# Sffêr

Diagram dau ddimensiwn o sffêr.
Mae **sffêr** (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn. Y pellter WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.

## Hafaliadau yn y gofod tri dimensiwn

Dau radiws sffêr
Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 a'i radiws WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 yn locws i holl bwyntiau WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 , fel bod

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
Gadewch i WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 fod yn rhifau real, gyda WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 , a rhowch

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
yna, nid oes gan yr hafaliad

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 yna'r unig ddatrysiad o WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 yw'r pwynt WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , yna WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 a'i radiws yn WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 .

Os yw WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 yn yr hafaliad uchod yn sero, yna WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 yw hafaliad y plân. Felly, gellir ystyried plân yn fath o sffêr gyda radiws anfeidraidd, sydd a'i ganolbwynt yn "bwynt anfeidraidd" (*point at infinity*).

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 a'i ganol WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ar baramedr, drwy:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt, WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 a WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 , sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.

## Cyfaint mewnol

Sffêr (mewn coch), gyda'i silindr amgylchol (mewn glas golau).
Mewn gofod tri dimensiwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
lle mae WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45
fel bod

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47
Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 , ble WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 yw diamedr y sffêr a hyd ochr y ciwb a  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 /6 ≈ 0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524 m3.

## Arwynebedd

Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 yw:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
## Cyfeiriadau