# Geumitria

A **geumitria** (da u grecu anticu : γεωμετρία ; γεω "terra", μετρία "misura") hè, incù l'aritmetica, unu di i più rami anziani di e matematiche. S'interessa à e pruprietà di u spaziu chì sò ligate à a distanza, a forma, a taglia è a pusizione relativa di e figure. Un matematicu chì travaglia in u campu di a geumitria hè chjamatu un giomitru.

Sinu à u 19u seculu, a geumitria era guasi esclusivamente cunsacrata à a geumitria euclidiana, chì cumprende e nuzione di puntu, di linia, di pianu, di distanza, d'angulu, di superficia è di curva, cum'è cuncetti fundamentali.

In core di u XIXu seculu, parechje scuperte anu allargatu di modu spittaculare u campu d'appiicazione di a geumitria. Una di e più anziane di 'sse scuperte hè u Theorema Egregium ("teurema di prima trinca") di Gauss chì afferma à l'ingrossu ch'è l'incurvatura gaussiana di una superficia hè indipindente di ogni incastramentu specificu in un spaziu euclidianu. Quessa implicheghja ch'è e superfice ponu esse studiate intrinsecamente, vene à dì cum'è spazii autonomi, è hè statu stesu à a teuria di e varietà è à a geumitria riemanniana.

Più tardi à u XIXu seculu, hè apparsu ch'è e geumitrie senza u postulatu di u parallelu (e geumitrie non euclidiane) ponu esse sviluppate senza intruduce cuntradizione. A geumitria chì sottutende a relatività generale hè un'appiicazione celebra di a geumitria non euclidiana.

Dipoi tandu, u campu d'appiicazione di a geumitria s'hè cunsiderevulmente stesu è u duminiu hè statu divisu in numerosi sottucampi chì dipendenu di i metudi sottustanti - geumitria differenziale, geumitria algebrica, geumitria computaziunale, tupulugia algebrica, geumitria discreta (ancu chjamata geumitria cumbinatoria), è cetera. - o annantu e pruprietà di i spazii euclidiani chì ùn sò micca pigliate in contu - geumitria pruiettiva chì ùn cunsidereghja ch'è l'alliniamentu di i punti è micca a distanza è u parallelismu, geumitria affina chì omette u cuncettu d'angulu è di distanza, geumitria finita chì omette a cuntinuità, è cetera.

Sviluppata à l'origine per mudellizà u mondu fisicu, a geumitria hà l'appiicazione in guasi tutte e scenze, è ancu in l'arte, l'architittura è altre attività ligate à u grafismu. A geumitria hà dinù l'appiicazione in duminii di e matematiche apparintamente senza rapportu. Per indettu, i metudi di a geumitria algebrica sò fundamentali in a prova di Wiles di l'ultimu teurema di Fermat, un prublema chì hè statu enunciatu in termini d'aritmetica elementare è chì hè firmatu senza soluzione mentre parechji seculi.

## Storia

* Articulu principale : Storia di a geumitria

Un Europeu è un Arabu pratichendu a geumitria à u 15imu seculu
E prime tracce di a geumitria ricollanu à a Mesuputamia è à l'Egittu antichi, à u sicondu millenniu innanzu G.-C. A geumitria primitiva era unu inseme di principi scuperti empiricamente cuncirnendu e lunghezze, l'anguli, e superficie è i vulumi, chì sò stati sviluppati per risponde à bisogni pratichi infatti di misurera, di custruzzione, d'astronumia è d'artigianatu. I più testi anziani cunnisciuti annantu à a geumitria sò u papiru egizzianu Rhind (2000-1800 av. G.-C.) è u papiru di Mosca (ver' di 1890 av. G.-C.), è ancu e taulette d'arzilla babiluniane, tale Plimpton 322 (1900 av. G.-C.). Per indettu, u papiru di Mosca dà una formula per calculà u vulume di una piramida mozza, o frustum. E taulette d'arzilla più ricente (350-50 av. G.-C.) dimostranu ch'è l'astrunomi babiluniani anu messu in sesta e prucidure trapezoidale per calculà a pusizione è u muvimentu di Ghjove in u spaziu tempu-velucità. 'Sse prucidure geumetriche anu anticipatu di 14 seculi e calculatrice d'Oxford, cumpresu u teurema di a velucità media. À u sudu di l'Egittu, l'anziani Nubiens anu stabilitu un sistemu di geumitria chì cumprendia e prime virsione di i rilogi sularii.

À u 7u seculu innanzu G.-C., u matematicu grecu Talete di Miletu hà imprudatu a geumitria per risolve i prublemi cum'è u calculu di l'altezza di e piramide è di a distanza di e nave rispettu à a riva. Omu li attribuisce u prima usu di u raghjunamentu diduttivu appiicatu à a geumitria, derivendu ne quattru corullarii di u teurema di Talete. Pitagora hà criatu a scola pitagorica, à a quale omu attribuisce a prima prova di u teurema di Pitagora, benchì l'enunciatu di u teurema aghji una longa storia. Eudossu (408-c. 355 av. G.-C.) hà messu à u puntu u metudu di u sfinimentu, chì parmettia di calculà l'arie è i vulumi di e figure curvilinie, è ancu una teuria di i rapporti chì evitava u prublema di e grandezze smisurate, ciò chì hà permessu à i giomitri ultiriori di fà i prugressi impurtanti. Ver' di 300 avanti G.-C., a geumitria hè stata rivoluziunata da Euclide, chì i so Elementi, largamente cunsiderati cum'è u manuale u più riesciutu è u più influente di tutti i tempi, anu introduttu u rigore matematicu per via di u metudu assiumaticu è custituiscenu u prima esempiu di u furmatu dinù usatu oghje in matematiche, vene à dì definizione, assioma, teurema è prova. Benchì a maiò parte di i cuntenuti di l'Elementi eranu dighjà cunnisciuti, Euclide l'hà organizati in un quatru logicu singulu è cuerente. L'Elementi eranu cunnisciuti da tutte e persone struite in Occidente insin'à a mità di u 20u seculu è u so cuntenutu hè dinù insignatu in e corte di geumitria oghje. Archimede (287-212 av. G.-C.) di Siracusa hà usatu u metudu di u sfinimentu per calculà l'area sottu à l'arcu di una parabula incù l'intimazione di una seria infinita, è hà datu l'apprussimazione precise in modu rimarchevule di *pi*. Hà dinù studiatu a spirale chì porta u so nome è hà ottenutu e formule per i vulumi di e superficie di rivoluzione.

Donna insignendu a geumitria. Illustrazione à u principiu di una traduzzione medievale di l'Elementi d'Euclide, (ver' di 1310).
I matematichi indiani anu dinù arrecatu numerosi cuntributi impurtanti à a geumitria. U Satapatha Brahmana (3u seculu innanzu G.-C.) cuntene e regule per e custruzzione geumetriche rituale chì sò simile à i Sulba Sutras. Sient'è (Hayashi 2005, p. 363), i Śulba Sūtras cuntenenu " a più sprissione anziana verbale di u teurema di Pitagora esistente in u mondu, bench'ellu sia dighjà statu cunnisciutu da l'anziani Babiluniani ". Cuntenenu e liste di triplici di Pitagora, chì sò casi particulari d'equazione diofantee. In u manuscrittu di Bakhshali, ci hè una manata di prublemi geumetrichi (cumpresi i prublemi annantu à i vulumi di solidi irrigulari). U manuscrittu di Bakhshali " usa dinù un sistemu di valori di piazza decimale incù un puntu per u zeru ". L'Aryabhatiya d'Aryabhata (499) cumprende u calculu di l'arie è di i vulumi. Brahmagupta hà scrittu a so opera astrunomica Brāhma Sphuṭa Siddhānta in u 628. U capitulu 12, cuntinendu 66 virsetti sanscriti, era divisu in dui sezzione : " operazione di basamentu " (frà e quale e radiche cubiche, e frazzione, i rapporti è prupurzione, è u barattu) è " matematiche pratiche " (frà e quale u mischiu, e serie matematiche, e figure piane, l'accatastamentu di i mattoni, a segatura di u legnu è l'accatastamentu di u granellu). In quest'ultima sezzione, enunciò u so celebru teurema annantu à e diagunale di un quadrilateru ciclicu. U capitulu 12 cumprendia dinù una formula per l'area di un quadrilateru ciclicu (una generalisazione di a formula di Héron), è ancu una descrizzione cumpletta di i trianguli raziunali (vale à dì i trianguli incù lati raziunali è arie raziunale).

À u Medievu, e matematiche di l'Islamu medievale anu cuntribuitu à u sviluppu di a geumitria, in particulare di a geumitria algebrica. Al-Mahani (natu in u 853) hà cuncipitu l'idea di riduce i prublemi geumetrichi tali a duplicazione di u cubu à i prublemi d'algebra. Thābit ibn Qurra (cunnisciutu sottu u nome di Thebit in latinu) (836-901) s'hè interissatu à l'operazione aritmetiche appiicate à i rapporti di quantità geumetriche è hà cuntribuitu à u sviluppu di a geumitria analitica. Omar Khayyám (1048-1131) hà truvatu e soluzione geumetriche à l'equazione cubiche. I teuremi d'Ibn al-Haytham (Alhazen), d'Omar Khayyam è di Nasir al-Din al-Tusi annantu à i quadrilateri, cumpresu u quadrilateru di Lambert è u quadrilateru di Saccheri, sò stati i primi risultati di a geumitria iperbolica è, incù i so postulati alternativi, tali l'assioma di Playfair, 'ssi travagli anu avutu un'influenza cunsiderevule annantu à u sviluppu di a geumitria non euclidiana ind'è i giomitri europei ultiriori, cumpresu Witelo (c. 1230-c. 1314), Gersonides (1288-1344), Alfonso, John Wallis è Giovanni Girolamo Saccheri.

À u principiu di u 17imu seculu, ci sò stati dui sviluppi impurtanti in geumitria. U prima fubbe a criazione di a geumitria analitica, o geumitria incù cuurdinate è equazione, da René Descartes (1596-1650) è Pierre de Fermat (1601-1665), precursori necessarii à u sviluppu di u calculu è di una scenza quantitativa pricisa di a fisica. U sicondu sviluppu geumetricu di 'ssu periodu hè u studiu sistematicu di a geumitria pruiettiva da Girard Desargues (1591-1661). A geumitria pruiettiva studieghja e pruprietà di e forme chì fermanu invariate sottu à l'effettu di e pruiezione è di e sezzione, in particulare riguardu à a pruspittiva artistica.

Dui sviluppi in geumitria à u 19imu seculu anu cambiatu u modu ch'ella era stata studiata capunanzu : a scuperta di e geumitrie noneuclidiane da Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai è Carl Friedrich Gauss è a formulazione di a simitria cum'è cunsiderazione cintrale in u prugramma d'Erlangen di Felix Klein (chì hà generalizatu e geumitrie euclidiana è noneuclidiana). Dui di i maestri giomitri di l'epica sò Bernhard Riemann (1826-1866), chì travaglia per u più incù i stuvigli di l'analisi matematica è introduce a superficia di Riemann, è Henri Poincaré, u fundatore di a tupulugia algebrica è di a teuria geumetrica di i sistemi dinamichi. In cunsequenza di 'ssi cambiamenti magiori in a cuncezzione di a geumitria, u cuncettu di " spaziu " hè diventatu qualcosa di riccu è di variu, è u sfondulu naturale di teurie tante differente ch'è l'analisi cumplessa è a meccanica classica.

## Cuncetti impurtanti in geumitria

Eccu uni pochi di i cuncetti impurtanti di a geumitria.

### Assiomi

* Da vede ancu : Geumitria euclidiana è Assioma

Un'illustrazione di u postulatu di u parallelu d'Euclide
Euclide hà aduttatu un'approcciu astrattu di a geumitria in i so Elementi, unu di i più libri influenti mai scritti. Euclide hà introduttu certi assiomi, o postulati, sprimendu e pruprietà primarie o evidente di i punti, linie è piani. Hà dopu deduttu in modu rigurosu altre pruprietà da un raghjunamentu matematicu. A caratteristica di l'approcciu d'Euclide infatti di geumitria era u so rigore, è hè stata cunnisciuta sottu u nome di geumitria assiumatica o sintetica. À u principiu di u XIXu seculu, a scuperta di geumitrie non euclidiane da Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) è d'altri hà suscitatu una vultata d'interessu per 'ssa disciplina è, à u XXu seculu, David Hilbert (1862-1943) hà usatu u raghjunamentu assiumaticu per pruvà à furnisce una basa muderna à a geumitria.

### Punti

* Articulu principale : Puntu (geumitria)

I punti sò cunsiderati cum'è ogetti fundamentali in geumitria euclidiana. Sò stati definiti in una varietà di manere, cumpresa a definizione d'Euclide cum'è "ciò chì ùn hà micca parte" è da l'usu di l'algebra o di l'insemi incastrati. In assai campi di a geumitria, tali a geumitria analitica, a geumitria differenziale, è a tupulugia, tutti l'ogetti si cunsidereghjanu custruiti da i punti. Eppuru, ci sò stati uni pochi di studii di geumitria senza riferimentu à i punti.

### Linie

* Articulu principale : Linia (geumitria)

Euclide hà discrittu una linia cum'è una " lunghezza senza larghezza " chì " si trova dinù riguardu à i punti annantu à ella stessa ". In e matematiche muderne, datu a multitudine di geumitrie, u cuncettu di una linia hè strettamente ligatu à u modu chì a so geumitria hè discritta. Per indettu, in geumitria analitica, una linia in u pianu hè à spessu definita cum'è l'inseme di i punti chì e so cuurdinate suddesfanu un'equazione lineare data, ma in un quatru più astrattu, cum'è a geumitria d'incidenza, una linia pò esse un ogettu indipindente, distintu di l'inseme di i punti chì si trovanu annantu à ella. In geumitria differenziale, una geodesica hè una generalisazione di a nuzione di linia à i spazii curvi.

### Piani

* Articulu principale : Pianu (geumitria)

Un pianu hè una superficia piana è bidimensiunale chì si stende à l'infinitu. I piani sò imprudati in numerosi campi di a geumitria. Per indettu, i piani ponu esse studiati cum'è una superficia tupulogica senza riferimentu à e distanze o à l'anguli. Pò esse studiatu cum'è un spaziu affinu, induve a coliniarità è i rapporti ponu esse studiati ma micca e distanze. In modu alternativu, pò esse studiatu cum'è u pianu cumplessu usendu e tecniche di l'analisi cumplessa, è tira è tocca.

### Anguli

* Articulu principale : Angulu

Angulu acutu (a), ottusu (b) è drittu (c). L'anguli acuti è ottusi sò dinù cunnisciuti sottu u nome di anguli obliqui.
Euclide definisce un angulu pianu cum'è l'inclinazione una riguardu à l'altra, in un pianu, di duie linie chì si scontranu, è chì ùn sò micca rette una rispettu à l'altra. In termini muderni, un angulu hè a figura furmata da dui raghji, chjamati i lati di l'angulu, spartendu un puntu d'estremità cumunu, chjamatu u vertice di l'angulu.

In geumitria euclidiana, l'anguli sò imprudati per studià i puliguni è i trianguli, è custituiscenu un ogettu di studiu propriu. U studiu di l'anguli di un triangulu o di l'anguli in un chjerchju unitariu custituisce a basa di a trigunumitria.

In geumitria differenziale è in calculu, l'anguli trà curve piane o curve o superfice di u spaziu ponu esse calculati cù l'aiutu di a derivata.

### Curve

* Articulu principale : Curva (geumitria)

Una curva hè un ogettu 1-dimensiunale chì pò esse drittu (cum'è una linia) o micca ; e curve in u spaziu 2-dimensiunale sò chjamate curve piane è quelle in u spaziu 3-dimensiunale sò chjamate curve spaziale.

In tupulugia, una curva hè definita da una funzione di un intervallu di i numeri reali à un antru spaziu. In geumitria differenziale, listessa definizione hè imprudata, ma a funzione di definizione deve esse differenziabile. A geumitria algebrica studieghja e curve algebriche, chì sò definite cum'è varietà algebriche di dimensione unu.

### Superficie

* Articulu principale : Superficia (geumitria)

Una sfera hè una superficia chì pò esse definita di manera parametrica (da x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) o implicita (da x2 + y2 + z2 - r2 = 0...).
Una superficia hè un ogettu bidimensiunale, tale una sfera o un paraboloide. In geumitria differenziale è in tupulugia, e superficie sò discritte da "patches" (o vicinanze) bidimensiunali chì sò accolti da diffeumurfismi o omeumurfismi, rispittivamente. In geumitria algebrica, e superficie sò discritte da equazione polinumiale.

### Varietà

* Articulu principale : Varietà (geumitria)

Una varietà hè una generalisazione di i cuncetti di curva è di superficia. In tupulugia, una varietà hè un spaziu tupulogicu induve ogni puntu hà una vicinanza chì hè omeumorfa à u spaziu euclidianu. In geumitria differenziale, una varietà differenziabile hè un spaziu induve ogni vicinanza hè diffeomorfa à u spaziu euclidianu.

E varietà sò largamente imprudate in fisica, in particulare in a relatività generale è a teuria di e corde.

### Lunghezza, superficia, è vulume

* Articuli principali : Lunghezza (geumitria), superficia (geumitria), è vulume (geumitria)

A lunghezza, l'area è u vulume discrivenu a taglia o a stesa di un ogettu in una dimensione, duie dimensione è trè dimensione rispittivamente.

In geumitria euclidiana è in geumitria analitica, a lunghezza di un sigmentu di retta pò à spessu esse calculata per via di u teurema di Pitagora.

L'area è u vulume ponu esse definiti cum'è quantità fundamentale distinte di a lunghezza, o ponu esse discritti è calculati in termini di lunghezze in un pianu o un spaziu tridimensiunale. I matematichi anu truvatu numerose formule esplicite per l'area è e formule per u vulume di diversi ogetti geumetrichi. In calculu, l'area è u vulume ponu esse definiti in termini di integrale, cum'è l'integrale di Riemann o l'integrale di Lebesgue.

### Metriche è misure

* Articuli principali : Metrica (Geumitria) è Misura (Geumitria)

Verificazione visuale di u teurema di Pitagora per u triangulu (3, 4, 5) cum'è in u Zhoubi Suanjing 500-200 BC. U teurema di Pitagora hè una cunsequenza di a metrica euclidiana.
U cuncettu di lunghezza o di distanza pò esse generalizatu, ciò chì cunduce à l'idea di metrica. Per indettu, a metrica euclidiana misura a distanza trà i punti in u pianu euclidianu, mentre ch'è a metrica iperbolica misura a distanza in u pianu iperbolicu. Frà l'altri esempii impurtanti di metriche, si pò cità a metrica di Lorentz di a relatività ristrinta è a metrica mezi riemanniana di a relatività generale.

In un'antra direzzione, i cuncetti di lunghezza, d'area è di vulume sò stesi incù a teuria di a misura, chì studieghja i metudi d'attribuzione di una taglia o da una misura à l'insemi, induve e misure suvitanu e regule simile à quelle di l'area è di u vulume classiche.

### Congruenza è similarità

* Articuli principali : Congruenza (geumitria) è Similitudine (geumitria)

Congruenza è similarità sò i cuncetti chì discrivenu quandu duie forme anu caratteristiche simile. In a geumitria euclidiana, a similarità hè usata per discrive l'ogetti chì anu listessa forma, mentre ch'è a congruenza hè usata per discrive l'ogetti chì sò listessi in a taglia è a forma. Hilbert, in u so travagliu di crià una fundazione più rigurosa per a geumitria, hà trattatu a congruenza cum'è un termine indefinitu chì e so pruprietà sò definite da assiomi.

A congruenza è a similarità sò generalizate in a geumitria di e trasfurmazione, chì studieghja e pruprietà di l'ogetti geumetrichi chì sò prisirvate da differenti tipi di trasfurmazione.

### Custruzzione di cumpassu è di riga

* Articulu principale : Custruzzione à u cumpassu è à a riga

I giomitri classichi accurdavanu un'attinzione particulare à a custruzzione d'ogetti geumetrichi chì eranu stati discritti di un'antra manera. Classicamente, i soli strumenti autorizati in e custruzzione geumetriche sò u cumpassu è a riga. Inoltre, ogni custruzzione duvia esse ultimata in un numeru finitu di tappe. Eppuru, certi prublemi si sò avvirati difficili o impussibili à risolve da 'ssi soli mezi, è e custruzzione ingeniose usendu e parabule è altre curve, è ancu i dispusitivi meccanichi, sò state scuperte.

### Dimensione

* Articulu principale : Dimensione (geumitria)

U fioccu di neve di Koch, incù una dimensione frattale = log4/log3 è una dimensione tupulogica = 1
dunde a geumitria tradiziunale autorizava e dimensione 1 (una linia), 2 (un pianu) è 3 (u nostru mondu ambiente cuncipitu cum'è un spaziu tridimensiunale), i matematichi è i fisichi improdanu e dimensione superiore dapoi circa dui seculi. Un esempiu d'usu matematicu di e dimensione superiore hè u spaziu di cunfigurazione di un sistemu fisicu, chì hà una dimensione uguale à i gradi di libertà di u sistemu. Per indettu, a cunfigurazione di una vita pò esse discritta da cinque cuurdinate.

In tupulugia generale, u cuncettu di dimensione hè stata stesu da i numeri naturali à e dimensione infinite (spazii di Hilbert, per indettu) è à i numeri reali pusitivi (in geumitria frattale). In geumitria algebrica, a dimensione di una varietà algebrica hà ricevutu une belle poche di definizione apparintamente differente, chì sò tutte equivalente in i casi i più currenti.

### Simitria

* Articulu principale : Simmitria (geumitria)

Un pavimentu di u pianu iperbolicu
U tema di a simitria in geumitria hè guasi vechju quant'è a scenza di a geumitria stessa. E forme simetriche cum'è u chjerchju, i puliguni rigulari è i solidi platonichi avianu un significatu prufondu per assai filosofi antichi è sò stati studiati in dittagliu nanzu à u tempu d'Euclide. I mutivi simetrichi sò prisenti in a natura è sò stati resi artisticamente sottu à una multitudine di forme, in particulare in i grafichi di Leunardu da Vinci, di M. C. Escher è di altri. In a siconda mità di u XIXu seculu, a relazione trà a simitria è a geumitria hà fattu l'ogettu di un asamina apprufundita. U prugramma d'Erlangen di Felix Klein hà pruclamatu ch'è, in un sensu assai pricisu, a simitria, sprimata da a nuzione di gruppu di trasfurmazione, ditermineghja ciò ch'ella hè a geumitria. A simitria in a geumitria euclidiana classica hè ripprisintata da e congruenze è i muvimenti rigidi, mentre ch'è in a geumitria pruiettiva, un rollu analogu hè ghjucatu da e colineazione, trasfurmazione geumetriche chì trasformanu e linie dritte in linie dritte. Eppuru, hè in e nuvelle geumitrie di Bolyai è Lobachevsky, Riemann, Clifford è Klein, è Sophus Lie ch'è l'idea di Klein di " definisce una geumitria da u so gruppu di simitria " hà truvatu a so inspirazione. E simitrie discrete è cuntinue ghjocanu tremindui un rollu impurtante in geumitria, e prime in tupulugia è in teuria di i gruppi geumetrichi3, e siconde in teuria di Lie è in geumitria riemanniana.

Un antru tipu di simitria hè u principu di dualità in geumitria pruiettiva, frà altri duminii. 'Ssu metafinominu pò esse discrittu à l'ingrossu cusì : in qualsiasi teurema, scambiate u puntu incù u pianu, a ghjuntura incù u scontru, u drentu incù u cuntenutu, è u risultatu hè un teurema chì hè sempre veru. Una forma simile è strettamente ligata di dualità esiste trà un spaziu vetturiale è u so spaziu duale.

## Geumitria cuntimpuranea

### Geumitria euclidea

* Articulu principale : Geumitria euclidea

A geumitria euclidea hè a geumitria in u so sensu classicu. Cum'è ella mudellizeghja u spaziu di u mondu fisicu, hè imprudata in numerosi campi scentifichi, tali a meccanica, l'astronumia, a cristallografia, è in numerosi campi tecnichi, cum'è l'ingenieria, l'architittura, a geodesia, l'aerodinamica è a navigazione. U prugramma educativu ubligatoriu di a maiuranza di e nazione cumprende u studiu di i cuncetti euclidei cum'è i punti, e linie, i piani, l'anguli, i trianguli, a congruenza, a similitudine, e figure solide, i chjerchji è a geumitria analitica.

### Geumitria differenziale

A geumitria differenziale usa l'arnesi di u calculu per studià i prublemi implichendu l'incurvatura.

* Articulu principale : Geumitria differenziale

A geumitria differenziale improda e tecniche di u calculu è di l'algebra liniare per studià i prublemi in geumitria. Hà l'appiicazione in fisicu, econumetria, è bioinformatica, frà altru.

In particulare, a geumitria differenziale hè impurtante per a fisica matematica per causa di a postulazione di a relatività generale d'Albertu Einstein sient'è a quale l'universu hè curvu. A geumitria differenziale pò esse intrinseca (ciò chì significheghja ch'è i spazii ch'ella cunsidereghja sò e varietà lisce chì a so struttura geumetrica hè retta da una metrica riemanniana, chì ditermineghja cume e distanze sò misurate vicinu à ogni puntu) o estrinseca (induve l'ogettu studiatu face parte di un spaziu euclideu piattu ambiente).

### Geumitria noneuclidea

* Articulu principale : Geumitria noneuclidea

A geumitria euclidea ùn hè micca a sola forma storica di geumitria studiata. A geumitria sferica hè stata à longu imprudata da l'astrunomi, l'astrologhi, è i navigatori.

Emmanuel Kant hà sustenutu ch'ellu ùn esiste ch'è una sola geumitria, assoluta, di a quale omu sà ch'ella hè vera a priori da una facultà interna di u spiritu : A geumitria euclidea era sintetica a priori. 'Ssu puntu di vista hè prima statu appena cuntistatu da pinsadori cum'è Saccheri, po finalmente ribuccatu da a scuperta rivoluziunaria di a geumitria noneuclidea in i travagli di Bolyai, Lobachevsky è Gauss (chì ùn hà mai publicatu a so teuria). Anu dimustratu ch'è u spaziu euclideu ordinariu ùn hè ch'è una pussibilità di sviluppu di a geumitria. Una visione larga di u sughjettu di a geumitria hè dopu stata sprimata da Riemann in a so cunferenza inaugurale di 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Annantu à l'ipotese annantu à e quale a geumitria hè basata), publicata sultantu dopu à a so morte. A nuvella idea di u spaziu di Riemann s'hè avvirata cruciale in a teuria di a relatività generale d'Albertu Einstein. A geumitria riemanniana, chì cunsidereghja i spaziii assai generali in i quali a nuzione di lunghezza hè definita, hè un pilastru di a geumitria muderna.

## Tupulugia

* Articulu principale : Tupulugia

Un spessimentu di u nodu di trifogliu
A tupulugia hè u duminiu chì s'occupa di e pruprietà di e funzione cuntinue, è pò esse cunsiderata una generalisazione di a geumitria euclidea. In a pratica, a tupulugia significheghja à spessu trattà e pruprietà à grande scala di i spazii, cum'è a cunnessità è a cumpattezza.

U duminiu di a tupulugia, chì hà cunnisciutu un sviluppu massicciu à u 20a seculu, hè, in un sensu tecnicu, un tipu di geumitria di trasfurmazione, in qualessu e trasfurmazione sò l'omeumurfismi, ciò chì hè à spessu statu sprimatu sottu à a forma di a sprissione " a tupulugia hè a geumitria di e casce di gomma ". I sottuduminii di a tupulugia cumprendenu a tupulugia geumetrica, a tupulugia differenziale, a tupulugia algebrica è a tupulugia generale.

## Geumitria algebrica

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Tritticu quinticu di Calabi-Yau
U duminiu di a geumitria algebrica s'hè sviluppatu à parte si da a geumitria cartesiana di e cuurdinate. Hà cunnisciutu i periodi di crescita periodichi, accumpagnati di a criazione è u studiu di a geumitria pruiettiva, di a geumitria biraziunale, di e varietà algebriche è di l'algebra cummutativa, frà altri sughjetti. Da a fine di l'anni 1950 à a mità di l'anni 1970, hà cunnisciutu un sviluppu fundamentale magiore, in grande parte duvutu à i travagli di Jean-Pierre Serre è d'Alexander Grothendieck, ciò chì hà cunduttu à l'intruduzione di schemi è à una più grande impurtanza di i metudi tupulogichi, cumprese diverse teurie di cosmolugia. Unu di i sette prublemi di u premiu di u Millenniu, a cungettura di Hodge, hè una quistione di geumitria algebrica. A prova di l'ultimu teurema di Fermat da Wiles improda i metudi avanzati di geumitria algebrica per risolve un prublema bellu anzianu di a teuria di i numeri.

Di regula, a geumitria algebrica studieghja a geumitria à traversu l'utilisazione di cuncetti in algebra cummutativa cum'è i pulinomii multivarii. Hà l'appiicazione in numerosi duminii, cumpresu a crittografia è a teuria di e corde.

## Geumitria cumplessa

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A geumitria cumplessa studieghja a natura di e strutture geumetriche mudellate annantu à, o pruvenendu da u pianu cumplessu. A geumitria cumplessa si trova à l'intersizione di a geumitria differenziale, a geumitria algebrica, è l'analisi di parechje variabile cumplesse, è hà truvatu l'appiicazione à a teuria di e corde è a simmitria spichju.

A geumitria cumplessa hè apparsa per a prima volta cum'è un duminiu di studiu differente in i travagli di Bernhard Riemann, in u so studiu di e superficie di Riemann. I travagli in u spiritu di Riemann sò stati fatti da a scola taliana di geumitria algebrica à u principiu di l'anni 1900. U trattamentu cuntimpuraneu di a geumitria cumplessa hà cuminciatu incù i travagli di Jean-Pierre Serre, chì hà introduttu u cuncettu di reassemblea in u sughjettu è hà schjaritu e relazione trà a geumitria cumplessa è a geumitria algebrica. I principali ogetti di studiu di a geumitria cumplessa sò e varietà cumplesse, e varietà algebriche cumplesse, e varietà analitiche cumplesse, i fasci di vettori olumorfi è e reassemblee cuerente annantu à 'ssi spazii. Frà l'esempii particulari di spazii studiati in geumitria cumplessa figuranu e superficie di Riemann è e varietà di Calabi-Yau, è 'ssi spazii sò imprudati in a teuria di e corde. In particulare, e casce di mondu di e corde sò mudellizate da
e superficie di Riemann, è a teuria di e supercorde privede ch'è e sei dimensione supplementarie da u spaziu à deci dimensione ponu esse mudellizate da varietà di Calabi-Yau.

## Geumitria discreta

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A geumitria discreta hè un sughjettu chì hà i ligami stretti incù a geumitria cunvessa. Hè per u più cuncirnata da e quistione di pusizione relativa d'ogetti geumetrichi simplici, cum'è i punti, e linie è i chjerchji. L'esempii inchjudenu u studiu di l'imballaghji di sfere, e triangulazione, a cungettura di Kneser-Poulsen, è cetera. Sparte numerosi metudi è principi incù quella cumbinatoria.

## Geumitria computaziunale

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A geumitria computaziunale tratta l'algoritmi è e so implementazione per manipulà l'ogetti geumetrichi. Sturicamente, i prublemi impurtanti anu inchjusu u prublema di u viaghjadore di cummerciu, l'arburi à purtata minima, a supprissione di e linie piattate è a prugrammazione lineare.

Bench'ellu si tratti di un ghjovanu campu di a geumitria, hà numerose appiicazione in a visione per ordinatore, u trattamentu d'imaghjine, a cuncezzione assistuta per ordinatore, l'imageria medicale, è cetera.

## Teuria di i gruppi geumetrichi

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U grafu di Cayley di u gruppu liberu annantu à dui generatori a è b
A teuria geumetrica di i gruppi improda e tecniche geumetriche à grande scala per studià i gruppi finitamente cagiunati. Hè strettamente ligata à a tupulugia di bassa dimensione, cum'è in a prova di Grigori Perelman di a cungettura di geometrisazione, chì inchjudia a prova di a cungettura di Poincaré, un prublema di u Premiu di u Millenniu.

A teuria geumetrica di i gruppi gira à spessu intornu à u grafu di Cayley, chì hè una ripprisintazione geumetrica di un gruppu. Di altri sughjetti impurtanti inchjudenu e guasi-isometrie, i gruppi iperbolichi di Gromov è i gruppi d'Artin à angulu quatru.

## Geumitria cunvessa

* Articulu principale : Geumitria cunvessa

A geumitria cunvessa studieghja e forme cunvesse in u spaziu euclideu è e so analoghe più astratti, à spessu imprudendu e tecniche di l'analisi reale è di e matematiche discrete. Hà e cunnissione strette incù l'analisi cunvessa, l'ottimisazione è l'analisi funzionale è appiicazione impurtante in a teuria di i numeri.

A geumitria cunvessa ricolla à l'antichità . Archimede hà datu a prima definizione pricisa cunnisciuta di a cunvessità. U prublema isoperimetricu, un cuncettu ricurrente in geumitria cunvessa, hè dinù statu studiatu da i Grechi, frà i quali Zenodore. Archimede, Platonu, Euclide, è più tardi Kepler è Coxeter anu tutti studiatu i politopi cunvessi è e so pruprietà. À parte si da u XIXu seculu, i matematichi anu studiatu altri campi di e matematiche cunvesse, in particulare i politopi di dimensione superiore, u vulume è a superficia di i corpi cunvessi, l'incurvatura gaussiana, l'algoritmi, e tegule è i graticuli.

## Appiicazione

A geumitria hà truvatu l'appiicazione in numerosi duminii, chì certi sò discritti quì sottu.

### Arte

* Articulu principale : Matematiche è arte

Madrasa Bou Inania, Fes, Maroccu, chjappelle di mosaicu in zellige furmendu e tassellazione geumetriche elaburate
E matematiche è l'arte sò ligati di diverse manere. Per indettu, a teuria di a pruspittiva hà mustratu ch'è a geumitria ùn si limiteghja micca à e pruprietà metriche di e figure : a pruspittiva hè à l'origine di a geumitria pruiettiva.

L'artiste improdanu da longu i cuncetti di prupurzione in u design. Vitruve hà sviluppatu una teuria cumplessa di e prupurzione ideale per a figura umana. 'Ssi cuncetti sò stati imprudati è adattati da l'artiste, da Michelanghjulu à i disegnadori di figurette muderne.

U numeru d'oru hè una prupurzione particulare chì hà ghjucatu un rollu contruversu in arte. À spessu rivendicatu cum'è essendu u rapportu di lunghezze u più esteticu, hè à spessu affirmatu ch'ellu hè incorpuratu in opere d'arte celebre, benchì l'esempii i più affidevuli è senza ambiguità sianu stati rializati deliberatamente da artisti cuscenti di 'ssa ligenda.

I pavimenti, o tassellazione, sò stati imprudati in l'arte tuttu à longu à a storia. L'arte islamicu hà fattu un usu frequente di e tassellazione, cum'è l'arte di M. C. Escher, chì hà dinù usatu a geumitria iperbolica.

Cézanne hà avanzatu a teuria sient'è a quale tutte l'imaghjine ponu esse custruite à parte si da a sfera, di u conu è di u cilindru. 'Ssa teuria hè dinù usata oghje in a teuria di l'arte, benchì a lista esatta di e forme varieghja da un autore à l'altru.

### Architittura

* Articuli principali : Matematiche è architittura è Geumitria architittonica

A geumitria hà numerose appiicazione in architittura. Difatti, omu hà dettu ch'è a geumitria si trova in core di a cuncezzione architittonica. L'appiicazione di a geumitria à l'architittura inchjudenu l'utilisazione di a geumitria pruiettiva per crià a pruspittiva furzata, l'utilisazione di e sezzione coniche in a custruzzione di i domi è di l'ogetti simili, l'usu di e tassellazione, è l'utilisazione di a simmitria.

### Fisica

* Articulu principale : Fisica matematica

U duminiu di l'astronumia, soprattuttu riguardu à a cartugrafia di e pusizione di e stelle è di e pianete annantu à a sfera celesta è a descrizzione di a relazione trà i muvimenti di i corpi celesti, hà servutu cum'è una surghjente impurtante di prublemi geumetrichi à traversu a storia.

A geumitria riemanniana è a geumitria pseudoriemanniana sò imprudate in a relatività generale. A teuria di e corde face appellu à parechje variante di a geumitria, cum'è a teuria di l'infurmazione quantica.

### Altri campi di e matematiche

I pitagorichi anu scupertu ch'è i lati di un triangulu pudianu avè lunghezze smisurate.
U calculu hè statu assai influinzatu da a geumitria. Per indettu, l'intruduzione di e cuurdinate da René Descartes è u sviluppu simultaneu di l'algebra anu marcatu una nuvella tappa per a geumitria, postu chì e figure geumetriche cum'è e curve piane pudianu oramai esse ripprisintate analiticamente sottu à a forma di funzione è d'equazione. Quessa hà ghjucatu un rollu impurtante in a spuntera di u calculu infinitesimale à u 17u seculu. A geumitria analitica cuntinua di esse un pilastru di i prugrammi di precalculu è di calculu.

Un antru campu d'appiicazione impurtante hè a teuria di i numeri. In a Grecia antica, i pitagorichi anu cunsideratu u rollu di i numeri in geumitria. Eppuru, a scuperta di e lunghezze smisurate hà cuntraditu u so puntu di vista filusoficu. Dapoi u seculu 19, a geumitria hè stata usata per risolve i prublemi di a teuria di i numeri, per indettu à traversu a geumitria di i numeri o, più pocu fà, a teuria di i schemi, chì hè usata in a prova di l'ultimu teurema di Fermat da Wiles.

## Note

## Articuli cunnessi

* Leonardu Fibonacci