# Sinu

Datu un triangulu rittangulu, u sinu d'un angulu acutu hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa
In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u *sinu* di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa.

Più in generali, u sinu d'un angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , espressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 u sinu in l'angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , s'otteni a **funzioni sinu**, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

## Difinizioni

In u triangulu rossu annantu à a figura, u **sinu** di WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 hè datu da

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Più in generali, si difinisci u sinu d'un angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 (aspressu in gradi o radianti) à parta da a circumfarenza guniumetrica, vali à dì da a circumfarenza di raghju unitariu in u pianu cartisianu. Presa a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 incù l'assu di l'ascissi com'è annantu à a figura, u sinu di l'angulu hè dunqua difinitu com'è u valori di a cuurdinata WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ).

U duminiu di a funzioni sinu hè l'insemu di i numari riali, mentri u cuduminiu hè l'intarvallu riali WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 , veni à dì applichendu tali funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , estremi inclusi.

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni sinu:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 in radianti | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_34  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 in gradi | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_44  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |

In i testi di matematica u sinu di WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 hè di solitu indicatu incù a nutazioni WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , induva WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 hè un'abbriviazioni di u latinu sinus usata ancu in i paesi di lingua inglesa.

Esisti un'altra difinizioni di sinu chì si cullega à i rutazioni: u sinu d'un angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 hè u cumpunenti longu l'assu di l'urdinati di u virsori WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , virsori di l'assu di l'ascissi, ghjiratu di WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .

## Funzioni sinu

A **funzioni sinu** hè difinita assucendu à WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 u sinu di l'angulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 . postu ch'è WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 è WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 definiscini u stessu angulu, a funzioni sinu hè una funzioni piriodica di periodu WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 (induva WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 hè l'angulu ghjiru).

Ripprisintazioni grafica di a funzioni sinu
Disegnu *y* = sin(*x*) usendu u chjerchju trigunumetricu unitariu.
## Sinu è cusinu

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora. Infatti in u triangulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 in a figura in altu u cusinu di WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 hè difinitu com'è

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
D'altra parti u tiurema di Pitagora applicatu à u triangulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 furnisci a rilazioni: WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 è dunqua: WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
Vali ancu a rilazioni:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
Com'è par u cusinu, a cusecanti d'un angulu hè WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 divisu u sinu di l'angulu.

## Prubità analitichi di a funzioni sinu

A funzioni sinu (in turchinu) è a so apprussimazioni data da u pulinomiu di Taylor di 7º gradu (rusulatu).
A dirivata di a funzioni sinu hè a funzioni cusinu. Avemu veni à dì: WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
A dirivata siconda hè inveci: WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
A funzioni sinu hè una funzioni analitica, è a so espansioni in seria di Taylor hè: WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
In analisa matematica st'ugualità hè spessu usata par difiniscia u sinu. A stessa seria difinisci u sinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

## Equazioni fundamintali rilativi à u sinu

Si rapportani quì di seguitu parechji equazioni fundamintali riguardu à a funzioni sinu;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
incù l`aghjunta di a cundizioni ch'è:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
Esisti ancu un'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni sinu è a funzioni tangenti:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u cusinu, u chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni in a scunnisciuta WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 .

## Difinizioni currilati

* U reciprocu di u sinu (difinitu induva u sinu hè diffarenti da zeru) hè a cusecanti

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
* A funzioni sinu, ristretta à l'intarvallu WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 hè iniettiva è dunqua hà una inversa, chjamata arcusinu (indicatu incù WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 o incù WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa). Par difinizioni s'hà dunqua:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
## Storia è urighjina di u nomu

U cuncettu di sinu fù introduttu da u matematicu è astrunomu indiana Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) (476 - 550) in a so opara Aryabhatiya (499).

U sinu hè par difinizioni a mità d'una *corda*, veni à dì un sigmentu chì unisci dui punti (ditti *estremi*) d'una circumfarenza. A parola sanscrita par *mità corda* hè *jya-ardha*, calchì volta sustituitu incù *ardha-jya* è abbriviatu in *jya* (*corda*). Stu terminu fù impurtatu in a lingua araba com'è *jiba*, un terminu senza significatu prima di tandu ma chì riflittia a prununcia funetica di u nomu jya. Sicondu i reguli di a lingua araba, 'ssu nomu fù scrittu incù i dui cunsunanti *jb*, senza vucali. Più dopu, quandu i traduttori
uccidintali ebbini cunniscenza di i fonti arabi, intarpritàni a parola *jb* com'è *jaib*, chì u so significatu era *baia*. Infini, u talianu Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradussi a parola in latinu com'è *sinus*, di a quali u significatu era par appuntu *baia*.

U sinu d'un angulu hè indicatu incù WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 .

## Da veda dinò

* Funzioni trigunumetrica
* Sinusoidi
* Cusinu
* Tangenti (matematica)
* Arcusinu
* Circumfarenza guniumetrica
* formula di Eulero
* Formuli di duplicazioni
* Formuli di bisizzioni
* Formuli di Werner
* Tiurema di i sini
* Funzioni piriodica
* Funzioni altirnata
* sinu iperbolicu

## Noti

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.