# Trigonometria funkcio

| Trigonometria funkcio |
| --- |
|  |
| **funkcio**  |
| **transcenda funkcio • perioda funkcio • elementa funkcio** |
|

| [Montri]  Partoj |
| --- |
|  | trigonometria identaĵo  vd |

 |
|  |

| Matematikaj funkcioj |
| --- |
| Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo |
| Fundamentaj funkcioj |
| **Algebraj funkcioj**: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius

---

 **Aliaj funkcioj**: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| Gaŭsa • Gaŭsa de eraro • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • inversigeblo

---

 kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |

En matematiko, la **trigonometriaj funkcioj** estas ses funkcioj de angulo.

Ili estas ekvivalente difinebla laŭ diversaj manieroj.

* Geometriaj difinoj:
	+ Rilatumoj inter lateroj de orta triangulo enhavantaj la angulon, ĉi tio donas difinon por reelaj valoroj de la variablo inter 0 kaj *π/2* (orto).
	+ Longoj de diversaj segmentoj de unuocirklo, ĉi tio donas difinon por ĉiuj reelaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
* Algebraj difinoj:
	+ Malfiniaj serioj
	+ Solvaĵoj de certaj diferencialaj ekvacioj, ĉi tio donas vastigaĵon al kompleksaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).

Por ke la geometriaj kaj la algebraj difinoj donu koincidantajn rezultojn, la angulo *θ* devas esti mezurita en radianoj.

La difino per orta triangulo senpere donas ĉiujn ses funkciojn. En iuj el la aliaj okazaj komence estas difinataj ne ĉiuj funkcioj (*sin* kaj *cos* tamen estas difinataj), la aliaj funkcioj estas tiam difinataj per formuloj de kolumno "Ĉefa idento" de la tabelo pli supre.

## Skribmanieroj kaj grafikaĵoj

| Nomo | Kutima skribmaniero | Ĉefa idento | Limigoj de valoro por reela argumento | Periodo |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| sinuso | *y = sin θ* |  | *−1 ≤ y ≤ 1* | *2π* |
| kosinuso | *y = cos θ* |  | *−1 ≤ y ≤ 1* | *2π* |
| tangento | *y = tan θ* aŭ *y = tg θ* | *tan θ = sin θ / cos θ* | ĉiuj reelaj *y* | *π* |
| kotangento | *y = cot θ* aŭ *y = cotan θ* aŭ *y = ctg θ* | *cot θ = cos θ / sin θ* | ĉiuj reelaj *y* | *π* |
| sekanto | *y = sec θ* | *sec θ = 1 / cos θ* | *−∞ < y ≤ −1* aŭ *1 ≤ y < ∞* | *2π* |
| kosekanto | *y = csc θ* aŭ *y = cosec θ* | *csc θ = 1 / sin θ* | *−∞ < y ≤ −1* aŭ *1 ≤ y < ∞* | *2π* |

|  |  |
| --- | --- |
|  Grafikaĵoj de *sin x* kaj *cos x* |  Grafikaĵo de *tan x* |

|  |
| --- |
|
Sinuso,
Kosinuso,
Tangento,
Kosekanto (punktita),
Sekanto (punktita),
Kotangento (punktita) |

## Difinoj per orta triangulo

Orta triangulo
Trigonometriaj funkcioj estas difinataj per anguloj de orta triangulo per rilatumoj inter longoj de ĝiaj lateroj.

En orta triangulo, la funkcioj de angulo *α* egalas al rilatumoj inter longoj de la lateroj:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

## Difinoj per unuocirklo

La unuocirklo
La trigonometriaj funkcioj kaj funkcioj versin kaj exsec de angulo *θ* kiel longoj de rektaj segmentoj ĉe unuocirklo
Estu la unuocirklo, la cirklo de radiuso unu centrita je la fonto. De la teoremo de Pitagoro la ekvacio de la unuocirklo estas:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
Estu duonrekto el la fonto (0,0) kun angulo de *θ* kun la pozitiva duono de la *x*-akso. La linio sekcas la unuocirklon en punkto, kies *x* kaj *y* koordinatoj estas *cos θ* kaj *sin θ* respektive.

Por WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , orta triangulo povas esti konstruita per aldono de perpendikularo el la punkto *(x, y)* al la *x*-akso.
La triangulo-hipotenuzo de longo egala al radiuso de la cirklo, do egalas al la 1. Longoj de la du aliaj lateroj estas *x* kaj *y*. Tiel WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 kaj WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , kio koincidas kun la difino per orta triangulo,

Por anguloj pli grandaj ol *2π* aŭ malpli grandaj ol *-2π*, oni simple daŭre turnu la punkton ĉirkaŭ la cirklo. Do, sinuso kaj kosinuso estas periodaj funkcioj kun periodo *2π*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
por ĉiu angulo θ kaj ĉiu entjero *k*.

La *plej malgranda* pozitiva periodo, aŭ la *primitivo periodo* de la funkcio, por sinuso, kosinuso, sekanto kaj kosekanto estas plena cirklo, *2π* radianoj aŭ 360 gradoj; la primitivo periodo de tangento kaj aŭ kotangento estas nur duono de cirklo, kio estas *π* radianoj aŭ 180 gradoj.

Valoro de tangento ŝanĝiĝas malrapide ĉirkaŭ anguloj de *kπ*, sed ŝanĝi rapide je anguloj proksimaj al WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .
La grafikaĵo de la tangento havas vertikalajn asimptotojn je WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 . En ĉi tiuj okazo la funkcio proksimiĝas al plus malfinio kiam *θ* proksimiĝas al WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 de maldekstro kaj la funkcio proksimiĝas al minus malfinio kiam *θ* proksimiĝas al WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 de dekstro.

## Difinoj per malfiniaj serioj

La sinusa funkcio (blua) estas proksimumata per ĝia polinomo de Taylor *f(x)* de grado 7 (rozkolora)
Uzante nur geometrion kaj proprecojn de limesoj, eblas montri ke derivaĵo de sinuso estas kosinuso kaj derivaĵo de kosinuso estas negativo de sinuso. (la variablo estas mezurita en radianoj). Do la serioj de Taylor estas:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

### Interrilato kun eksponenta funkcio kaj kompleksaj nombroj

Kompleksa sinuso
Kompleksa kosinuso
Kompleksa tangento
El la serioj sekvas ke la sinuso kaj kosinuso estas respektive la imaginara parto kaj la reela parto de la eksponenta funkcio, kiam ĝia argumento estas pure imaginara:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
Kaj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Ĉi tiu idento estas la eŭlera formulo en kompleksa analitiko. Ĝi priskribas la unuoblan cirklon en la kompleksa ebeno.

Plue, la serioj permesas difinon por kompleksaj argumentoj *z*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
kie *i2 = -1*.

## Difinoj per diferencialaj ekvacioj

Ambaŭ la sinuso kaj kosinuso kontentigas la diferencialan ekvacion

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
En la 2-dimensia funkcia spaco *V* konsistanta el ĉiuj solvaĵoj de ĉi tiu ekvacio, la sinusa funkcio estas la unika solvaĵo kun la komencaj kondiĉoj *y(0) = 0* kaj *y′(0) = 1*, kaj la kosinuso estas la unika solvaĵo kun la komencaj kondiĉoj *y(0) = 1* kaj *y′(0) = 0*. Pro tio ke sinuso kaj kosinuso estas lineare sendependaj, kune ili formas bazon de *V*. Tio ke sinuso kaj kosinuso kontentigas al WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 signifas ke ili estas propraj funkcioj de la dua-derivaĵa operatoro.

La tangento estas la unika solvaĵo de la nelineara diferenciala ekvacio

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
kun la komenca kondiĉo *y(0) = 0*.

### Signifo de radianoj

Radiano estas tia mezurunuo de angulo, kun kiu sinuso kaj kosinuso kontentigas la diferencialan ekvacion

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Se argumento al sinuso aŭ kosinuso en radianoj estas skalita per koeficiento,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
do la derivaĵo estas skalita per la amplitudo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Ĉi tie, *k* estas konstanto kiu prezentas surĵeto inter unuoj. Se *x* estas en gradoj, tiam

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
Ĉi tiu signifas ke dua derivaĵo de sinuso en gradoj kontentigas diferencialan ekvacion

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
La kosinusa dua derivaĵo kondutas simile.

## Proprecoj

### Nulvaloroj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
### Fazrilatoj inter la unuopaj funkcioj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
### Multoblaj anguloj

| Duoblaj anguloj |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |
| Trioblaj anguloj |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96  |
| n-oblaj anguloj: |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |   |   |
| Duonaj anguloj |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |

Pri tangento kaj kotangento ekzistas rilato inter *n+1*-obla kaj *n*-obla argumento:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
### Derivaĵo kaj malderivaĵo

La derivaĵon kaj la malderivaĵon montras la sekva tabelo.

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  | Derivaĵo WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  | Nedifinita integralo WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_132  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_134  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 (por reela *x*) |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 (por reela *x*) |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 (por reela *x*) |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 (por reela *x*) |

### Difinoj per funkciaj ekvacioj

Oni povas difini la trigonometriajn funkciojn surbaze de iuj el iliaj propraĵoj. Ekzistas akurate unu paro de reelaj funkcioj *sin* kaj *cos* tia ke por ĉiuj reelaj nombroj *x* kaj *y* jenaj ekvacioj veras:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
kun la aldona kondiĉo ke

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
## Periodaj funkcioj

Sinuso kaj kosinuso povas esti uzataj por studi ajnajn periodaj funkcioj. Ĉiu perioda funkcio de reela variablo povas esti skribita kiel malfinia sumo de sinuso kaj kosinuso de malsamaj frekvencoj; ĉi tiu estas la baza ideo de analizo de Fourier.

Por funkcio *f(x)* kun periodo a *2π*, estu la koeficientoj de Fourier:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
Tiam la malfinia serio sub certaj kondiĉoj konverĝas al la fonta funkcio *f(x)*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
Ekzemple la kvadrata ondo povas esti skribita kiel la serio de Fourier:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
(ĉi tie ĉiuj *an* kaj duono da *bn* estas nuloj)

## Kalkulado

La kalkulado de trigonometriaj funkcioj estas ampleksa temo. La unua paŝo en komputado de trigonometriaj funkcioj estas limiga malpligrandigo – malpligrandigo de la donita angulo al "malpligrandigita angulo" en iu certas malgranda limigo de anguloj, ekzemple 0 kaj π/2, uzanta periodecon kaj simetriojn de la trigonometriaj funkcioj.

Fruaj komputiloj tipe komputis trigonometriajn funkciojn per interpolo inter valoroj de anticipe donitaj tabeloj de iliaj valoroj. Ĉi tiaj tabeloj estas tipe generataj per ripetita apliko de la duon-angula kaj angulo-adiciaj formuloj, startanta de sciata valoro (ekzemple WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 ).

Modernaj komputiloj uzas diversajn teknikojn. Unu komuna maniero estas proksimuma kalkulado per polinomo aŭ racionala funkcio (ekzemple proksimuma kalkulado de Ĉebiŝev, plej bona uniforma proksimuma kalkulado, kaj proksimuma kalkulado de Padé, kaj tipe por pli bona precizeco serio de Taylor kaj serio de Laurent). Kutime la plej proksima angulo estas prenita de malgranda tabelo, kaj poste la polinomo estas uzata por komputi la korektigaĵon.

Sur pli simplaj aparatoj ĉe kiuj mankas aparataraj multiplikantoj, estas algoritmo CORDIC kaj similaj, kiuj uzas nur ŝovojn kaj adiciojn.

Por tre alte precizaj kalkuloj, kiam seria elvolvaĵa konverĝo iĝas malrapidan, trigonometriaj funkcioj povas esti aproksimita per la aritmetiko-geometria meznombro, kiu aproksimas la trigonometria funkcio per la (kompleksa) elipsa integralo.

Por iuj simplaj anguloj, la valoroj povas esti facile komputita permane uzanta la teoremo de Pitagoro, kiel en jenaj ekzemploj. Valoroj de la funkcioj por ĉiu entjera oblo de *π/60* (3°) povas troviĝi akurate.

Estu orta triangulo kie la du aliaj anguloj estas egalaj, kaj pro tio estas ambaŭ *π/4*. Tiam la longoj de katetoj *a* kaj *b* estas interegalaj, estu *a = b = 1*. La valoroj de sinuso, kosinuso kaj tangento de *π/4* povas tiam troviĝi per la teoremo de Pitagoro:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
kaj do:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
Por kalkuli la funkciojn de anguloj *π/3* (60°) kaj *π/6* (30°), oni startu de egallatera triangulo kun latera longo 1. Ĉiuj ĝiaj anguloj estas *π/3*. Per divido de ĝi per mediano, rezultiĝas du ortaj trianguloj ĉi kun anguloj *π/6* kaj *π/3*. Ĉe ĉiu el ĉi tiuj ortaj trianguloj, longo de la plej mallonga kateto estas 1/2, longo de la alia kateto estas (√3)/2 kaj longo de la hipotenuzo estas 1. Do:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
## Vidu ankaŭ

* Inversa trigonometria funkcio
* Funkcioj *coversin, haversin, hacoversin, versin*
* Teoremo de Pitagoro
* Listo de trigonometriaj identoj
* Pruvoj de trigonometriaj identoj
* Leĝo de sinusoj
* Leĝo de kosinusoj
* Leĝo de tangentoj
* Sfera leĝo de kosinusoj
* Eŭlera formulo
* Ĉenfrakcio de Gaŭso - ĉenfrakcia difino por tangento
* Hiperbola funkcio
* Inversa hiperbola funkcio
* Funkcio de Gudermannian

## Referencoj

## Eksteraj ligiloj

*  Arkivigite je 2008-03-18 per la retarkivo Wayback Machine
* Maor, Eli, *Trigonometrio Arkivigite je 2006-04-14 per la retarkivo Wayback Machine*, ISBN 0-691-09541-8.
* Needham, Tristan, "Enkonduko" Arkivigite je 2004-06-02 per la retarkivo Wayback Machine" al *Vida Kompleksa Analitiko Arkivigite je 2008-06-07 per la retarkivo Wayback Machine*. (1999). ISBN 0-19-853446-9.
* O'Connor, J.J., kaj E.F. Robertson, Trigonometriaj funkcio.
* O'Connor, J.J., kaj E.F. Robertson, "Madhava de Sangamagramma" Arkivigite je 2006-02-26 per la retarkivo Wayback Machine.
* Pearce, Ian G., "Madhava de Sangamagramma" Arkivigite je 2006-05-05 per la retarkivo Wayback Machine.
* Tangento je *MathWorld*.