# Kuldlõige

|  |
| --- |
| Kuldlõike suhtarv φ |
| Kahendsüsteemis | 1,1001111000110111011... |
| Kümnendsüsteemis | 1,6180339887498948482... |
| Kuueteistkümnendsüsteemis | 1,9E3779B97F4A7C15F39... |
| Ahelmurd |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Algebraline kuju |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |

**Kuldlõige** (ka **jumalik proportsioon**, **kuldne lõige**, **kuldne suhe**) tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline (geomeetriline keskmine).

Seda suhet tähistab matemaatiline konstant WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 (fii), mis avaldub järgnevalt:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 on irratsionaalarv, mille ligikaudne väärtus on 1,6180339887...

Seda konstanti nimetatakse **kuldlõike suhtarvuks**.

## Arvutamine

Lõigu **a** suhe **b**-sse on nagu **a+b** suhe **a**-sse
Kuldlõike konstrueerimine
Kaks positiivset arvu *a* ja *b* on **kuldlõikes** WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , kui

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
See võrrand defineerib üheselt WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .
Parempoolne võrrand näitab, et WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Taandades *b*, saame tulemuseks

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Võrrandi mõlema poole korrutamine WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 -ga ning liikmete ümberpaigutamine annab:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Selle ruutvõrrandi ainus positiivne lahend on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
## Omadused

* Kuldlõige rahuldab positiivsete reaalarvude hulgas unikaalset samasust:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28

* Kuldlõige on irratsionaalarv, kuid mitte transtsendentne arv.

## Fibonacci jada

 *Pikemalt artiklis Fibonacci jada*
Fibonacci jada algab arvudega 0 ja 1 ning ülejäänud liikmed leitakse rekursiivselt kahe eelneva liikme summast. Jada esimesed liikmed on 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... . Saab näidata, et Fibonacci jada liikme jagatis sellele vahetult eelneva liikmega läheneb kuldlõikele, kui piki jada edasi liikuda. Seega käitub Fibonacci jada asümptootiliselt kui geomeetriline jada, mille teguriks on kuldlõige.

Tõestuse idee

Fibonacci jada liikmed rahuldavad rekursiivset seost

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Moodustame uue jada, mis koosneb järjestikuste Fibonacci jada liikmete jagatistest:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Kasutades Fibonacci jada määravat rekursiivset seost saab omakorda leida rekursiivse seose jada WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 liikmete leidmiseks:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Et kõik selle jada liikmed on positiivsed, peab ja jada piirväärtus WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 olema positiivne arv. Lisaks peab see rahuldama seost

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
mis on aga juba eelnevalt leitud ruutvõrrand kuldlõike jaoks. Seni näitasime, et *kui* jada WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 koondub, *siis* on selle piirväärtuseks kuldlõige, kuid ei näidanud, *et* see jada koonudb. Viimast on lihtne näidata näiteks Banachi püsipunkti printsiibi abil. Viimane samm lõpetab tõestuse, et Fibonacci jada järjestikuste liikmete jagatised tõepoolest kuldlõikele lähenevad.

Fibonacci jada ja kuldlõike vaheline tihe seos väljendub samuti asjaolus, et Fibonacci jada liige WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 kohal WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 on esitatav kujul

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
kus WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 on kuldlõige.

## Esteetika

Kuldlõige on loodusest sageli leitav suhe. Nii on näiteteks päevalill ja inimese keha kuldlõikes . Ja seepärast pole mingi ime, et seda hakati kasutama mujal. Renessansi aegadest saati on paljude kunsti ja arhitektuuri teoste kavandamisel lähtutud kuldlõikest. Kasutati seda küll tunduvalt varem – näiteks juba Egiptuse püramiidide puhul. Antiikajast tuntud ehitisest kasutati kuldlõiget näiteks Parthenoni juures. Hilisemast ajast on tuntumad kuldlõiget kasutavad teosed arhitektuuris Notre Dame'i katedraal, kunstis Leonardo da Vinci "Vitruviuse mees" ning "Püha õhtusöömaaeg". Ka Stradivariuse viiulid on kuldlõikes. Tänapäeval andis kuldlõikele müstilise varjundi Dan Brown oma "Da Vinci koodiga".

## Vaata ka

* kompositsioon
* pentagramm
* viisnurk

## Viited

## Välislingid

 Kuldlõige – pildid, videod ja helifailid Wikimedia Commonsis