# Γεωμετρία

Σχήμα Ευκλείδειας γεωμετρίας**Γεωμετρία** είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.

## Ιστορία

Προσωπογραφία του Ευκλείδη από τον Αντρέ Τεβέ, 1584
Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι. Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαμέτρου του, περίπου ίσο με 3+1/8.

Με τη γεωμετρία ήρθαν σε επαφή και οι Έλληνες κυρίως με το Θαλή το Μιλήσιο, ο οποίος είναι και ο πρώτος που εισάγει την έννοια της *"απόδειξης"* ως μέσον επαλήθευσης μιας γεωμετρικής πρότασης. Ο Πυθαγόρας έθεσε τη γεωμετρία σε πλήρως θεωρητικό και φιλοσοφικό επίπεδο, αλλά ολοκλήρωσε και την έννοια και την πρακτική της αποδεικτικής διαδικασίας. Ονόμαζε δε τη γεωμετρία ο Πυθαγόρας *ιστορία* (*«καλεῖτο δέ ἡ γεωμετρία πρός Πυθαγόρου ἱστορία.»*). Η λέξη ιστορία από την ετυμολογία της σημαίνει γνώση μέσα από έρευνα, αλλά αυτό δεν είναι αρκετό. Τη βαθύτερη σημασία και ερμηνεία της χρήσης αυτής της λέξης, δεν παρουσιάζει κανένας φιλόσοφος και ο Ιάμβλιχος αρκείται στην πληροφοριακή μόνο καταγραφή. Μην ξεχνάμε ότι η αποκάλυψη των βαθύτερων μυστικών δινόταν σε μαθητές, μετά από εξαντλητικό έλεγχο της εσωτερικής αξίας τους. Θεώρησε επίσης τη γεωμετρία ως μία εκ των τεσσάρων επιστημών, οι οποίες αποτελούν μέρος της φιλοσοφίας και θεολογίας του συστήματος του. Οι άλλες τρεις επιστήμες είναι η αριθμητική, η μουσική και η αστρονομία και όλες σχετίζονται εννοιολογικά μεταξύ τους έχοντας ενιαία θεωρητική βάση. Έτσι θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο Θαλής είναι ο ιδρυτής της θεωρητικής γεωμετρίας, ενώ ο Πυθαγόρας είναι ο θεμελιωτής της.

Στους Έλληνες λοιπόν η Γεωμετρία παίρνει πρώτη φορά την έννοια της καθαρής γνώσης και επιστήμης. Γενικά αυτό θεωρείται ότι ολοκληρώθηκε με τον Ευκλείδη, αλλά ήδη ο Πλάτωνας δείχνει ότι αυτή η θέση είχε καθιερωθεί από πολύ παλαιότερα στους Έλληνες. Εκφράζει ο τελευταίος μάλιστα την άποψη στα έργα του «Πολιτεία» και «Επινομίς» ότι η "γεωμετρία" σαν λέξη είναι γελοία *(γελοῖον ὄνομα γεωμετρίαν)*, αναφερόμενος στο ότι ετυμολογικά σημαίνει «μετράω τη γη», ακολουθώντας έτσι την άποψη της χρήσης της γεωμετρίας για τη μέτρηση των πραγμάτων του υλικού κόσμου και όχι για την άσκηση της ψυχής στη θέαση των αιώνιων αληθειών.

Ο Πλάτων παρουσίασε τις αριθμητικές και τις γεωμετρικές έννοιες ως τον ιδανικό κόσμο, ή *κόσμο των ιδεών*. Υποστήριξε μάλιστα πως ο κόσμος είναι κατασκευασμένος από πέντε στερεά που σήμερα ονομάζονται Πλατωνικά στερεά και είναι τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα: το τετράεδρο(ή τριγωνική πυραμίδα), το εξάεδρο (ή κύβος), το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Την άποψη αυτή για τον κόσμο δεχόταν και ο Αριστοτέλης, αλλά και πολύ μετά από αυτόν οι Αλχημιστές και πολλοί άλλοι μέχρι και σήμερα.

Χρήση της τριγωνομετρίας για τον υπολογισμό του ύψουςΟι Έλληνες γεωμέτρες προσέγγιζαν τη γεωμετρία σαν επιστήμη καθαρής γνώσης και έπρεπε να βρίσκουν αποδείξεις εφαρμοζόμενες με τον *κανόνα* και τον *διαβήτη*, σύμφωνα με τις επιταγές που καθορίστηκαν οριστικά από τον Ευκλείδη περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που αποτελείται από 13 τόμους. Δημιούργησαν έτσι την αποδεικτική θεωρητική γεωμετρία, σε αντίθεση με την εμπειρική γεωμετρία που επικρατούσε, εξέλιξη η οποία κορυφώνεται στην Αλεξανδρινή εποχή. Η γεωμετρία είναι ο πρώτος κλάδος των μαθηματικών που τοποθετήθηκε σε αξιωματική βάση από τον Ευκλείδη στα "Στοιχεία" του, και δικαιολογημένα ονομάζεται "Ευκλείδεια γεωμετρία". Το πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι το *πέμπτο αίτημα* του Ευκλείδη, δηλαδή ότι θα πρέπει να δεχθούμε αξιωματικά ότι *από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος*, γιατί δε μπορούμε να το αποδείξουμε.

ΟκτάεδροΗ γεωμετρία έπαιζε σημαντικό ρόλο στο φιλοσοφικό σύστημα του Καντ, ο οποίος μιλούσε για *καθαρή εποπτεία*, η οποία ουσιαστικά ήταν γεωμετρικά σχήματα. Ειρωνικά, μέσω της γεωμετρίας δείχθηκαν εποπτικά τα σφάλματα αυτού του συστήματος. Έτσι, προέκυψαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν. Στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται περισσότερες ή καμιά παράλληλη αντίστοιχα.

## Σύγχρονες αντιλήψεις της γεωμετρίας

Προβολή επιπέδου υπερβολικής γεωμετρίας στον τρισδιάστατο ευκλείδιο χώρο.
Η σημερινή επιστήμη αποδέχεται την ευκλείδεια γεωμετρία θεωρώντας την ως τη πιο βασική και εφαρμόσιμη μορφή της. Επιπλέον, υπάρχουν και δύο προαναφερθείσες μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ονομάζονται και *απόλυτες γεωμετρείες* και μπορούν να απεικονιστούν στην ευκλείδεια, αλλά έχουν αναπτυχθεί και άλλες. Παράδειγμα μιας άλλης γεωμετρίας είναι ο τετραδιάστατος κατά τα άλλα ευκλείδειος χώρος.

Η μελέτη της γεωμετρίας γίνεται πλέον με συστήματα αναφοράς και με βάση την έννοια του διανύσματος. Με αυτόν τον τρόπο πολλές γεωμετρικές σχέσεις μπορούν να αλγεβροποιηθούν, δηλαδή να γίνουν αριθμητικές σχέσεις και να μελετηθούν αλγεβρικά. Αυτή η μελέτη της γεωμετρίας είναι ξεχωριστός κλάδος των μαθηματικών και ονομάζεται *αναλυτική γεωμετρία*.

Η γεωμετρία είναι χρήσιμη σε άλλους κλάδους των μαθηματικών και επιστημών, όπως είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, η Άλγεβρα και η Φυσική.

## Σύγκριση απόλυτων γεωμετριών και αναλυτικής γεωμετρίας

Σύγκριση απόλυτων γεωμετριών

Σε όλες σχεδόν τις γεωμετρίες ορίζονται αρχικά τρεις έννοιες το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Για να γίνουν αντιληπτές η σφαιρική και η υπερβολική γεωμετρία συνήθως προβάλλουμε ένα επίπεδό τους στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, ενώ οι ιδιότητες της ευκλείδειας γεωμετρίας θεωρούνται γνωστές. Ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας χρησιμοποιούμε το κατάλληλο σύστημα αναφοράς, για να *κατασκευάσουμε* την αντίστοιχη αναλυτική γεωμετρία.

* Επίπεδο: Θεωρούμε ένα επίπεδο για την ευκλείδεια, μία σφαίρα για τη σφαιρική και ένα σελοειδές σχήμα για την υπερβολική. Η παραγωγή του σελοειδούς διαφαίνεται στο σχήμα αριστερά. Όλα τα σχήματα της κάθε γεωμετρίας τα θεωρούμε για λόγους ευκολίας πάνω σε αυτές τις επιφάνειες. Η κάθε επιφάνεια είναι το επίπεδο της γεωμετρίας στην οποία αντιστοιχεί.

* Σημείο: Και για τις τρεις γεωμετρίες ένα σημείο πάνω στο επίπεδό τους θεωρείται σημείο της αντίστοιχης γεωμετρίας.

* Ευθεία: Η ευθεία της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ευθεία, στη σφαιρική είναι μέγιστος κύκλος της σφαίρας. Και στις τρεις γεωμετρίες από κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εκτός ευθείας. Στην ευκλείδεια γεωμετρία από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, στη σφαιρική καμιά παράλληλος, ενώ στην υπερβολική πολλοί παράλληλοι.

* σύστημα αναφοράς: Στην ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται συνήθως το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, ενώ στη σφαιρική το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.

Με βάση τα παραπάνω μπορούν να οριστούν στην κάθε γεωμετρία τα βασικά γεωμετρικά σχήματα όπως τα τρίγωνα και τα ευθύγραμμα τρίγωνα και να μελετηθούν οι ιδιότητές τους.

## Γεωμετρικές κατασκευές

Οι αρχαίοι γεωμέτρες ασχολούνταν πάντα με την κατασκευή αλλά και την εφεύρεση γεωμετρικών αντικειμένων. Οι κατασκευές είχε καθιερωθεί να οφείλουν να γίνονται με τη χρήση μόνο δύο οργάνων: του κανόνα (χάρακα) και του διαβήτη. Υπάρχουν δε πάρα πολλές ιστορίες για προβλήματα, προσπάθειες, επιτυχίες και αποτυχίες τους σε αυτά τα έργα. Γνωστά είναι τα τρία άλυτα γεωμετρικά προβλήματα: της τριχοτόμησης της γωνίας, του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού του όγκου κύβου δοσμένης της πλευράς του ή *Δήλιο πρόβλημα*. Το ότι οι αρχαίοι γνώριζαν ότι υπάρχουν μόνο πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα, δείχνει το πόσο ασχολούνταν με τις γεωμετρικές κατασκευές. Επίσης είναι γνωστά τα 13 στερεά του Αρχιμήδη που ονομάστηκαν έτσι γιατί εκείνος τα ανακάλυψε.

## Μοντέρνα γεωμετρία

*Μοντέρνα γεωμετρία* είναι ο τίτλος του γνωστού βιβλίου από τον Ντουμπρόβιν, τον Νόβικοφ και τον Φομένκο (πρώτη έκδοση το 1979, Ρωσία). Σε περίπου 1000 σελίδες, το βιβλίο έχει έναν στόχο: γεωμετρικές κατασκευές ποικίλων ειδών. Στο δεύτερο μισό του αιώνα μετά τη δημοσίευση του βιβλίου για διαφορική γεωμετρία, αλγεβρική γεωμετρία και συμπλεκτική γεωμετρία, παρουσιάζεται κυρίως η μοντέρνα γεωμετρία, με πολλές διασυνδέσεις με άλλα μέρη των μαθηματικών και της φυσικής.

## Πηγές

* Boyer, C.B. (1991) [1989]. *A History of Mathematics* (Second edition, revised by Uta C. Merzbach έκδοση). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
* Cooke, Roger (2005). *The History of Mathematics*. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
* Hayashi, Takao (2003). «Indian Mathematics». Στο: Grattan-Guinness, Ivor, επιμ. *Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences*. **1**. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press. σελίδες 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
* Hayashi, Takao (2005). «Indian Mathematics». Στο: Flood, Gavin, επιμ. *The Blackwell Companion to Hinduism*. Oxford: Basil Blackwell. σελίδες 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.

## Παραπομπές

## Δείτε επίσης

* Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας
* Ο αστεροειδής **376 Γεωμετρία** (376 Geometria), που ανακαλύφθηκε το 1893, πήρε το όνομά του από τη γεωμετρία.