# Ορθογώνιο τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την Α. Η πλευρά WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ονομάζεται *υποτείνουσα* και οι πλευρές WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 είναι οι δύο *κάθετες*.
Στην γεωμετρία, **ορθογώνιο τρίγωνο** είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται **κάθετες πλευρές** και η απέναντί της λέγεται **υποτείνουσα** του ορθογώνιου τριγώνου.

## Ιδιότητες

* Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
* Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή της ορθής γωνίας του.
* Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου
* Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 του ορθογωνίου τριγώνου WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος έχει ακίνα WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 .

## Μετρικές σχέσεις

* Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 με την γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 ορθή ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 και το έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 και άξονες τις ευθείες των πλευρών WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71

* Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 με την γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ορθή το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών του ισούται με την υποτείνουσα αυξημένη κατά την διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Δηλαδή WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 με την γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 ορθή και το ύψος WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 .

Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_155
* (**Πυθαγόρειο Θεώρημα**) WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 (ή αντίστοιχα WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 ). Ισχύει και το αντίστροφο.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_181 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_183
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_207
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
## Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_219
## Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

* **Κριτήριο πλευράς-πλευράς**: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_221
* **Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας**: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση τότε είναι ίσα.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
## Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα

### Με γωνίες 30°-60°-90°

Ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°. Το WIKINIUM\_MATH\_PH\_287 είναι το μέσο της υποτείνουσας.
Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

* Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
* Το τρίγωνο WIKINIUM\_MATH\_PH\_289 είναι ισόπλευρο.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_291
* Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_316

### Ορθογώνιο και ισοσκελές

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.
Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

* Οι οξείες γωνίες του είναι 45°.
* Αν WIKINIUM\_MATH\_PH\_333 είναι το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος WIKINIUM\_MATH\_PH\_335 .
* Το εμβαδόν του είναι WIKINIUM\_MATH\_PH\_337 .
* Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το WIKINIUM\_MATH\_PH\_339 στο σχήμα).

### Με γωνίες 15°-75°-90°

Ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 15° και 75°.
Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 15° και 75°, έχει τις εξής ιδιότητες:

* Το ύψος που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία είναι ίσο με το ένα τέταρτο της υποτείνουσας.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_341

### Τρίγωνο Κέπλερ

Τρίγωνο Κέπλερ με τα τετράγωνα των πλευρών του.
Το τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 , όπου WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 είναι ο χρυσός λόγος.

## Περαιτέρω θέματα

### Τριγωνομετρία

Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_370 .
Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 . Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 , ισχύει ότι

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_376
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_378
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 .

### Πυθαγόρειες τριάδες

Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 τέτοιες ώστε WIKINIUM\_MATH\_PH\_384 .
Για παράδειγμα η τριάδα WIKINIUM\_MATH\_PH\_386 είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 .

Αλλά η τριάδα WIKINIUM\_MATH\_PH\_390 δεν είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: WIKINIUM\_MATH\_PH\_392 ≠ WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 .

### Σχέση με το ψευδο-ορθογώνιο τρίγωνο

Το ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο WIKINIUM\_MATH\_PH\_396 και το σχετικό του ορθογώνιο WIKINIUM\_MATH\_PH\_398 . Έχουν WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 , την WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 κοινή και το ύψος WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 κοινό.
Ένα τρίγωνο λέγεται ψευδοορθογώνιο αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, για παράδειγμα αν WIKINIUM\_MATH\_PH\_406 . Παίρνει αυτή την ονομασία, καθώς υπάρχει ένα ορθογώνιο WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 με το οποίο έχει δύο πλευρές ίσες ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_410 και την WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 κοινή) και κοινό ύψος (το WIKINIUM\_MATH\_PH\_414 ). Το ψευδοορθογώνιο και το ορθογώνιο είναι τα μόνα τρίγωνα που ικανοποιούν τις παρακάτω μετρικές σχέσεις:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_416 ,
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_418 , και
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_420 .

### Σπείρα Θεόδωρου

Η σπείρα του Θεόδωρου.
Η σπείρα του Θεοδώρου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους WIKINIUM\_MATH\_PH\_422 (και υποτείνουσας μήκους WIKINIUM\_MATH\_PH\_424 ). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους WIKINIUM\_MATH\_PH\_426 . Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους WIKINIUM\_MATH\_PH\_428 . Στην γενική περίπτωση, το WIKINIUM\_MATH\_PH\_430 -οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους WIKINIUM\_MATH\_PH\_432 . Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_434 .

### Πλακοστρώσεις

Τμήμα της πλακόστρωσης pinwheel.
Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση ορθογωνίου τριγώνου
* Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

### Ελληνικά άρθρα

* Κηπουρός Χρήστος (1991). «Υπολογισμός στοιχείων ορθογωνίου τριγώνου». *Ευκλείδης Β΄* (4): 21-24.

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Domenico, Angelo Di (Ιουλίου 2005). «89.41 The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means». *The Mathematical Gazette* **89** (515): 261–261. doi:10.1017/S0025557200177769.
* Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». *The Mathematical Gazette* **95** (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552.
* Darvasi, Gyula (2003). «A Unique Property of Right-Angled Triangles». *The Mathematical Gazette* **87** (508): 51-59.
* Hiroshi Okumura; Masayuki Watanabe (2006). «90.26 A Right Triangle Inscribed in a Similar Right Triangle». *The Mathematical Gazette* **90** (517): 138-141.
* Tien, Li C. (Απριλίου 2009). «Right Triangle». *The Mathematical Intelligencer* **31** (2): 50–50. doi:10.1007/s00283-009-9045-y.

## Δείτε επίσης

* Τρίγωνο
* Τριγωνομετρία
* Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
* Πυθαγόρεια τριάδα
* Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο

## Παραπομπές