# Trigonometrio

| Trigonometrio
 |
| --- |
|  |
| **matematika studfako**  |
| **geometrio** |
|

| [Montri]  Partoj |
| --- |
|  | trigonometria tabelo  vd |

 |
|  |

Trigonometria cirklo montranta la sinuson kaj kosinuson
**Trigonometrio** (de greka *trigonon* – 'triangulo', *metrô* – 'mezuri') estas branĉo de matematiko, kiu studas triangulojn, angulojn, arkojn, kaj ilian interrilaton. Ĉi tiu interrilato estas esprimita uzante trigonometriajn funkciojn, la plej konataj el kiuj estas sinuso, kosinuso kaj tanĝanto. Ĝi studas ankaŭ trigonometriajn funkciojn kaj ilian aplikon en geometrio. Ekzistas ses trigonometriaj funkcioj ligitaj kun la angulo:

* sinuso - la kvociento de la kontraŭa latero per la hipotenuzo (signo: **sin**). la difino povas estis etendita al ajna angulo per la formuloj:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ;
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ;
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ;
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ,
kie WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 estas orta angulo ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 kaj WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ), kaj WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 estas ajna angulo;
* kosinuso (signo: **cos**) - sinuso de la komplementa angulo;
* tangento (signo: **tg** aŭ **tan**) - la kvociento de la sinuso per la kosinuso;
* kotangento (signo: **ctg** aŭ **cot**) - la kvociento de la kosinuso per la sinuso;
* sekanto - la inverso de la kosinuso;
* kosekanto - la inverso de la sinuso.

Laŭ trigonometriaj funkcio oni trovas nekonatajn angulojn kaj laterojn de triangulo surbaze de donitaj trigonometriaj rilatoj.

Oni kutime uzas la vorton trigonometrio por aludi al **ebena trigonometrio**, tio estas la studo de trianguloj sur ebena surfaco. Sed oni povas ankaŭ studi la rilatojn de trianguloj sur kurbaj surfacoj. Pro tio ke ni loĝas sur preskaŭ sfera surfaco, oni ankaŭ studas sferan trigonometrion, tio estas la studo de trianguloj sur sferaj surfacoj.

Trigonometrio formiĝis en la 3-a jarcento a.K. kiel branĉo de geometrio por uzoj en astronomio. Hodiaŭ trigonometrio havas multajn aplikojn preter astronomio, ekzemple por navigado, optiko kaj muzikteorio.

## Trigonometriaj kalkulo kaj funkcioj

### Angulaj unuoj

En la mezurado de anguloj kaj, tial, en trigonometrio, oni uzas tri unuojn, sed la plej uzita en la ĉiutaga vivo estas la angula grado; en matematiko estas la radiano la plej uzita, difinita kiel la natura unuo por mezuri angulojn; la centona grado disvolviĝis kiel unuo plej proksima al la dekuma sistemo, uzata en topografio, arkitekturo aŭ en konstruado.

* Radiano (simbolo: **rad**): natura angula unuo en trigonometrio. En kompleta cirklo estas 2π radianoj (iom pli ol 6,28). Ĝi estas uzata ĉefe en trigonometrio kaj infinitezima kalkulo. Angulo inter du radiusoj de cirklo, arkolongo inter kiuj egalas al la radiuso, estas la ebena angulo.
* Sesuma grado: angula unuo kiu dividas cirklon en 360 gradoj. Ĝi egalas al π / 180 radianoj, al naŭdekono de orto, aŭ al 10/9 gradusoj. La simbolo de grado estas °. Grado estas pli oportuna mezurunuo de angulo ol radiano, ĉar ĝi ebligas skribi multajn kutimajn angulojn (ekzemple orton) per entjera kvanto de gradoj. Por pli ĝusta mezuro de anguloj oni uzas aŭ dekumajn frakciojn de grado aŭ minutojn kaj sekundojn. Angula minuto estas 1/60 de grado. Angula sekundo estas 1/60 de angula minuto, do 1/3600 de grado. La simbolo de angula minuto estas ' kaj la simbolo de angula sekundo estas ".
* Centuma grado: angula unuo kiu dividas cirklon en 400 centonaj gradoj. La **graduso** (mallongigo: gr) ankaŭ nomita **gono** (simbolo: gon, el la greka *gônia* = "angulo") estas egala al π / 200 radiano, al centono de orto, aŭ al 0,9 grado. Alimaniere priskribi estas ke la divido de la cirklo en 400 gradusoj, tiel ke en ĉiu rekta angulo estas 100 anguloj de gradusoj. La graduso estas la konsekvenco el la invento de la metro, ĉar la metro estas la 40.000.000-ono de la ter-ĉirkaŭo, kiam oni onigas tiun ĉirkaŭon per 400 gr, 1 km egalas al 1/100 da graduso. Pro tio, oni malbone komprenas ke oni ankoraŭ uzas la gradon en la aviadila kaj marveturada medioj kie la mezurunuoj estas la mar-mejlo (naŭta mejlo = 1854 metroj) kaj la deksesonaj unuoj.
* **Angula milo**: angula unuo kiu dividas cirklon en 6 400 unuoj. Ĝi estas uzita en la milita medio, precipe en instrumentoj por orientigo kaj signalado. Ĝia simbolo estas "m" krucigita je 30 gradoj: .

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |
| Angulilo en radianoj
 | Angulilo en sesumaj gradoj
 |
|  |  |
| Angulilo en centumaj gradoj
 | Angulilo en angula milo
 |

### Trigonometriaj funkcioj

En matematiko, la **trigonometriaj funkcioj** estas ses funkcioj de angulo.

Ili estas ekvivalente difinebla laŭ diversaj manieroj.

* Geometriaj difinoj:
	+ Rilatumoj inter lateroj de orta triangulo enhavantaj la angulon, ĉi tio donas difinon por reelaj valoroj de la variablo inter 0 kaj *π/2* (orto).
	+ Longoj de diversaj segmentoj de unuocirklo, ĉi tio donas difinon por ĉiuj reelaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
* Algebraj difinoj:
	+ Malfiniaj serioj
	+ Solvaĵoj de certaj diferencialaj ekvacioj, ĉi tio donas vastigaĵon al kompleksaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).

Por ke la geometriaj kaj la algebraj difinoj donu koincidantajn rezultojn, la angulo *θ* devas esti mezurita en radianoj.

La difino per orta triangulo senpere donas ĉiujn ses funkciojn. En iuj el la aliaj okazaj komence estas difinataj ne ĉiuj funkcioj (*sin* kaj *cos* tamen estas difinataj), la aliaj funkcioj estas tiam difinataj per formuloj de kolumno "Ĉefa idento" de la tabelo pli supre.

#### Skribmanieroj kaj grafikaĵoj

| Nomo
 | Kutima skribmaniero
 | Ĉefa idento
 | Limigoj de valoro por reela argumento
 | Periodo
 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| sinuso | *y = sin θ* |  | *−1 ≤ y ≤ 1* | *2π* |
| kosinuso | *y = cos θ* |  | *−1 ≤ y ≤ 1* | *2π* |
| tangento | *y = tan θ* aŭ *y = tg θ* | *tan θ = sin θ / cos θ* | ĉiuj reelaj *y* | *π* |
| kotangento | *y = cot θ* aŭ *y = cotan θ* aŭ *y = ctg θ* | *cot θ = cos θ / sin θ* | ĉiuj reelaj *y* | *π* |
| sekanto | *y = sec θ* | *sec θ = 1 / cos θ* | *−∞ < y ≤ −1* aŭ *1 ≤ y < ∞* | *2π* |
| kosekanto | *y = csc θ* aŭ *y = cosec θ* | *csc θ = 1 / sin θ* | *−∞ < y ≤ −1* aŭ *1 ≤ y < ∞* | *2π* |

## Historio pri trigonometrio

Jam de antikveco, trigonometrio estas uzata por celoj de astronomio.

Babilonia tabuleto Plimpton 322.
La antikvaj egiptanoj kaj babilonianoj konis la teoremojn pri la proporcioj de la flankoj de similaj trianguloj. Sed la prahelenaj socioj ne konis la nocion de mezuro de angulo kaj tial, la flankoj de la trianguloj estis studitaj nur pri ties mezuro, fako kiu povus esti nomita *trilaterometrio*.

La babiloniaj astronomoj faris registrojn pri la apero kaj malapero de la steloj, la movado de la planedoj kaj la suneklipsoj kaj luneklipsoj; ĉio tio postulas familiarecon kun la angula distanco mezurita sur la ĉiela sfero. Sur la bazo de la interpretado de kojnforme skribita tabuleto Plimpton 322 (ĉirkaŭ 1900 a.n.e.), kelkaj fakuloj asertis eĉ, ke la iamaj babilonianoj havis tabelon de sekantoj. Nuntempe, tamen, estas granda debato ĉu temas pri tabelo de pitagoraj triopoj, tabelo de solvoj de ekvacioj duagradaj aŭ eĉ trigonometria tabelo.

La antikvaj egiptanoj siavice, en la dua jarmilo antaŭ nia erao, uzis primitivan formon de trigonometrio, por la konstruado de la piramidoj. La Papiruso de Ahmes, verkita de la egipta skribisto Ahmes (ĉirkaŭ 1680-1620 a.n.e.), enhavas la jenan problemon rilatan al la trigonometrio:

|  |
| --- |
|  |
|  |

|  |
| --- |
| **„** Se piramido estas 250 ulnojn alta kaj la latero de ties bazo estas 360 ulnojn longa, kiu estas ties *seked*? **”** |

 |

 La solvo al la problemo estas la rilato inter la duono de la flanko de la bazo de la piramido kaj ĝia alteco. Alivorte, la mezuro trovebla por la *seked* estas la kotangento de la angulo kiun formas la bazo de la piramido kaj ĝia respektiva flanko.

Hiparko, konsiderata kiel kompilinto de la unua trigonometria tabelo, estis priskribita kiel "la patro de trigonometrio".
En la 3-a jarcento a.n.e., helenismaj matematikistoj kiel Eŭklido kaj Arkimedo studis la proprecojn de kordoj kaj enskribitajn angulojn en cirkloj, kaj ili pruvis teoremojn kiuj estas ekvivalentaj al modernaj trigonometriaj formuloj, kvankam ili prezentis ilin geometrie anstataŭ algebre. En 140 a.n.e., Hiparko (de Niceo, Malgranda Azio) havigis la unuajn tabelojn de kordoj, analogajn al modernaj tabeloj de sinusvaloroj, kaj uzis ilin por solvi problemojn en trigonometrio kaj aparte en sfera trigonometrio. En la 2-a jarcento n.e., la grek-egipta astronomo Ptolemeo (el Aleksandrio, Egiptio) konstruis detalajn trigonometriajn tabelojn (la tabelo de kordoj de Ptolemeo) en la Libro 1a, ĉapitro 11a de sia Almagesto. Ptolemeo uzis kordolongon por difini siajn trigonometriajn funkciojn, kio estas negrava diferenco de la sinuskonvencio kiun oni uzas hodiaŭ. (La valoro, kiun oni nomas sin(θ) troveblas, rigardante la kordlongon por duoble la angulo de intereso(2θ) en la tabelo de Ptolemeo, kaj poste dividante tiun valoron per du.) Jarcentoj pasis antaŭ ol pli detalaj tabeloj estis produktitaj, kaj la traktaĵo de Ptolemeo restis uzita por elfarado de trigonometriaj kalkuloj en astronomio dum la sekvaj 1200 jaroj en la mezepokaj bizancaj, islamaj, kaj poste okcidentaj mondoj.

La moderna difino de la sinuso unue estis asertita en la *Surjo Siddhanta*, kaj ĝiaj trajtoj estis plu dokumentitaj en la 5-a jarcento (n.e.) fare de la hinda matematikisto kaj astronomo Arĝabato. Tiuj grekaj kaj hindaj verkoj estis tradukitaj kaj vastigitaj fare de mezepokaj islamaj matematikistoj. En 830 n.e., persa matematikisto Habaŝ al-Hasib al-Marŭazi produktis la unuan tabelon de kotangentoj. Ĝis la 10-a jarcento n.e., en la laboro de persa matematikisto Abū al-Wafā' al-Būzjānī, ĉiuj ses trigonometriaj funkcioj estis uzitaj. Abu al-Wafa havis sinusajn tabelojn en 0.25° pliigoj, al 8 decimalaj lokoj de precizeco, kaj precizajn tabelojn de tanĝantaj valoroj. Li ankaŭ faris gravajn inventojn en sfera trigonometrio.

Nasir al-Din al-Tusi
La persa polimato Nasir al-Din al-Tusi estis priskribita kiel la kreinto de trigonometrio kiel matematika fako per si mem. Li estis la unua, kiu traktis trigonometrion kiel matematika fako sendependa el astronomio, kaj li disvolvis sferan trigonometrion kia ĝi estas en nuntempa formo. Li listigis la ses malsamajn kazojn de ortangula triangulo en sfera trigonometrio, kaj en sia *Pri la Sektorfiguro*, li asertis, ke la leĝo de sinusoj por ebenaj kaj sferaj trianguloj, malkovris la Leĝon de tangentoj por sferaj trianguloj, kaj havigis pruvojn por tiuj ambaŭ leĝoj. Sciaro pri trigonometriaj funkcioj kaj metodoj atingis Okcidentan Eŭropon tra latinlingvaj tradukoj de la greklingva verko de Ptolemeo *Almagesto* same kiel la verkoj de persaj kaj arabaj astronomoj kiel Al Battani kaj Nasir al-Din al-Tusi. Unu el la plej fruaj verkoj pri trigonometrio fare de nordeŭropa matematikisto estas *De Triangulis* de la 15a-jarcenta germana matematikisto Regiomontanus, kiun kuraĝis verki, kaj eĉ disponigis ekzempleron de la *Almagesto*, la bizanca greklingva fakulo kardinalo Basilios Bessarion kun kiu li loĝis kelkajn jarojn. Samtempe, alia traduko de la *Almagesto* el la greka al Latino estis kompletigita de la kreta Georgo de Trebizondo. Trigonometrio estis ankoraŭ malmulte konata en la 16-a jarcento en norda Eŭropo kiam Nicolaus Copernicus dediĉis du ĉapitrojn de *De revolutionibus orbium coelestium* por klarigi sian bazajn konceptojn.

Movita de la postuloj de navigacio kaj la kreskanta bezono de precizaj mapoj de grandaj geografiaj areoj, trigonometrio kreskis en gravan branĉon de matematiko. Bartolomeo Pitisko estis la unua, kiu uzis la vorton, publikigante sian *Trigonometria* en 1595. Gemma Frisius priskribis por la unua fojo la metodon de triangulado ankoraŭ uzata hodiaŭ en geodezio. Estis Leonhard Euler kiu plene integrigis kompleksajn nombrojn en trigonometrio. La verkoj de la skotaj matematikistoj James Gregory en la 17-a jarcento kaj Colin Maclaurin en la 18-a jarcento estis influaj en la evoluo de trigonometriaj serioj.
 Ankaŭ en la 18-a jarcento, Brook Taylor difinis la ĝeneralan Taylor-serion.

## Racionala trigonometrio

Racionala trigonometrio estas moderna traktado de trigonometrio uzanta la konceptojn *etendeco*-n kaj *kvadranco*-n anstataŭ angulon kaj distancon. Anstataŭ la klasikaj funkcioj (sinuso, kosinuso, tangento) ĝi uzas nur algebrajn operaciojn. Tiu nova maniero estas la laboro de Doktoro Norman Wildberger de la Universitato de Nova Sud-Kimrio (ĉe Sidnejo en Aŭstralio). Pli da informo estas havebla je lia paĝaro [1]. Ĝia nomo devenas de la malplia uzado de neracionalaj nombroj, kiel kvadratoradikoj kaj la matematika konstanto π kiu estas neracionala.

### Kvadranco - la apartiĝo inter punktoj

Kvadranco (" WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ") diferencas ol simpla distanco ĉar ĝi kvadratigas la distancon. Ĉi tio signifas ke oni povas plifacile kalkuli la apartiĝon inter du punktoj en 2-dimensia spaco, ĉar oni ne devas trovi la kvadratoradikon, kiu ofte estas neracionala.

En kartezia spaco WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , inter la punktoj WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 kaj WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , la kvadranco WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 estas difinita kiel,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
### Etendeco - la apartiĝo inter linioj

Laŭ racionala trigonometrio, etendeco (" WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ") estas fundamenta koncepto difinita kiel la proporcio de du kvadrancoj. Establu punkto WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 kie du linioj kruciĝas, kaj elektu du punktojn WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 sur unu kaj WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 sur la alia tiel, kiel la linio WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 estas orta laŭ WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 .

Inter la linioj WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 kaj WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , la etendeco WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 estas difinita kiel,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
## Aplikoj

### Astronomio

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Astronomio.
Dum jarcentoj, oni uzis sferaj trigonometrion por lokigi sunajn, lunajn kaj stelajn poziciojn, antaŭvidante eklipsojn, kaj priskribante la orbitojn de planedoj.

En nuntempa epoko, la tekniko de triangulado estas uzata en astronomio por mezuri la distancon de proksimaj steloj, same kiel por Terglobnavigadaj satelitsistemoj.

### Navigacio

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Navigacio.
Sekstantoj estas uzataj por mezuri la angulon de la suno aŭ de steloj rilate al la horizonto. Uzante trigonometrion kaj markronometron, la pozicion de la ŝipo povas esti determinata pere de tiaj mezuroj.
Historie, trigonometrio estis uzita por lokalizi latitudojn kaj longitudojn de velŝipoj, plani kursojn, kaj kalkuli distancojn dum navigado.

Trigonometrio estas ankoraŭ uzata en navigacio pere de rimedoj kiel la Tutmonda loktrova sistemo kaj artefarita inteligento por aŭtonomaj vehikloj.

### Termezurado

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Termezurado.
En termezurado, trigonometrio estas uzata en la kalkulado de longoj, areoj kaj relativaj anguloj inter objektoj.

Je pli granda skalo, trigonometrio estas uzata en geografio por mezuri distancojn inter termarkoj.

### Periodaj funkcioj

 Pli detalaj informoj troveblas en artikoloj Vico de Fourier kaj Furiera transformo.
Funkcio WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 (en ruĝa) estas sumo de ses sinusaj funkcioj de malsamaj amplitudoj kaj harmonie rilataj frekvencoj. Ilia sumo estas nomita Fourier-serio. La transformo de Fourier, WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 (en blua), kiu prezentas amplitudon kontraŭ frekvenco, rivelas la 6 frekvencojn (ĉe neparaj harmonoj) kaj iliajn amplitudojn (1/nepara nombro).
La sinusaj kaj kosinusaj funkcioj estas fundamentaj al la teorio de periodaj funkcioj, kiel tiuj kiuj priskribas sonajn kaj lumajn ondojn. Fourier malkovris, ke ĉiu kontinua, perioda funkcio povus esti priskribita kiel senfina sumo de trigonometriaj funkcioj.

Eĉ ne-periodaj funkcioj povas esti reprezentataj kiel integralo de sinusoj kaj kosinusoj pere de la Furiera transformo. Tio ebligas aplikojn por kvantuma mekaniko kaj komunikoj, among other fields.

### Optiko kaj akustiko

 Pli detalaj informoj troveblas en artikoloj Optiko kaj akustiko.
Trigonometrio estas utila en multaj fizikaj sciencoj, kiel akustiko, kaj optiko. En ĉi tiuj areoj, ili estas uzataj por priskribi sonajn kaj lumajn ondojn, kaj por solvi lim- kaj dissend-rilatajn problemojn.

### Aliaj aplikoj

Aliaj fakoj kiuj uzas trigonometrion aŭ trigonometriajn funkciojn estas muzikteorio, geodezio, aŭdiosintezo, arkitekturo, elektroniko, biologio, medicina bildigo (komputila tomografio kaj ultrasono), kemio, nombroteorio (kaj de tie kriptologio), sismologio, meteologio, oceanografio, bildokunpremado, fonetiko, ekonomiko, elektra inĝenierado, mekanika inĝenierado, civila inĝenierado, komputila grafiko, kartografio, kristalografio kaj videoludoj.

## Vidu ankaŭ

* Unuocirklo
* Polusa koordinatsistemo
* Eŭlera formulo
* Serio de Taylor
* Triangulado
* Racionala trigonometrio
* Sfera trigonometrio
* Trigonometria funkcio

## Notoj

## Bibliografio

* Boyer, Carl B. (1991). *A History of Mathematics* (dua eldono). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
* Nielsen, Kaj L. (1966). *Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places* (dua eldono). New York: Barnes & Noble. LCCN 61-9103.
* Thurston, Hugh (1996). *Early Astronomy*. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94822-5.

## Eksteraj ligiloj

* GonioLab Arkivigite je 2007-10-06 per la retarkivo Wayback Machine: Bildigo al si de la unuo cirklo, trigonometrio kaj hiperbolaj funkcioj (Java Web Start)