# Peanovi aksiomi

U **Peanovom aksimatskom sistemu** direktni sljedbenik uzima se kao osnovni pojam.
n+

1. 1 je prirodan broj
2. svaki prirodni broj n ima tačno jednog sljedbenika n+ = n + 1
3. Uvijek je n+ ≠ 1, tj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.
4. Iz m+ = n+ onda je i m = n , tj ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.
5. (Aksioma indukcije) Svaki podskup M skupa N, koji sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa sadrži sve prirodne brojeve tj M = N.

## Metoda matematičke indukcije

Na Peanovim aksimama temelji se matematička indukcija.

Primjer
Dokažimo da vrijedi teorema: razlika n2 - n djeljiva je sa 2.

n = 1 ....................................(12 – 1 ) ≡ 2
neka teorema važi za n........( n2 – n) ≡ 2

dokažimo za n + 1............(n + 1 )2 – (n + 1) = n2 + 2n + 1 –n -1 = (n2– n) +2n

Vidimo da je n2 – n djeljiv sa 2, za (n + 1 ) ako je djeljiv za n, jer je 2n djeljivo sa 2 pa ako je (n2 – n ) djeljivo sa 2 onda je i i zbir (n2 – n) +2n djeljiv sa 2.

## Sabiranje u skupu WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

Koristeći se Peanovim aksiomama možemo definisati sabiranje u skupu N.

Preslikavanje + : N x N → N definišimo na sljedeći način:

a + 1 = a+; a + b+ = (a + b)+ nazivamo sabiranje u skupu N.
Osnovne osobine sabiranja u skupu N

**Zakon zatvorenost**:

Ako su a ,b prirodni brojevi onda je i a + b prirodni broj

Dokaz

a+ 1 = a+

Neka je a + b prirodan broj

( a + b)+ ) = a + b+

**Zakon asocijacije**

a + (b + c) = (a + b) + c

Dokazati da vrijedi za c = 1

(a + b ) + 1 = ( a + b ) +  = a + b+  = a + ( b + 1 )
a + ( b + c )= a + ( b + c+ ) = a + (b + c ) +  = { a + ( b + c )} +  = { ( a + b ) +c }+  = (a + b ) + c+

**Zakon komutacije**

a + b = b + a

**Zakon kancelacije**

Ako je a + c = b + c onda je a =b

'Zakon trihotomije'

za svaka dva prirodna broja a,b važi jedna i samo jedna od jednakosti

* a = b
* postoji prirodni broj c takav da je.....a + c = b
* postoji prirodni broj d takav da je....a =c + d

Primjer

5 / 3 nije iz N

**Lema 1**

Za sve prirodne brojeve vrijedi a ≠ a + b

**Lema 2**

Ako je i samo ako je a ≠ 1 onda postoji jedan i samo jedan prirodni broj n takav da je a = n+

## Množenje u skupu WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

Ovdje nemamo preslikavanje cijelog NxN u N već samo pravog podskupa za koji je a > b.

Zakon zatvorenosti:
ako su a ,b iz N onda je i ab iz N

ab=a.1=a

Neka je ab iz N , onda ab+= ab + a

Zakon komutacije
ab=ba
ab×1 = ab
(ab)c = ab(c++1) = abc + ab = a(bc +b ) = a (bc+)

Zakon asocijacije (ab)c=a(bc)

Zakon distribucije a(b + c)= ab +ac
a (b + c)=ab + ac
a (b + 1)=ab + a
a (b + c+)= a (b + c)+ =a(b + c) +a = ab + ac + a =ab +(ac +a ) = ab + ac+)

Zakon kancelacije ac = bc => a =b

Teorema 1
Postoji samo jedan prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

U skupu N 0 važe svi zakoni kao i u skupu N osim zakona skračivanja za množenje.

Dedekind je 1888. God. Uveo tri aksiome koje su ekvivalentne sa Peanovim aksiomama.

1. s je injekcija
2. Područje definicije od s nije čitav N
3. Ako je k iz N koji ne pripada području vrijednosti od s ,

a M podskup od N sa osobinama ;

* k je iz M
* s(n) je iz M ako je n iz M

onda je M = N.
Na osnovu ovih aksioma možemo izgraditi teoriju.

**Teorema 2**

Postoji samo jedan prirosni broj koji nije sljedbenik prirodnog broja.

**Definicija 1**

Prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja zovemo jedinicom i označavamo ga sa 1.

**Teorema 3**

Ako je A neprazni dkup i g:A→A za a iz A onda postoji jedna i samo jedna funkcija

f: N → A
takva da vrijedi:
f(1)=a, f(s(n)) =g (f (n)) > a za n iz N

**Teorema 4**

Postoji jedna i samo jedna funkcija f:N x N takva da vrijedi
f(m,1) =s(m)
f(m, s(n)) = s(f(m,n))

**Teorema 5**

Sabiranje u skupu N je asocijativno

**Teorema 6**

Sabiranje u skupu N je komutativno.

**Teorema 7**

Postoji jedna i samo jedna funkcija sa N x N u N takva da je

f(m,1) = m i
f(m, s(n)) = f(m,n) + m

**Definicija 2**

funkcija sa N x N u N takva da je

f(m,1) = m i

f(m, s(n)) = f(m,n) + m

je operacija množenja i pišemo a x b ili ab

* m x 1 = m
* ms(n) = m x n + m

**Teorema 8 Množenje u skupu N je distributivmo u odnosu na sabiranje.
* Množenje u skupu N je komutativno.

U skupu N1 = N x {1} definišimo operacije

(m,1) +1 (n,1) = (m + n ,1) i
(m,1) x1 (n,1) = (mn, 1)
Sistem (N,+, x) i (N1, +1 , x1) su izomorfni i izomorfizam glasi
(x) → (x,1)
Sumi (m + n) iz N odgovara suma (m + n, 1) iz
N1. U skupu N definisane su dvije algebarske operacije + i x

* Sabiranje je asocijativno
* Množenje je asocijativno
* Množenje je distributivno prema sabiranju
* Postoji element 1 iz Ntakav da je 1m = m
* Ako je mx = nx => m = n
* Za svaki par m, n vrijedi jedna i samo jedna tvrdnja

m = n;
m + x = n ili
m = n + y

za M podskup od N koji sadrži 1 i (n + 1) i ako sadrži n onda je M = N.
Navedene karakteristike određuju (N, +,x)potpuno .svaki sistem (N1, +1 , x1) sa navedenim osobinama izomorfizam je sa (N, + ,x)

Definicija 3
Prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog drugog prirodnog broja je jedinica. označavamo ga sa 1.

Skup N0 je skup prirodnih brojeva i broja 0.
Peanovi aksiomi u ovom skupu glase:

1. 0 je nenegativan broji
2. svaki nenegativan broj ima tačno jednog sljedbenika.
3. uvijek je n+ ≠ 0 tj 0 nije sljedbenik ni jednog broja.
4. ako je m+ = n+ => m = n
5. Neka je M podskup od N0 koji sadrži sljedbenika svakog svog elementa sadrži i sve nenegativne brojeve, tj M = N.

Definicija 4
Preslikavanje f : N0 x N0 = N0 sa osobinom f(a) = a i a f( b0) = a f(b) 0 zove se sabiranje.

Preslikavanje f : N0 x N0 = N0 sa osobinom f(0) = 0 i a f( b0) =a + ab zove se množenje.

U skupu N0 važe svi zakoni kao i u skupu N osim zakona skraćivanja za množenje.