# Geometrija

**Geometrija** (grčki: **γεω** = *zemlja*, **μετρεω** = *mjerim*, te **geometria** = *zemljomjerstvo*) je grana matematike koja se bavi proučavanjem osobina i međusobnih odnosa prostornih oblika tj. geometrijskih tijela, površina, linija i tačaka.

U svom prvobitnom značenju geometrija se shvatala kao nauka o figurama, o uzajamnom položaju i razmjerama njihovih dijelova, i također o transformisanju figura.

## Historijski razvoj geometrije

Historija geometrije seže do antičkog doba, ali je njena koljevka nesumljivo Istok. Razvoj geometrije se može podijeliti na četiri perioda, čije je granice nemoguće obilježiti određenim datumima:

1. **period nastanka**, do oko V. vijeka stare ere;
2. **period sistematskog izlaganja**, antička Grčka;
3. **analitička geometrija**, od nastanka kapitalizma u Evropi;
4. **izgradnja neeuklidskih geometrija**, do danas.

## Period nastanka

Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu, Babilonu i Grčkoj u vezi sa razvojem kulture mjerenja površine tla. Otuda i potiče naziv geometrije.

Egipćani su razvili induktivan metod zaključivanja - *od pojedinačnog ka opštem* (npr. primijetili su da jedan trougao ima 3 ugla, pa su nacrtali drugi trougao i primijetili isto, itd. dok nisu zaključili da svi trouglovi imaju po tri ugla, tada su to uzeli za neku osnovnu vrijednost - aksiomu).

Religiozni obredi su bili povezani s konstrukcijom žrtvenika (v. Delski problem), a praktične potrebe ljudi učinile su nužnim da se izmjere površine dijelova zemlje, zapremine sudova i ostava za žetvu. Geometrijska razmatranja i fakta su se u osnovnom svodila na pravila izračunavanja površina i zapremina i treba pretpostaviti da su ova pravila imala više empirijski nego logički karakter.

U VII. vijeku stare ere geometrijsko znanje je, po mišljenju grčkih historičara, preneseno iz Egipta i Babilona u Grčku. Oko 4-5 vijeka p. n. e. Grčki filozofi su se počeli upoznavati sa egipatskom i babilonskom mudrošću. Od tada nastaje drugi period razvoja geometrije, period sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kada se sve tvrdnje (iskazi) dokazuju.

## Period sistematskog izlaganja

U ovom periodu su već poznate u Grčkoj Talesove teoreme (VI. vijek stare ere). Tales iz Mileta je putovao u Egipat i tamo od sveštenika upoznao njihove geometrijske i astronomske zaključke o sumi uglova u trouglu, o upisanom uglu (u krug) itd.

Grci su razvili novi metod zaključivanja - deduktivan metod (obrnuto od induktivnog - *od opšteg ka pojedinačnom*). Anaksagora (6. vijek stare ere) se bavio kvadraturom kruga i perspektivom. Pitagora je otkrio nesamerljive duži (iracionalni brojevi). Pitagora je osnivač čuvene škole "Polukrug" koja je dala veliki doprinos matematici. Pitagorejci su zaključili da je zbir uglova u trouglu 180 stepeni, otkrili su prvi, treći i četvrti stav podudarnosti trougla, i naravno čuvenu Pitagorinu teoremu: Zbir kvadrata kateta u pravouglom trouglu jednak je kvadratu hipotenuze. iz koje su izvedene mnoge složenije formule. Hipokrat Hionski (5. vijek stare ere), Pitagorin sljedbenik, izložio je sistematski geometriju ("Elementi geometrije") i odredio površinu mjesečeva srpa.

Platon i njegov učenik Aristotel (4. vijek stare ere), ako i nisu ostavili nikakvih dijela u geometriji, pridavali su veliki značaj sistemu i osnovama geometrije. Platon je prvi počeo da postavlja aksiome (osnovne zakone, koji se uzimaju pri izvođenju složenijih), međutim u njegovo vrijeme mnogo aksioma su isključivale jedna drugu, i bilo je veoma teško znati šta je tačno, a šta ne. Tako je geometrija u Grčkoj dostigla onaj stepen kad je postalo nužno da se ona sistematizuje.

Sistematizaciju (elementarne) geometrije je učinio Euklid (3. vijek stare ere) izloživši je na bazi osnovnih formulacija-aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi, koje obuhvataju 13 tomova. Euklid je koristio postulate :

1. Pretpostavlja se da je moguće da se od svake tačke, do svake druge tačke može povući linija.
2. Pretpostavlja se da je moguće da se svaka prava, prateći njen pravac, produži neograničeno.
3. Pretpostavlja se da je moguće da se oko svake tačke u nekoj ravni može opisati krug bilo kojeg prečnika.
4. Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi među sobom podudarni.
5. Ako se pravom presjeku 2 prave, tako da grade unutrašnje uglove čiji je zbir manji od zbira 2 prava ugla, tada se te dvije prave sijeku sa one strane, sa koje se ti uglovi nalaze.

Posle Euklida javlja se u Grčkoj niz istaknutih matematičara: Arhimed, Apolonije, Eratosten (3.vijek stare ere) i drugi, koji su obogatili geometriju novim otkrićima.

Raspad antičkog robovlasničkog uređenja doveo je do zastoja u razvoju geometije u Grčkoj, ali se ona i dalje razivjala u zemljama arapskog Istoka, u srednjoj Aziji i Indiji.

## Analitička geometrija

Nastanak kapitalizma u Evropi je doveo do novog, trećeg perioda razvoja geometrije. U prvoj polovini XVII vijeka nastala je analitička geometrija, čiji su tvorci bili Descartes i Fermat. Analitička geometrija izučava svojstva geometrijskih figura na osnovu njihovih algebarskih jednačina, oslanjajući se na koordinatni metod. U vezi s razvojem diferencijalnog računa i ispitivanjem geometrijskih svojstava figura lokalnog karaktera (u okolini date tačke) ponikla je u XVIII vijeku diferencijalna geometrija u dijelima Lavoisiera i Mongea.

Radovima Gérard Desarguesa i Blaise Pascala rađa se u prvoj polovini XVII vijeka projektivna geometrija, koja je nastala u početku pri izučavanju predstava perspektive i poslije toga se razvijala pri izučavanju onih svojstava figura koje se ne mjenjaju ako se figure projektuju s jedne ravni na drugu iz bilo koje tačke prostora (centralna projekcija), i na kraju bila završena radovima Jean-Victor Ponceleta.

## Izgradnja neeuklidskih geometrija

Četvrti period razvoja geometrije obilježen je izgradnjom neeuklidovih geometrija od kojih je prva bila geometrija Lobačevskog koju je Lobachevsky izgradio istražujući osnove geometrije, i posebno, aksiome o paralelnim pravama. Sadržaj svoje geometrije Lobachevsky je prvi put iznjeo na sjednici fiziko-matematičkog fakulteta Kazanskog univerziteta 1826. godine. Rad je bio publikovan 1829. godine. Mađarski matematičar János Bolyai je publikovao rad o istom ovom pitanju, u manje razvijenoj formi, 1832. godine. Od nastanka geometrije Lobachevskova uloga aksiomatičkog metoda u matematici uopće i u geometriji posebno postala je veoma značajna. Euklidova geometrija (obična elementarna geometrija koja se izučava u školi) je poslije toga dobila također svoju aksiomatičku osnovu.

David Hilbert je na kraju 18. vijeka prvi postavio konkretan sistem aksioma Euklidove geometrije, tzv. Hilbertove aksiome. Aksiomatske osnove dobile su i druge geometrija: Lobachevskog, projektivna, afina, višedimenzionalna Euklidova (n dimenzija) i dr.

## Teorija relativnosti

Historičari prirodnih nauka još uvijek nisu riješili dilemu da li je specijalna relativnost začeta u danas čuvenom Einsteinovom članku iz 1905. godine, ili je postojala i ranije u radovima Hendrik Lorentza i Henri Poincaréa. Ustvari pojam "odgovarajućih stanja" koji Lorentz koristi u svom članku iz 1904. u mnogo čemu je preteča relativističkih ideja, mada se još uvijek oslanja na besmisleni pojam etra. Međutim, među historičarima ima veoma malo dilema oko tvrdnje da je Einstein skoro potpuno sam stvorio Opštu teoriju relativnosti. Isto tako može se reći da korjeni ove teorije leže u dalekosežnim geometrijskim istraživanjima Bernhard Riemanna, koji je sa svoje strane bio inspirisan Gaussovim remek dijelom *Disquistiones generales circa superficies curvas*, o diferencijalnoj geometriji zakrivljenih površi. Glavna tema u Opštoj teoriji relativnosti je da prisustvo materije utiče na geometriju prostora, koji, usled toga prestaje da bude eulidski. Ajnštajn je imao prethodnike koji su imali čudne, snažne slutnje o budućem toku razvoja nauke. Riemann se jedno vrijeme poigravao idejom da je realni prostor zakrivljen. Poznati fizičar i fiziolog Helmholtz (1821-1894) istraživao je fizičke aspekte Riemannove teorije, i postavio je, na osnovu astronomskih posmatranja, granice moguće zakrivljenosti prostora. Geometar Clifford (1845-1879) zamišljao je materiju kao talasanje u zakrivljenom prostoru. Mnoge njegove ideje kasnije su se ponovo pojavile u općoj relativnsti. Svi ovi pokušaji, koliko god da budu briljantni, bili su preuranjeni. Fizičarima je nedostajao pojam prostorno-vremenske višestrukosti, a također nije bila shvaćena ključna uloga elektrodinamike. Potpuno stvaranje relativističke teorije gravitacije desilo se tek na kraju Prvog svjetskog rata.

Einstein nije lahko došao do krajnjih rezultata. Bile su mu potrebne godine intelektualnih lutanja dok je otkrio oblik jednačina polja. Neki od njegovih najboljih kolega i prijatelja su čak smatrali da je "skrenuo", zanet nekom neostvarljivom fantazijom. Može se pretpostaviti da ga je princip ekvivalencije interesovao čak 1911. godine. Kad se vratio iz Praga u Zürich, 1912. godine, sreo je Marcela Grossmanna i počeo da proučava Gaussove krivolinijske koordinate i njihova uopćenja. Preko Grossmanna upoznao je i apsolutni diferencijalni račun, koji su razvili italijanski matematičari Gregorio Ricci-Curbastro i Tullio Levi-Civita. Iz historijskih izvora je poznato da je Luigi Bianchi, veoma uticajna ličnost među matematičarima onog doba u Italiji, bio veoma skeptičan kritičar apsolutnog diferencijalnog računa, tako da je ova matematička tehnika stekla zasluženo priznanje tek zahvaljujući razvoju teorije relativnosti. Poslije niza neuspješnih pokšaja, konačna verzija teorije bila je završena 1916. godine, samo godinu dana pošto je Karl Schwarzschild našao riješenje jednačina gravitacionog polja koje danas nosi njegovo ime. Spektakularnu potvrdu ispravnosti, teorija je dobila 1919. godine, kada je jedna ekspedicija na Prinčevo ostrvo (Prince Island), pod vođstvom Edingtona, prilikom posmatranja pomračenja Sunca uspjela da izmjeri skretanje svjetlosnih zraka u gravitacionom polju Sunca.

## Podjela geometrije

Danas geometrija sadrži mnogobrojne geometrije i teorije, između kojih nema tačnih granica. Pri tome se pojedine geometrijske teorije usko prepliću s analizom (diferencijalna geometrija), s teorijom skupova (teorija skupova tačaka, topologija). Svaka geometrija se razlikuje od druge prema tome kakav prostor izučava ( Euklidova geometrija, Lobachevsky), kakvim metodama se služi (na primjer, Analitička teorija krivih 2. reda u Analitičkoj geometriji, ili čisto geometrijska, sintetička teorija krivih 2. reda u Sintetičkoj geometriji), kakve objekte (figure) ili njihova svojstva izučava (na primjer, mogu se razmatrati poliedri i njihova svojstva, krive i površi, itd). Pitanja metrike (mjerenje dužina, uglova i površina) dovode do pojma metričke geometije, dok pitanja incidencije (pripadanja, rasporeda) dovode do pojma geometrije položaja, tj. Projektivna geometrija.

Pitanja o osnovama geometrije dovode do odjeljka elementarna geometrije, koja izučava njene logičke osnove, njenu aksiomatiku i ustrojstvo. Ova naučna disciplina se naziva Osnove geometrije.

Svaka od geometrija može se okarakterisati (definisati), po prijedlogu Felix Kleina (vidi Erlangenski program), odgovarajućom grupom onih transformacija koje ona izučava. Tako se elementarna geometrija karakteriše grupom Euklidovih kretanja, afina - grupom afinih transformacija, projektivna - grupom svih kolineacija (projektivnih transformacija)

## Glavne oblasti

* Planimetrija - geometrija ravni;
* Stereometrija - geometrija (3-dim.) prostora;
* Trigonometrija - mjerenje uglova i duži;
	+ Ravninska trigonometrija - na Euklidskoj ravni;
	+ Sferna trigonometrija - na sfernim površinama;
	+ Hiperbolička trigonometrija - na pseudosferama;
		- Hiperboličke funkcije - sinus, kosinus, ..., kosekans hiperbolni;
* Analitička geometrija - izražavanje koordinatama;
* Diferencijalna geometrija - proučavanje metodama diferencijalnog računa.

## Također pogledajte

* Hilbertovi aksiomi
* Tačka
* Zbir uglova u trouglu
* Stereometrija
* Krug
* Pi
* Hiperravan
* Kolinearne i nekolinearne tačke
* Minimum skupa duži
* Normala
* Podudarni mnogouglovi
* Prava (geometrija)
* Presjek dvije prave
* Simetrija kružnica
* Ugao dvije poluprave
* Ugao između pravih

## Reference

## Izvori

* Boyer, C.B. (1991) [1989]. *A History of Mathematics* (Second edition, revised by Uta C. Merzbach izd.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
* Cooke, Roger (2005). *The History of Mathematics*. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
* Hayashi, Takao (2003). "Indian Mathematics". u Grattan-Guinness, Ivor (ured.). *Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences*. **1**. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press. str. 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
* Hayashi, Takao (2005). "Indian Mathematics". u Flood, Gavin (ured.). *The Blackwell Companion to Hinduism*. Oxford: Basil Blackwell. str. 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.
* Nikolai I. Lobachevsky (2010). *Pangeometry*. Heritage of European Mathematics Series. **4**. translator and editor: A. Papadopoulos. European Mathematical Society.
* Jay Kappraff (2014). *A Participatory Approach to Modern Geometry*. World Scientific Publishing. doi:10.1142/8952. ISBN 978-981-4556-70-5. Zbl 1364.00004.
* Leonard Mlodinow (2002). *Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace* (UK izd.). Allen Lane. ISBN 978-0-7139-9634-0.

## Vanjski linkovi

* What Is Geometry? (engl.)
* Geometry Step by Step from the Land of the Incas (engl.)
* Geometry (engl.)
* Islamic Geometry (engl.)