# Матэматыка

**Матэма́тыка** (стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά < стар.-грэч.: μάθημα — вывучэнне, навука) — дакладная фармальная навука, якая першапачаткова вывучала колькасныя адносіны і прасторавыя формы рэчаіснага свету. Традыцыйна матэматыка лічыцца асаблівай у сваім родзе навукай.

Пачаткі матэматыкі з’явіліся ў глыбокай старажытнасці.

## Асноўныя звесткі

Ідэалізаваныя ўласцівасці доследных аб’ектаў альбо фармулююцца ў выглядзе аксіём, альбо пералічваюцца ў азначэнні адпаведных матэматычных аб’ектаў. Затым па строгіх правілах лагічнага вываду з гэтых уласцівасцей выводзяцца іншыя праўдзівыя ўласцівасці (тэарэмы). Гэтая тэорыя ў сукупнасці ўтварае матэматычную мадэль доследнага аб’екта. Такім чынам, першапачаткова, зыходзячы з прасторавых і колькасных суадносін, матэматыка атрымлівае больш абстрактныя суадносіны, вывучэнне якіх таксама з’яўляецца прадметам сучаснай матэматыкі.

Традыцыйна матэматыка дзеліцца на тэарэтычную, якая выконвае паглыблены аналіз унутрыматэматычных структур, і прыкладную, якая прадстаўляе свае мадэлі іншым навукам і інжынерным дысцыплінам, прычым некаторыя з іх займаюць пагранічнае з матэматыкай становішча. У прыватнасці, фармальная логіка можа разглядацца і як частка філасофскіх навук, і як частка матэматычных навук; механіка — і фізіка, і матэматыка; інфарматыка, камп’ютарныя тэхналогіі і алгарытміка адносяцца як да інжынерыі, так і да матэматычных навук і г. д. У літаратуры было прапанавана шмат розных азначэнняў матэматыкі.

## Назва

Слова «матэматыка» пайшло ад стар.-грэч.: μάθημα, што азначае *вывучэнне*, *веды*, *навука*, і стар.-грэч.: μαθηματικός, якое першапачаткова азначала *ўспрыімлівы, паспяваючы*, пазней *звязаны з вывучэннем*, пасля *звязаны з матэматыкай*. Між іншым, μαθηματικὴ τέχνη, на латыні *ars mathematica*, азначае *мастацтва матэматыкі*. Тэрмін стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά у сучасным значэнні «матэматыка» сустракаецца ўжо ў працах Арыстоцеля (IV ст. да н. э.).

У беларускую мову слова прыйшло праз лацінскую (лац.: mathematica) і старапольскую (польск.: matematyka).
У помніках на старабеларускай мове слова «математикъ», ці «математыкъ» сустракаецца ўжо ў канцы XVI — першай палавіне XVII ст.

Падобным шляхам слова «матэматыка» трапіла і ў рускую мову. У тэкстах на рускай мове слова «математика», ці «маѳематика» сустракаецца прынамсі з XVII стагоддзя, напрыклад, у Мікалая Спафарыя ў «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год).

## Азначэнні

Адно з першых азначэнняў прадмета матэматыкі даў Дэкарт:

>
>
> К вобласці матэматыкі адносяцца толькі тыя навукі, у якіх разглядаецца альбо парадак, альбо мера, і зусім не істотна, ці будуць гэта лікі, фігуры, зоркі, гукі ці нешта іншае, у чым адшукваецца гэтая мера. Такім чынам, павінна існаваць нейкая агульная навука, якая тлумачыць усё што адносіцца да парадку і меры, не ўваходзячы ў даследаванне ніякіх асобных прадметаў, і гэтая навука павінна называцца не замежным, але старым, ужывальным імем Усеагульнай матэматыкі.
>
>
>

У савецкі час класічным лічылася азначэнне з ВСЭ, дадзенае А. М. Калмагоравым:

>
>
> Матэматыка… навука аб колькасных адносінах і прасторавых формах сапраўднага свету.
>
>
>

Гэта азначэнне Энгельса; праўда, далей Калмагораў тлумачыць, што ўсе выкарыстаныя тэрміны трэба разумець у самым шырокім і абстрактным сэнсе.

Фармулёўка Бурбакі:

>
>
> Сутнасць матэматыкі… ўяўляецца цяпер як вучэнне аб адносінах паміж аб'ектамі, аб якіх нічога не вядома, акрамя якія апісваюць іх некаторых уласцівасцей, — іменна тых, якія ў якасці аксіём пакладзены ў падмурак тэорыі… Матэматыка ёсць набор абстрактных форм — матэматычных структур.
>
>
>

Герман Вейль песімістычна ацаніў магчымасць даць агульнапрынятае азначэнне прадмета матэматыкі:

>
>
> Пытанне аб асновах матэматыкі і аб тым, што ўяўляе сабой у канчатковым выніку матэматыка, застаецца адкрытым. Мы не ведаем нейкага напрамку, які дазволіць, у рэшце рэшт, знайсці канчатковы адказ на гэтае пытанне, і ці можна наогул чакаць, што падобны «канчатковы» адказ будзе калі-небудзь атрыманы і прызнаны ўсімі матэматыкамі.
>
>
> «Матэматызаванне» можа застацца адным з праяўленняў творчай дзейнасці чалавека, падобна музіцыраванню або літаратурнай творчасці, яркім і самабытным, але прагназаванне яго гістарычнага лёсу не паддаецца рацыяналізацыі і не можа быць аб'ектыўным.
>
>
>

## Гісторыя

Паводле акадэміка А. М. Калмагорова гісторыя матэматыкі дзеліцца на наступныя перыяды:

1. Перыяд зараджэння матэматыкі, на працягу якога назбіраўся дастаткова вялікі фактычны матэрыял;
2. Перыяд элементарнай матэматыкі, які пачынаецца ў VI—V стст. да н. э. і завяршаецца ў канцы XVI ст. («Запас паняццяў, з якімі мела справу матэматыка да пачатку XVII ст., складае і да цяперашняга часу аснову „элементарнай матэматыкі“, якая выкладаецца ў пачатковай і сярэдняй школе»);
3. Перыяд матэматыкі пераменных велічынь, які ахоплівае XVII—XVIII стст., «які можна ўмоўна назваць таксама перыядам „вышэйшай матэматыкі“»;
4. Перыяд сучаснай матэматыкі — матэматыкі XIX—XX стст., у ходзе якога матэматыкам прыйшлося «аднесціся да працэса пашырэння прадмета матэматычных даследаванняў свядома, паставіўшы перад сабою задачу сістэматычнага вывучэння з дастаткова агульнага пункта погляду магчымых тыпаў колькасных адносін і прасторавых форм».

Лічбы мая
Развіццё матэматыкі пачалося разам з тым, як чалавек стаў выкарыстоўваць абстракцыі колькі-небудзь высокага ўзроўню. Простая абстракцыя — лікі; асэнсаванне таго, што два яблыкі і два апельсіны, нягледзячы на ўсе іх адрозненні, маюць нешта агульнае, а іменна займаюць абедзве рукі аднаго чалавека, — якаснае дасягненне мыслення чалавека. Акрамя таго, што старажытныя людзі даведаліся, як лічыць канкрэтныя аб’екты, яны таксама зразумелі, як вылічаць і абстрактныя колькасці, такія, як час: дні, поры года, гады. З элементарнага лічэння натуральным чынам пачала развівацца арыфметыка: складанне, адніманне, множанне і дзяленне лікаў.

Развіццё матэматыкі абапіраецца на пісьменнасць і ўменне запісваць лікі. Напэўна, старажытныя людзі спачатку запісвалі колькасць шляхам малявання рысачак на зямлі ці выдрапвалі іх на драўніне. Старажытныя інкі, не маючы іншай сістэмы пісьменнасці, прадстаўлялі і захоўвалі лікавыя дадзеныя, выкарыстоўваючы складаную сістэму вяровачных вузлоў, так званыя кіпу. Існавала мноства розных сістэм злічэння. Першыя вядомыя запісы лікаў былі знойдзены ў папірусе Ахмеса, створаным егіпцянамі Сярэдняга царства. Індская цывілізацыя распрацавала сучасную дзесятковую сістэму злічэння, якая ўключае паняцце нуля.

Гістарычна асноўныя матэматычныя дысцыпліны з’явіліся з-за неабходнасці весці разлікі ў камерцыйнай сферы, пры вымярэнні зямель і для прадказання астранамічных з’яў і, пазней, для рашэння новых фізічных задач. Кожная з гэтых абласцей адыграла вялікую ролю ў шырокім развіцці матэматыкі, якое заключаецца ў вывучэнні структур, прастор і змен.

## Раздзелы матэматыкі

1. Матэматыка як *навучальная дысцыпліна* дзеліцца на элементарную матэматыку, вывучаную ў сярэдняй школе і ўтвораную дысцыплінамі:

* арыфметыка,
* элементарная алгебра
* элементарная геаметрыя: планіметрыя і стэрэаметрыя
* тэорыя элементарных функцый і элементы аналізу

і вышэйшую матэматыку, вывучаную на нематэматычных спецыяльнасцях ВНУ. Дысцыпліны, што ўваходзяць у склад вышэйшай матэматыкі, вар’іруюцца ў залежнасці ад спецыяльнасці.

## Філасофія матэматыкі

### Мэты і метады

Матэматыка вывучае ўяўныя, ідэальныя аб’екты і суадносіны паміж імі, выкарыстоўваючы фармальную мову. У агульным выпадку матэматычныя паняцці і тэарэмы не абавязкова маюць адпаведнасць чаму-небудзь у фізічным свеце. Галоўнае заданне ўжытковага раздзела матэматыкі — стварыць матэматычную мадэль, досыць адэкватную доследнаму рэальнаму аб’екту. Заданне матэматыка-тэарэтыка — забяспечыць дастатковы набор зручных сродкаў для дасягнення гэтай мэты.

Утрыманне матэматыкі можна вызначыць як сістэму матэматычных мадэляў і прылад для іх стварэння. Мадэль аб’екта ўлічвае не ўсе яго рысы, а толькі самыя патрэбныя для мэт вывучэння (ідэалізаваныя). Прыкладам, вывучаючы фізічныя ўласцівасці апельсіна, мы можам абстрагавацца ад яго колеру і густу і ўявіць яго (хай не ідэальна дакладнае) шарам. Калі ж нам трэба зразумець, колькі апельсінаў атрымаецца, калі мы складзём разам два і тры, — то можна абстрагавацца і ад формы, пакінуўшы ля мадэлі толькі адну характарыстыку — колькасць. Абстракцыя і ўсталяванне сувязяў паміж аб’ектамі ў самым агульным выглядзе — адзін з галоўных кірункаў матэматычнай творчасці.

Іншы кірунак, разам з абстрагаваннем — абагульненне. Прыкладам, абагульняючы паняцце «прастора» да прасторы n-вымярэнняў. «*Прастора WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , пры WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 з’яўляецца матэматычнай выдумкай. Зрэшты, вельмі геніяльнай выдумкай, якая дапамагае матэматычна разбірацца ў складаных з’явах*».

Вывучэнне ўнутрыматэматычных аб’ектаў, зазвычай, адбываецца пры дапамозе аксіяматычнага метаду: спачатку для доследных аб’ектаў фармулююцца спіс асноўных паняццяў і аксіём, а потым з аксіём з дапамогай правіл высновы атрымліваюць змястоўныя тэарэмы, у сукупнасці ўтваральныя матэматычную мадэль.

### Падставы

Пытанне існасці і падстаў матэматыкі абмяркоўвалася з часоў Платона. Пачынаючы з XX стагоддзя назіраецца параўнальная згода ў пытанні, што належыць лічыць строгім матэматычным довадам, аднак адсутнічае згода ў разуменні таго, што ў матэматыцы лічыць спрадвечна праўдзівым. Адсюль выцякаюць нязгоды як у пытаннях аксіёматыкі і ўзаемасувязі галін матэматыкі, гэтак і ў выбары лагічных сістэм, якімі варта пры довадах карыстацца.

Апроч скептычнага, вядомыя ніжэйпералічаныя падыходы да дадзенага пытання.

#### Тэарэтыка-множны падыход

Прапануецца разглядаць усе матэматычныя аб’екты ў рамках тэорыі мностваў, найчасцей з аксіяматыкай Цэрмела — Фрэнкеля (хоць існуе мноства іншых, раўназначных ёй).
Дадзены падыход лічыцца з сярэдзіны XX стагоддзя пераважным, аднак у рэчаіснасці большасць матэматычных прац не ставяць заданняў перавесці свае сцверджанні строга на мову тэорыі мностваў, а аперуюць паняццямі і фактамі, усталяванымі ў некаторых абласцях матэматыкі. Такім чынам, калі ў тэорыі мностваў будзе выяўлена супярэчнасць, гэта не пацягне за сабой абясцэньванне большасці вынікаў.

#### Лагіцызм

Дадзены падыход мяркуе строгую тыпізацыю матэматычных аб’ектаў. Многія парадоксы, якіх унікаюць у тэорыі мностваў толькі шляхам адмысловых хітрыкаў, аказваюцца немагчымымі ў прынцыпе.

#### Фармалізм

Дадзены падыход мяркуе вывучэнне фармальных сістэм на глебе класічнай логікі.

#### Інтуіцыянізм

Інтуіцыянізм мяркуе ў падставе матэматыкі інтуіцыйную логіку, больш абмежаваную ў сродках доваду (але, як лічыцца, і больш надзейную). Інтуіцыянізм адпрэчвае довад ад адваротнага, многія неканструктыўныя довады робяцца немагчымымі, а многія праблемы тэорыі мностваў — бессэнсоўнымі (нефармалізоўнымі).

#### Канструктыўная матэматыка

Канструктыўная матэматыка — блізкая да інтуіцыянізму плынь у матэматыцы, што вывучае канструктыўныя пабудовы. Паводле крытэрыю канструктыўнасці — «*існаваць — значыць быць пабудаваным*». Крытэрый канструктыўнасці — мацнейшае патрабаванне, чым крытэрый несупярэчнасці.

## Асноўныя тэмы

### Лік (колькасць)

Асноўны раздзел, які разглядае абстракцыю колькасці — алгебра. Паняцце «лік» спачатку зарадзілася з арыфметычных уяўленняў і адносілася да натуральных лікаў. Надалей яно, з дапамогай алгебры, было паступова пашырана на цэлыя, рацыянальныя, рэчаісныя, комплексныя і іншыя лікі.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  | Натуральныя лікі
 |

 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  | Цэлыя лікі
 |

 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  | Рацыянальныя лікі
 |

 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  | Рэчаісныя лікі
 |

 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 |
| Камплексныя лікі | Кватэрніёны
 |

Лікі — Натуральныя лікі — Цэлыя лікі — Рацыянальныя лікі — Ірацыянальныя лікі — Алгебраічныя лікі — Трансцэндэнтныя лікі — Рэчаісныя лікі — Камплексныя лікі — Гіперкамплексныя лікі — Кватэрніёны — Актаніёны — Седэніёны — Гіперрэальныя лікі — Сюррэальныя лікі — **p**-адычныя лікі — Матэматычныя сталыя — Назвы лікаў — Бясконцасць — Базы

### Ператварэнні

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16  |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18  |
| Арыфметыка | Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне | Вектарны аналіз | Аналіз |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  |  |  |
| Дыферэнцыяльныя ўраўненні | Дынамічныя сістэмы | Тэорыя хаосу |

Арыфметыка — Вектарны аналіз — Аналіз — Тэорыя меры — Дыферэнцыяльныя ўраўненні — Дынамічныя сістэмы — Тэорыя хаосу

### Структуры

Тэорыя мностваў — Лінейная алгебра — Агульная алгебра (улучае, у прыватнасці, тэорыю груп, універсальную алгебру, тэорыю катэгорый) — Алгебраічная геаметрыя — Тэорыя лікаў — Тапалогія.

### Прасторавыя адносіны

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |
| Геаметрыя | Трыганаметрыя | Дыферэнцыяльная геаметрыя | Тапалогія | Фракталы | Тэорыя меры |

Геаметрыя — Трыганаметрыя — Алгебраічная геаметрыя — Тапалогія — Дыферэнцыяльная геаметрыя — Алгебраічная тапалогія — Лінейная алгебра — Фракталы — Тэорыя меры.

### Дыскрэтная матэматыка

Дыскрэтная матэматыка улучае сродкі даследавання аб’ектаў, здольных прымаць толькі асобныя (дыскрэтныя) значэнні (то бок аб’ектаў, не здольных змяняцца плыўна).

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  |  |  |  |
| Матэматычная логіка | Тэорыя вылічальнасці | Крыптаграфія | Тэорыя графаў |

Камбінаторыка — Тэорыя мностваў — Тэорыя рашотак — Матэматычная логіка — Тэорыя вылічальнасці— Крыптаграфія — Тэорыя функцыянальных сістэм — Тэорыя графаў — Тэорыя алгарытмаў — Лагічныя злічэнні
— Інфарматыка.

## Анлайнавыя сэрвісы

Існуе вялікі лік сайтаў, што падаюць сэрвіс для матэматычных разлікаў. Большасць з іх англамоўныя.

## Праграмнае забеспячэнне

Матэматычнае праграмнае забеспячэнне — шматграннае:

* Пакеты, арыентаваныя на набор матэматычных тэкстаў і на іх наступную вёрстку (TeX).
* Пакеты, арыентаваныя на рашэнне матэматычных заданняў, лікавае мадэляванне і пабудову графікаў (GNU Octave, Maple, Mathcad, MATLAB, Scilab).
* Асобныя праграмы ці пакеты праграм, якія актыўна выкарыстоўваюць матэматычныя метады (калькулятары, архіватары, пратаколы шыфравання/дэшыфраванні, сістэмы распазнання выяў, кадаванне аўдыя і відэа).

## Гл. таксама

* Матэматыка ў Беларусі
* Матэматычныя алімпіяды

## Зноскі

## Літаратура

* *Гайшун І. В.* Матэматыка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 211. — 544 с. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).
* *Бернік В. І., Гусак А. А.* Матэма́тыка // Беларусь: энцыклапедычны даведнік / Рэдкал. Б. І. Сачанка (гал. рэд.) і інш.; Маст. М. В. Драко, А. М. Хількевіч. — Мн.: БелЭн, 1995. — С. 470. — 800 с. — 5 000 экз. — ISBN 985-11-0026-9.
* Матэматычная энцыклапедыя. — Мн.: Тэхналогія, 2001.
* Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
* Россия/Русская наука/Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
* Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
* Mathematics // Encyclopædia Britannica, Volume 17, 1911.

Кнігі
* *Клайн М.* Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. Архівавана 12 лютага 2007.
* *Клайн М.* Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. — 295 с.(недаступная спасылка)
* *Клейн Ф.* Элементарная математика с точки зрения высшей.

* Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 432 с.
* Том II. Геометрия Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 416 с.

* *Курант Р., Г. Роббинс.* Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
* *Писаревский Б. М., Харин В. Т.* О математике, математиках и не только. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.

## Спасылкі

* The Mathematical Atlas - A Gateway to Modern Mathematics Архівавана 30 верасня 2005.
* В. А. Успенский: Апология математики (+окончание).
* МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ
* Математический форум Math Help Planet Архівавана 4 ліпеня 2012.
* История математики Архівавана 19 верасня 2017.
* Большой адронный коллайдер как инструмент развития математики
* МЦНМО
* Математические этюды
* Мир математических уравнений