# Ringjoon

|  |  |
| --- | --- |
|  |  *See artikkel räägib matemaatika mõistest; koreograafia mõiste kohta vaata artiklit Ringjoon (tants)* |

---

Ringjoon ja selle keskpunkt
Ringjoon keskpunktiga *M* ja raadiusega *r*
**Ringjooneks** (üldkeeles ka *ringiks ja sõõriks*) nimetatakse elementaargeomeetrias tasandi antud punktist (ringjoone keskpunktist) kindlal (tavaliselt) positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulka. Seda kaugust nimetatakse ringjoone raadiuseks (tähis *r*). (Raadiuseks nimetatakse ka sirglõiku, mis ühendab ringjoone keskpunkti ringjoone mõne punktiga.

Ringjoon on üks tasandilistest kujunditest, üks eukleidilise geomeetria klassikalisi objekte.

## Ringjoonega seotud mõisteid

### Ring

 *Pikemalt artiklis Ring*
Matemaatikas eristatakse ringjoont ringist: ring on tasandi osa, mida ringjoon piirab. Ringjoon on joon, ring on pind. Ringiks nimetatakse tavaliselt kujundit, mis sisaldab ka ümbritsevat ringjoont. Seda nimetatakse ka kinniseks ringiks. Kui see ringjoon välja jätta, saadakse lahtine ring.

### Kaar, kõõl ja diameeter

 *Pikemalt artiklis Kaar*
 *Pikemalt artiklis Kõõl*
 *Pikemalt artiklis Diameeter*
Ringjoone sidusat hulka, mis ei ole punkt, nimetatakse ringjoone kaareks.

Sirglõiku, mis ühendab ringjoone kaht eri punkti, nimetatakse ringjoone kõõluks.

Iga kõõlu juurde kuulub kaks kaart.

Kõige pikemad kõõlud on need, mis läbivad ringjoone keskpunkti. Nende juurde kuuluvaid kaari nimetatakse poolringjoonteks. Kui kõõl ei ole diameeter, siis on kõõlu juurde kuuluvad kaared eri pikkusega.

### Puutuja ja lõikaja

 *Pikemalt artiklis Puutuja*
 *Pikemalt artiklis Lõikaja*
Kui ringjoone kaugus sama tasandi sirgest on ringjoone raadiusest väiksem, siis on ringjoonel ja sirgel kaks eri lõikepunkti ning seda sirget nimetatakse selle ringjoone lõikajaks.

Kui ringjoone keskpunkti kaugus sirgest võrdub ringjoone raadiusega, siis on ringjoonel ja sirgel parajasti üks ühine punkt (puutepunkt). Sel juhul nimetatakse seda sirget selle ringjoone puutujaks. Puutuja asetseb puutepunktini ulatuva raadiusega risti.

## Formaalne definitsioon

Ringjoon keskpunktiga WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , raadiusega WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ja diameetriga WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Tasandil WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 on ringjoon WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 keskpunktiga WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ja raadiusega WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 punktihulk

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
kus raadius WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 on positiivne reaalarv ning WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 on sirglõigu WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 pikkus.

Kahekordset raadiust nimetatakse diameetriks ja seda tähistatakse sageli WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 . Raadius WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ja diameeter WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 on omavahel seotud seostega WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .

Tavaliselt nimetatakse ka iga sirglõiku, mis ühendab ringjoone keskpunkti ringjoone mõne punktiga, ringjoone raadiuseks, ja iga sirglõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab kaht ringjoone punkti, ringjoone diameetriks. Siis on arv WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 iga raadiuse pikkus ja arv WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 iga diameetri pikkus.

## Ringjoone võrrandid

Analüütilises geomeetrias kujutatakse geomeetrilisi objekte võrrandite abil. Tasandi punkte esitatakse Cartesiuse ristkoordinaatide WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 abil ning ringjoon on siis kõigi nende punktide hulk, mille koordinaadid on võrrandi lahend.

### Koordinaatvõrrand

Punkti WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 kaugus punktist WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 eukleidilises meetrikas on

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Võttes defineeriva võrrandi WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 pooled ruutu, saama koordinaatvõrrandi saame keskpunkti WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ja raadiuse WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 korral ringjoone punktide WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 võrrandiks

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Seda võrrandit nimetatakse ka **ringjoone kanooniliseks võrrandiks**.

Selle võrrandi saab teisendada kujule:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
kus

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ,   WIKINIUM\_MATH\_PH\_58   ja   WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 .
Kui ringjoone keskpunkt on koordinaatide alguspunkt, siis omandab ringjoone võrrand kuju

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
mis tuleneb otseselt Pythagorase teoreemist. Tähtis erijuht on ühikringjoone koordinaatvõrrand

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
### Funktsioonivõrrand

Et ringjoon ei ole ühegi funktsiooni graafik, ei saa seda esitada funktsiooni võrrandina, küll aga saab seda esitada funktsiooni võrrandite paarina

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
Ühikringjoone puhul lihtsustub see kujule

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
### Parameetriline esitus

Koordinaatide abil saab ringjoont kirjeldada ka parameetrilises esituses, kasutades polaarkoordinaate:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
Koordinaate WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 avaldatakse parameetri WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 kaudu, mille väärtused on WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 Ühikringjoone puhul saame:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

## Ringjoon koonuselõikena

Ringjoone, kui ühe koonuselõigetest saadud geomeetrilise kujundi ekstsentrilisus on 0. Tinglikult võib ette kujutada, et ekstsentrilisuse määramiseks tarvilik juhtsirge (directrix) asub ringjoonest eemal lõpmatus kauguses. Juhtsirge võib paikneda ükskõik millises suunas lõpmatuses, sest ringjoon pole ju tegelikult ekstsentriline. Ekstsentriliste koonuselõigete puhul asub juhtsirge alati geomeetrilise joone suhtes kindlas suunas, risti joone sümmeetriateljega, kus paiknevad joone 1 või 2 fookust. Koonuselõikena määratletakse ringjoont ainulaadse ellipsi piirjuhuna ekstsentrilisusega 0. Sellest vaatepunktist lähtuvalt võib öelda, et ringjoon on selline ellips, mille fookused on samas punktis. Ringjoonel on üks fookus, tema keskpunkt.

## Ringjoon silindri lõikena

Silindri lõikamisel tasandiga tekib ringjoon, kui lõige on risti silindri teljega.

## Ringjoone lähendamine hulknurkadega

Ringjoont võib defineerida ka hulknurgana, mille külgede arv on lõpmatu. Nii käsitles ringjoont Vana-Kreeka õpetlane Archimedes. Ta vaatles ringjooneni ulatuvat kolmnurka, ruutu, viisnurka jne, külgede arvu järjest suurendades ja leidis, et selline tee viib lõpuks ringjoone endani.

## Ajalugu

### Babüloonia

Babüloonias (1900–1600 eKr) kasutati ringjoone pikkuse ja diameetri jagatise (pii) lähendina arvu 3.

Babüloonlased oskasid arvutada ka kõõlu pikkust ja ringi segmendi kõrgust (kõõlu keskpunkti ringjoone punktiga ühendava kõõluga risti oleva sirglõigu pikkust). Sellega panid nad aluse kõõlugeomeetriale, mida hiljem arendas edasi Hipparchos ning mille Ptolemaios asetas "Almagesti" algusse.

### Antiikaeg

"Elementide" 1570. aastal ilmunud ingliskeelse tõlke tiitelleht. Tõlkija Henry Billingsley
Thalesele omistatakse Thalese teoreem, mille järgi poolringjoone piirdenurgad on täisnurgas.

Esimene teadaolev ringjoone ja ringi definitsioon pärineb Platoni dialoogist "Parmenides": "Ümmargune on ju küll see, mille äärmised osad on keskpunktist igal pool ühekaugusel."

Eukleidese "Elementide" kolmas peatükk räägib ringjoonest ja ringist.

Apollonios Pergest kirjutas teose "Konika", milles ta käsitles muu hulgas ellipsit ja ringjoont koonuselõigetena, nagu praegugi algebralises geomeetrias. Ta toetus Eukleidesele ja Aristaios Vanemale, kelle tööd koonuselõigetest pole säilinud.

Apolloniose järgi on saanud nime ka Apolloniose probleem: konstrueerida kolmele antud ringjoonele sirkli ja joonlaua abil ringjooned, mis neid puutuvad.

### Renessanss

Renessansiajal hakati "Elementidele" jälle rohkem tähelepanu pöörama. Christoph Claviuse väljaandesse on peale hilisantiigist pärineva XIV ja XV raamatu lisatud ka XVI raamat ja muid ulatuslikke täiendusi. Näiteks täiendas ta kahe ringjoone ühise puutuja konstruktsiooni.

## Märkused

## Vaata ka

* Ring