# Trigonometrijska funkcija

|  |
| --- |
| **Trigonometrija** |
|
Historija
Upotrebe
Funkcije
Inverzne funkcije
Dalje čitanje  |
| **Reference** |
|
Spisak identiteta
Tačne konstante
Trigonometrijske tablice
CORDIC |
| **Euklidova teorija** |
|
Sinusni teorem
Kosinusni teorem
Tangensni teorem
Pitagorin teorem |
| **Kalkulus** |
|
Trigonometrijski integral
Trigonometrijska substitucija
Integrali funkcija
Derivacije funkcija
Integrali inverznih funkcija  |

**Trigonometrija** (grč. *trigonon* [trougao] + *metron* [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

## Definicija

**Trigonometrijske funkcije** su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc).

Odnosno:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

## Trigonometrijska kružnica

Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 definišu se jednakostima

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 sinus i kosinus su realni brojevi.
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 tangens i kotangens
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 sekans i kosenkans
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
može rasti do WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu.
To se vidi iz tabele

*Trigonometrijske funkcije po kvadrantima*| Kvadrant | 1. (0°-90°) | 2. (90°-180°) | 3. (180°-270°) | 4. (270°-360°) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| sinus | + | + | - | - |
| kosinus | + | - | - | + |
| tangens | + | - | + | - |

## Svođenje na prvi kvadrant

Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Funkcije kosinus i sinus imaju period WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , a tangens WIKINIUM\_MATH\_PH\_40  :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Period funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 , odnosno WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 .
Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant,
na način vidljiv u sljedećoj tabeli

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  | T WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  |

U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.
## Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju:

*Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija*|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  | 1 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  | 1 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  | 0 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  | 1 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164  |

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_182  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_184  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_190  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_192  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_212  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_214  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_224  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  |

## Redovi

Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.
majući u vidu jednakosti

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 ,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256
u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264
## Parnost

Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276
## Granična vrijednost

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 З
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282
## Izvod

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_288
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_292
Dokaz
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 pa je
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 kada WIKINIUM\_MATH\_PH\_298
Zbog WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 биће WIKINIUM\_MATH\_PH\_302
Izvod količnika WIKINIUM\_MATH\_PH\_304
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306
Izvod količnika WIKINIUM\_MATH\_PH\_308
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310
## Integrali trigonometrijskih funkcija

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_312  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_314  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_316  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_318  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_320  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_322  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_324  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_326  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_328  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_330  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_332  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_334  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_336  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_338  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_340  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_342  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_344  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_346  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_348  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_350  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_352  |

## Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_354
uslov WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 .
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_358
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_360
## Inverzne trigonometrijske funkcije

Inverzne trigonometrijske funkcije su

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 arkus sinus
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 arkus kosinus
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 arkus tangens
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 arkus kotangens
One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370
inus versus je trigonometrijska funkcija

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 , a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 , minimumi su u nulama, a maksimumi WIKINIUM\_MATH\_PH\_378

## Versine funkcije

Funkcija sinus versus ugla alfa je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 .
Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)

|  |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_382  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_384  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_386  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_388  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_390  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_392  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_394  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_396  |

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_398  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_400  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_402  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_404  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_406  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_408  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_410  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_412  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_414  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_416  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_418  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_420  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_422  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_424  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_426  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_428  |

## Primjena u fizici

Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

## Također pogledajte

* Eulerova formula
* Hiperbolička funkcija
* Spisak integrala trigonometrijskih funkcija

## Reference

## Vanjski linkovi

1. Trigonometrija - osnovne formule
2. Petar Stipanovid: Brojevna kružnica i trigonometrijske funkcije
3. trigonometrijske funkcije
4. Trigonometric functions Arhivirano 29. 12. 2017. na Wayback Machine
5. Tablica izvoda Arhivirano 17. 5. 2017. na Wayback Machine
6. Versine
7. Coversine