# Koordinatsistemo

| Koordinatsistemo |
| --- |
|  |
| **matematika nocio**  |
| **referenckadro** |
|

| [Montri]  Partoj |
| --- |
|  | coordinate frame (en)  coordinate surface (en)  coordinate curve (en)   vd |

 |
|  |

La sfereca koordinatsistemo estas ofte uzata en *fiziko*. Ĝi atribuas tri nombrojn (konatajn kiel koordinatoj) al ĉiu punkto en la Eŭklida spaco: radiala distanco *r*, polusa angulo *θ* (teto), kaj azimuta angulo *φ* (fio). La simbolo *ρ* (roto) estas ofte uzata anstataŭ *r*.
Ĝenerale **koordinatsistemo** estas maniero bildigi spacon el opoj de nombroj. Tio eblas laŭ diversaj manieroj.

La sistemo longituda-latituda uzata en geografio estas sistemo de sferaj koordinatoj; pliigante ĝin je tria koordinato, la alteco, oni povas per polusaj koordinatoj priskribi la situon de ĉiu punkto en nia universo (ignorante ties kurbecon).

Alia speco estas karteziaj koordinatoj, kiuj baziĝas sur sistemo de aksoj reciproke ortaj kaj sin sekcantaj en unu punkto, la origino.

En matematiko la nocio koordinatsistemo estas bazo de la lineara algebro kaj ties nocio de vektora spaco.

En astronomio per koordinatsistemoj oni priskribas la poziciojn de astronomiaj objektoj.

En geometrio, koordinatsistemo estas sistemo kiu uzas unu aŭ pluraj nombrojn, aŭ kunlaboras, por unike determini la pozicion de punkto aŭ alian geometrian elementon sur dukto kiel ekzemple eŭklida spaco. La ordo de la koordinatoj estas signifa, kaj ili foje estas identigitaj per sia pozicio en ordigita Opo kaj foje per litero, kiel en "la ikso-koordinato ". La koordinatoj estas prenitaj por esti realaj nombroj en rudimenta matematiko, sed povas esti kompleksaj nombroj aŭ elementoj de pli abstrakta sistemo kiel ekzemple komuta ringo. La uzo de koordinatsistemo permesas, ke problemoj en geometrio estu tradukitaj en problemoj pri nombroj kaj inverse; tio estas la bazo de analitika geometrio.

Oni uzas sistemojn el sferaj koordinatoj. Ili baziĝas je difino de akso, kiu fiksas la polusojn, kaj *nulpunkto* en la baza ebeno (ekvatora ebeno) de la koordinatsistemo. Sferaj koordinatoj konsistas el du angulkoordinatoj por direkto, longitudo (angula distanco de la nulpunkto laŭ la ekvatoro) kaj latitudo (alteco super la ekvatoro) plus radiusa koordinato. Ĉi lastan oni kutime ne indikas, ĉar ĝi ne gravas por la retrovo de la astronomia objekto.

Uzataj estas tri absolutaj koordinatsistemoj por determini astronomian pozicion: ekvatora koordinatsistemo, ekliptika koordinatsistemo kaj galaksia koordinatsistemo.

## Difinoj

### En geometrio

Tridimensia Kartezia koordinatsistemo.
En geometrio, koordinatoj estas nombraj valoroj, kiuj determinas la pozicion de punkto sur ebeno aŭ en spaco. En eŭklida ebeno, la pozicio de punkto povas esti determinita per la distancoj al du rektoj (koordinataj aksoj), kiuj intersekcas unu la alian ĉe punkto (deveno) orte; unu el la koordinatoj nomiĝas *ordinato* kaj la alia *absciso*. En tridimensia eŭklida spaco laŭ la sistemo de Kartezio, la pozicio de punkto estas determinita se la distancoj al tri koordinataj ebenoj kiuj intersekcas je punkto orte anguloj unu al la alia estas precizigitaj. Tamen, ĉi tiuj manieroj por precizigi punkton ne estas la nuraj eblaj, polusaj koordinatoj en la ebeno aŭ sferaj koordinatoj (kie la origino estas en la centro de serio de sferoj) aŭ cilindraj koordinatoj en spaco estas aliaj manieroj kiuj postulas precizigi malpli da distancoj kaj pli da orientiĝaj anguloj.

En geografio, koordinatoj estas elektitaj kiel proksimume sfera koordinatsistemo: latitudo, longitudo, kaj altitudo super konata ĝenerala nivelo (kiel ekzemple tiu de la oceano). Latitudo mezuras la nord-sudan lokon de punkto relative al la ekvatoro, dum longitudo mezuras ĝian orient-okcidentan lokon rilate al la Meridiano de Greenwich, kaj altitudo reprezentas la altecon de punkto super referenca nivelo, kiel ekzemple marnivelo. Ĉi tiu koordinatsistemo estas esenca por preciza lokigo sur la Tera surfaco kaj estas uzata en kartografio, navigado, geodezio, topografio kaj en teknologioj GNSS (*Global Navigation Satellite System*), disponigante solidan bazon por geospaca reprezentado kaj preciza geolokigo de lokoj tra la tuta mondo.

La plej ofte uzata koordinatsistemo estas la ortangula koordinatsistemo, ankaŭ konata kiel la kartezia koordinatsistemo. Tiaj sistemoj povas funkcii kiel ununura koordinatsistemo por tuta eŭklida spaco kaj la punktoj kaj objektoj situantaj ene de ĝi. Por atingi tion, necesas la nocio de *koordinata origino*.

Koordinatoj en la ebeno kaj en spaco povas esti difinitaj en senlima nombro da malsamaj manieroj. La rezolucio de multaj matematikaj aŭ fizikaj problemoj implikas elekti la specifan koordinatsistemon en kiu la problemo estas solvita pli facile aŭ pli oportune en ĉiu aparta okazo.

### En fiziko kaj astronomio

Prezento de deklinacio δ kaj de rektascensio α sur sferosurfaco
En astronomio, ĉielaj koordinatoj estas ordigita paro de angulaj kvantoj (ekzemple, rekta supreniro kaj deklinacio), per kiuj la pozicio de diversaj lumpunktoj kaj helpopunktoj sur la ĉiela sfero estas determinita. En la praktiko, oni uzas plurajn ĉielajn koordinatsistemojn. Ĉiu el ili estas esence sfera koordinatsistemo (neniuj radiusaj koordinatoj) kun taŭge elektitaj fundamenta ebeno kaj origino. Depende de la elekto de la fundamenta ebeno, la ĉiela koordinatsistemo nomiĝas horizontala (horizonta ebeno), ekvatora (ekvatora ebeno), ekliptiko (ebeno de la ekliptiko) aŭ galaksia (galaksia ebeno). La koncepto de koordinatsistemoj validas por geometriaj spacoj pli kompleksaj ol eŭklida spaco, tial formala difino de koordinatsistemo kiu precizigas la pozicion de punktoj estas postulata. Notu ke, ekzemple, laŭ moderna kosmologio la formo de spaco-tempo estas kurba spaco, do en la universo ne ĉiam eblus uzi karteziajn koordinatojn.

### Formala difino

Surbaze de geometria aŭ topologia spaco WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 kiu havas diferencigeblan multoblan strukturon de dimensio *n*, koordinatsistemo estas difeomorfio: WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , kie WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 estas malfermita aro en la n-dimensia eŭklida spaco. Tio estas, por ĉiu punkto WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 oni havas la koordinatojn WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , la aro de ĉiuj ĉi tiuj n-opo por la spaco WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 difinas lokan koordinatsistemon.

## Oftaj koordinatsistemoj

### Linia koordinatsistemo

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nombra akso.
Ĝi estas la aro de reelaj nombroj grafike reprezentitaj per linio, en kiu troviĝas ĉiuj naturaj nombroj, entjeroj, frakcioj, decimaloj ktp.

Ĉiu punkto sur la linio reprezentas realan nombron, ĉu per unu-al-unu reciprokeco aŭ per inversigebla funkcio uzata por reprezenti nombrojn kiel speciale markitaj punktoj, kiel entjeroj tra linio nomita *linio gradigita laŭ entjeroj* de punktoj aranĝitaj kaj apartigitaj unu de la alia je la sama distanco. La punkto kiu reprezentas nulon ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ) estas la ĉefa referencpunkto de la koordinatsistemo, nomita la *originpunkto*.

Konsiderante ke ĉiu el la punktoj sur la linio grafike reprezentas reelan nombron, dekstre de la originpunkto WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 estas ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj kaj maldekstre estas ĉiuj negativaj reelaj nombroj.

Por reprezenti nombron sur la reela linio oni uzas majusklojn kaj ties respondajn koordinatojn, ekzemple la punktoj **A(5), B(3), C(-3), D(-5)**, ktp.

Nombra linio.
### Kartezia koordinatsistemo

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kartezia koordinatsistemo.
2-dimensia sistemo de karteziaj koordinatoj.
 Abscisa akso estas **X'OX**.
Ordinata akso estas **Y'OY**.
Koordinatoj de punkto **A** estas valoroj *b* - absciso kaj *a* - ordinato ili ambaŭ estas pozitivaj ĉi tie.
**I**, **II**, **III**, **IV** estas signoj de kvaronoj de la koordinata ebeno.
3-dimensia sistemo de karteziaj koordinatoj.
Koordinatoj de punkto **A** estas valoroj *a*, *b*, *c* - **X**, **Y**, **Z** koordinatoj respektive.
**Kartezia koordinatsistemo** en ebeno estas koordinatsistemo, kiu precizigas ĉiun punkton unike per paro da nombraj koordinatoj, kiuj estas la signitaj distancoj al la punkto de du fiksaj perpendikularaj orientitaj linioj, mezuritaj en la sama longounuo.

Sur la rekto kun du diversaj punktoj **A** kaj **B**, ni povas elekti du direktojn: de A al B, aŭ de B al A. Ni nomu, ekzemple la direkton de A al B, la *pozitiva direkto*. Oni povas establi unu-al-unuan konformecon inter reelaj nombroj kaj la aro de la punktoj de donita rekto. Ni konformu al **0** ian punkton sur la rekto kaj nomi ĝin *originpunkto*. Ni akceptu ian detranĉon de la rekto kiel unuo de la longo. Al ĉiu reela nombro ni konformu la koncernan punkton, kiu distancas de originpunkto per **a** distanco: al pozitiva direkto por "+a" nombro kaj al negativa direkto por "-a" nombro. La konstruita rekto estas la nombra rekto aŭ **koordinata akso**.

* **Koordinato** estas nombro, kiu konformas al la konkreta punkto de la akso.
* Aro de ĉiu punkto, kiu kontentigas la malegalecon **a ≤ x ≤ b**, estas nomita **detranĉo** (fermita intervalo) kaj signatas per simboloj [a;b], t.e. [a;b]={x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
* **a** kaj **b** nomiĝas **limpunktoj** kaj la diferenco **b - a** - **longo** de intervalo.
* Analogie ekzistas **malfermita intervalo**: [a;b]={x ∈ R | a < x < b} kaj **duonfermitaj intervaloj**: [a;b]={x ∈ R | a < x ≤ b} kaj [a;b]={x ∈ R | a ≤ x < b}.

### Polusa koordinatsistemo

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Polusa koordinatsistemo.
En matematiko, la **polusa koordinatsistemo** estas 2-dimensia koordinatsistemo en kiu ĉiu punkto sur ebeno estas difinita per angulo kaj distanco. La polusa koordinatsistemo estas aparte utila en situacioj, kiam la interrilato inter du punktoj estas plej facile esprimebla en terminoj de angulo kaj distanco; en la pli konata kartezia aŭ rektangula koordinatsistemo, tia angula interrilato povas esti kalkulita nur per trigonometriaj formuloj.

Ĉar la koordinatsistemo estas du-dimensia, ĉiu punkto estas difinita per du polusaj koordinatoj: la **radiusa koordinato** kaj la **angula koordinato**. La radiusa koordinato (kutime skribita kiel WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ) estas la distanco inter la koordinatigita punkto kaj la centra punkto de la koordinatosistemo. La centra punkto estas ankaŭ nomata *poluso* (ekvivalento de la *origino* en la Kartezia sistemo). La angula koordinato (ankaŭ nomata **polusa angulo** aŭ **azimuta angulo**, kutime skribita kiel θ aŭ WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ) estas la pozitiva angulo (aŭ angulo mezurita maldekstrume, malhorloĝdirekte) de la **polusa akso** (la 0°-a radio) al la koordinatigita punkto. La polusa akso estas ekvivalento de pozitiva duono de abscisa akso (*x*-akso) en la Kartezia koordinata ebeno.

### Cilindra koordinatsistemo

2 punktoj grafike prezentitaj per cilindraj koordinatoj.
La *cilindra koordinatsistemo* estas koordinatsistemo kiu etendas la du-dimensian polusan koordinatsistemon per aldono de tria koordinato, kiu estas la alto de punkto super la ebeno, simile al la maniero per kiu la karteziaj koordinatoj estas etendita en tri dimensiojn. La tria koordinato estas kutime skribata *h*, kaj do estas la tri cilindraj koordinatoj (*r*, θ, *h*).

La tri cilindraj koordinatoj povas esti konvertita al karteziaj koordinatoj per

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
### Sfera koordinatsistemo

Sfero kun krado de sferaj koordinatoj. ρ estas konstanto. Estas montritaj du familioj de linioj - kun φ konstanta kaj kun θ konstanta.
Polusaj koordinatoj ankaŭ povas esti etenditaj en tri dimensiojn kiel *sfera koordinatsistemo* de koordinatoj (ρ, φ, θ), kie ρ estas la distanco de la fonto, φ estas la angulo de la z-akso (nomata kiel la **zenita distanco**, ĝi estas inter 0 kaj 180°) kaj θ estas la angulo de la abscisa akso (kiel en la 2-dimensiaj polusaj koordinatoj). Ĉi tiu koordinatsistemo estas simila al la latitudo kaj longitudo uzataj por geografio, kun la fonto en la centro de Tero, la latitudo δ estas la komplemento de φ, difinita kiel δ = 90° − φ, kaj la longitudo *l* estas *l* = θ , ĉi tie *l* estas inter −180° kaj −180°.

La tri sferaj koordinatoj estas konvertataj al karteziaj koordinatoj per

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
### Homogenaj koordinatoj

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Homogenaj koordinatoj.
Punkto en la ebeno povas esti reprezentita en *homogenaj koordinatoj* per triopo (x, y, z) kie x/z kaj y/z estas la karteziaj koordinatoj de la punkto. Tio enkondukas "kroman" koordinaton, ĉar nur du estas necesaj por specifi punkton sur la ebeno, sed tiu sistemo estas utila, ĉar ĝi reprezentas ajnan punkton sur la projekcia ebeno sen la uzo de senfineco. Ĝenerale, homogena koordinatsistemo estas tiu, en kiu nur la proporcioj de la koordinatoj estas signifaj kaj ne la realaj valoroj.

### Aliaj ofte uzataj sistemoj

Kelkaj aliaj ofte uzataj koordinatsistemoj estas jenaj:

* Kurbaj koordinatoj estas ĝeneraligo de koordinatsistemoj ĝenerale; la sistemo baziĝas sur la intersekco de kurboj.
	+ Ortogonalaj koordinatoj: koordinataj surfacoj renkontiĝas je ortaj anguloj.
	+ Deformaj koordinatoj: koordinataj surfacoj ne estas ortogonalaj.
* La log-polusa koordinatsistemo reprezentas punkton en la ebeno per la logaritmo de la distanco de la origino kaj angulo mezurita de referenclinio intersekcanta la originon.
* Plücker-koordinatoj estas maniero reprezenti liniojn en 3D eŭklida spaco uzante ses-opon de nombroj kiel homogenaj koordinatoj.
* Ĝeneraligitaj koordinatoj estas uzitaj en la Lagranĝa traktado de mekaniko.
* Kanonikaj koordinatoj estas uzitaj en la hamilton-a traktado de mekaniko.
* Baricentra koordinatsistemo kiel uzite por ternaraj planoj kaj pli ĝenerale en la analizo de trianguloj.
* Triliniaj koordinatoj estas uzataj en la kunteksto de trianguloj.

Ekzistas manieroj priskribi kurbojn sen koordinatoj, uzante internajn ekvaciojn, kiuj uzas senvariajn kvantojn, kiel ekzemple kurbeco kaj arklongo. Ĉi tiuj estas jenaj:

* La Whewell-ekvacio rilatigas arklongon kaj la tanĝantan angulon.
* La Cesàro-ekvacio rilatigas arklongon kaj kurbecon.

## Koordinatoj de geometriaj objektoj

Hemisfero povas reprezenti realan projekcian ebenon kunligante kontraŭajn punktojn sur la ekvatoro.
Koordinataj sistemoj ofte estas uzataj por precizigi la pozicion de punkto, sed ili ankaŭ povas esti uzataj por precizigi la pozicion de pli kompleksaj figuroj kiel linioj, ebenoj, cirkloj aŭ sferoj. Ekzemple, Plücker-koordinatoj estas uzataj por determini la pozicion de linio en spaco. Kiam ekzistas bezono, la speco de figuro priskribita estas uzata por distingi la specon de koordinatsistemo, ekzemple la esprimo *liniokoordinatoj* estas uzita por iu ajn koordinatsistemo kiu precizigas la pozicion de linio.

Povas okazi ke sistemoj de koordinatoj por du malsamaj aroj de geometriaj figuroj estas ekvivalentaj laŭ sia analizo. Ekzemplo de tio estas la sistemoj de homogenaj koordinatoj por punktoj kaj linioj en la projekcia ebeno. Ambaŭ sistemoj en tia okazo laŭdire estas *dualismaj*. Dualismaj sistemoj havas la proprecon ke rezultoj de unu sistemo povas esti portitaj al la alia, ĉar tiuj rezultoj estas nur malsamaj interpretoj de la sama analiza rezulto; tio estas konata kiel la principo de *dueco*.

## Transformoj

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Geometria transformado.
Ofte ekzistas multaj malsamaj eblaj koordinatsistemoj por priskribi geometriajn figurojn. La rilato inter malsamaj sistemoj estas priskribita per *koordinataj transformoj*, kiuj donas formulojn por la koordinatoj en unu sistemo laŭ la koordinatoj en alia sistemo. Ekzemple, en la ebeno, se karteziaj koordinatoj (*x*, *y*) kaj polusaj koordinatoj (*r*, *θ*) havas la saman originon, kaj la polusa akso estas la pozitiva *x*-akso, tiam la koordinata transformo de polusaj al karteziaj koordinatoj estas montrita per *x* = *r* kos*θ* kaj *y* = *r* sin*θ*.

Inversigebla funkcio.
Kun ĉiu inversigebla funkcio de la spaco al si mem du koordinataj transformoj povas esti asociitaj:

* Tia ke la novaj koordinatoj de la bildo de ĉiu punkto estas la samaj kiel la malnovaj koordinatoj de la origina punkto (la formuloj por la mapado estas la inverso de tiuj por la koordinata transformo)
* Tia ke la malnovaj koordinatoj de la bildo de ĉiu punkto estas la samaj kiel la novaj koordinatoj de la origina punkto (la formuloj por la mapado estas la samaj kiel tiuj por la koordinata transformo)

Ekzemple, en 1D, se la mapado estas translacio de 3 dekstren, la unua movas la originon de 0 al 3, tiel ke la koordinato de ĉiu punkto iĝas 3 malpli, dum la dua movas la originon de 0 al −3, tiel ke la koordinato de ĉiu punkto iĝas 3 pli.

## Koordinatoj lini/kurboj

Por difinita koordinatsistemo, se unu el la koordinatoj de punkto varias dum la aliaj koordinatoj estas tenitaj konstantaj, tiam la rezulta kurbo estas nomita **koordinata kurbo**. Se koordinata kurbo estas rekta linio, ĝi estas nomita **koordinata linio**. Koordinatsistemo por kiu kelkaj koordinatkurboj ne estas linioj estas nomita *kurba koordinatsistemo*. Ortogonalaj koordinatoj estas specialaj, sed ekstreme ofta kazo de kurbaj koordinatoj.

Koordinata linio kun ĉiuj aliaj konstantaj koordinatoj egalaj al nulo estas nomita *koordinata akso*, orientita linio uzata por asignado de koordinatoj. En kartezia koordinatsistemo, ĉiuj koordinataj kurboj estas linioj, kaj, tial, ekzistas tiom da koordinataj aksoj kiom koordinatoj. Krome, la koordinataj aksoj estas duope ortaj.

Polusa koordinatsistemo estas kurba sistemo, en kiu koordinatkurboj estas linioj aŭ cirkloj. Tamen, unu el la koordinatkurboj estas reduktita al ununura punkto, la origino, kiu ofte estas rigardita kiel cirklo de radiuso nula. Simile, sferaj kaj cilindraj koordinatsistemoj havas koordinatajn kurbojn kiuj estas linioj, cirkloj aŭ cirkloj de radiuso nula.

Multaj kurboj povas ekzisti kiel koordinataj kurboj. Ekzemple, la koordinatkurboj de parabolaj koordinatoj estas paraboloj.

## Koordinataj ebenoj/surfacoj

Koordinataj surfacoj de la tri-dimensiaj paraboloidaj koordinatoj.
En tridimensia spaco, se unu koordinato estas tenita konstanta kaj la aliaj du rajtas varii, tiam la rezulta surfaco estas nomita *koordinatsurfaco*. Ekzemple, la koordinataj surfacoj akiritaj tenante *ρ* konstanta en la sfera koordinatsistemo estas la sferoj kun centro ĉe la origino. En tridimensia spaco la intersekco de du koordinataj surfacoj estas koordinata kurbo. En la kartezia koordinatsistemo oni povas paroli pri **koordinataj ebenoj**. Simile, **koordinataj hipersurfacoj** estas la (*n* − 1)-dimensiaj spacoj rezultantaj de fiksado de ununura koordinato de *n*-dimensia koordinatsistemo.

## Koordinataj mapoj

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Sternaĵo.
La koncepto de *koordinata mapo*, aŭ *koordinata diagramo* estas ŝlosila por la teorio de duktoj. Koordinata mapo estas esence koordinata sistemo por subaro de antaŭfiksita spaco kun la propraĵo ke ĉiu punkto havas ekzakte unu aron de koordinatoj. Pli precize, koordinata mapo estas homeomorfio de malferma subaro de spaco *X* al malferma subaro de **Rn*. Ofte ne eblas disponigi unu konsekvencan koordinatsistemon por tuta spaco. En ĉi tiu okazo, kolekto de koordinataj mapoj estas kunmetitaj por formi atlason (en topologio sinonimo de sternaĵo) kovrantan la spacon. Spaco provizita per tia atlaso estas nomita *sternaĵo* aŭ *dukto* kaj kroma strukturo povas esti difinita sur dukto, se la strukturo estas konsekvenca kie la koordinatmapoj koincidas. Ekzemple, diferencigebla dukto estas dukto kie la ŝanĝo de koordinatoj de unu koordinata mapo al alia ĉiam estas diferencigebla funkcio.

## Orientig-bazitaj koordinatoj

Bildo de kartezi-koordinata ebeno. Oni markis kvar punktojn kaj oni etikedis ili per siaj koordinatoj: (2, 3) verde, (−3, 1) ruĝe, (−1.5, −2.5) blue, kaj la originan (0, 0) purpure.
En geometrio kaj kinematiko, oni uzas koordinatsistemojn por priskribi la (linian) pozicion de punktoj kaj la angulan pozicion de aksoj, ebenoj kaj rigidaj korpoj. En ĉi-lasta kazo, la orientiĝo de dua (tipe referita kiel "loka") koordinatsistemo, fiksita al la nodo, estas difinita surbaze de la unua (tipe referita kiel "ĝenerala" aŭ "tutmonda" koordinatsistemo). Ekzemple, la orientiĝo de rigida korpo povas esti reprezentita per orientiga matrico, kiu inkludas, en siaj tri kolumnoj, la karteziajn koordinatojn de tri punktoj. Ĉi tiuj punktoj estas uzataj por difini la orientiĝon de la aksoj de la loka sistemo; ili estas la pintoj de tri unuopaj vektoroj liniigitaj kun tiuj aksoj.

## Geografiaj sistemoj

La Tero kiel tuto estas unu el la plej oftaj geometriaj spacoj kiuj postulas la precizan mezuron de loko, kaj tiel ankaŭ koordinatajn sistemojn. Starte el la grekoj de la Helenisma epoko, oni disvolvigis variojn de koordinatsistemojn surbaze de la jenaj tipoj:

* Geografia koordinatsistemo, nome la sferaj koordinatoj de latitudo kaj longitudo
* Projekciitaj koordinatsistemoj, inkluzive de miloj da karteziaj koordinatsistemoj, ĉiu bazita sur mapprojekcio por krei ebenan surfacon de la mondo aŭ regiono.
* Geocentra koordinatsistemo, tridimensia kartezia koordinatsistemo, kiu modeligas la Teron kiel objekton, kaj estas plej ofte uzitaj por modeligado de la orbitoj de satelitoj, inkluzive de la Tutmonda Pozicia Sistemo kaj aliaj satelitnavigaciaj sistemoj.

## Koordinata origino

La koordinata origino estas la referencpunkto de koordinatsistemo. Ĉe tiu punkto, la valoro de ĉiuj koordinatoj de la sistemo estas nulo— ekzemple, WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 en WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 aŭ WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 en WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 —. Tamen, en kelkaj koordinatsistemoj ne necesas agordi ĉiujn koordinatojn al nulo. Ekzemple, en sfera koordinatsistemo sufiĉas establi la nulan radiuson  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , estante la latitudo kaj longitudo valoroj indiferentaj.

En kartezia koordinatsistemo, la origino estas la punkto ĉe kiu la aksoj de la sistemo apartiĝas.

## Bildaro

* Sistemo de dudimensiaj karteziaj koordinatoj utilaj en urbo por lokigi la ejojn necesajn por akvoliverado kaj defluigo de uzita akvo.
*
* Sistemo de tridimensiaj karteziaj koordinatoj.
* Polusa koordinatsistemo kun kelkaj anguloj indikitaj en gradoj.
* Mapo de la Tero montrante liniojn latitudajn (horizontale) kaj longitudajn (vertikale), laŭ projektado de Eckert VI .
* Latitudo phi (φ) kaj Longitudo lambda (λ).
* Aro de satelitoj de tergloba navigada satelita sistemo.
* Sistemo de ECEF koordinatoj (x, y, z) montrita rilate al latitudo kaj longitudo.
* Skizo de la ekliptiko, la angulo inter la ekliptiko kaj la **ĉiela ekvatoro** estas WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 23° 26'.
* Origino de dudimensia sistemo de Kartezia koordinatsistemo.

## Vidu ankaŭ

* Transformo de Galileo
* Cilindra koordinata sistemo
* Ĉielaj koordinatoj
* Geografia koordinatsistemo
* Homogenaj koordinatoj
* Kadro de referenco
	+ Inercia kadro de referenco
* Kartezia koordinato
* Lorenca transformo
* Nombra akso
* Referenckadro
* Regulo de la dekstra mano
* Sfera koordinata sistemo

## Referencoj

## Bibliografio

* Delone N.B. *Coordenadas en matemáticas // Diccionario enciclopédico*, Brockhaus kaj Efron: en 86 volumoj (fakte 82 volumoj kaj 4 kromaj). - SPb., 1890-1907.
* Shigeyuki Morita.  (2001) *Geometry of Differential Forms*. AMS Bookstore. ISBN 0-8218-1045-6.

* Voitsekhovskii, M.I.; Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
* Woods, Frederick S..  (1922) *Higher Geometry*. Ginn and Co., p. 1ff.

* *En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el vikipedia artikolo Coordinate system angle.*

* *En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el vikipedia artikolo Sistema de coordenadas hispane.*