# Трыганаметрычныя функцыі

Графікі трыганаметрычных функцый:      сінуса      косінуса      тангенса      катангенса      секанса      касеканса
**Трыганаметры́чныя фу́нкцыі** — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі
* сінус ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 )
* косінус ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 )

вытворныя трыганаметрычныя функцыі
* тангенс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 )
* катангенс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 )

іншыя трыганаметрычныя функцыі
* секанс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 )
* касеканс ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 )

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , а катангенс і касеканс — у пунктах WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .

## Спосабы вызначэння

### Геаметрычнае азначэнне

#### Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Прамавугольны трохвугольнік
Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай *OAB* — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

* Сінусам вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
* Косінусам вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
* Тангенсам вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
* Катангенсам вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
* Секансам вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
* Касекансам вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце *O*, напрамкам восі абсцыс уздоўж *OA* і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

#### Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат
Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса *R* з цэнтрам у пачатку каардынат *O*. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня *OB*. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта *B* абазначым WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , ардынату — WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 .

* Сінусам называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
* Косінусам называецца дзель WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
* Тангенс вызначаецца як WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
* Катангенс вызначаецца як WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
* Секанс вызначаецца як WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
* Касеканс вызначаецца як WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці *R* дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , а косінус — абсцысе WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 . На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 — рэчаісны лік, то сінусам WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

### Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі **косінус** і **сінус** можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
з пачатковымі ўмовамі

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
### Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі **косінус** і **сінус** можна вызначыць як непарыўныя рашэнні ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 і WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82

### Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
дзе

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 — лікі Бернулі,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 — лікі Эйлера.
## Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  | 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_132  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_134  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_182  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_184  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_190  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_192  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  |

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

## Уласцівасці трыганаметрычных функцый

### Найпрасцейшыя тоеснасці

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
Гэта роўнасць называецца *асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю*.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218
### Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 катангенс і касеканс — WIKINIUM\_MATH\_PH\_222

### Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
### Перыядычнасць

Функцыі WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 — перыядычныя з перыядам WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 , функцыі WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 і WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 — з перыядам WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 .

### Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258
Тут WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 — любая трыганаметрычная функцыя, WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), *n* — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264
Некаторыя формулы прывядзення:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_266  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_268  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_272  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_274  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_276  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_278  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_280  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_282  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_284  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_286  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_288  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_290  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_292  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_294  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_296  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_298  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_300  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_302  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_304  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_306  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_308  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_310  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_312  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_314  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_316  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_318  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_320  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_322  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_324  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_326  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_328  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_330  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_332  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_334  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_336  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_338  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_340  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_342  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_344  |

### Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_346
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_348
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_350
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_352
Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_354
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_356
### Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_358
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_360
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_362
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_364
Формулы трайнога вугла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_366
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_368
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372
Іншыя формулы для кратных вуглоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_374
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_376
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_378
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_382
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_384
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_388
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_390
Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_392
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_394
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_396
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_398
дзе WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 — цэлая частка ліку WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_406
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_408
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_412
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_414
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_416
### Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_418
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_420
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_422
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_424
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_426
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_428
Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_430
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_432
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_434
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_436
Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

### Ступені

|  |  |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_438  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_440  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_442  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_444  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_446  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_448  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_450  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_452  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_454  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_456  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_458  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_460  |

### Сумы

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_462
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_464
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_466
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_468
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_470
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_472
Для функцый ад аргумента WIKINIUM\_MATH\_PH\_474 існуе прадстаўленне:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_476
дзе вугал WIKINIUM\_MATH\_PH\_478 вызначаецца з суадносін:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_480
### Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_482

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_484

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_486

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_488

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_490

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_492

## Вытворныя і першаісныя

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_494

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_496

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_498

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_500

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_502

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_504

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_506

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_508

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_510

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_512

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_514

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_516

## Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

### Азначэнне

Формула Эйлера:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_518
дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_520
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_522
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_524
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_526
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_528
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_530
дзе WIKINIUM\_MATH\_PH\_532

Адпаведна, для рэчаіснага *x*,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_534
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_536
Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_538
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_540
Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

* камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
* усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

### Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

**Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці**|  |  |  |  |  |  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_542  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_544  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_546  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_548  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_550  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_552  |

## Гісторыя назваў

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін *трыганаметрычныя функцыі* ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

## Гл. таксама

* Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
* Гіпербалічныя функцыі
* Эліптычныя функцыі
* Інтэгральны сінус
* Інтэгральны косінус
* Рашэнне трохвугольнікаў
* Сінус-верзус
* Сферычная трыганаметрыя
* Функцыя Гудэрмана
* Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

## Літаратура

* *Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.* Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
* *Двайт Г. Б.* Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
* Maor, Eli, *Trigonometric Delights*, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
* Та́нгенс // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 417. — 552 с. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).
* Тригонометри́ческие фу́нкции // Т. 26. Тихоходки — Ульяново. — М. : Советская энциклопедия, 1977. — С. 204—206. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред.  А. М. Прохоров; 1969—1978). (руск.)

## Спасылкі

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_554

* Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
* Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый Архівавана 7 жніўня 2019.