# Κωνική τομή

Κωνικές τομές
**Κωνική τομή** ονομάζεται μία καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους (ο ένας κώνος εφαρμόζει "αναποδογυρισμένος" πάνω στην κορυφή του άλλου). Όλες οι καμπύλες το πολύ δεύτερης τάξης στο επίπεδο είναι κωνικές τομές.

Η θέση του επιπέδου ως προς τον κώνο καθορίζει τη μορφή της κωνικής τομής:

* Εάν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου η τομή είναι ένας κύκλος.
* Εάν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, η κλειστή καμπύλη που δημιουργείται είναι έλλειψη.
* Εάν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου, η τομή είναι παραβολή.
* Εάν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και ούτε παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού, τότε η καμπύλη που προκύπτει είναι υπερβολή.
* Τέλος εάν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή. Στην περίπτωση αυτή η τομή είναι ένα σημείο (εκφυλισμένη έλλειψη) ή μία ευθεία (εκφυλισμένη παραβολή) ή ένα ζεύγος ευθειών που διέρχονται από την κορυφή (εκφυλισμένη υπερβολή).

## Ενιαίος ορισμός κωνικών τομών

Γενικότερα ως κωνική τομή μπορεί να οριστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου των οποίων ο λόγος της απόστασης αυτών από σταθερό σημείο E (εστία) προς την απόσταση αυτών από μια σταθερή ευθεία δ (διευθετούσα) είναι σταθερός και ίσος προς WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , ήτοι δηλαδή:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Ο σταθερός αυτός λόγος WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ονομάζεται εκκεντρότητα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι:

* Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 τότε η κωνική τομή είναι έλλειψη.
	+ Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 η κωνική τομή είναι κύκλος.
* Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 τότε η κωνική τομή είναι παραβολή.
* Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή.

Η απόσταση της εστίας Ε από την διευθετούσα δ ορίζεται ως εστιακή παράμετρος και συμβολίζεται με p.

## Γενική εξίσωση κωνικής τομής

Κάθε γεωμετρικός τόπος που αντιπροσωπεύεται από μια εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 δευτέρου βαθμού είναι ένας από τους εξής: σημείο, μια ευθεία, δύο ευθείες, κύκλος, παραβολή, έλλειψη ή υπερβολή.

Η γενική εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 δευτέρου βαθμού μπορεί να γραφτεί ως:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Θα αρχίσουμε την μελέτη μας εξετάζοντας εάν μπορούμε να απαλείψουμε του όρους πρώτου βαθμού από την ανωτέρω εξίσωση. Προς τον σκοπό αυτό θα μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 θέτοντας:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
και αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές των WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 στην γενική εξίσωση λαμβάνουμε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
όπου

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Για να απαλειφθούν οι όροι πρώτου βαθμού επιλέγουμε WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 τέτοια ώστε

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Στην περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 οι τιμές για τα WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ορίζονται και είναι ως ακολούθως:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Κατόπιν αυτού η γενική εξίσωση μπορεί να γραφτεί (παραλείποντας τις ' από τις μεταβλητές WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 )

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
όπου το WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 προκύπτει μετά από αντικατάσταση των WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 στην εξίσωση για το WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ανωτέρω και είναι:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Επιπλέον να σημειώσουμε ότι εάν η ανωτέρω εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ικανοποιείται από ένα οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 τότε ικανοποιείται και από το WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 και άρα συνεπώς η νέα αρχή των αξόνων συντεταγμένων αποτελεί και το κέντρο του γεωμετρικού τόπου που αντιπροσωπεύει η γενική εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 .

Δηλαδή εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 τότε ο γεωμετρικός τόπος WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 έχει κέντρο του οποίου οι συντεταγμένες είναι WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 όπως αυτές προσδιορίστηκαν ανωτέρω.

Ακολούθως θα απλοποιήσουμε περαιτέρω την εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 αλλάζοντας διεύθυνση στους άξονες συντεταγμένων. Προς τον σκοπό αυτό θέτουμε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
οπότε με αντικατάσταση προκύπτει

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78

Σκοπός μας είναι να αλλάξουμε την διεύθυνση των αξόνων κατά μια γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 τέτοια ώστε να απαλειφθεί ο όρος WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 . Κατά συνέπεια θα υπολογίσουμε την γωνία WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 η οποία μηδενίζει τον συντελεστή του όρου WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 , δηλαδή θέλουμε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
και εφόσον πάντοτε μπορεί να βρεθεί WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 τέτοιο ώστε WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ο όρος WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 μηδενίζεται και λαμβάνουμε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
οπότε με απλοποίηση (παραλείποντας τις ' των μεταβλητών WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ) έχουμε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
όπου

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
και αφού WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 προκύπτει ότι:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
οπότε

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
(1) Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 :

* Στην περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 έχουν ίδιο πρόσημο, εάν δηλαδή WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 η εξίσωση αντιπροσωπεύει την αρχή των αξόνων.

* Στην περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 η εξίσωση αντιπροσωπεύει δύο ευθείες γραμμές με εξισώσεις:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
(2) Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 μπορούμε να γράψουμε:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
* Στην περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 έχουν ίδιο πρόσημο η εξίσωση είναι αδύνατη.

* Στην περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 η εξίσωση αντιπροσωπεύει υπερβολή.

* Στην περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 έχουν ίδιο πρόσημο αλλά WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 έχει διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 η εξίσωση αντιπροσωπεύει έλλειψη.

* Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 ήτοι δηλαδή WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 τότε η εξίσωση αντιπροσωπεύει κύκλο.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
Τέλος εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 τότε δεν είναι εφικτό εκτελέσουμε τον μετασχηματισμό μεταφοράς των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων και ως εκ τούτου δεν μπορούμε να απαλείψουμε τους όρους πρώτου βαθμού της γενικής εξίσωσης WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 .

Μπορούμε όμως να προχωρήσουμε στον μετασχηματισμό αλλαγής διεύθυνσης (στροφής) των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων θέτοντας:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
Οπότε η γενική εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 γράφεται ως:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
Όπως και προηγουμένως εάν θέσουμε

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
μηδενίζεται ο συντελεστής του όρου WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 και οι συντελεστές των WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 και WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 είναι:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
των οποίων το γινόμενο υπολογίζεται

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
και το οποίο ισούται προς μηδέν δεδομένου ότι από την υπόθεση διερευνούμε αυτήν ακριβώς την περίπτωση.

Κατά συνέπεια ένας εκ των δύο όρων των WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 ή WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 πρέπει να ισούται προς μηδέν και εξαφανίζεται, έστω ο όρος WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 . Έτσι τελικά η γενική εξίσωση WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 στην περίπτωση αυτή μετασχηματίζεται στην ακόλουθη μορφή (παραλείποντας τις ' από τη μεταβλητή WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 ):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
όπου

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206
(1) Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 αυτή η εξίσωση γράφεται

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210
και κατά συνέπεια σε αυτή την περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή.

(2) Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 , τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
* Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 τότε η εξίσωση αυτή αντιπροσωπεύει δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 .

* Εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 η εξίσωση αυτή αντιπροσωπεύει μια ευθεία με εξίσωση:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222
* Και τέλος προφανώς εάν WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 ο γεωμετρικός τόπος είναι αδύνατος.

## Είδη κωνικών τομών

Οι κωνικές τομές είναι:

* το σημείο
* ο κύκλος
* η έλλειψη
* η παραβολή
* η υπερβολή

## Αναλλοίωτα και ταξινόμηση κωνικών τομών

Έστω η γενική εξίσωση τετραγωνικής καμπύλης:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226

Τότε ορίζονται τα παρακάτω αναλλοίωτα με βάση τα οποία μπορούμε να ταξινομήσουμε τις κωνικές τομές:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234

|  |  |  | Κανονικές κωνικές
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  | Εκφυλισμένες κωνικές
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Κεντρικές κωνικές
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  | Πραγματική έλλειψη | Δύο "φανταστικές ευθείες" τεμνόμενες σε ένα "καθ' υπόστασιν" σημείο |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  | Κενό σύνολο (φανταστική έλλειψη) |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248  | - | Σημείο |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_250  | Υπερβολή | Δύο πραγματικές τεμνόμενες ευθείες |
| Μη Κεντρικές κωνικές
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  | Παραβολή | Φανταστικές "παράλληλες" ευθείς |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_256  | Παράλληλες πραγματικές ευθείες |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  | Συμπίπτουσες ευθείες |

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Διαδραστική εφαρμογή για τις κωνικές τομές
* Διαδραστική εφαρμογή για τις κωνικές τομές
* Συλλογή από διαδραστικές εφαρμογές για τις κωνικές τομές
* Συλλογή από διαδραστικές εφαρμογές για τις κωνικές τομές

### Ελληνικά βιβλία

* Χρυσάκης Θανάσης "Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία"

### Ελληνικά άρθρα

* Τουρναβίτης, Στέργιος (Ιανουαρίου 2023). «Οι κωνικές τομές και οι εφαρμογές τους». *Ευκλείδης Β΄* (127): 43-46.
* Χριστόπουλος, Θανάσης (Ιουνίου 2020). «Εισαγωγή στις κωνικές τομές». *Ευκλείδης Β΄* (115): 43-46.

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Naylor, B. (Δεκεμβρίου 1931). «1010. [L 1 . 1. a. The Definition of a Conic Section»]. *The Mathematical Gazette* **15** (216): 495–496. doi:10.2307/3605585.
* Benny, L. B. (Ιανουαρίου 1924). «Some Deductions from the Form of the Equation of the Conic Section». *The Mathematical Gazette* **12** (168): 8–14. doi:10.2307/3603397.
* Fox, C. (Μαΐου 1929). «The Orthocentre and Some Properties of Conic Sections». *The Mathematical Gazette* **14** (201): 451–454. doi:10.2307/3608101.
* Rumsey, C. A. (Δεκεμβρίου 1903). «Note on the Treatment of Conic Sections and Conicoids By Pure Geometry». *The Mathematical Gazette* **2** (42): 356–360. doi:10.2307/3603039.
* Maanen, Jan Van (Ιουλίου 1992). «Seventeenth century instruments for drawing conic sections». *The Mathematical Gazette* **76** (476): 222–230. doi:10.2307/3619131.
* Mahony, John D. (Ιουλίου 2019). «Locating parameters of interest in a conic section». *The Mathematical Gazette* **103** (557): 196–203. doi:10.1017/mag.2019.50.

## Παραπομπές