# Kružnica

Kružnica polumjera *r*  i promjera *d* te središtem u tački *M*
## Opći pojmovi

Neka je u ravni data tačka O i duž r. Tada , prema aksiomi prenošenja duži, na svakoj polupravoj čiji je početak tačka O i leži u ravni postoji jedinstvena tačka X takva da je OX=r.

Definicija 1
Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo **kružnica** s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

**Poluprečnik kružnice** je duž koja spaja centar kružnice s bilo kojom tačkom kružnice.

Prava koja prolazi kroz centar kružnice naziva se **centralna prava kružnice**. Centar O dijeli centralnu pravu na dvije poluprave koje imaju tačno jednu tačku sa kružnicom, odnosno centralna prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke.

Duž PQ koja spaja centralno simetrične tačke kružnice nazivamo 'prečnik (dijametar ili promjer)' kružnice. Ako je PQ prečnik kružnice onda je PO=OQ odnosno O je sredina prečnika.

Duž koja spaja dvije tačke kružnice nazivamo **tetiva.** Prečnik je tetiva na kojoj leži centar kružnice.

Centralna prava dijeli ravan kružnice na dvije poluravni odnosno tačke kružnice dijeli na dva skupa.-

* skup koji leži u jednoj poluravni
* skup koji leži u drugoj poluravni. Ovi skupovi su polukružnice.

Kružnice koje imaju isti centar kažemo da su koncentrične.

Ugao čiji je vrh u centru kružnice nazivamo **centralni ugao.**

Dio kružnice koji pripada centralnom uglu nazivamo **luk.** Centralnom uglu odgovara određen luk. Luk koji odgovara ravnom uglu je polukružnica.
Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku.
Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica.

## Jednačina kružnice

U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 .
Ova je jednačina drugog reda.
Jednačina kružnice može se napisati i na sljedeći način

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 . Ovo je segmentna jednačina.
Kružnica sa središtem u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 i poluprečnikom WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 određena je jednačinom:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
ili

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 segmentna jednačina
## Opšti pojmovi

Obim kružnice је WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , a kružnica predstavlja periferiju kruga**.**

Površina omeđena kružnicom је WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .

**Koncentričnne kružnice** su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u jednoj ravni.
Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog ugla nad istom tetivom.

Periferni ugao nad prečnikom je prav

Ugao između tetive i tangente povučene iz jedne tačke kružnice jednak je perifernom uglu nad tom tetivom

Periferni uglovi nad istom tetivom su isti ili suplementni .

## Rastojanje tačke od kružnice

Spojimo tačku C sa tačkama kružnice K(O,r). Ovako dobijamo beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž.

Postavlja se pitanje , postoji li u ovom skupu duž od koje ni jedna duž skupa nije manja i takva duž koja nije manja ni od jedne duži skupa?

To su duži CA i CB ,gdje su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je s one strane tačke O s koje je C, a B sa suprotne strane.

Definicija 2
Element m skupa E ( u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maximumu u skupu duži.

Definicija 3
Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.

**Teorema 1**

Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A ,B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka križnice tačka A ima najmanje ,a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimumu i maximumu.

Primjer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maximumu a nema minimum

## Zajedničke tačke kružnica

Neka su zadane dvije kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a s B tačku drugr kružnice.

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r
Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

### Presjek kružnica prazan skup

* Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_28

Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.

## Tangenta kružnice

Tangenta kružnice sa središtem WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Tangenta kružnice koja ima središte u koorinantnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
odakle slijedi da je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
jednačina tangente na kružnicu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .
Tangenta kružnice sa središtem u WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Tangenta kružnice koja ima središte u tački WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 i koja prolazi tačkom WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
odakle slijedi da je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 .
### Tangiranje kružnica

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_56

Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.

### Presjek kružnica

R – r < CO < R + r ( R < r)

* A je u, B izvan K(C,R)
* R – r < CO => CB > R

B je van K (C,R)
CO < R + r => CA < RA je u kružnici.
Od dvije dijametralno raspoređeme tačke jedna je u ,a druga van kružnice. Tačke A , B diele kružnicu na dva dijela

**Aksioma 2**

Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajednićku tačku.

**Teorema 2**

Zajednička tačka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj i obratno dvije različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centrlnoj pravoj dodiruju se.
Ako dvije kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj imaju još jednu zajedničku tačku.

**Teorema 3**

Dvije kružnice K(C,R) i k(O,r)

* Nemaju zajedničkih tačaka ako i samo ako je
	+ CO > R + r ( svaka od križnica je izvan druge kružnice)
	+ CO < R -r( kružnica manjeg prečnika je unutar kružnic većeg prečnika)
* Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
	+ CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice
* R – r < CO<R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.

**Teorema 4**

Da bi dvije kružnice imale zajedničkih tačaka u sličaju da se centar prve kružnice nalazi

1. na drugoj kružnici
2. u drugoj kružnici

potrebno je i dovoljno da bude

1. R ≤ 2r
2. CA < R < CB

gdje su CA i CB odsječci na koje centar O dijeli dijametar AB kružnice k(O, r).

## Polara kružnice

Konjugovane tačke u odnosu na kružnicu

Tačke P i P 1 su konjugovane u odnosu na kružni cu ako zadovoljavaju formulu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_64

Ovo je jednačina **polare kružnice** . Skup konjugovanih tačaka kružnice je prava.

1. Polara siječe kružnicu ako je tačka M van križnice.
2. tangenta je kružnice ako je M na kružnici
3. Nema ztajedničkoh tačaka ako je M u kružnici
4. Prolazi kroz centar kružnice ako je M u beskonačnosti

« Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 onda je polara u beskonačnosti.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_72

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 = - WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

( WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 - WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 )=0

( WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 + WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 )( WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 + WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 )=0

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 =0

### Apolonijeva kružnica

Geometrijsko mjesto tačaka ravni koje imaju osobinu da je odnos udaljenosti tih tačaka stalan broj je kružnica – Apolonijeva kružnica

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_112

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 =0

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
=0

Za mjenom

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 i

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_128

Imamo WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 =0 kružnica sa prečnikom CD.

## Kružnice u p-normama i brojevi WIKINIUM\_MATH\_PH\_134

Dosad smo udaljenost računali pomoću metrike WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 . Za definisanje pojma kružnice možemo, umjesto metrike WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 , uzeti neku drugu metriku d.

Skup

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140

predstavlja kružnicu radijusa r sa sredisstem u ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 ) s obzirom na metriku d.

Kružnica radijusa r sa sredistem u koordinantnom početku s obzirom na WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 je skup

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 za WIKINIUM\_MATH\_PH\_148

Na ovoj slici prikazane su kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_150

Kada bismo nacrtali i ostale kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 , sve bi one bile smještene između WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 i
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 , i što bi p bio veći, to bi kružnica WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 bila bliže kružnici WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 .
To nam je jasno iz teorema za max- normu.

Uzmimo WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 . Neka je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164

Tada tačka

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 leži na kružnici WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 ,jer je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170

Sa slike se vidi da kružnica WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 leži unutar kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 pa je tačka

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 unutar kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 tj

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180

vrijedi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182

Kada bismo nacrtali kružnicu radiusa WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 u odnosu na metriku WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 odnosno WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 kružnica WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 bila smještena unutar nje.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194

Propozicija

Za sve WIKINIUM\_MATH\_PH\_196

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200

Geometrijski oblik kružnice zavisi o odabranoj metrici.

Izračunajmo obim WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 kružnica WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 .

Obim kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 je WIKINIUM\_MATH\_PH\_208

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_210

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212

U obima WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 ne pojavljuje se WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 .

Neka je WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 četvrtina kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 koja pripada prvom kvadrantu. Tada je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 je element dužine

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228

Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 imamo

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232

Za parametrizaciju krive WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 uzmimo

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 za WIKINIUM\_MATH\_PH\_240

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242

Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_244

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246

Pošto su nam iznosi za WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 poznati, gornju formulu možemo provjeriti uvrštavanjem WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 .

Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_256

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258

Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_260

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268

Za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 razmjera WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 obima WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 i prečnika WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 kružnice je konstantan.
Tu razmjeru označavamo sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 i iznosi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_280

Očito je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_286

## Također pogledajte

* Sfera

## Izvor

p-norme na WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 , kružnice WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 i brojevi WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)