# Tiurema di Pitagora

In un triangulu rittangulu a somma di l'arii di i dui quatrati custruiti annantu à i cateti (turchinu è rossu) hè uguali à l'aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa (viuletta).
Animazioni di a prova di u Tiurema di Pitagora
U **tiurema di Pitagora** (o *Teurema di Pitagora*) hè un tiurema di a giumitria euclidea chì stabilisci una rilazioni fundamintali trà i lati d'un triangulu rittangulu è com'è pò essa cunsidaratu dinò una virsioni limitata ad eddi di u Tiurema di Carnot.

## Urighjina

 Visualisazioni di u casu di u triangulu (3,4,5) cuntinuta in u testu chinesu Chou Pei Suan Ching (scrittu trà u 200 a.C. è u 200 d.C.)
Ciò ch'è à l'ebbica muderna hè cunnisciutu com'è *tiurema di Pitagora* hè di solitu attribuitu di a filosofu è matematicu Pitagora. In rialità u so enunciatu (ma micca a so dimustrazioni) era ghjà cunnisciutu da i babilunesi, è era cunnisciutu ancu in China è sicuramenti in India com'eddi a dimostrani molti scritti frà i quali u Yuktibhasa. A dimustrazioni di u tiurema hè inveci incù ogni prubabilità ultiriori à Pitagora.

## Enunciatu

*In ogni triangulu rittangulu u **quatratu custruitu** nantu à l'iputenusa hè sempri **equivalenti** à a somma di i **quatrati custruiti** annantu à i cateti.*
oppuri:
*In ogni triangulu rittangulu l' **aria di u quatratu** custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri **uguali** à a somma di l' **arii di i quatrati** custruiti annantu à i cateti.*

Datu un triangulu rittangulu di lati *a*, *b* è *c*, è imprudendu *c* par disignà a so iputenusa è *a* è *b* par i so cateti, u tiurema hè espressu da l'equazioni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
o, di manera altirnativa, risulvendu lu par *c*:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Da induva si ricavani i cateti rispettivi :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
è

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
S'è a terna WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 hè custituita da numari intieri tandu si chjama terna pitagorica.

Invirsamenti, ogni triangulu in u quali i trè lati virificheghjani sta prubità hè rittangulu: stu tiurema, incù a so dimustrazioni, apparisci in l'ultimu enunciatu di l'*Elementi*.

## Dimustrazioni

Animazioni d'una dimustrazioni
A dimustrazioni classica di u tiurema di Pitagora cumpletta u prima libru di l' *Elementi* di Euclide, è ni custituisci u filu cunduttori. Essendu datu ch'eddu richiedi u postulatu di i paralleli, ùn vali micca in i giumitrii non-euclidei è in a giumitria neutrali. In u testu d'Euclide a dimustrazioni di u tiurema hè immediatamenti priciduta da a dimustrazioni di a custruibilità di i quatrati. L'esistenza stessa di i quatrati dipendi infatti da u postulatu di i paralleli è sparisci in i giumitrii non euclidei. St'aspettu di u prublemu hè in generali trascuratu in a didattica cuntimpuranea, chì tendi spessu à assuma com'è evidenti l'esistenza di i quatrati.

A dimustrazioni di u tiurema di Pitagora cunsisti in u fattu di riempia un stessu quatratu di latu uguali à a somma di i cateti prima incù quattru copii di u triangulu rittangulu più u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa è dopu incù quattru copii di u triangulu rittangulu più i quatrati custruiti annantu à i cateti, com'è annantu à a figura.

Essendu u tiurema un di i più noti di a storia di a matematica, ni esistini multissimi dimustrazioni, in tutali parechji cintunara, opara di matematichi, astronumi, agenti di cambiu, par asempiu un prisidenti americanu James A. Garfield è Liunardu da Vinci. Par stu tiurema sò stati classificati da u scentificu americanu Elisha Scott Loomis 371 diffarenti dimustrazioni, chì sò stati publicati in u 1927 in u so libru The Pythagorean Proposition.

### Dimustrazioni di Abu'l-Wafa

Dimustrazioni di Abu'l-Wafa' i Perigal
A dimustrazioni attribuita à u matematicu è astronumu persianu Abu'l-Wafa versu a fini di u X seculu d.C. è riscuparta da l'agenti di cambiu Henry Perigal (truvata in u 1835-1840, publicata in 1872 è dopu in 1891) si basa nantu à a scumpusizioni di u quatratu custruitu nantu à u catetu maiò, in giaddu annantu à l'imaghjini: tagliendu lu infatti incù dui retti passanti par u so centru, una parpindiculari è una parallela à l'iputenusa, si pò ricumpona di manera à incurpurà l'altru quatratu, è furmendu u quatratu nantu à l'iputenusa, com'è in a figura. Stu prucidimentu hè liatu à u prublemu di a trisezioni di u quatratu.

### Dimustrazioni di Airy

Esisti ancu una dimustrazioni in forma puetica, di l'astronumu Sir George Airy, in inglesu:

"*I am, as you can see,
a2 + b2 − ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'di
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read.*"
di a quali una traduzioni littarali hè

"*Com'è pudeti veda, sò
a2 + b2 − ab
Quandu ci sò dui trianguli sopra à mè
hè rapprisintatu u quatratu di l'iputenusa
Ma s'è inveci stocu eiu sopra ad eddi
Si leghjini i quatrati di i dui lati*"
I versi si rifiriscini à a parti bianca: i primi dui trianguli sò quiddi rossi, i sicondi quiddi turchinu.

Tantu a dimustrazioni di Perigal ch'è quist'ultima sò intarissanti, chì sò sputicamenti giumetrichi, veni à dì ùn richiedini alcuna difinizioni d'uparazioni aritmetichi, ma solu cungruenzi d'arii è di sigmenti.

### Quatrati cuncentrichi di Pomi

Dimustrazioni incù quatrati cuncentrichi
Dimustrazioni giumetrica basata annantu à dui quatrati cuncentrichi, di lati rispittivamenti pari à l'iputenusa (c) è à a somma di i dui cateti (a+b).

Com'eddu si vedi annantu à a figura, tolti i 4 trianguli rittanguli (in giaddu d'aria WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ) à u quatratu più grandi, chì currispondi à l'aria WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , s'otteni u quatratu più chjucu, rapprisintatu in biancu, chì equivali inveci à l'aria WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .

Dunqua WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

d'induva risulvendu s'otteni : WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

Sta dimustrazioni hà l'avantaghju d'avè una ripprisintazioni visuali simplicia è diretta, chì ùn richiedi micca u spustamentu è soprappusizioni di formi com'è l'altri dimustrazioni giumetrichi chì sò stati furmulati.

### Dimustrazioni di Garfield

Dimustrazioni di Garfield
Un'antra dimustrazioni giumetrica particularamenti significativa, chì in a so custruzzioni ùn cumparisci alcun' quatratu, fù truvata in u 1876 da Garfield, chì in seguitu divintò u vintesimu Prisidenti di i Stati Uniti d'America. Tandu in l'armata, Garfield cummintò u so risultatu: *"Quissa hè calcosa annantu à a quali i dui rami di u parlamentu pudarani essa d'accordu"*.

A dimustrazioni hè a siguenti:

si cunsidareghja una copia di u triangulu rittangulu in quistioni, ghjirata di 90 gradi di manera à allinià i dui cateti diffarenti (in a figura accantu u rossu è u turchinu). Si uniscini dopu l'estremità di l'iputenusi, è s'otteni un trapeziu. Uguagliendu l'aria di u trapeziu à a somma di quiddi di i trè trianguli retti, si dimostra u tiurema.
In formuli, dittu *a* u catetu rossu, *b* u turchinu è *c* l'iputenusa, è ricurdendu a putenza di u binomiu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
### Una apparenti dimustrazioni incù i numari cumplessi

Una (apparenti) dimustrazioni sputicamenti algebrica faci usu di i numari cumplessi è di a formula d'Euleru: siini *a*, *b* i cateti è *c* l'iputenusa. S'è i cateti sò alliniati annantu à l'assi, t'avemu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Cunsidarendu tandu u cumplessu cunghjucatu di WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
Multiplichendu trà eddi si otteni

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
In rialità si tratta sola d'una dimustrazioni apparenti, appostu ch'è u risultatu hè suppostu implicitamenti in l'usu di l'idantità WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 .

S'è infatti si sustituisci à l'espuninziali imaginariu a so difinizioni, l'idantità si rivela essa: WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , veni à dì WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

è l'ultima idantità bedda cunnisciuta ùn hè altru ch'è una pussibuli furmulazioni di l'enunciatu di u tiurema di Pitagora.

(S'è inveci l'espuninziali imaginariu hè difinitu à traversu a somma di a so seria di Taylor, tandu u prublemu diventa quiddu di dimustrà a rilazioni WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , induva a, b è c sò i misuri di i cateti è l'iputenusa d'un triangulu rittangulu: prublemu chì a so suluzioni ùn hè micca più simplicia ch'è i dimustrazioni pricidenti di u tiurema di Pitagora).

### Incù i tiuremi di Euclide

Dimustrazioni incù Euclide
Un'antra dimustrazioni improda u prima tiurema di Euclide. Si traccia l'altezza nantu à l'iputenusa, di lunghezza WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . Quidda spezza l'iputenusa in dui sigmenti, di lunghezza WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 . U tiurema di Euclide furnisci i rilazioni

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
da induva

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
è dunqua

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
### Incù i tiuremi di l'inchjerchju

Un'antra dimustrazioni pò essa ottinuta à traversu parechji tiuremi liati à a circumfarenza iscritta à un triangulu è par via di calchì simplicia passata algebrica.

**Lemma 1**: Tinendu contu di u tiurema di i tangenti si pò diducia da a figura pricidenti ch'è a distanza trà un vertici è u puntu di tangenza di un di i dui lati di u quali hè estremu incù l'inchjerchju hè uguali à a diffarenza trà u mezu perimetru è u latu oppostu a quiddu vertici. Infatti ogni latu hè cumpostu da dui di sti trè sigmenti, inoltri sti sigmenti sò uguali à dui à dui (quiddi aghjacenti, sempri par via di u tiurema di i tangenti) è a somma di tutti è sei hè uguali à u perimetru; par quissa a somma di tutti è trè sigmenti di lunghezza distinta hè uguali à u mezu perimetru è ognunu di quissi hè dunqua u mezu perimetru menu a somma di l'altri dui, è dunqua u latu oppostu à u vertici à u quali apparteni.

**Lemma 2**: In u casu particulari d'un triangulu rittangulu u raghju di a circumfarenza iscritta hè uguali à u sigmentu chì và da u vertici di l'angulu rettu à u puntu di tangenza incù l'inchjerchju. Quissa parchì, cunsidarendu u quadrilateru avendu com'è vertici u vertici di l'angulu rettu, i punti di tangenza annantu à i cateti è u incentru, si vidaria ch'eddu t'hà trè anguli retti(dunqua ancu u quartu) è veni à dì ch'eddu hè un rittangulu; ma ancu ch'eddu t'hà dui lati consecutivi cungruenti (un' antra volta par via di u tiurema di i tangenti), par quissa hè un rittangulu incù i diminsioni cungruenti, vali à dì un quatratu è dunqua par difinizioni ogni latu di soiu hè cungruenti à tutti l'altri. Quissa implicheghja u lemma chì ci vulia à dimustrà.

**Lemma 3**: Sii WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 u mezu perimetru, WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 u raghju di a circumfarenza inscritta è WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 l'aria di u triangulu in quistioni (micca nicissariamenti rittangulu, ma tali in a parti siguenti di a noscia dimustrazioni); s'hà a formula: WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 . Quissa si pò virificà cunsidarendu i trè trianguli avendu com'è altezza *Ri* è com'è basa è eddu rilativa un di i trè lati è custatendu ch'è A hè uguali à a somma di l'arii di quiddi trè trianguli; dunqua, chjamendu WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 i trè lati: WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 .

**Dimustrazioni algebrica**: Siini WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 i cateti è WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 l'iputenusa di u nosciu triangulu rittangulu. Avemu dunqua:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 à stu puntu, usendu u pruduttu nutevuli "somma par diffarenza" si otteni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 avà, par via di "quatratu d'un binomiu" si otteni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 simplifichendu i dinuminatori:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 prusegui:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 è da quì, finalmenti:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 chì currispondi par appuntu à l'enunciatu di u tiurema di pitagora.

## Inversu

Vali ancu l'inversu di u Tiurema di Pitagora (prupusizioni 48 di u prima libru di l' *Elementi* di Euclide):
"S'è in un triangulu di lati a, b è c vali a rilazioni WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , tandu u triangulu hè rittangulu".

*Dimustrazioni*. Sii T un triangulu di lati *a*, *b* è *c* tali ch'è WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 . Si cunsidareghja un sicondu triangulu rittangulu T' chì t'hà i cateti pari à *a* è *b* (hè sempri pussibuli di custruiscia un triangulu rittangulu dati i dui cateti). Par via di u Tiurema di Pitagora (direttu) l'iputenusa di u triangulu T' sarà para a WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 , veni à dì sarà uguali à u latu *c* di u triangulu T. I dui trianguli T è T' sarani dunqua cungruenti par via di u terzu criteriu di cungruenza, avendu tutti è trè i lati uguali. Ma tandu ancu u triangulu T sarà rittangulu *(CVD)*.

Un curullariu di u tiurema di Pitagora parmetti di ditarminà s'è un triangulu hè rittangulu, acutangulu o ottusangulu. Induva c currispondi à l'iputenusa, u latu più longu di i trè, è a + b > c (altrimenti ùn avemu micca un triangulu), privalini i siguenti rilazioni:

* s'è WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 , tandu u triangulu hè rittangulu
* s'è WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 , tandu u triangulu hè acutangulu
* s'è WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 , tandu u triangulu hè ottusangulu

### Applicazioni pratichi di l'enunciatu inversu

L'enunciatu inversu furnisci ancu un sistemu moltu simpliciu par custruiscia un angulu rettu (o par cuntrullà a quadratura d'un angulu ghjà esistenti) in situazioni pratichi, com'è a tupugrafia o u agrimensura.

À titulu d'asempiu, incù una funi di lunghezza para à a somma d'una terna pitagorica dimu 12, somma di 5, 4 è 3, in una calchì unità di misura) saria sufficenti di dispona i dui purzioni minori di a corda (quiddi di misura 4 è 3) à un certu angulu frà eddi; s'è l'estremità di a funi, disposta infini in forma triangulari, si chjudini, si saparà ch'è l'angulu cumpresu frà i dui purzioni minori di a corda (à stu puntu i dui cateti) hè cirtamenti rettu.

## Generalisazioni

U tiurema di Pitagora pò essa generalizatu in parechji modi. Di solitu, una generalisazioni hè una rilazioni chì s'appiega à tutti i trianguli, è chì appiigata à i trianguli rittanguli, hè equivalenti à u tiurema di Pitagora.

### Tiurema di u cusinu

Un qualunqua triangulu.
A più generalisazioni impurtanti di u tiurema di Pitagora hè forsi u tiurema di u cusinu, chì s'appiega à qualsiasi triangulu (micca nicissariamenti rettu). In un triangulu incù vertici è anguli indicati com'è in a figura, privali l'ugualità:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
In u casu in u quali WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 sii rettu, vali WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 è dunqua l'enunciatu hè equivalenti à u tiurema di Pitagora. U terminu aghjuntivu pò essa intarpritatu com'è u pruduttu scalariu di i vettori WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 .

### Tiurema di i sini

U tiurema di i sini metti in rilazioni i lunghezzi di i lati è l'anguli opposti.
U tiurema di i seni metti in rilazioni i lunghezzi di i lati d'un triangulu è i sini di l'anguli opposti. Sta rilazioni s'appiega ancu à qualsiasi triangulu è, in u casu in u quali quiddu saria rittangulu, pò essa cunsidarata equivalenti à u tiurema di Pitagora (bench'è di manera menu diretta ch'è rispettu à u tiurema di u cusinu).

U tiurema di i sini accerta ch'è in un triangulu qualunqua, incù i nutazioni com'è nantu à a figura, privalini i siguenti rilazioni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
Elevendu à u quatratu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
Summendu i tarmini s'otteni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
Quandu WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 hè un angulu rettu, s'otteni WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 è dunqua

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
Si otteni dunqua in stu casu u tiurema di Pitagora

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
### Generalisazioni chì ùn faci micca usu di a trigunumitria

Generalisazioni di u tiurema di Pitagora.
Hè pussibuli di stenda u tiurema di Pitagora à qualsiasi triangulu senza fà usu di funzioni trigunumetrichi com'è u sinu è u cusinu.
Datu un triangulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 com'è nantu à a figura, si tracciani dui sigmenti chì cullegani u vertici WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 incù dui punti WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 cuntinuti in u sigmentu oppostu WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 (oppuri in un so prulungamentu), di tali manera ch'è l'anguli WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 siini tremindù uguali à l'angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 di u vertici WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 . A figura mostra un casu in u quali l'angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 hè ottusu: s'eddu hè acutu, i dui punti WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 sò in ordini inversu (u prima a dritta è u sicondu a manca) è poni escia da u sigmentu WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 .

Privali a siguenti rilazioni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
Quandu WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 hè un angulu rettu, i punti WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 cuincidini è s'otteni u tiurema di Pitagora

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
A rilazioni generali pò essa dimustrata sfruttendu a similitudina frà i trianguli WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 , chì/ch'è porta à i rilazioni

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
Si otteni cusì

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
Summendu i dui uguaglianzi s'otteni a rilazioni iniziali.

## Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi

Rapprisintazioni grafica di u tiurema.
Una lighjenda conta ch'è Pitagora avaria furmulatu u so tiurema mentri stava aspittendu un'udienza da Policrate. Pusendu in un grandi salonu di u palazzu di Samo, Pitagora si missi à ussirvà i chjappeddi quatrati di u pavimentu, si pensa ch'è n'avaria vistu una rangata tuttu à fattu sopra à una diagunali, furmendu dui trianguli rittanguli uguali, ma in più d'essa dui trianguli rittanguli erani dinò isusceli, avendu i dui lati uguali. Pitagora imaginò un quatratu custruitu nantu à a diagunali di ruttura di a chjappedda, un quatratu avendu com'è lati i diagunali di i chjappeddi circustanti.

A dimustrazioni hè a siguenti:

* l'aria d'ognuna di i chjappeddi aghjacenti à i cateti era di: *2* mezi chjappeddi (=*1* chjappedda);
* a somma di i dui arii era dunqua di: *4* mezi chjappeddi (=*2* chjappeddi);
* l'aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa (diagunali di a chjappedda) era di: *4* mezi chjappeddi.

## Altri figuri

U Tiurema di Pitagora cuntinueghja à valè quandu annantu à ogni latu d'un triangulu rittangulu si custruiscini figuri rigulari diffarenti da u quatratu, com'è u triangulu equilateru, u pentagunu rigulari è l'esagunu rigulari aldilà di u mezu chjerchju.

## Noti

## Bibliugrafia

* Carl B. Boyer, *Storia di a matematica*, Mondadori, Milanu, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6
* Gino Loria, *I scenzi asatti in l'antica Grecia*, 2^ è, Milanu 1914

## Da veda dinò

* Giumitria
* Aritmugiumitria
* Numaru
* Radica quatrata
* Trigunumitria
* Iputenusa
* Tiurema di u cusinu
* Idantità di Parseval
* Toru (giumitria)
* Giumitria piana
* Angulu rettu
* Catetu
* Mezaretta
* Perimetru
* Sigmentu
* Triangulu isusceli
* Triangulu equilateru
* Tangenti
* Triangulu
* Uttaedru

## Liami esterni

* (EN) 54 dimustrazioni di u tiurema di Pitagora Archiviu 2014-11-13 at the Wayback Machine
* parechji animazioni grafichi di diffarenti dimustrazioni di u tiurema di Pitagora
* Animazioni di a dimustrazioni di Euclide Archiviu 2004-12-04 at the Wayback Machine

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.