# System gyfesurynnau

System gyfesurynnau|  |
| Enghraifft o: | cysyniad mathemategol  |
| Math | ffrâm gyfeirio  |
| Rhan o | ffrâm gyfeirio  |
| Yn cynnwys | coordinate frame, coordinate surface, coordinate curve  |
| Dynodwyr |
| Freebase | /M/0l1sh  |
|  Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia |

System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw **system gyfesurynnau**. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.

 Defnyddir y system gyfesurynnau sfferig yn gyffredin mewn *ffiseg*. Mae'n aseinio tri rhif (a elwir yn gyfesurynnau) i bob pwynt mewn gofod Ewclidaidd: pellter rheiddiol *r*, ongl *begynol θ* (theta), ac ongl asimwthol *φ* (phi). Defnyddir y symbol *ρ* (rho) yn aml yn lle *r* .
Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.

## Cyfesurynnau Cartesaidd

*Prif: System gyfesurynnol Cartesaidd*
Mae system cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system *iawnonglog* (*orthogonal*) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau..

### Un dimensiwn

Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tarddiad yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.

Y linell rifau real

### Sawl dimensiwn

Enghraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Cartesaidd. Diffinnir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.

* Mewn dau ddimensiwn (*plân 2D*), diffinnir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
* Mewn tri ddimensiwn (*gofod 3D*) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
* Yn gyffredinol, mewn *gofod Ewclidaidd N dimensiwn* mae *N* echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 .

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn *N* dimensiwn.

Cyfesurynnau Cartesaidd 2D
Cyfesurynnau Cartesaidd 3D

### Systemau llaw dde

Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio *system llaw dde*, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

## Cyfesurynnau pegynol

Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn *begwn*. Estynnir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 (am radiws), a'r ongl gan naill ai WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 : cyfesurynnau pegynol WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 felly yw WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 . Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

Dau bwynt pegynnol

Yn y deiagram, *O* yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy *OL* yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
am bob rhif cyfan WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 . Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 a'r ongl i'r ystod WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 gradd neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 radian.

## Cyfesurynnau silindraidd

Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 , sef

* y pellter WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
* yr ongl asimwth WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynnwys yr echelin begynol)
* yr uchder WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 o blân yr echelin begynol

Cyfesurynnau Silindraidd

Yn y deiagram, *O* yw'r tardd, a'r linell drwy *OA* yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy *OL*

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 a'r ongl i'r ystod WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 gradd neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 yn yr ystod WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .

## Cyfesurynnau sfferigol

Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 , sef:

* y pellter WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 neu WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
* yr ongl asimwth WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
* yr ongl begynol WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , a fesurir o'r echelin begynol.

(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 a'r ongl begynol gan WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 . Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

Pwynt mewn cyfesurynnau sfferigol

Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 yn diffinio cylch nawnlin (*meridian*); mae WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

## Trawsnewidiadau ymysg systemau

Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)

* mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
* mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,

drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

### Ymysg systemau petryalog

Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau *fectorau uned* sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau **X**, **Y** a **Z** gan WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 .

Yna mae'r fector

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
yn y sytem yma.

Gelwir y triawd WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 yn *sylfaen* (*basis*) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini .

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu *trawsfudiad* o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o *drawsnewidiad affiniol* (*affine transform*)
. Y trawsnewidiadau yw:

* *trawsfudiad*, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y

mewn dau ddimensiwn, WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
* *cylchdroad*, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 yn dilyn

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
* *newid graddfa* yng ngyfeiriadau X ac Y

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud **o** system WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 **i** system WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 . Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.

* symud o dardd WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 i dardd cyffredin:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
* newid graddfa WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 fel y ddangoswyd uchod, gyda

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ar y ddau echelin
* cylchdroad WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 drwy'r ongl rhwng echelin X system WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ac echelin X system WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 , fel y ddangoswyd uchod
* symud o'r tardd cyffredin i dardd WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
Ceir y matrics terfynol drwy lluosi y rhain:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
### Rhwng systemau gwahanol

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.

| System | Petryalog | Pegynol |
| --- | --- | --- |
| Pegynol
 |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |
| Silindraidd
 |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  |
| Sfferigol
 |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |

## Gweler hefyd

* Cyfesurynnau map
* Geometreg gyfesurynnol
* Cyfesurynnau Cartesaidd petrualog (*Rectangular Cartesian Co-ordinates*)
* Rhif cyd-drefnol (*Co-ordination number*)

## Cyfeiriadau