# Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Ισομετρική όψη του καρτεσιανού συστήματος από παρατηρητή που βρίσκεται σε θετικά x, y, z. Οι κατευθύνσεις των αξόνων πρέπει να είναι σύμφωνα με τον μνημονικό κανόνα του δεξιού χεριού
Στα μαθηματικά, το **καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων** είναι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει ένα σημείο στο επίπεδο ή στο χώρο. Οφείλει το όνομά του στον Καρτέσιο (Ρενέ Ντεκάρτ) που το εισήγαγε.

## Καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο

 Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 = **άξονας τετμημένων**,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 = **άξονας τεταγμένων**.
Το σύστημα συντεταγμένων του Καρτέσιου στο επίπεδο αποτελείται από δύο προσανατολισμένες ευθείες, κάθετες μεταξύ τους, οι οποίες καλούνται συμβατικά **άξονας τετμημένων** (οριζόντιος άξονας) και **άξονας τεταγμένων** (κατακόρυφος άξονας) και συμβολίζονται αντίστοιχα με *x* και *y*. Το σημείο όπου τέμνονται λέγεται **αρχή του συστήματος συντεταγμένων**, που συνήθως συμβολίζεται με WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .

Ένα σημείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο προσδιορίζεται μοναδικά από ένα ζεύγος αριθμών, την **τετμημένη** και την **τεταγμένη**. Η τετμημένη είναι η απόσταση του σημείου από τον κατακόρυφο άξονα και η τεταγμένη είναι η απόσταση του σημείου από τον οριζόντιο άξονα. Η τετμημένη και η τεταγμένη αποτελούν τις *συντεταγμένες* του σημείου. Με αυτή τη σύμβαση, η αρχή των αξόνων ταυτίζεται με το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 .

Επιπλέον ορίζεται απόσταση ίση με 1, σύμφωνα με την οποία αριθμούνται οι άξονες. Οι *συντεταγμένες* WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ενός σημείου WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 δηλώνουν τη θέση του WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 κατά την ορθή προβολή του στον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα.

**Σημείωση:** Ο άξονας WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , δηλαδή ο κατακόρυφος άξονας, και αντίστοιχα ο άξονας WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , δεν πρέπει να συγχέονται με τις συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ενός σημείου.

### Παραδείγματα

#### Παράδειγμα 1ο

Όταν ο οριζόντιος άξονας έχει διεύθευνση WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 και ο κατακόρυφος WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 και η αρχή των αξόνων είναι το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , τότε

* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .
* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

#### Παράδειγμα 2ο (Μη-μοναδιαίοι άξονες)

Όταν ο οριζόντιος άξονας έχει διεύθευνση WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 και ο κατακόρυφος WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 και η αρχή των αξόνων είναι το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , τότε

* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .
* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

#### Παράδειγμα 3ο (Διαφορετική αρχή)

Όταν ο οριζόντιος άξονας έχει διεύθευνση WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 και ο κατακόρυφος WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 και η αρχή των αξόνων είναι το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 , τότε

* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .
* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

#### Παράδειγμα 4ο (Τυχόντες άξονες)

Όταν ο οριζόντιος άξονας έχει διεύθευνση WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 και ο κατακόρυφος WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 και η αρχή των αξόνων είναι το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , τότε

* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 .
* Το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_74

### Γενικός μετασχηματισμός

Σε ένα Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων όπου οι άξονες έχουν διευθύνσεις WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 και η αρχή των αξόνων είναι το σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , ένα σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 έχει συντεταγμένες

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
ή ισοδύναμα με συμβολισμό διανυσμάτων

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ,
όπου WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 είναι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
#### Υπολογισμός συντεταγμένων

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 = (5, 0)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 = (0, 2)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 = (1, -2)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 = (2, 7)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 = (0.2, 4.5)
## Καρτεσιανές συντεταγμένες στο χώρο

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε τρεις διαστάσεις. Κάθε σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 στο χώρο μπορεί να παρασταθεί με μία τριάδα αριθμών WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 , κάθε μία εκ των οποίων αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση του σημείου από τον αντίστοιχο άξονα.
Παρόμοια επιχειρήματα ισχύουν και στην περίπτωση των τριών ή και ανώτερων διαστάσεων. Στις τρεις διαστάσεις, εκτός από τους άξονες WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 ορίζουμε και έναν τρίτο άξονα WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 , κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο πρώτοι. Έτσι κάθε σημείο στο χώρο μπορεί να παρασταθεί από μία μοναδική τριάδα αριθμών WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 , με κάθε συντεταγμένη να αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση του σημείου από κάθε έναν από τους τρεις άξονες αντίστοιχα.

## Διανυσματικός λογισμός

### Αναπαράσταση διανύσματος

Ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, όπου WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 η διάσταση του χώρου που μελετάμε. Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορθομοναδιαία διανύσματα WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 τα οποία έχουν διεύθυνση κατά τη θετική φορά των αξόνων x, y και z αντίστοιχα. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράψουμε το διάνυσμα θέσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y,z) στο χώρο με τον εξής τρόπο:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_139
Επιπροσθέτως, τα μοναδιαία διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141
όπου i,j=1,2,...,d και

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_143
Τα μοναδιαία διανύσματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι λοιπόν σταθερά, δηλαδή οι παράγωγοι αυτών ως προς οποιαδήποτε καρτεσιανή μεταβλητή ισούται με μηδέν.

### Τελεστής ανάδελτα

Σε τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο τελεστής ανάδελτα ορίζεται ως

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_145
### Λαπλασιανή

Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορούμε να υπολογίσουμε τον τελεστή της Λαπλασιανής:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147
## Τροχιές σωμάτων σε καρτεσιανές συντεταγμένες

Στη Φυσική, είναι πολλές φορές χρήσιμο να παραστήσουμε μαθηματικά τη θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε τρεις διαστάσεις με τα παρακάτω διανύσματα:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_149
Οι παραπάνω σχέσεις αποδεικνύονται εύκολα παραγωγίζοντας τις συνιστώσες του διανύσματος θέσης **r**. Εν γένει, αν παραγωγίσουμε ένα διάνυσμα ενδέχεται να χρειαστεί να παραγωγίσουμε και μερικά από τα μοναδιαία διανύσματα. Αυτό εξαρτάται πάντα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται τα διανύσματα αυτά. Ένα παράδειγμα συστήματος συντεταγμένων όπου ορίζονται οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι το πολικό σύστημα συντεταγμένων.

## Απειροστικός λογισμός

Η χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων είναι πολύ συνηθισμένη στον απειροστικό λογισμό, ειδικά σε επίπεδο μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Παρακάτω αναφέρονται μερικά από τα δημοφιλέστερα προβλήματα που εμφανίζονται στον απειροστικό λογισμό, και πως εφαρμόζει κανείς τις καρτεσιανές συντεταγμένες στα προβλήματα αυτά.

### Μήκος καμπύλης

Εν γένει, το μήκος μίας καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί μέσω ενός ολοκληρώματος αν παραμετροποιήσουμε την καμπύλη αυτή με μία αυθαίρετη παράμετρο λ. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες (σε δύο διαστάσεις) κάθε σημείου μίας καμπύλης είναι συναρτήσεις της παραμέτρου λ και ότι κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου, τότε το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης θα ισούται με

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_151
όπου υποθέσαμε ότι οι τιμές της παραμέτρου λ στα σημεία Α και Β είναι a και b αντίστοιχα. Επίσης, ds είναι το στοιχειώδες μήκος της καμπύλης. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, το στοιχειώδες μήκος μίας καμπύλης ισούται με

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_153
όπου dx μία στοιχειώδης μετατόπιση κατά τον άξονα x και dy μία στοιχειώδης μετατόπιση κατά τον άξονα y. Η παραπάνω σχέση ισχύει για οποιονδήποτε δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, στον οποίο εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

#### Εφαρμογή του παραπάνω τύπου για τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός κύκλου

Έστω κύκλος ακτίνας R, με κέντρο την αρχή των αξόνων. Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_155
συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο για τις συντεταγμένες (x,y) κάθε σημείου τη γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα θέσης κάθε σημείου με τον άξονα x. Ένας τρόπος να παραμετροποιήσουμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου του κύκλου είναι μέσω των εξισώσεων

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_157
Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω τρόπος παραμετροποίησης του προβλήματος ικανοποιεί τη συνθήκη x2+y2=R2 για τον κύκλο. Αντικαθιστώντας στη σχέση που μας δίνει το μήκος καμπύλης με την παράμετρο θ να παίρνει τιμές από 0 έως 2π, βρίσκουμε ότι:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_159
Που είναι ο γνωστός τύπος της περιμέτρου ενός κύκλου ακτίνας R.

Θα μπορούσε επίσης η καμπύλη να δίνεται υπό τη μορφή μίας συνάρτησης y=f(x). Στη περίπτωση αυτή, το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί με τους δύο παρακάτω τρόπους:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_161
Ο πρώτος τρόπος απαιτεί τον υπολογισμό της παραγώγου της ίδιας της συνάρτησης y=f(x) με συνακόλουθη ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή x, ενώ ο δεύτερος απαιτεί τον υπολογισμό της παραγώγου *αντίστροφης* συνάρτησης x=f −1(y) με συνακόλουθη ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή y. Και οι δύο τρόποι είναι εντελώς ταυτόσημοι, συνεπώς επιλέγεται συνήθως εκείνος που θα διευκολύνει όσο το δυνατόν περισσότερο τον υπολογισμό του ολοκληρώματος που σχετίζεται με την εύρεση του μήκους της καμπύλης που μας ενδιαφέρει.

### Εμβαδόν

Το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη f(x) και τις ευθείες x=a, x=b ισούται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης από x=a έως x=b.
Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι υπολογισμού εμβαδού που περικλείεται από μία καμπύλη της μορφής y=f(x) και δύο ευθειών x=a, x=b.

Ο πρώτος είναι να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση f(x) από x=a έως x=b. Αν Α το εμβαδόν που θέλουμε να υπολογίσουμε, τότε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163
Η απόλυτη τιμή της συνάρτησης f(x) χρησιμοποιείται διότι, αν σε κάποιο διάστημα (c,d) εντός του (a,b) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, τότε το ολοκλήρωμά της θα μας δώσει ένα αρνητικό νούμερο. Συνεπώς, βάζουμε απόλυτη τιμή στη συνάρτηση καθώς ολοκληρώνουμε για να είμαστε σίγουροι ότι το εμβαδόν που θα πάρουμε τελικά θα είναι θετικό.

#### Εφαρμογή του παραπάνω τύπου για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου

Έστω κύκλος ακτίνας R, με κέντρο την αρχή των αξόνων. Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_165
Λύνοντας ως προς y, βρίσκουμε ότι

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_167
Το πρόσημο συν αναφέρεται στο άνω ημικύκλιο, ενώ το πρόσημο πλην στο κάτω ημικύκλιο. Το εμβαδόν Α του κύκλου μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι θα ισούται με δύο φορές το εμβαδόν του άνω ημικυκλίου:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_169
Που είναι ο γνωστός τύπος του εμβαδού ενός κύκλου ακτίνας R. Στον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος κάναμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση x=Rcosθ και χρησιμοποιήσαμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171

## Μετρική στον Ευκλείδειο χώρο

Στη διαφορική γεωμετρία, η μετρική του d-διάστατου Ευκλείδειου χώρου μπορεί να γραφτεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες υπό τη μορφή ενός d×d πίνακα με τον ακόλουθο τρόπο:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_173
όπου **I** ο μοναδιαίος πίνακας. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, και υιοθετώντας την σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν, μπορούμε να γράψουμε το τετράγωνο του στοιχείου μήκους στον d-διάστατο Ευκλείδειο χώρο ως εξής:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_175
όπου θεωρήσαμε ότι οι δείκτες άθροισης μ,ν παίρνουν τις τιμές 1,2,3,...,d και

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_177
## Άλλα συστήματα συντεταγμένων

* Παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων
* Πολικό σύστημα συντεταγμένων
* Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων
* Κυλινδρικές συντεταγμένες

## Παραπομπές