# Teorija skupova

Venov dijagram pokazuje presjek dva skupa
**Teorija skupova** je matematička teorija skupova, koji predstavljaju kolekcije apstraktnih objekata. Obuhvataju svakodnevnu notaciju skupa, kao što je ona uvedena u osnovnoj školi, kao kolekciju objekata, te pripadne koncepte elemenata i članstva takvih kolekcija.

Moderno proučavanje teorije skupova započeli su njemački matematičari Richard Dedekind i Georg Cantor 1870-ih godina. Georg Cantor se posebno smatra osnivačem teorije skupova. Neformalizirani sistemi istraživani tokom ove rane faze nazivaju se *naivna teorija skupova*. Nakon otkrića paradoksa unutar naivne teorije skupova (kao što su Russellov paradoks, Cantorov paradoks i Burali-Fortijev paradoks), početkom dvadesetog stoljeća predloženi su različiti aksiomski sistemi, od kojih je Zermelo-Fraenkelova teorija skupova (sa ili bez aksioma izbora) i dalje najpoznatija i najproučavanija.

Porfirsko drvo Purchotiusa (1730), koje predstavlja Aristotelove Kategorije
Teorija skupova se obično koristi kao temeljni sistem za cijelu matematiku, posebno u obliku Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora. Pored svoje temeljne uloge, teorija skupova također pruža okvir za razvoj matematičke teorije beskonačnosti i ima različite primjene u računarstvu (kao što je teorija relacione algebre), filozofiji, formalnoj semantici i evolucijskoj dinamici. Njena temeljna privlačnost, zajedno s njenim paradoksima i implikacijama na koncept beskonačnosti i njenim višestrukim primjenama, učinila je teoriju skupova područjem od velikog interesa za logičare i filozofe matematike . Savremena istraživanja teorije skupova pokrivaju širok spektar tema, od strukture realne brojevne linije do proučavanja konzistentnosti velikih kardinala.

U većini modernih matematičkih formalizama teorija skupova predstavlja jezik opisa matematičkih objekata. Zajedno sa logikom i predikatnim računom predstavlja jedan od aksiomatskih temelja matematike, dozvoljavajući formalnu konstrukciju matematičkih objekata iz nedefiniranih termina "skupa" i "članstva skupa". Predstavlja punopravnu granu matematike, i aktivno je područje istraživačkog rada.

U naivnoj teoriji skupova, skupovi su uvedeni koristeći tzv. samoevidentni koncept skupova kao kolekcija objekata smatranih cjelinom.

U aksiomatskoj teoriji skupova, koncepti skupa i članstva skupa su definirani indirektno postuliranjem određenih aksioma koji specificiraju njihova svojstva. Shodno ovakvoj koncepciji, skupovi i članstva skupa su fundamentalni koncepti poput tačke i crte u euklidskoj geometriji, i nisu sami po sebi definisani.

Osnovni pojam grupisanja objekata postoji barem od pojave brojeva, a pojam tretiranja skupova kao zasebnih objekata postoji barem od Porfirijevog drveta u 3. vijeku nove ere. Jednostavnost i sveprisutnost skupova otežavaju određivanje porijekla skupova kako se danas koriste u matematici; međutim, Bolzanovi *Paradoksi beskonačnog* ( *Paradoxien des Unendlichen*, 1851) se općenito smatraju prvim rigoroznim uvodom skupova u matematiku. U svom radu, on je (između ostalog) proširio Galilejev paradoks i uveo jedan-na-jedan korespondenciju beskonačnih skupova, na primjer između intervala WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 relacijom WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 Međutim, on se opirao tvrdnji da su ovi skupovi jednakobrojni, a njegov rad se generalno smatra neuticajnim na matematiku njegovog vremena.

## Reference

## Vanjski linkovi

*  (en)
*  (en)

* "Axiomatic set theory". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. Pristupljeno 2026-05-12.
* Bagaria, Joan. Zalta, Edward N. (ured.). "Set Theory". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Pristupljeno 2026-05-12.
* Bell, John L. Zalta, Edward N. (ured.). "The Axiom of Choice". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Pristupljeno 2026-05-12.
* Cunningham, Daniel. "Set Theory". *Internet Encyclopedia of Philosophy*. Pristupljeno 2026-05-12.
* Ferreirós, José (2007) [1999]. *Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics* (2nd izd.). Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7.
* Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (ured.). "Handbook of Set Theory". *handbook.assafrinot.com*. Unofficial index maintained by Assaf Rinot. Pristupljeno 2026-05-12.
* Kennedy, Juliette. Zalta, Edward N. (ured.). "Kurt Gödel". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Pristupljeno 2026-05-12.
* Koellner, Peter. Zalta, Edward N. (ured.). "The Continuum Hypothesis". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Pristupljeno 2026-05-12.
* Koellner, Peter. Zalta, Edward N. (ured.). "Large Cardinals and Determinacy". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Pristupljeno 2026-05-12.
* "Set theory". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. Pristupljeno 2026-05-12.
* "Set Theory". *nLab*. Pristupljeno 2026-05-12.
* Weisstein, Eric W. "Set Theory". *MathWorld*. Wolfram Research. Pristupljeno 2026-05-12.
* "Zermelo–Fraenkel set theory". *Encyclopedia of Mathematics*. EMS Press. Pristupljeno 2026-05-12.