -difeomorfismiks, kui kaardid saan nii valida, et kaardiesitused on WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 -difeomorfismid. Kui WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 on ka bijektiivne, siis nimetatakse kujutust WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 -difeomorfismiks.

Selleks et defineerida diferentseeruvate muutkondade vahelise kujutuse tuletist, on tarvis lisastruktuuri, nimelt puutujaruumi (vt puutujaruum, diferentsiaal).

## Omadused

* Sidusas diferentseeruvas muutkonnas WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 mõjub difeomorfismide rühm transitiivselt, st mis tahes WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 korral leidub niisugune difeomorfism WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 , et WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 -muutkondade klass koos WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 -kujutuste klassiga moodustab kategooria.
* Diferentseeruvad ruumid on trianguleeritavad. Topoloogiliste muutkondade kohta üldiselt see ei kehti.

## Alammuutkonnad

 *Pikemalt artiklis Alammuutkond*
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 -mõõtmelise diferentseeruva muutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 -mõõtmeline alammuutkond ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 ) on alamhulk WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 , mis vastavatel kaartidel näeb välja nagu vektorruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 -mõõtmeline alamruum. Täpsemalt, iga punkti WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 korral leidub WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ümbruses niisugune kaart WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 et WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 Seejuures võetakse WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 kui WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 ; "0" paremal poolel on 0 ruumis WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 . Selliseid kaarte nimetatakse lõikekaartideks. Alamhulgal WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 on loomulikul viisil diferentseeruv struktuur, mis on ühitatav muutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 diferentseeruva struktuuriga. Nimelt, kui samastada WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 , siis lõikekaardi WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 ahend WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 hulgale WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 alammuutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 kaart ja kõigi nii saadud kaartide hulk moodustab alammuutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 diferentseeruva atlase.

## Whitney sisestamisteoreem

 *Pikemalt artiklis Whitney sisestamisteoreem*
Whitney sisestamisteoreem ütleb, et iga WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 -mõõtmelise diferentseeruva muutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 korral leidub sisestus WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 , mis samastab muutkonna WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 ]] kinnise alammuutkonnaga. Abstraktse diferentseeruva muutkonna mõiste erineb ruumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 alammuutkonna mõistest ainult näitlikkuse poolest, mitte matemaatiliste omaduste poolest.

## Klassifikatsioon

Topologische muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos atlasega. Mõnikord on võimalik saada sellest diferentseeruv atlas ning laiendada topoloogiline muutkond diferentseeruvaks muutkonnaks. Ent igas topoloogilises muutkonnas pole võimalik leida diferentseeruvat struktuuri. Mõnikord on võimalik ühel topoloogilisel muutkonnal leida mittesamaväärseid diferentseeruvaid atlasi. Seega on topoloogilisi muutkondi, millel võib leida erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Differentialgeomeetria seisukohast on tegu eri muutkondadega, topoloogia jaoks on see üks objekt.

Diferentseeruvate muutkondade klassifitseerimisel vaadeldakse valitud diferentseeruval muutkonnal vaadeldakse ainult topoloogilist struktuuri ning uuritakse, kui palju on erinevaid diferentseeruvaid struktuure, mis teevad sellest diferentseeruva struktuuri. Diferentseeruvatel muutkondadel, mille mõõde on väiksem kui neli, on (difeomorfsuse täpsusega) ainult üks diferentseeruv struktuur. Kõigil muutkondadel, mille mõõde on suurem kui neli, on lõplik arv erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Neljamõõtmelised muutkonnad on diferentseeruvate struktuuride seisukohast ebaharilikud. Ruumil WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 , mis on mittekompaktse neljamõõtmelise diferentseeruva muutkonna lihtsaim näide, on loendumatu hulk erinevaid diferentseeruvaid struktuure, seevastu ruum WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 , kus WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 , on täpselt üks diferentseeruv struktuur. Neljamõõtmelise sfääri puhul aga ei ole erinevalt teistest "väiksematest" mõõdetest teada, kui palju diferentseeruvaid struktuure sellel on. Tabelis on toodud diferentseeruvate struktuuride arv sfääridel kuni mõõtmeni 12:

| Mõõde | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Diferentseeruvate struktuuride arv | 1 | 1 | 1 | ? | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 |