# Pi (mathemateg)

Pi|  |
| Enghraifft o: | Rhif trosgynnol, rhif real, cysonyn mathemategol, cysonyn UCUM, ratio of lengths  |
| Dynodwyr |
| Freebase | /M/05wjw  |
| Thesawrws y BNCF | 6838  |
|  Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia |

Pi
Mae'r cysonyn mathemategol **π** (a sillefir hefyd fel **pi**) yn rhif real, anghymarebol sydd yn fras yn hafal i 3.141592654 (i 9 lle degol) ac a gafodd ei enwi gan William Jones, mathemategydd o Gymru. Hwn yw'r gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr yn ôl geometreg Ewclidaidd. Mae gan π nifer o ddefnyddiau mewn Mathemateg, Ffiseg a Pheirianneg. Enwau arall am π yw **Cysonyn Archimedes** a **Rhif Ludolph**. Dethlir Diwrnod Pi ar 14 Mawrth yn flynyddol.

Fe'i diffinnir mewn geometreg Ewclidaidd fel cymhareb (cylchedd) cylch â'i ddiamedr, ac mae ganddo hefyd amryw o ddiffiniadau tebyg. Mae'r rhif 3.14159 yn ymddangos mewn sawl fformiwla ym mhob maes o fathemateg a ffiseg.

Gan ei fod yn Rhif anghymarebol, ni ellir mynegi WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 fel ffracsiwn cyffredin, er bod ffracsiynau fel 22/7 yn gyffredin a ddefnyddir i'w amcangyfrif. Yn yr un modd, nid yw ei gynrychiolydd degol byth yn dod i ben a byth yn setlo i batrwm ailadroddus. Mae'n ymddangos bod ei ddigidau degol (neu fôn arall ) yn cael eu dosbarthu ar hap, ac fe'u rhagdybir i fodloni math penodol o hap ystadegol.

Mae'n hysbys bod WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 yn rhif trosgynnol: nid yw'n wraidd unrhyw polynomial â chyfernodau rhesymegol. Mae trosgynniaeth WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 yn awgrymu ei bod yn amhosib datrys yr her hynafol o sgwario'r cylch gyda chwmpawd a phren mesur!

Roedd gwareiddiadau hynafol fel yr Eifftiaid a'r Babiloniaid, yn gofyn am amcangyfrifon eithaf cywir o WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 ar gyfer cyfrifiannau ymarferol. Tua 250 CC, creodd y mathemategydd Groegaidd Archimedes algorithm i amcangyfrif WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 gyda chywirdeb mympwyol. Yn y 5g OC, amcangyfrifodd mathemategwyr Tsieineaidd WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 i saith digid, tra amcangyfrifodd mathemategwyr Indiaidd hyd at pum digid, y ddau yn defnyddio technegau geometreg. Darganfuwyd y fformiwla gyfrifiadol gyntaf ar gyfer WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , yn seiliedig ar gyfresi anfeidrol, mileniwm yn ddiweddarach, pan ddarganfuwyd y gyfres Madhava-Leibniz gan ysgol seryddiaeth a mathemateg Kerala, a ddogfennwyd yn yr *Yuktibhāṣā*, ac a ysgrifennwyd tua 1530.

Ochr yn ochr gyda datblygiad calcwlws, datblygodd y gallu i gyfrifo cannoedd o ddigidau o WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 , digon ar gyfer yr holl gyfrifiannau gwyddonol ymarferol. Serch hynny, yn yr 20fed a'r 21g, mae mathemategwyr a chyfrifiadurwyr wedi ymestyn cynrychiolaeth degol WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 i sawl triliwn o ddigidau. Y prif gymhelliant dros y cyfrifiannau hyn yw fel achos prawf i ddatblygu algorithmau effeithlon i gyfrifo cyfresi rhifol, yn ogystal â'r ymgais i dorri record. Defnyddiwyd y cyfrifiadau helaeth dan sylw hefyd i brofi uwchgyfrifiaduron ac algorithmau lluosi manwl iawn.

## Diwrnod Pi

*Prif: Diwrnod Pi (mathemateg)*
Ers 1988 mae 14 Mawrth wedi cael ei ddynodi'n ddiwrnod rhyngwladol **π** a datblygodd i fod yn ddathliad byd-eang. Deilliodd y syniad o gael diwrnod pai o San Francisco, Unol Daleithiau'r America, lle defnyddir y fformat 'mis/dydd/blwyddyn' ar gyfer dyddiadau; o ddilyn y patrwm hwn, mae 14 Mawrth yn cyfateb i dri digid cynta'r rhif. Mae'r diwrnod hefyd yn gyfle i hyrwyddo mathemateg yn gyffredinol, yn enwedig pethau pob dydd fel gwiro arian cyfrifoedd banc.

I gydnabod y cysylltiad Cymreig dynodwyd 14 Mawrth yn Ddiwrnod Pai Cymru gan Lywodraeth Cymru yn 2015 i'w ddathlu yn flynyddol o hynny ymlaen.

## Diffiniad

Mewn geometreg Ewclidaidd, diffinnir π fel y gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr, neu fel cymhareb arwynebedd cylch i arwynebedd sgwâr ag ochrau sy'n hafal i radiws y cylch. Gellir diffinio'r cysonyn π mewn ffyrdd eraill hefyd.

Oherwydd bod ei ddiffiniad mwyaf elfennol yn ymwneud â'r cylch, mae WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 i'w gael mewn sawl fformiwla mewn trigonometreg a geometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, elipsau a sfferau. Mewn dadansoddiad mathemategol mwy modern, diffinnir y rhif yn lle hynny gan ddefnyddio priodweddau sbectrol y system rhifau real, fel *eigenvalue* neu gyfnod, heb unrhyw gyfeiriad at geometreg. Mae'n ymddangos felly mewn meysydd mathemateg a gwyddorau nad oes ganddynt lawer i'w wneud â geometreg cylchoedd, megis theori rhif ac ystadegau, yn ogystal ag ym mron pob maes ffiseg. Mae hollbresenoldeb WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , felly, yn ei wneud yn un o'r cysonion mathemategol mwyaf adnabyddus - y tu mewn a'r tu allan i'r gymuned wyddonol. Cyhoeddwyd sawl llyfr sy'n ymwneud â WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 , ac mae cyfrifiadau torri record nifer digidau WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 yn aml yn arwain at benawdau'r newyddion, drwy'r byd, ond yn enwedig yng Nghymru, cartref WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 .

Mae cylchedd cylch ychydig yn fwy na thair gwaith ei ddiamedr. Gelwir yr union gymhareb hon yn WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .
Diffinnir WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 yn aml fel y gymhareb rhwng cylchedd cylch WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 s ddiffinir yn aml fel "y gymhareb rhwng cylchedd cylch a'i ddiamedr WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Mae'r gymhareb WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 yn gysonyn, waeth beth yw maint y cylch. Er enghraifft, os oes gan gylch ddwywaith diamedr cylch arall, bydd ganddo ddwywaith y cylchedd hefyd, gan gadw'r un gymhareb WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 . Mae'r diffiniad hwn o WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 yn defnyddio geometreg fflat (Ewclidaidd), er y gellir ymestyn y syniad o gylch i unrhyw geometreg cromlin (di-Ewclidaidd), ond ni fydd y cylchoedd newydd hyn yn bodloni'r fformiwla WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 mwyach.

Yma, cylchedd cylch yw hyd yr arc o amgylch perimedr y cylch, maint y gellir ei ddiffinio'n ffurfiol yn annibynnol ar geometreg gan ddefnyddio terfynau - cysyniad o fewn calcwlws. Er enghraifft, gall un gyfrifo hyd arc hanner uchaf cylch yr uned yn uniongyrchol, a roddir mewn cyfesurynnau Cartesaidd gan yr hafaliad WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 , fel yr integryn:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
Mabwysiadwyd integryn fel hyn yn y diffiniad o WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 gan Karl Weierstrass, a'i diffiniodd yn integryn ym 1841. Nis defnyddir y diffiniad hwn bellach.

## π fel llythyren

Enw'r lythyren Roegaidd π yw *pi*. Defnyddir y sillafiad yma mewn cyd-destun cysodol pan nad oes modd defnyddio'r lythyren Roegaidd neu pan fydd y defnydd o'r symbol yn achosi dryswch.

Y symbol a ddefnyddir gan fathemategwyr i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch â'i ddiamedr yw'r llythyren Roegaidd , sy'n deillio o lythyren gyntaf y gair Groeg perimetros, sy'n golygu cylchedd. Yn ôl Uned Technolegau Iaith Prifysgol Bangor, yn y Gymraeg, yngenir y lythyren Roegaidd hon fel "pi" gan ddilyn yr ynganiad Roegaidd yn hytrach na'r ynganiad Saesneg "pai". Mewn defnydd mathemategol, mae'r llythyren fach yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei phrif lythyren Π, gan fod honno'n dynodi cynnyrch o ddilyniant mewn mathemateg, sy'n cyfateb i sut mae Σ yn dynodi crynhoad.

## Gwerth Rhifiadol

50-lle degol
Gwerth π wedi ei flaendorri i 50 lle degol yw:

* 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Mae cyfrifiaduron pwerus wedi cyfrifo gwerth rhifiadol π i driliwn o lefydd degol ond nid oes unrhyw batrwm syml o ddigidau wedi ei ddarganfod. Er bod modd cyfrifo π i filiynau o lefydd degol gan ddefnyddio cyfrifiaduron, dylid nodi fod gwerth wedi'i flaendorri i 39 lle degol yn ddigon cywir i gyfrifo cylchedd y bydysawd ac o fewn maint atom hydrogen o'r gwerth cywir. Pur anaml mae angen defnyddio mwy na 4 lle degol mewn gwaith gwyddonol neu ymarferol.

9-lle degol
Dyma werth π wedi ei flaendorri i i'r 9-lle degol cyntaf: 3.141592653. Yn Gymraeg gellir creu cofair (nemonig) drwy roi llythrennau i gynrychioli pob digid: 0 Di; 1 Un; 2 Da; 3 Tr; 4 Pe; 5 Pu; 6 Ch; 7 Sa; 8 Wy; 9 Na; 10 De. Dyma'r cofair:

"Triodd unawd pêr unwaith: pur ei naws a da! Chwydodd Puw trosto!".
(Tr-iodd Un-awd Pê-r Un-nwaith, Pu-r ei Na-ws a Da! Ch-wydodd Pu-w Tr-osto! sef 3-iodd 1-awd 4-r 1-nwaith, 5-r ei 9-ws a 2! 6-wydodd 5-w 3-osto!)

## Priodweddau

Mae π yn rhif anghymarebol (a hefyd yn rhif trosgynnol), ac felly mae gwerth union π yn ehangiad degol anfeidraidd, h. y. nid yw ehangiad degol π yn gorffen neu ailadrodd. Yn rhif anghymarebol, ni all π fod yn ffracsiwn, er bod 22/7 yn cael ei ddefnyddio’n gyffredinol i’w frasamcanu.

Profwyd ei fod yn anghymarebol ym 1761 gan Johann Heinrich Lambert, a'i fod yn drosgynnol gan Ferdinand von Lindemann ym 1882. Dengys y ffaith fod π yn anghymarebol fod sgwario'r cylch yn amhosib.

## Cyfrifo π

Gellir mesur **π** yn empeiraidd trwy lunio cylch mawr, mesur ei ddiamedr a'i gylchedd, a chyfrifo'r gymhareb. Yn ogystal, gellir cyfrifo **π** gan ddefnyddio dulliau mathemategol yn unig.

Dyma fformwla Leibniz:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29
Er bod y gyfres uchod yn un hawdd i'w hysgrifennu a'i chyfrifo, ond nid yw'n amlwg pam ei bod yn cydgyfeirio i π. Yn wir, mae'r cydgyfeirio mor araf fod 300 term yn annigonol i gyfrifo gwerth **π** i 2 le degol!

Ceir dull mwy greddfol trwy ddychmygu cylch â radiws **r** a'i ganol ar y tarddiad. Yna, fe fydd unrhyw bwynt (x,y) sydd â phellter **d** o'r tarddiad, a **d** yn llai nag **r**, o fewn y cylch. Gan ddefnyddio theorem Pythagoras:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31
Wedi canfod casgliad o bwyntiau o fewn y cylch, gellir amcangyfrifo **A**, arwynebedd y cylch. Gan mai π wedi lluosi â'r radiws sgwâr yw arwynebedd y cylch, gellir amcangyfrifo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33
### Trosgynoldeb

 Oherwydd bod π yn rhif trosgynnol, nid yw sgwario'r cylch yn bosibl mewn nifer gyfyngedig o gamau gan ddefnyddio offer clasurol cwmpawd a phren mesur.
Yn ogystal â bod yn afresymol, mae π hefyd yn rhif trosgynnol, sy'n golygu nad yw'n ateb unrhyw hafaliad polynomaidd nad yw'n gyson â chyfernodau cymarebol, fel WIKINIUM\_MATH\_PH\_35

Mae gan drosgyniad WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ddau ganlyniad pwysig: yn gyntaf, ni ellir mynegi WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 gan ddefnyddio unrhyw gyfuniad meidrol o rifau rhesymegol ac ail isradd neu *n-fed isradd* (megis WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 ). Yn ail, gan na ellir llunio rhif trosgynnol gyda chwmpawd a phren mesur, nid yw'n bosibl "sgwario'r cylch". Mewn geiriau eraill, mae'n amhosibl llunio, gan ddefnyddio cwmpawd a phren mesur yn unig, sgwâr y mae ei arwynebedd yn union yr un fath ag arwynebedd cylch penodol. Roedd sgwario cylch yn un o broblemau geometreg pwysig yr oes glasurol. Mae mathemategwyr amatur yn y cyfnod modern weithiau wedi ceisio sgwario'r cylch a hawlio llwyddiant - er gwaethaf y ffaith ei fod yn fathemategol amhosibl!

 Cynrychiolir y cyson π yn y brithwaith hwn y tu allan i Adeilad Adran Fathemateg, Prifysgol Dechnegol Berlin .
Fel pob rhif anghymarebol, ni ellir cynrychioli π fel ffracsiwn cyffredin (a elwir hefyd yn ffracsiwn syml), gan yr union ddiffiniad o rif anghymarebol (h.y., nid rhif cymarebol). Ond gellir cynrychioli pob rhif anghymarebol, gan gynnwys WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , gan gyfres anfeidrol o ffracsiynau nythol, a elwir yn ffracsiwn parhaus:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41
Mae blaendorri'r ffracsiwn parhaus ar unrhyw bwynt yn cynhyrchu brasamcan rhesymegol ar gyfer WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 ; y pedwar cyntaf o'r rhain yw 3, 22/7, 333/106, a 355/113. Mae'r niferoedd hyn ymhlith y brasamcanion hanesyddol mwyaf adnabyddus o'r cysonyn. Y brasamcan a gynhyrchir fel hyn yw'r brasamcan cymarebol gorau; hynny yw, mae pob un yn agosach at π nag unrhyw ffracsiwn arall gyda'r un enwadur neu lai. Gan y gwyddom fod WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 yn drosgynnol, nid yw'n algebraidd (trwy ddiffiniad) ac felly ni all fod yn anghymarebol-gwadratig . Felly, ni all WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 gael ffracsiwn parhaus cyfnodol. Mae mathemategwyr wedi darganfod sawl ffracsiynau parhaus cyffredinol sy'n amlygu patrymau amlwg, e.e.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
## Hanes

### Y gwreiddiau

Roedd y brasamcanion mwyaf adnabyddus o WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 yn dyddio i fileniwm cynat CC, ac yn gywir i ddau le degol; aeth y mathemategwyt Tsieineaidd ati i wella ar hyn, yn benodol erbyn canol y mileniwm cyntaf, i gywirdeb o saith lle degol. Ar ôl hyn, ni wnaed unrhyw gynnydd pellach tan ddiwedd y cyfnod canoloesol (tua mil o flynyddoedd we3dyn).

Mae'r brasamcanion ysgrifenedig cynharaf o WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 i'w cael ym Mabilon a'r Aifft, o fewn un y cant o'r gwir werth. Ym Mabilon, ceir tabled clai dyddiedig 1900–1600 CC sy'n ymddangos ei fod yn trin WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 fel 25/8 = 3.125. Yn yr Aifft, mae gan Papyrus Rhind, a ddyddiwyd i tua 1650 CC (ac a gopïwyd o ddogfen dyddiedig i 1850 CC) fformiwla ar gyfer arwynebedd cylch sy'n trin WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 fel (16/9)2 ≈ 3.16.

Mae cyfrifiadau seryddol yn y *Shatapatha Brahmana* (tua 4g CC) yn defnyddio brasamcan ffracsiynol o 339/108  ≈ 3.139 (cywirdeb o 9×10−4). Ceir f CC sy'n trin WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 fel WIKINIUM\_MATH\_PH\_53  ≈ 3.1622.

### Cyfnod brasamcanu'r polygon

Amcangyfrifo WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 trwy gyfrifo cylchred polygonau
Roedd yr algorithm cyntaf a gofnodwyd ar gyfer cyfrifo gwerth WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 yn drwyadl yn ddull geometregol gan ddefnyddio polygonau, ac a ddyfeisiwyd oddeutu 250 CC gan y mathemategydd Groegaidd Archimedes. Roedd yr algorithm polygonal hwn yn frenin ar y pwnc am dros 1,000 o flynyddoedd, ac o ganlyniad gelwir WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 weithiau fel "cysonyn Archimedes". Cyfrifodd Archimedes ffiniau uchaf ac isaf WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 trwy dynnu hecsagon rheolaidd y tu mewn a'r tu allan i gylch, a dyblu nifer yr ochrau yn olynol nes iddo gyrraedd polygon rheolaidd 96 ochr. Trwy gyfrifo perimedrau'r polygonau hyn, profodd fod WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 (hy WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 . Man uchaf Archimedes oedd WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 a gall fod hyn wedi wedi arwain mathemategwyr eraill at gred boblogaidd gyffredinol bod WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 yn hafal i WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 .

Tua 150 OC, noddodd y gwyddonydd Groegaidd-Rufeinig Ptolemi, yn ei *Almagest*, werth WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 fel 3.1416, y gallai fod wedi'i gael gan Archimedes neu gan Apollonius o Perga. Cyrhaeddodd y mathemategwyr a oedd yn defnyddio algorithmau polygonaidd 39 digid o WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ym 1630, record a dorrwyd yn 1699 pan ddefnyddiwyd cyfresi anfeidrol i gyrraedd 71 digid.

 Datblygodd Archimedes y dull polygonaidd o frasamcanu WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 .
Yn y 3g CC, yn y Tsieina hynafol, cyfrifwyd WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 yn WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 , sef 3.1556. Tua 265 OC, creodd y mathemategydd Wei Kingdom Liu Hui algorithm ailadroddol wedi'i seilio ar bolygonau a'i ddefnyddio gyda pholygon 3,072 ochr i gael gwerth π yn 3.1416. Yn ddiweddarach dyfeisiodd Liu ddull cyflymach o gyfrifo WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 a chael gwerth o 3.14 gyda pholygon 96 ochr, trwy fanteisio ar y ffaith bod y gwahaniaethau ym maes polygonau olynol yn ffurfio cyfres geometrig â ffactor o 4.

Tua 480 OC cyfrifodd y mathemategydd Tsieineaidd Zu Chongzhi, fod WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 ac awgrymodd y brasamcanion WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 = 3.142857142857..., a alwodd yn *Milü* ('cymhareb agos") ac *Yuelü* ("cymhareb fras"), yn y drefn honno, gan ddefnyddio algorithm Liu Hui i gymhwyso i polygon 12,288 o ochrau. Mewn cymhariaeth, nid oedd yr iaith Saesneg eto'n bodoli yn y cyfnod hwn. Gyda gwerth cywir ar gyfer ei saith digid degol cyntaf, roedd y gwerth hwn yn parhau i fod y brasamcan mwyaf cywir o WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 am yr 800 mlynedd nesaf.

Defnyddiodd y seryddwr Indiaidd Aryabhata werth o 3.1416 yn ei *Āryabhaṭīya* (499 OC).

Cyfrifodd Ffibonacci yn 1220 y gwerth o 3.1418 gan ddefnyddio dull polygonal, yn annibynnol ar Archimedes. Mae'n debyg bod yr awdur Eidalaidd Dante wedi defnyddio'r gwerth WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 .

### Mabwysiadu'r symbol π

 Y defnydd cynharaf o'r llythyren Roegaidd  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_79**  i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch i'w diamedr oedd gan y mathemategydd o Gymru William Jones, a hynny ym 1706
Yn y defnydd cynharaf, roedd y llythyren Roegaidd π yn dalfyriad o'r gair Groeg am gyrion (περιφέρεια, sef y wal o amgylch y cae), ac fe'i cyfunwyd mewn cymarebau â δ (delta, ar gyfer diamedr) neu ρ (ar gyfer radiws) i ffurfio cysonion cylch. Cyn hynny, roedd mathemategwyr weithiau'n defnyddio llythrennau fel *c* neu *p*. ) Y defnydd cyntaf a gofnodwyd i fynegi'r gymhareb cyrion a diamedr oedd yn rhifynnau 1647 a diweddarach o *Clavis Mathematicae* pan ddefnyddiodd yw William Oughtred " WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ". Yn yr un modd, defnyddiodd Isaac Barrow " WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 " i gynrychioli'r cyson 3.14 ..., tra defnyddiai David Gregory " WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 "i gynrychioli 6.28. ..

Ond gan Gymro o blwyf Llanfihangel Tre'r Beirdd, ar Ynys Môn y cafwyd y defnydd cyntaf o'r llythyren Roegaidd WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 <u>yn unig</u> i gynrychioli'r gymhareb cylchedd cylch i'w ddiamedr, sef William Jones yn ei waith yn 1706 *Synopsis Palmariorum Matheseos; neu Gyflwyniad Newydd i Fathemateg*. Mae'r llythyren Roegaidd yn ymddangos gyntaf yn yr ymadrodd "1/2 cylchred ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 )" wrth iddo drafod cylch â radiws o un. Mabwysiadwyd nodiant Jones o dipyn i beth gan fathemategwyr eraill, gyda'r nodiant ffracsiwn yn dal i gael ei ddefnyddio mor hwyr â 1767 gan rai.

Dechreuodd Euler ddefnyddio'r un llythyren Roegaidd hon, gan ddilyn yn sodlau William Jones yn ei *Draethawd yn Esbonio Priodweddau Aer, 1727* , er iddo ddefnyddio  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 = 6.28..., cymhareb y gylchred i'r radiws, yn yr ysgrifen hon a rhywfaint yn ddiweddarach. Defnyddiodd Euler gyntaf  WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 = 3.14... yn ei waith *Mechanica yn* 1736, a pharhaodd yn ei waith *Introductio in analysin infinitorum* pan ysgrifennodd: "er mwyn crynodeb, byddwn yn ysgrifennu'r rhif hwn fel π ; felly mae π yn hafal i hanner cylchedd cylch radiws 1"). Ymledodd y defnydd o'r llythyren Roegaidd yn gyflym, a mabwysiadwyd yr arfer yn gyffredinol wedi hynny yn y byd Gorllewinol, er bod y diffiniad yn dal i amrywio rhwng 3.14 ... a 6.28 ... hyd at 1761.

## Yr ymchwil fodern am fwy o ddigidau

### Cyfnod cyfrifiadur ac algorithmau ailadroddol

 Roedd John von Neumann yn rhan o'r tîm a ddefnyddiodd gyfrifiadur digidol yn gyntaf, ENIAC, i gyfrifo π.
Ffrwydrodd datblygiad cyfrifiaduron yng nghanol yr 20g a chafwyd sawl helfa am ddigidau pellach o π. Cyrhaeddodd y mathemategwyr John Wrench a Levi Smith 1,120 digid ym 1949 gan ddefnyddio cyfrifiannell desg. Gan ddefnyddio cyfres anfeidrol tangiad gwrthdro (arctan), cyflawnodd tîm dan arweiniad George Reitwiesner a John von Neumann yr un flwyddyn 2,037 o ddigidau gyda chyfrifiad a gymerodd 70 awr o amser cyfrifiadur, ar gyfrifiadur ENIAC. A thorwyd y record, a oedd bob amser yn defnyddio cyfres arctan, dro ar ôl tro: 7,480 digid ym 1957; 10,000 digid ym 1958; 100,000 o ddigidau ym 1961.. nes cyrraedd 1 miliwn o ddigidau ym 1973.

Cyflymodd dau ddatblygiad ychwanegol tua 1980 unwaith eto'r gallu i gyfrifo π . Yn gyntaf, darganfod algorithmau ailadroddol newydd ar gyfer cyfrifo π, a oedd yn llawer cyflymach na'r gyfres anfeidrol; ac yn ail, dyfeisio algorithmau lluosi cyflym a allai luosi niferoedd enfawr yn gyflym iawn. Roedd algorithmau o'r fath yn arbennig o bwysig gan fod y cyfrifiadur yn cael ei neilltuo i luosi, y rhan fwyaf o'r amser. Maent yn cynnwys algorithm Karatsuba, lluosi Toom-Cook, a dulliau trawsnewid Fourier.

Cyhoeddwyd yr algorithmau ailadroddol yn annibynnol ym 1975-1976 gan y ffisegydd Eugene Salamin a'r gwyddonydd Richard Brent. Mae'r rhain yn osgoi dibynnu ar gyfresi anfeidrol gan eu bod yn ailadrodd cyfrifiad penodol, pob iteriad gan ddefnyddio'r allbynnau o gamau blaenorol fel mewnbynnau, ac yn cynhyrchu canlyniad ym mhob cam sy'n cydgyfeirio i'r gwerth a ddymunir. Dyfeisiwyd y dull mewn gwirionedd dros 160 mlynedd ynghynt gan Carl Friedrich Gauss, yn yr hyn a elwir bellach yn ddull cymedrig rhifyddol-geometrig (*arithmetic–geometric mean method* neu'r dull CCB) neu weithiau algorithm Gauss-Legendre. Cafodd ei haddasu gan Salamin a Brent, ac felly cyfeirir ato hefyd fel algorithm Brent-Salamin.

Defnyddiwyd yr algorithmau ailadroddol yn helaeth ar ôl 1980 oherwydd eu bod yn gyflymach nag algorithmau cyfres anfeidrol: tra bo cyfresi anfeidrol fel rheol yn cynyddu nifer y digidau cywir yn ychwanegol mewn termau olynol, mae algorithmau ailadroddol yn *lluosi* nifer y digidau cywir ar bob cam yn gyffredinol. Er enghraifft, mae'r algorithm Brent-Salamin yn dyblu nifer y digidau ym mhob iteriad. Ym 1984, cynhyrchodd y brodyr John a Peter Borwein algorithm ailadroddol sy'n cynyddu bedair gwaith nifer y digidau ym mhob cam; ac ym 1987, un sy'n cynyddu nifer y digidau bum gwaith ym mhob cam. Defnyddiwyd dulliau ailadroddol hefyd gan y mathemategydd Siapaneaidd Yasumasa Kanada i osod sawl record ar gyfrifo π rhwng 1995 a 2002. Daw'r cydgyfeiriant cyflym hwn am bris: mae'r algorithmau ailadroddol yn gofyn am lawer mwy o gof cyfrifiadurol na chyfresi anfeidrol.

## Rôl a nodweddion mewn mathemateg

Oherwydd bod gan π gysylltiad agos â'r cylch, mae i'w gael mewn sawl fformiwla o feysydd geometreg a thrigonometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, sfferau neu elipsau. Mae canghennau eraill gwyddoniaeth, megis ystadegau, ffiseg, dadansoddiad Fourier, a theori rhif, hefyd yn cynnwys π yn rhai o'u fformiwlâu pwysig.

### Geometreg a thrigonometreg

 Mae arwynebedd y cylch yn hafal i π wedi'i luosi gyda'r arwynebedd llwyd.

Arwynebedd cylch yr uned yw π .
Gweler isod rhai o'r fformiwlâu mwyaf cyffredin sy'n ymwenud a π.

* Cylchedd cylch â radiws r yw WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 .
* Arwynebedd y cylch â radiws WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 yw WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 .
* Cyfaint sffêr â radiws WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 yw WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
* Arwynebedd sffêr â radiws WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 yw WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 .

Mae'r fformiwlâu uchod yn achosion arbennig o gyfaint y bêl <i id="mwBWQ">n</i>-dimensiwn ac arwynebedd ei ffin, y sffêr dimensiwn (<i id="mwBWY">n</i> −1), a roddir isod.

 Mesur lled triongl Reuleaux fel y pellter rhwng llinellau ategol cyfochrog. Oherwydd nad yw'r pellter hwn yn dibynnu ar gyfeiriad y llinellau, mae'r triongl Reuleaux yn gromlin o led cyson.
Ar wahân i gylchoedd, ceir hefyd cromliniau eraill o led cyson. Yn ôl theorem Barbier, mae gan bob cromlin o led cyson berimedr π wedi'i luosi gyda'i led. Mae gan y triongl Reuleaux (a ffurfiwyd trwy groesffordd tri chylch, pob un wedi'i ganoli lle mae'r ddau gylch arall yn croesi ) yr ardal leiaf bosibl ar gyfer ei lled a gan y cylch mae'r mwyaf.

Yn nodweddiadol mae gan integrynnau pendant sy'n disgrifio cylchedd, arwynebedd neu gyfaint siapiau a gynhyrchir gan gylchoedd werthoedd sy'n cynnwys π. Er enghraifft, rhoddir integryn sy'n nodi hanner arwynebedd cylch radiws un gan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_97
Yn yr integryn yma mae'r ffwythiant WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 yn cynrychioli hanner uchaf cylch (mae'r ail isradd yn ganlyniad i'r theorem Pythagoras), a'r integryn WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 yn cyfrifo'r arwynebedd rhwng yr hanner cylch hwnnw a'r echelin x.

 Ffwythiannau Sine a cosine yn ailadrodd gyda chyfnod 2π.
Mae'r ffwythiannau trigonometrig yn dibynnu ar onglau, ac yn gyffredinol mae mathemategwyr yn defnyddio radianau fel unedau mesur. Mae π yn chwarae rhan bwysig mewn onglau, a fesurir mewn radianau, a ddiffinnir fel bod cylch cyflawn yn rhychwantu ongl o 2π radian. Mae'r ongl o 180° yn hafal i π radian, ac 1 ° = π/180 radian.

## Cyfeiriadau