# Εικοσαδικό σύστημα αρίθμησης

Το **εικοσαδικό σύστημα αρίθμησης** είναι θεσιακό σύστημα αριθμήσεως το οποίο χρησιμοποιεί το 20 ως την αριθμητική βάση του.

## Περιγραφή

### Ψηφία

Για την παράσταση των αριθμών κάτω του δέκα χρησιμοποιούνται τα κανονικά ψηφία του δεκαδικού συστήματος (0 έως 9), ενώ από το δέκα έως το δεκαεννέα χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφάβητου από A έως J κατά την κοινή σύμβαση με άλλα συστήματα τα οποία διαθέτουν αριθμητική βάση μεγαλύτερη του 10.

### Γλώσσες

Το αριθμητικό σύστημα του πολιτισμού των Μάγια ήταν εικοσαδικό.Η πιο γνωστή ιστορική χρήση του συστήματος έγινε από τους πολιτισμούς των Μάγια και των Αζτέκων στην νότια Αμερική. Οι Μάγια διέθεταν ειδικές ονομασίες για τις τιμές οι οποίες ήταν πολλαπλάσιες του 20, όπως π.χ. *καλ* = 20, *μπακ* = 202 = 400, *πικ* = 203 = 8.000 κτλ, και χρησιμοποιούσαν το σύστημα αυτό στην γλώσσα τους και στο ημερολόγιο τους, ενώ το σύστημα έχει διατηρηθεί στην γλώσσα Ναουάτλ η οποία αποτελεί την εξέλιξη της αρχαίας γλώσσας των Μάγια. Παρομοίως οι Αζτέκοι διέθεταν τις δικές τους αντίστοιχες ονομασίες για τις ποσότητες οι οποίες ήταν πολλαπλάσιες του 20 όπως *τσεμποαλλί* (1 × 20), *τσεντσόντλι* (1 × 400), *τσεντσικιμπίλι* (1 × 8.000) κτλ.

Άλλες γλώσσες όπου γίνεται χρήση του εικοσαδικού συστήματος είναι η Ατόνγκ, στην επαρχία Μεγκαλάγια της βορειοανατολικής Ινδίας και τμήματα του δυτικού Μπανγκλαντές, και όπου η χρήση του εικοσαδικού συστήματος θεωρείται πεπαλαιωμένη. Επίσης στην Ινδία, υπάρχουν στοιχεία του εικοσαδικού συστήματος σε άλλες γλώσσες, όπως η Σαντάλι της γλωσσικής οικογένειας Μούντα όπου το πενήντα εκφράζεται με την φράση *μπαρ ισί γκελ* / *δύο είκοσι δέκα,* ενώ στην γλώσσα Ντιντέι της ίδιας οικογενείας οι σύνθετοι αριθμοί είναι δεκαδικοί έως το δεκαεννέα και δεκαδικοί-εικοσαδικοί (αριθμοί σε 2 τμήματα) έως το τριακόσια ενενήντα εννέα.

Στην Ευρώπη το εικοσαδικό σύστημα χρησιμοποιείται στην αλβανική γλώσσα, όπου π.χ. η λέξη για το 40 (*ντυζέτ*) σημαίνει 2 επί 20, ενώ η διάλεκτος Αρμπερές στην Ιταλία χρησιμοποιεί το *τριζέτ* ως 3 επί 20 για τον προσδιορισμό του 60. Οι Tσάμηδες στον ελλαδικό χώρο χρησιμοποιούσαν επίσης αντίστοιχες λέξεις για να προσδιορίσουν το 20 και τα πολλαπλάσια του. Επίσης στην Δανική αρίθμηση, όπου το 50 είναι *halvtreds*, σύντμηση του *halvtredje-sinds-tyve*, "μισή τρίτη εικοσάδα", με την έννοια του "δύο εικοσάδες συν μισή τρίτη (εικοσάδα) ή δυόμιση εικοσάδες". Για παράδειγμα, το 75 είναι *femoghalvfjerds*, "πέντε και μισή τέταρτη (εικοσάδα)" ή "πέντε και τρεισήμισυ (εικοσάδες)". Στην Γαλλική αρίθμηση επίσης, για τους αριθμούς μεταξύ 70-99 ισχύει το ίδιο εικοσαδικό σύστημα. Η βασκική γλώσσα χρησιμοποιεί επίσης το 20 για τον προσδιορισμό πολλαπλασίων του 20 αλλά και για ενδιάμεσες τιμές, όπως π.χ. το 75 το οποίο καλείται *χιρογκεΐτα χαμαμπόστ / τρία επί* [είκοσι] *και δέκα πέντε*. Κατά τα τέλη του 19ου αιώνα είχε προταθεί η γενική αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το εικοσαδικό στις περιοχές των Βάσκων ώστε να συμβαδίζει η αρίθμηση με την γλώσσα, ενώ στον αντίποδα είχε προταθεί να αναδιαμορφωθεί η γλώσσα ώστε οι ονομασίες των αριθμών να γίνουν δεκαδικές, ωστόσο και οι 2 πρωτοβουλίες παραμερίστηκαν.

## Πίνακες τιμών

### Αντιστοίχιση με δεκαδικό σύστημα

Σε κάποιες περιπτώσεις το γράμμα I παραλείπεται για τον αριθμό 18 έτσι ώστε να μην υπάρχει σύγχυση με τον αριθμό 1, έτσι χρησιμοποιείται το J20 για 18 και το αμέσως επόμενο K20 ως 19.

| Δεκαδικό | Εικοσαδικό |
| --- | --- |
| 010 | 020 |
| 110 | 120 |
| 210 | 220 |
| 310 | 320 |
| 410 | 420 |
| 510 | 520 |
| 610 | 620 |
| 710 | 720 |
| 810 | 820 |
| 910 | 920 |
| 1010 | A20 |
| 1110 | B20 |
| 1210 | C20 |
| 1310 | D20 |
| 1410 | E20 |
| 1510 | F20 |
| 1610 | G20 |
| 1710 | H20 |
| 1810 | I20 | J20 |
| 1910 | J20 | K20 |

### Πίνακας πολλαπλασιασμού

| **1** | **2** | **3** | **4** | **5** | **6** | **7** | **8** | **9** | **A** | **B** | **C** | **D** | **E** | **F** | **G** | **H** | **I** | **J** | **10** |
| **2** | 4 | 6 | 8 | A | C | E | G | I | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 1A | 1C | 1E | 1G | 1I | 20 |
| **3** | 6 | 9 | C | F | I | 11 | 14 | 17 | 1A | 1D | 1G | 1J | 22 | 25 | 28 | 2B | 2E | 2H | 30 |
| **4** | 8 | C | G | 10 | 14 | 18 | 1C | 1G | 20 | 24 | 28 | 2C | 2G | 30 | 34 | 38 | 3C | 3G | 40 |
| **5** | A | F | 10 | 15 | 1A | 1F | 20 | 25 | 2A | 2F | 30 | 35 | 3A | 3F | 40 | 45 | 4A | 4F | 50 |
| **6** | C | I | 14 | 1A | 1G | 22 | 28 | 2E | 30 | 36 | 3C | 3I | 44 | 4A | 4G | 52 | 58 | 5E | 60 |
| **7** | E | 11 | 18 | 1F | 22 | 29 | 2G | 33 | 3A | 3H | 44 | 4B | 4I | 55 | 5C | 5J | 66 | 6D | 70 |
| **8** | G | 14 | 1C | 20 | 28 | 2G | 34 | 3C | 40 | 48 | 4G | 54 | 5C | 60 | 68 | 6G | 74 | 7C | 80 |
| **9** | I | 17 | 1G | 25 | 2E | 33 | 3C | 41 | 4A | 4J | 58 | 5H | 66 | 6F | 74 | 7D | 82 | 8B | 90 |
| **A** | 10 | 1A | 20 | 2A | 30 | 3A | 40 | 4A | 50 | 5A | 60 | 6A | 70 | 7A | 80 | 8A | 90 | 9A | A0 |
| **B** | 12 | 1D | 24 | 2F | 36 | 3H | 48 | 4J | 5A | 61 | 6C | 73 | 7E | 85 | 8G | 97 | 9I | A9 | B0 |
| **C** | 14 | 1G | 28 | 30 | 3C | 44 | 4G | 58 | 60 | 6C | 74 | 7G | 88 | 90 | 9C | A4 | AG | B8 | C0 |
| **D** | 16 | 1J | 2C | 35 | 3I | 4B | 54 | 5H | 6A | 73 | 7G | 89 | 92 | 9F | A8 | B1 | BE | C7 | D0 |
| **E** | 18 | 22 | 2G | 3A | 44 | 4I | 5C | 66 | 70 | 7E | 88 | 92 | 9G | AA | B4 | BI | CC | D6 | E0 |
| **F** | 1A | 25 | 30 | 3F | 4A | 55 | 60 | 6F | 7A | 85 | 90 | 9F | AA | B5 | C0 | CF | DA | E5 | F0 |
| **G** | 1C | 28 | 34 | 40 | 4G | 5C | 68 | 74 | 80 | 8G | 9C | A8 | B4 | C0 | CG | DC | E8 | F4 | G0 |
| **H** | 1E | 2B | 38 | 45 | 52 | 5J | 6G | 7D | 8A | 97 | A4 | B1 | BI | CF | DC | E9 | F6 | G3 | H0 |
| **I** | 1G | 2E | 3C | 4A | 58 | 66 | 74 | 82 | 90 | 9I | AG | BE | CC | DA | E8 | F6 | G4 | H2 | I0 |
| **J** | 1I | 2H | 3G | 4F | 5E | 6D | 7C | 8B | 9A | A9 | B8 | C7 | D6 | E5 | F4 | G3 | H2 | I1 | J0 |
| **10** | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | A0 | B0 | C0 | D0 | E0 | F0 | G0 | H0 | I0 | J0 | 100 |

## Κλάσματα

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Δεκαδική βάση** Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης:: **2**, **5** Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από την βάση: **3** Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από την βάση: **11** |  |  |
| Κλάσμα | Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή | Θεσιακή αναπαράσταση |  | Θεσιακή αναπαράσταση | Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή | Κλάσμα |
| 1/2 | **2** | **0,5** |  | **0,A** | **2** | 1/2 |
| 1/3 | **3** | **0,**3333,,, = **0,**3 |  | **0,**6D6D,,, = **0,**6D | **3** | 1/3 |
| 1/4 | **2** | **0,25** |  | **0,5** | **2** | 1/4 |
| 1/5 | **5** | **0,2** |  | **0,4** | **5** | 1/5 |
| 1/6 | **2**, **3** | **0,1**6 |  | **0,3**6D | **2**, **3** | 1/6 |
| 1/7 | **7** | **0,**142857 |  | **0,**2H | **7** | 1/7 |
| 1/8 | **2** | **0,125** |  | **0,2A** | **2** | 1/8 |
| 1/9 | **3** | **0,**1 |  | **0,**248HFB | **3** | 1/9 |
| 1/10 | **2**, **5** | **0,1** |  | **0,2** | **2**, **5** | 1/A |
| 1/11 | **11** | **0,**09 |  | **0,**1G759 | **B** | 1/B |
| 1/12 | **2**, **3** | **0,08**3 |  | **0,1**D6 | **2**, **3** | 1/C |
| 1/13 | **13** | **0,**076923 |  | **0,**1AF7DGI94C63 | **D** | 1/D |
| 1/14 | **2**, **7** | **0,0**714285 |  | **0,1**8B | **2**, **7** | 1/E |
| 1/15 | **3**, **5** | **0,0**6 |  | **0,1**6D | **3**, **5** | 1/F |
| 1/16 | **2** | **0,0625** |  | **0,15** | **2** | 1/G |
| 1/17 | **17** | **0,**0588235294117647 |  | **0,**13ABF5HCIG984E27 | **H** | 1/H |
| 1/18 | **2**, **3** | **0,0**5 |  | **0,1**248HFB | **2**, **3** | 1/I |
| 1/19 | **19** | **0,**052631578947368421 |  | **0,**1 | **J** | 1/J |
| 1/20 | **2**, **5** | **0,05** |  | **0,1** | **2**, **5** | 1/10 |

## Άρρητοι αριθμοί

| *Αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί* | Δεκαδικό σύστημα | Εικοσαδικο συστημα |
| --- | --- | --- |
| √2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1) | 1,41421356237309,,, | 1,85DE37JGF09H6,,, |
| √3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου) | 1,73205080756887,,, | 1,ECG82BDDF5617,,, |
| √5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2) | 2,2360679774997,,, | 2,4E8AHAB3JHGIB,,, |
| *φ* (η χρυσή τομή = WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ) | 1,6180339887498,,, | 1,C7458F5BJII95,,, |
| *Υπερβατικοί άρρητοι αριθμοί* | Δεκαδικό σύστημα | Εικοσαδικο συστημα |
| *π* (αναλογία της περιφέρειας προς την διάμετρο) | 3,14159265358979,,, | 3,2GCEG9GBHJ9D2,,, |
| *e* (η βάση του φυσικού λογάριθμου) | 2,7182818284590452,,, | 2,E7651H08B0C95,,, |
| γ (η διαφορά μεταξύ της αρμονικής σειράς και του φυσικού λογάριθμου) | 0,5772156649015328606,,, | 0,BAHEA2B19BDIBI,,, |

## Παραπομπές

## Σχετική βιβλιογραφία

* Karl Menninger: *Number words and number symbols: a cultural history of numbers*; translated by Paul Broneer from the revised German edition. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1969 (also available in paperback: New York: Dover, 1992
* Levi Leonard Conant: *The Number Concept: Its Origin and Development*; New York, New York: MacMillon & Co, 1931. Project Gutenberg