# تیۆرمی پیتاگۆرس

| تیۆرمی پیتاگۆرس |
| --- |
|  |
| بەشێکە لە | list of theorems، Pythagoras–Euclid theorems |
| ناونراوە لەدوای | پیتاگۆرس |
| لێکۆڵینەوە لەلایەن | ئەندازەی یوکلییەیدێسی |
| Defining formula |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| In defining formula |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ،  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ،  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |
| Statement describes | سێگۆشەی وەستاو |
| بەستەری وەسفکراو |  |
| Generalization of | Pythagorean trigonometric identity، parallel postulate |
| لە ویکیدراوە دەستکاریی زانیارییەکان بکە  |

بەپێی تیۆرمی پیتاگۆرس، ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەوەستاوی (a وb)یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێ (c).

**تیۆرمی پیتاگۆرس** یان **سەلمێنراوی پیتاگۆرس** (بە ئینگلیزی: Pythagorean theorem) لە زانستی ئەندازە و بۆشاییی ئیقلیدسیدا بەشێکە لە ڕێسای گشتی یاسای کۆساینەکان، لەکاتێکدا کە گۆشەی نێوان دوو لا لە لایەکانی سێگۆشەیەک ٩٠ پلەیە. پیتاگۆرس بیرکاریزانی یۆنانی بەو تیۆرمە ناوبانگی دەرکرد کە ھەر سێ لایەکانی سێگۆشەی وەستاو بەیەکەوە دەبەستێت، واتە
ئەگەر a و b دوو لای سێگۆشەیەکی وەستاو بێت و c ژێیەکەی بێت **تیۆرمی پیتاگۆرس** بەم شێوەیە:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

ئەمەش مانای ئەوەیە کە دووجای ژێ یەکسانە بە سەرجەمی دووجای دوو لایەکەی تر.

یاسای کۆساینەکان دەڵێت کە ئەگەر a و b دوو ئاڕاستەبڕ (یا ھێڵ) بن کە لە سەری O گۆشەی *A* پێک بێنن، ھاوکێشەی WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 پاسادانە.

ھەر کات گۆشەی *A* نەوەد پلە بێت، ئەنجامی WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 سیفر دەکات و بە دانانی بەھاکەی ھەروەک دیارە پەیوەندی پیتاگۆرس بە شێوەی WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 بەدەست دێت. ئیقلیدس پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرسی سەلماند، واتە ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک ھاوکێشەی WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ساغبکاتەوە، سێگۆشەکە وەستاوە.

## شێوەکانی تر

* ئەگەر *c* درێژایی ژێی سێگۆشەی وەستاو بێت و *a* و *b* درێژایی دوو لای تری سێگۆشەکە بن، تیۆرمی پیتاگۆرس بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

* ئەگەر بەھای *a* و *b* زانراو بێت *c* بە شێوەی خوارەوە ھەژمار دەکرێت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20

* ئەگەر *c* زانراو و یەکەک لە دوو لای *a* یا *b* نەزانراو بن، بەم شێوە ھەژمار دەکرێن:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
یان

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

## سەلماندن

بیرکاریزانەکان گرینگی زۆریان داوە بە تیۆرمی پیتاگۆرس و سەلماندنی جۆراوجۆریان لەسەر پێشکەش کردووە. لە کتێبی پێشنیاری پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: The Pythagorean Proposition) نیزیک بە ٣٧٠ سەلماندن بۆ تیۆرمی پیتاگۆرس خراوەتە ڕوو.

### سەلماندنی دانتزیگ

سەلماندن بە گوێرەی ھاوشێوەیی سێگۆشەکان
ئەم سەلماندنە بە پشتبەستن بە ڕێژەی ھاوڕێژەیی نێوان دوو سێگۆشەی لێکچوو شرۆڤە دەکرێت. بەو واتایە ئەگەر دوو سێگۆشەی لێکچوومان ھەبێت، ڕێژەی درێژایی دوو لای ھاوشێوەی دوو سێگۆشەی لێکچوو بەھایەکی نەگۆڕە.
ھەر وەک لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە، وا دابنێ *ABC*سێگۆشەی وەستاو و *C* گۆشەوەستاو (٩٠ پلە) بێت. بەرزی سێگۆشەی *ABC* لە گۆشەی *C* تا ژێی *AB* دەکێشینەوە و خاڵی یەکتربڕین بە*H* دیاری دەکەین. خاڵی *H* ژێ بە دوو بەشی *d* و *e* دابەش دەکات.
دوو سێگۆشەی *ACH* و *ABC* لە یەک دەچن. لەبەر ئەوەی ھەر یەکەی گۆشەیەکی ٩٠ پلەیییان ھەیە و لە گۆشەی *A*دا ھاوبەشن؛ بەو دەرئەنجامە دەگەین گۆشەی سێھەمی *θ* لە ھەردووکاندا یەکسانە (لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە). ھەر بەم شێوەیە سێگۆشەی *CBH* و *ABC* لە یەک دەچن. کەوایە پەیوەندییەکانی خوارەوە دێتەدی.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

ڕێژەی لای چەپی ھاوکێشەی چەپ، یەکسانە بە کۆساینی گۆشەی *θ* و ڕێژەی لای چەپی ھاوکێشەی لای ڕاست یەکسانە بە ساینی گۆشەی *θ*.
ئەمە بە شێوەی خوارەوە دەنووسین:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

ئەگەر دوو ھاوکێشەی سەرەوە کۆ بکەینەوە، پەیوەندی خوارەوە دێتەدی:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

ئەوە ھەمان ھاوکێشەی پیتاگۆرسە:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

ئەم شێوە سەلماندنە بە سەلماندنی دانتزیگ (Dantzig) دەناسرێت، کە بە گوێرەی درێژایییە. ئەم سەلمێنراوە لە مێژووی زانستدا ڕۆڵێکی گرینگی ھەیە. پرسیارێک کە لێرە دێتە ئاراوە ئەمەیە کە بۆ ئیقلیدس ئەم شێوە سەلماندنەی بەکار نەھێناوە و لە ڕێگەیەکی تر بۆی چووە. پێویستە بزانین، لە شێوەی سەلماندنی دانتزیگدا دەبێت ئاگاداری بیردۆزی ھاوڕێژەیی ببین کە ئەوە لە سەردەمی ئیقلیدس باسی لەسەر نەکرابوو.

### سەلماندنی ئیقلیدس

سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەمەکانی ئیقلیدس
کورتەیەک لە سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەماکانی ئەندازەی ئیقلیدس:
چوارگۆشە گەورەکە بە دوو لاکێشەی لای چەپ و ڕاست دابەش دەکەین. سێگۆشەیەک دروست دەبێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری لاکێشەی لای چەپە. سێگۆشەیەکی تریش پێکدێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری چوارگۆشەی لای چەپە. دەتوانین بسەلمێنین ئەم دوو سێگۆشەیە جووتن. کەواتە ڕووبەری چوارگۆشە یەکسانە بە ڕووبەری لاکێشەی لای چەپ. بە ھەمان شێوە، دەرئەنجامەکە بۆ لاکێشەی لای ڕاست و چوارگۆشەکەی تریش بەدەست دێت. ئەگەر دوو لاکێشەکە لە پەنای یەک دانێین تا چوارگۆشەیەک لەسەر ژێی سێگۆشە دروست بێت، ئەمە دەردەکەوێت کە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە (چوارگۆشەی سەر ژێ)یەکسانە بە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی تر. وردەکارییەکانی سەلماندنی ئیقلیدس:

وا دابنێ *A* و *B* و *C* سێ گۆشە لە سێگۆشەیەکی وەستاو بن کە پێوانەی گۆشەی *A*، نەوەد پلەیە. ھێڵێکی ئەستوون لە گۆشەی *A* بەسەر ژێی *BC* دەکێشینەوە و درێژەی پێ دەدەین تا لای خوارەوەی چوارگۆشەی کێشراوەی سەر ژێ ببڕێت. ئەو ھێڵە چوارگۆشەی سەر ژێیەکە بە دوو لاکێشە دابەش دەکات، کە ھەر یەک لە لاکێشەکان ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشەکانی کێشراوە لەسەر دوو لای گۆشەی *A*ی ھەیە.

لە درێژەی سەلماندنەکە چەن خاڵی خوارەوە گرینگە:

1. ھەرکات دوو لای سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە دوو لای سێگۆشەیەکی تر و گۆشەی نێوان ئەم دوو لایە لە سێگۆشەکە یەکسان بن، ئەوا دوو سێگۆشەکە یەکسان دەبن.
2. ڕووبەری ھەر سێگۆشەیەک نیوەی ڕووبەری چوارلایەکە کە لایەکانی دوو بە دوو لەگەڵ یەک ھاوبەرن و بەرزی و بەنکەی یەکسان بە بەرزی و بنکەی سێگۆشەی ھەیە.
3. ڕووبەری لاکێشەیەک یەکسانە بە ئەنجامی لێکدانی دوو لای تەنیشتی لاکێشەکە.
4. ھەر یەک لە دوو چوارگۆشەی سەرەوە پەیوەندی ھەیە بە یەکێک لە دوو سێگۆشە جووتبووەکە و ھەر یەک لە سێگۆشەکان بە نۆبەی خۆیان پەیوەندیان ھەیە لەگەڵ یەکێک لە لاکێشەکانی دروستکەری چوارگۆشە.

.
درێژەی بابەت

1. وا دابنێ سێگۆشەی ABC وەستاو بێت کە پێوانەی گۆشەی CAB لەو سێگۆشەیە ٩٠ پلەیە.
2. لەسەر ھەر یەک لە لایەکانی BC و AB و CA، چوارگۆشەکانی CBDE و BAGF و ACIH کێشراوەتەوە.
3. لە گۆشەی A ھێڵێک ھاوبەرەی BD و CE دەکێشینەوە؛ ئەو ھێڵە ئەستوونە لەسەر BC و DE، یەکتربڕینی ئەو ھێڵانە بە K و L دیاری دەکەین.
4. سەری گۆشەی C درێژە دەدەین تا F و سەری A دەگەیێنین بە D تا سێگۆشەی BCF و BDA دروست بن.
5. گۆشەکانی CAB و BAG وەستاون، دەگەینە ئەو دەرئەنجامە کە خاڵەکانی C و A و G لەسەر یەک ھێڵن. بە ھەمان شێوە دەرئەنجامەکە بۆ خاڵەکانی B و A و H دەردەکەوێت.
6. گۆشەی CBD و FBA وەستاون. بەو ئەنجامە دەگەین دوو گۆشەی ABD و FBC یەکسانن لەبەر ئەوەی ھەردووک یەکسانن بە ئەنجامی کۆکردنەوەی گۆشەیەکی ٩٠ پلەیی و گۆشەی ABC.
7. AB لەگەڵ FB و BD لەگەڵ BC یەکسانن؛ بەو ئەنجامە دەگەین سێگۆشەی ABD لەگەڵ سێگۆشەی FBC یەکسانە.
8. A-K-L ڕاستەھێڵێکی ھاوبەرە لەگەڵ BD؛ کەواتە BDLK چوارلایەیە بە لایەکانی دوو بە دوو ھاوبەرە و ڕووبەرەکەی دوو ئەوەندەی ڕووبەری سێگۆشەی ABD یە؛ لەبەر ئەوەی بنکەی بەرزی BD ھاوبەشە لە ھەردووکیاندا و بەرزی ھەردووکیان درێژایییەکەی یەکسانە بە BK.
9. لەبەر ئەوەی خاڵی C و دوو خاڵی A و G ھەر سێک لەسەر یەک ھێڵن، کەواتە دەبێ چوارگۆشەی BAGF ڕووبەری دوو ئەوەندەی ڕووبەری سێگۆشەی FBCی ببێت.
10. دەتوانین بەو ئەنجامە بگەین ڕووبەری لاکێشەی BDLK و چوارگۆشەی BAGF یەکسانن و ئەندازەیان یەکسانە بە AB٢.
11. بە ھەمان شێوە دەتوانین بسەلمێنین لاکێشەی CKLE ڕووبەرەرەکەی یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی ACIH و دەکاتە AC٢.
12. بە کۆکردنەوەی ئەو دوو ئەنجامە لەگەڵ یەک ھاوکێشەی AB٢ + AC٢ = BD × BK + KL × KC
13. لەبەر ئەوەی BD = KL و BD\* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. لەبەر ئەوەی CBDE یەک چوارگۆشەیە کەواتە AB٢ + AC٢ = BC٢

ئەو سەلماندنە لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس، لە دەسپێکی پێشنیاری ٤٧ لە کتێبی ١ ھاتووە و ئەوە دەردەخات کە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەی وەستاو یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێ. سەلماندنی ئیقلیدس، بە پێچەوانەی سەلماندنی دانتزیگ سەلماندنێکە بە شێوەی ڕووبەری نە درێژایی. ئەو شێوە سەلماندنە جیاوازە لەگەڵ سەلماندنی پیتاگۆرس کە بە گوێرەی لێکچوونی سێگۆشەکانە.

### سەلماندنی جەبری

وێنەی سەلماندنی جەبری.
تیۆرمی پیتاگۆرس دەتوانرێت بە ڕیزکردنی چوار سێگۆشەی گۆشەوەستاوی یەکسان بە لاکانی *a* و *b* و *c* لە ناو چوارگۆشەیەکدا کە لاکانی *c* یە بە شێوەی جەبری بسەلمێنرێت.

سێگۆشەکان یەکسانن و ڕووبەرەکەیان یەکسانە بە WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 چوارگۆشە بچووکەکە لایەکی یەکسانە بە *b-a* و ڕووبەرەکەی *٢ (b−a)*یە
کەوایە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە یەکسانە بە

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38

لاکانی چوارگۆشە سەرەکییەکە یەکسانە بە *c* و ڕووبەرەکەی دەکاتە *٢ c* و دەرئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

ھەر وەک لە خوارەوەی وێنەکە دیارە، سەلماندنێکی تر ھەیە کە بە کەڵک وەرگرتن لە دانانی چوار سێگۆشەی یەکسان بە دەوری چوارگۆشەیەک کە لاکانی *c*یە بە ئەنجام دەگات. بەو کارە چوارگۆشەیەکی گەورەتر بە لای *(a+b)* و ڕووبەری *٢ (a+b)*
بەدەست دێت. چوار سێگۆشە و چوارگۆشەکە بە لای یەکسان بە *c* ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکەی ھەیە.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

لای چەپی ھاوکێشە جێبەجێ دەکەین ئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44

### سەلماندن بە شێوەی جیاکاری

یەکێکی تر لە ڕێگاکانی سەلماندنی پیتاگۆرس کەڵکوەرگرتن لە ھەژماری جیاکاری و تەواوکارییە واتە دەمانەوێت بزانین بە گۆڕینی درێژایی یەکێک لە لاکانی سێگۆشەکە، درێژایی ژێ چەندە دەگۆڕێت. ئەو شێوە سەلماندنە لە سەلماندنی دانتزیگ دەچێت، واتە درێژایی دەپێوی نەک ڕووبەر.

### سەلماندن بە شێوەی ڕیزکردن

لە وێنەی جووڵاوی لای ڕاستدا، ناوچە سەرەکییەکەی بە ڕەنگی ڕەش دیاری کراوە و درێژی لاکەی *c* یە دەتوانین دابەش بکەین بە دوو چوارگۆشە کە لاکانیان بە *a* و *b* دیاری کراوە و ئەم ھاوکێشە ساغدەکاتەوە: *a*٢ + *b*٢ = *c*٢.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| سەلماندن لە ڕێگەی ڕیزکردنەوەی چوار سێگۆشەی وەستاوی یەکسان | ئەنیمەیشنی سەلماندن لە ڕێگەیەکی جیاواز |  |

## پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرس

دەتوانین پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرس بسەلمێنین.

>
> ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک واتە *a* و *b* و *c* ھاوکێشەی *a*٢ + *b*٢ = *c*٢ ساغبکاتەوە، ئەوا سێگۆشەکە وەستاوە.
>
>

لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس (کتێبی یەکەم، پێشنیاری ٤٨)

>  بە واتایەکی تر ئەگەر درێژی ھەر سێ لای a و b و c لە سێگۆشەیەک ھاوکێشەی *a*٢ + *b*٢ = *c*٢ پاسادان بکات ئەوا گۆشەی نێوان لاکانی a و b نەوەد پلەیە.
>
>

>  ھەر کات دووجای یەکێک لە لاکانی سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو لای تری سێگۆشە ئەوا گۆشەی نێوان ئەو دوو لایەی سێگۆشەکە وەستاوە.
>
>

بە گوێرەی یاسای کۆساینەکان دەتوانین پێچەوانەی تیۆرمی پیتاگۆرس شیکاری بکەین.

## بەکارھێنان و ئەنجامەکان

### ژمارە پیتاگۆرسییەکان

لوولپێچی پیتاگۆرس
ژمارەی پیتاگۆرسی یان سیانەی پیتاگۆرسی بەو سێ ژمارە دەوترێت کە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو دانەیان یەکسانە بە دووجای سێھەمی، بە دەستەواژەیەکی تر سێ ژمارەی *a* و *b* و *c* ژمارەی پیتاگۆرسین ھەرکات پاسادانی ئەم ھاوکێشە:*a٢ + b٢ = c٢*
بکەن. سێ ژمارەی پیتاگۆرسی لاکانی سێگۆشەیەکی وەستاو دروست دەکەن. بەپێی لێکۆڵینەوەکان وا دەرکەوتووە دانیشتووانی باکووری ئەورووپا بەرلەوەی تیۆرمی پیتاگۆرس بناسن، ئەو ژمارانەیان بۆ پێکھێنانی بەناکانیان بەکار ھێناوە. نموونەیەک لەو ژمارانەی زۆر بەکار ھاتوون بریتین لە (٣، ٤، ٥) و (٥، ١٢، ١٣). لە خوارەوە ژمارە پیتاگۆرسییەکانی بچووکتر لە ١٠٠ پێرست کراون.

(٣، ٤، ٥)، (٦٬٨٬١٠)، (٥، ١٢، ١٣)، (٧، ٢٤، ٢٥)، (٨، ١٥، ١٧)، (٩، ٤٠، ٤١)، (١١، ٦٠، ٦١)، (١٢، ٣٥، ٣٧)، (١٣، ٨٤، ٨٥)، (١٦، ٦٣، ٦٥)، (٢٠، ٢١، ٢٩)، (٢٨، ٤٥، ٥٣)، (٣٣، ٥٦، ٦٥)، (٣٦، ٧٧، ٨٥)، (٣٩، ٨٠، ٨٩)، (٤٨، ٥٥، ٧٣)، (٦٥، ٧٢، ٩٧)، (١٦٩٬١٢٠٬١١٩)
### دووریی ئیقلیدسی

ھاوکێشەی دووری لە سیستمی پۆتانی دێکارتیدا لە تیۆرمیی پیتاگۆرسەوە سەرچاوە دەگرێت. ئەگەر (x1, y1) و (x2, y2) دوو خاڵی سەر ڕووتەختێک بن، دووریی نێوانیان کە دووریی ئیقلیدسی پێ دەوترێت، بەم شێوەیە ھەژمار دەکرێت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

بە گشتی لە بۆشاییی ئیقلیدسی n ڕەھەندیدا، دووریی نێوان دوو خاڵی، WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 و WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 لە گشتاندنی تیۆرمیی پیتاگۆرسەوە بەدەست دێت و بەم شێوەیە پێناسە دەکرێت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

دووجای دووریی ئیقلیدسی، بریتییە لە:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54

### ژمارە ئاوێتەکان

نرخی ڕەھای z دووریی r لە z تا خاڵی بنەڕەتە.
بۆ ھەر ژمارەیەکی ئاوێتە وەکوو

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56

نرخی ڕەھاکەی بەم شێوەیە:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

کەواتە سێ بەھای x ,r و y بە بەکارھێنانی تیۆرمی پیتاگۆرس بەیەکەوە دەبەسترێنەوە:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

لێرەدا r بریتییە لە ژمارەیەکی ئەرێنی یان سیفر، بەڵام x و y دەتوانن نەرێنی یا ئەرێنی بن یا خود سیفر بن. لە ڕوانگەی ئەندازەیییەوە، r بریتییە لە دووریی z لە خاڵی بنەڕەت لە ڕووتەختی ئاوێتەدا.
ئەمە دەتوانرێت بەم شێوەیە بگشتێنرێت، تاکوو دووریی نێوان دوو خاڵی z1 و z2 بدۆزرێتەوە. ئەم دوورییە بەم شێوەیە ھەژمار دەکرێت

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62

بە بەکارھێنانی تیۆرمی پیتاگۆرس لەمەوە دەردەچێت:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64

## بۆچوونی ماتماتیکزانان سەبارەت بە تیۆرمی پیتاگۆرس

یۆھانس کێپلەر دەڵێت ئەندازە خاوەنی دوو گەنجی گەورەیە یەکیان تیۆرمی پیتاگۆرسە، ئەوەی تریان دابەشکردنی ھێڵێک بە ناکۆتا ڕێژەی ناوەندی. یەکەمینیان لەگەڵ زێڕ بەراورد دەکرێت و دووھەمینیان گەوھەرێکی بەنرخە.

## پێشانگا

* سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس
* سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس
* سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس
* سەلماندنی تیۆرمی پیتاگۆرس بە شێوەی تانگرام

## سەرچاوەکان

* دەروازەی ماتماتیک
* دەروازەی گەردوون
* دەروازەی ئەندازە