# Zlatni rez

Zlatni isječak je linijski segment prepolovljen na dva dijela prema pravilčima zlatnog reza. Ukupna dužina a + b je većem segmentu a isto što je a kraćem segmentu b.
U matematici i umjetnosti, dvije veličine su u **zlatnom rezu** ako je omjer između sume te dvije veličine i veće od njih jednak sa odnosom veće veličine sa manjom veličinom. Zlatni rez je matematička konstanta, koja približno iznosi 1,6180339887.

Najkasnije od Renesanse, mnogi umjetnici i arhitekte su nastojali svoje radove praviti prema pravilima zlatnog reza, posebno u obliku zlatnog pravougaonika, u kojem je omjer duže stranice naspram dužine kraće stranice zlatni rez, a vjerovalo se da je ova proporcija estetski zadovoljavajuća. Matematičari su proučavali zlatni rez zbog njegovih jedinstvenih i interesantnih osobina.

Zlatni rez se često označava sa grčkim slovom *ϕ* (fi). Izgled **zlatnog isječka** ilustrira geometrijsku vezu koja definiše ovu konstantu. Izraženo algebarski:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Ova jednačina ima, kao jedinstveno, pozitivno rješenje, algebarsko iracionalan broj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Ostali nazivi, koji se koriste za ili za zlatnom rezu srodne pojmove, su **zlatni isječak** (latinski: *sectio aurea*), **zlatna sredina**, **zlatni broj** i grčko slovo **fi** (ϕ). Ostali termini, koji se susreću, jesu **ekstremni i srednji omjer**, **medijalni isječak**, **božanska proporcija**, **požanski isječak** (latinski: *sectio divina*), **zlatna proporcija**, **zlatni omjer**,, te **Fidiasova sredina**.

Konstrukcija zlatnog pravougaonika:

1. Konstruišite jedinični kvadrat (crveno).

2. Povucite liniju sa sredine jedne stranice u suprotan ugao.

3. Iskoristite tu liniju kao radijus kako bi nacrtali luk koji definiše dužu dimenziju pravougaonika.
## Historija

Teorija zlatnog reza započeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematičari, fizičari i astrolozi tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.

Herodot (484. - 424. pne)
„Jedan egipatski svećenik govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog trougla“

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

Grčki kipar Fidije u V vijeku pne.. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.

Platon (grčki filozof, V. i IV. vijek pne.) u „Timoteju“ opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao osnovu harmonične strukture svijeta. Zlatni rez igra ključnu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.

Pitagorejci (oko 500. god.pne.) dolaze do jednog od najvažnijih otkrića u matematici:
- dijagonala i stranica kvadrata ( pravilnog peteugla) su nesamjerljive

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

Grčki matematičar Euklid prvi je ovaj broj uočio i matematički izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu „Elementi“ u kojoj navodi prvu zabilježenu definiciju zlatnog reza.

Datu dužinu podijeliti tako da pravougaonik obuhvaćen cijelom dužinom i jednim odsječkom,bude jednak kvadratu na drugom
odsječku.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marko Vitruvije u djelu *De architectura libri decem* ili *Deset knjiga o arhitekturi*, posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije upoređuje s razmjerima čovječijeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kružnicu, što je kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci

Fra Luca Pacioli (1446–1510) štampao je u Veneciji 1509. djelo *De divina proportione*, koje je imalo veliki uticaj i nakon kojeg zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijske osobine “božanske razmjere". Knjigu je
ilustrirao Leonardo da Vinci.

Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine Elementar -Mathematik ( Čista elementarna matematika)
prvi put koristi termin zlatni rez.

Oznaku WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 je 1909. predložio američki matematičar Mark Barr u čast slavnom starogrčkom kiparu Fidiji (Phidias 480–430. p. n. e.)

## Izračunavanje

|  |
| --- |
| Spisak brojeva γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ |
| Binarni | 1.1001111000110111011... |
| Decimalni | 1,6180339887498948482... |
| Heksadecimalni | 1.9E3779B97F4A7C15F39... |
| Neprekidni razlomak |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  |
| Algebarski oblik |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_24  |

Za dvije veličine (pozitivni brojevi) *a* i *b* se kaže da su u *zlatnom rezu* *ϕ* ako vrijedi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
Ova jednačina jednoznačno definiše *ϕ*.

Desna jednačina pokazuje da je *a = bϕ*, što se može zamijeniti u lijevi dio, dajući

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Poništavanjem *b* na obe strane, dobijamo

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Množenjem obe strane sa *ϕ* i premještanjem članova vodi do:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Jedino pozitivno rješenje ove kvadratne jednačine je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
## Prikazi broja WIKINIUM\_MATH\_PH\_36

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

## Također pogledajte

* Estetika
* Zlatni ugao
* Zlatna funkcija
* Zlatni pravougaonik
* Zlatni teougao (matematika)
* Traženje zlatnog isječka
* Fi
* Keplerov trougao
* Logaritamska spirala
* Fibonaccijev broj
* Modulor
* Sveta geometrija
* Ruže Heliogabalusa
* Plastični broj
* Penroseovo popločanje
* Dinamička simetrija
* Baza zlatnog reza
* *Vitruvijev čovjek*
* Kvadratni korijen od 5
* Srebrni rez
* Spisak radova dizajniranih sa zlatnim rezom

## Reference i fusnote

## Dalje čitanje

* Doczi, György (2005) [1981]. *The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture*. Boston: Shambhala Publications. ISBN 1-590-30259-1. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* Huntley, H. E. (1970). *The Divine Proportion: A Study in Mathematical Proportion*. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-22254-3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* Arakelyan, Hrant. *Mathematics and Hstory of the Golden Section*. – Logos 2014, 404 p. — ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.).
* Joseph, George G. (2000) [1991]. *The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics* (New Ed. izd.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. `|edition=` sadrži dodatni tekst (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* Sahlqvist, Leif (2008). *Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design* (3rd Rev. Ed. izd.). Charleston, SC: BookSurge. ISBN 1-4196-2157-2. `|edition=` sadrži dodatni tekst (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* Schneider, Michael S. (1994). *A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science*. New York: HarperCollins. ISBN 0-060-16939-7. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* Walser, Hans (2001) [*Der Goldene Schnitt* 1993]. *The Golden Section*. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-534-8. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

## Vanjski linkovi

* Green, Thomas M. (updated June 20, 2005). "The Pentagram & The Golden Ratio". Arhivirano s originala, 5. 11. 2007. Nepoznati parametar `|accessyear=` zanemaren (prijedlog zamjene: `|access-date=`) (pomoć); Nepoznati parametar `|accessmonthday=` zanemaren (pomoć); Provjerite vrijednost datuma u parametru: `|date=` (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link) Geometry instruction with problems to solve.
* Khan, Amore (revised February 2, 2007). "Khan Amore's Commentary on the Divine Proportion". Arhivirano s originala (HTML; PDF available), 7. 4. 2009. Pristupljeno 29. 12. 2008. Nepoznati parametar `|accessyear=` zanemaren (prijedlog zamjene: `|access-date=`) (pomoć); Nepoznati parametar `|accessmonthday=` zanemaren (pomoć); Provjerite vrijednost datuma u parametru: `|date=` (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* Knott, Ron. "The Golden section ratio: Phi". Arhivirano s originala, 5. 12. 2006. Pristupljeno 29. 12. 2008. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link) Information and activities by a mathematics professor.
* Eric W. Weisstein, *Zlatni rez* na MathWorld-u.
* Irlande, Alexis. "The golden number to 17 000 000 000 digits". Arhivirano s originala, 6. 1. 2010. Pristupljeno 29. 12. 2008. Nepoznati parametar `|accessyear=` zanemaren (prijedlog zamjene: `|access-date=`) (pomoć); Nepoznati parametar `|accessmonthday=` zanemaren (pomoć); Referenca sadrži prazan nepoznati parametar: `|month=` (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
* "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
*
* Zlatni rez u radovima slikara Alfreda F. Krupe